L: Wjaikjbkij +L:L: wjaiijbkjj j=1 j=1 1=1

Transkrypt

1 PRACE NAUKOWE AKADEMII EKONOMICZNEJ WE WROCLAWIU Nr TAKSONOMIA lo Klasyfikacja i analiza danych - teoria i zastosowania Marek Walesiak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu UOGÓLNIONA MIARA ODLEGLOŚCI GDM JAKO SYNTETYCZNY MIERNIK ROZWOJU W METODACH PORZĄDKOWANIA LINIOWEGOI 1. Wprowadzenie W pracy Walesiaka [2000] zaproponowano uogólnioną miarę odległości ODM (The Oeneralised Distance Measure), w konstrukcji której wykorzystano ideę uogólnionego współczynnika korelacji obejmującego współczynnik korelacji liniowej Pearsona i współczynnik tau Kendalla: m m II L: Wjaikjbkij +L:L: wjaiijbkjj j=1 j=1 1=1 1 I;<i,k d ik = ( I-Sik )/ 2=-- 1 (1) gdzie: d ik (Sik) - 2 mil mil 12 2 ~~Wja~j' ~~Wjb~j miara odległości (podobieństwa), i, k, 1=1,..., n - numer obiektu, j = 1,..., m - numer zmiennej, m w. - wagaj-tej zmiennej spełniająca warunki: w j E (O; m), L:Wj = m. J ~ Dla zmiennych mierzonych na skali ilorazowej i (lub) przedziałowej w formule (1) stosowane jest podstawienie: 1 Pracę wykonano częściowo w ramach projektu badawczego nr 5 H02B finansowanego przez Komitet Badań Naukowych w latach N 02> '

2 ajpj = Xij - xpj dla p = k,1 bkrj = Xkj-Xrj dla r=i,l' (2) gdzie: xii (xa;i,xij) - i-ta (k-ta, l-ta) obserwacja naj-tej zmiennej. Zasób informacji skali porządkowej jest nieporównanie mniejszy. Jedyną dopuszczalną operacją empiryczną na skali porządkowej jest zliczanie zdarzeń (tzn. wyznaczanie liczby relacji większości, mniejszości i równości). W konstrukcji miernika odległości musi być wykorzystana informacja o relacjach, w jakich pozostają por6wnywane obiekty w stosunku do pozostałych obiektów ze zbioru A. Dla zmiennych mierzonych na skali porządkowej w formule (1) stosuje się podstawienie (Walesiak [1993], s ): dla xij > xpj (xkj > xrj ) ~ aipj(bkrj)=! -1 dla xij <xpi (XA;j <Xrj) dla xij = xpj (xkj = Xrj)' dla p = k, I; r = i, I. (3) W mianowniku wzoru (1) pierwszy czynnik oznacza liczbę relacji większości i mniejszości określoną dla obiektu i, czynnik drugi zaś liczbę relacji większości i mniejszości określoną dla obiektu k. Miary o postaci (1) nie można stosować bezpośrednio, gdy zmienne są mierzone jednocześnie na różnych skalach. Zastosowanie miary (1) z podstawieniem (3) rozwiązuje częściowo ten problem, ale wtedy zostaje osłabiona skala pomiaru dla zmiennych mierzonych na skali przedziałowej i (lub) ilorazowej (przekształcone zostają one w zmienne porządkowe, ponieważ w obliczeniach uwzględniane są tylko relacje większości, mniejszości i równości). Własności oraz rezultaty badań symulacyjnych miary (1) zawierają m.in. prace: Walesiak [1999]; Walesiak, Bąk i Jajuga [2002]; Jajuga, Walesiak i Bąk [2001]; Walesiak [2002]. 2. Obszary zastosowań uogólnionej miary odległości GDM Uogólniona miara odległości GDM w badaniach z zakresu statystycznej analizy wielowymiarowej wykorzystywana jest: -do wyznaczenia macierzy odległości w procesie klasyfikacji obiektów (np. konsumentów), - jako syntetyczny' miernik rozwoju w metodach porządkowania liniowego obiektów (np. produktów). Wykorzystanie niektórych metod statystycznej analizy wielowymiarowej (metody klasyfikacji, skalowanie wielowymiarowe) wymaga obliczenia i wyznaczenia za pomocą miar odległości macierzy odległości obiektów. Wyznaczenie macierzy 135

3 odległości stanowi jeden z etapów zastosowania niektórych metod klasyfikacji. W pracy Gordona ([1999], s. 7) przedstawiono etapy postępowania w procesie klasyfikacji obiektów (zob. rys. 1). W wyniku zastosowania niektórych metod statystycznej analizy wielowymiarowej (metody podziału, metody klasyfikacji hierarchicznej, metody wizualizacjiskalowanie wielowymiarowe, analiza korespondencji) otrzymuje się podział zbioru obiektów na klasy. 3. Konstrukcja syntetycznego miernika rozwoju wykorzystującego uogólnioną miarę odległości GDM Zadaniem metod porządkowania liniowego zbioru obiektów jest uszeregowanie, czyli ustalenie kolejności obiektów lub ich zbiorów według określonego kryterium. Metody te mogą być zatem stosowane wtedy, gdy można przyjąć pewne nadrzędne kryterium, ze względu na które będzie można uporządkować obiekty od,,najlepszego" do,,najgorszego". Narzędziem metod porządkowania liniowego jest syntetyczny miernik rozwoju (SMR), będący pewną funkcją agregującą informacje cząstkowe zawarte w poszczególnych zmiennych i wyznaczoną dla każdego obiektu ze zbioru obiektów A. Zbiór obiektów Macierz danych Znonnalizowana r.::: ~ macierz danych ~----, ' Metody podziału Metody prezentacji graficznej (wizualizacji) - m.in. skalowanie wielowymiarowe, analiza korespondencji Rys. l. Etapy postępowania w procesie klasyfikacji obiektów Źródło: opracowano na podstawie pracy Gordona ([1999], s. 7). W odniesieniu do zagadnienia porządkowania liniowego wypracowano wiele konstrukcji SMR. Omówienie różnych konstrukcji SMR przedstawiono m.in. w pracach: (Bąk [1999], s ); (Walesiak [1990]); (Walesiak [1996], s ). 136

4 Konstrukcja syntetycznego miernika rozwoju wykorzystującego uogólnioną miarę odległości GDM składa się z następujących etapów: punktem wyjścia jest macierz danych [xii]' gdzie xii oznacza wartość j-tej zmiennej w i-tym obiekcie; nominanty (N) zostają przekształcone na stymulanty za pomocą formuł: -ilorazowa (dla zmiennych mierzonych na skali ilorazowej): min{nomj;x:} X.. = N ' l) max{nomj;xjj } gdzie: x: - wartość j-tej nominanty zaobserwowana w i-tym obiekcie, nom j - nominalny poziomj-tej zmiennej. Stymulanty uzyskane w wyniku tego przekształcenia mierzone są na skali ilorazowej. -różnicowa (dla zmiennych mierzonych na skali przedziałowej i (lub) ilorazowej): Xii =-\x: -nomj \. Stymulanty uzyskane w wyniku tego przekształcenia mierzone są na skali przedziałowej. Nie zachodzi potrzeba zamiany destymulant na stymulanty. w obliczeniach z wykorzystaniem uogólnionej miary odległości (1) z podstawieniem (2), tzn. gdy zmienne mierzone są na skali ilorazowej i (lub) przedziałowej, zachodzi potrzeba przeprowadzenia normalizacji wartości zmiennych. Zastosowanie miary (1) z podstawieniem (3) nie wymaga przeprowadzania normalizacji zmiennych. Dla zmiennych mierzonych na skali przedziałowej i (lub) ilorazowej zostaje osłabiona skala pomiaru (przekształcone zostają one w zmienne porządkowe, ponieważ w obliczeniach uwzględniane są tylko relacje większości, mniejszości i równości); w przypadku zastosowania w formule (1) wag zróżnicowanych należy podać wagi w j spełniające warunki: w j E (O; m), E:lw j = m; wyznacza się odległości poszczególnych obiektów od obiektu wzorcowego za pomocą uogólnionej miary odległości (1); obiektem-wzorcem w badaniach empirycznych jest na ogół tzw. dolny bądź górny biegun rozwoju (por. Hellwig [1968]). Górny biegun rozwoju obejmuje najkorzystniejsze wartości zmiennych (maksymalna dla stymulanty minimalna dla destymulanty) dolny zaś najmniej korzystne wartości zmiennych (minimalna dla stymulanty, maksymalna dla destymulanty); relacją porządkującą elementy zbioru A jest relacja większości (dla dolnego bieguna rozwoju) lub relacja mniejszości (dla górnego bieguna rozwoju) dotycząca liczbowych wartości syntetycznego miernika rozwoju o postaci (1). 137

5 Metody porządkowania liniowego można wykorzystać w badaniach marketingowych m.in. w analizie atrakcyjności rynku polegającej na ocenie możliwości istniejących (nowych) produktów w stosunku do produktów konkurencyjnych. Pozwalają więc one określić pozycję produktu na rynku na tle produktów konkurencyjnych. Badania tego typu mogą być wykonywane również w odniesieniu do innych obiektów (np. przedsiębiorstw, krajów), ponieważ umożliwiają wyznaczenie pozycji badanego obiektu (obiektów) na tle obiektów konkurencyjnych. 4. Przykład zastosowania uogólnionej miary odległości GDM w rankingu wyższych uczelni w Polsce W miesięczniku,,perspektywy" nr 4/2002 zaprezentowano ranking wyższych uczelni w Polsce. W rankingu wyższych uczelni w Polsce do ich oceny wykorzystano 18 zmiennych podzielonych na trzy kategorie: I. Prestiż: Xii - preferencje pracodawców (liczba wskazań danej uczelni), X i2 - preferencje profesorów mianowanych w latach (liczba wskazań danej uczelni), II. Siła naukowa: x i3 - moc naukowa (liczba tytułów i stopni naukowych uzyskanych w 2001 roku z wagami stosowanymi przez MENiS przy podziale dotacji budżetowej), x j4 - potencjał naukowy (średnia z kategorii nadanych przez KBN poszczególnym jednostkom uczelni), x js - dobór jakościowy w rekrutacji na studia (liczba kandydatów na jedno miejsce), x/ 6 - rozpiętość oferty kształcenia (liczba słuchaczy studiów doktoranckich i podyplomowych w przeliczeniu na ogólną liczbę studentów), x i7 - nasycenie kadr (procent kadry ze stopniem doktora habilitowanego lub tytułem profesorskim w stosunku do ogólnej liczby nauczycieli akademickich) III. Warunki studiowania: X i8 - dostępność dla studentów wysoko kwalifikowanych kadr naukowych (liczba przeliczeniowych nauczycieli akademickich - jednostki przeliczeniowe stosowane przez MEN w stosunku do liczby studentów przeliczeniowych), X i9 - zasoby biblioteczne (łączna liczba woluminów w bibliotece uczelnianej), x ilo - Xiii - liczba tytułów prenumerowanych czasopism krajowych, liczba tytułów prenumerowanych czasopism zagranicznych, Xil2 - dostępność miejsc w czytelni (liczba miejsc w czytelniach w przeliczeniu na 1 studenta przeliczeniowego), 138

6 X i13 - komputeryzacja biblioteki (stopień skomputeryzowania wypożyczalni, katalogu oraz dostęp do baz danych), X il4 - wielokulturowość środowiska akademickiego (liczba studentów obcokrajowców w przeliczeniu na 1 studenta), x ils - dostępność uczelni dla studentów pozamiejscowych (liczba miejsc w domach studenckich w przeliczeniu na 1 studenta studiów stacjonarnych), Xjl6 - możliwość rozwijania zainteresowań naukowych (liczba studenckich kół naukowych w stosunku do liczby studentów studiów stacjonarnych), x ii7 - możliwość rozwijania zainteresowań kulturalnych (liczba organizacji studenckich, chórów i teatrów w stosunku do liczby studentów studiów stacjonarnych), X il8 - wspieranie absolwentów (posiadanie przez uczelnię biura kariery lub ośrodka promocji studentów). Dane dotyczące 75 wyższych uczelni w Polsce z roku 2002 zaprezentowane na s rankingu,,perspektyw". Zawarte są tam przekształcone wartości 18 zmiennych spełniające postulat jednolitej preferencji. Konstrukcja syntetycznego miernika rozwoju wykorzystującego uogólnioną miarę odległości GDM składa się z następujących etapów: w obliczeniach wykorzystano uogólnioną miarę odległości (1) z podstawieniem (2). Z uwagi na to, że ostatnia zmienna mierzona jest na skali porządkowej, przyjęto założenie, że wyniki pomiaru pochodzą ze skali co najmniej przedziałowej. w celu sprowadzenia zmiennych do porównywalności zastosowano formułę normalizacji: zij =xij jm'fx{xjj}, w opracowaniu z miesięcznika,,perspektywy" wykorzystano wagi zróżnicowane spełniające warunki: w j E (O; 100%), L: 7=1 W j = 100%. Dla potrzeb formuły (1) przekształcono je tak, aby wagi w j spełniały warunki: w j E (O; m),,,~ L.." w,, =m (zob. tab. 1),,=1 wyznaczono odległości poszczególnych obiektów od obiektu wzorcowego za miary GDM (1), za obiekt-wzorzec przyjęto w badaniu górny biegun rozwoju obejmujący najkorzystniejsze wartości zmiennych. Z uwagi na to, że wszystkie zmienne są stymulantami, współrzędne obiektu-wzorca obejmują maksymalne wartości zmiennych, relacją porządkującą elementy zbioru 75 uczelni jest relacja mniejszości dotycząca liczbowych wartóści syntetycznego miernika rozwoju o postaci (1). Wyniki porządkowania liniowego 75 szkół wyższych zawiera tab. 2. Następnie procedurę porządkowania liniowego 75 szkół wyższych powtórzono. W pierwszym wariancie usunięto z analizy dziewięć zmiennych (zmienne: od 9 do 12, od 139

7 14 do 18), dla których łączna suma wag równa się tylko 8% (zob. tab. 1). W wariancie drugim pozostawiono 18 zmiennych, dla których wprowadzono wagi jednakowe. Tabela l. Wagi zastosowane w rankingu szkół wyższych w 2002 r. Nr zmiennej WIllti pierwotne WIllti cone (18 zmiennych) Wagi przekształcone (9 zmiennych) I. Prestiż 1 25,0% 4,50 2, ,0% 4,50 2,446 II. Siła naukowa 3 10,0% 1,80 0, ,0% 1, ,5% 0,45 0, ,5% 0,81 0, ,0% 0,54 0,293 III. Warunki studiowania 8 10,0% 1,80 0, ,0% 0, ,5% 0, ,5% 0,D9 12 1,0% 0, ,0% 0,36 0, ,0% 0, ,0% 0, ,0% 0, ,0% 0, ,0% 0,18 Suma 100,0% 18,000 9,000 Źr6dło: opracowanie własne z wykorzystaniem danych z,,perspektyw" nr , s. 51. Tabela 2. Wyniki porządkowania liniowego 75 szkół wyższych Nr Wartość Nr Wartość Nr Wartość uczelni miary (1) uczelni miary (1) uczelni miilly (1) Lp. Nazwa uczelni 18 zmiennych 18 zmiennych 9 zmiennych (wagi jednakowe) l Uniwersytt!t Warszawski 2 0, , , UniwersytetIagielloński 1 0, , , Politechnika Warszawska 4 0, , , Uniwersytet im. AM w Poznaniu 3 0, , , SGHwWarszawie 5 0, , , Politechnika Wrocławska 6 0, , , AGH w Krakowie 7 0, , , Akademia w Poznaniu 10 0, , , Uniwersytet Wrocławski 9 0, , , SGGW w Warszawie 11 0, , , UMK w Toruniu 13 0, , , Uniwersytet Gdański 12 0, , ,

8 cd. tab. 2 l Politeclmika Sląska w Gliwicach 8 0, , , Akademia Medyczna w Warszawie 17 0, , , Ś~ AM w Katowicach 14 0, , , Politeclmika Poznańska 18 0, , , PoJiteclmika Krakowska 22 0, , ,31%23 18 AE w Poznaniu 16 0, , , Uniwersytet Śląski w Katowicach 21 0, , , UWM wolsztynie 19 0, , , Politeclmika Gdańska 20 0, , , AR w Poznaniu 24 0, , , UMCS w Lublinie 23 0, , , Uniwers~Łódzki 25 0, , , AMwGdańsku 26 0, , , AR we Wrocławiu 28 0, , , AM we Wrocławiu 15 0, , , AMwł.odzi 31 0, , , PoIllOISka AM w Szczecinie 35 O,3n2 15 0, , WAT w Warszawie 37 0, , ,371%8 31 AE w Krakowie 30 0, , , AM w Białymstoku 33 0, , , Katolicki Uniwers~t Lubelski 27 0, , O, AM w Lublinie 34 0, , , AR w Krakowie 29 0, , , AE w Katowicach 32 0, , , Politeclmika Łódzka 49 0, , , AE we Wrocławiu 38 0, , , AM w Bydgoszczy 39 0, , , IPapieska AT w Krakowie 40 0, , , Uniwersytet. a SW w Warszawie 36 0, , , AWF we Wrocławiu 43 0, , , AR w Szczecinie 41 0, ,47% , Politechnika Szczecińska 42 0, , , AR w Lublinie 46 0,4% , , AWF w Katowicach 47 0, , , AWF w Warszawie 45 0, , , Uniwersytet Szczeciński 44 0, , , WAMwł.odzi 53 0, , , Akademia Peda w Krakowie 48 0,553%8 54 0,56n , Politeclmika Lubelska 54 0, , , Uniwersytet Opolski 51 0, , , AWF w Poznaniu 55 0, , , ART w B 50 0, , , AWF w Gdańsku 57 0, , , Politechnika Częstochowska 52 0, , , Politechnika Białostoc:ka 56 0, , , Politechnika Swiętokrz:yska 65 0, , , Akademia Podlaska w Siedlcach 66 0, , ,

9 cd. tab. 2 l Akademia Swiętokrzyska w Kielcach 70 0, , , Akademia Bydgoska. 58 0, , , Politeclmika Opolska 69 0, , , Uniwersytet Zielonogórski 61 0, , , Politeclmika Rzeszowska 64 0, , , AMWwGdyni 59 0, , , WS Przeds. i Zan.ąP.z. w Warszawie 63 0, , , Politeclmika Koszalińska 68 0, , , A 1M w Bielsku-Białej 67 0, , , Uniwersytet Rzeszowski 62 0, , , A WF w Krakowie 60 0, , ,577fJ7 71 Politeclmika Radomska 73 0, , , WSP w Częstochowie 71 0, , , Ak.~.. Specjalnej w Warszawie 72 0, , , WS Hwnanistyczna w Pułtusku 74 0, , , WS Ubezpieczeń i Bankowości w Warszawie 75 0, , ,61499 Źródło: obliczenia własne z wykorzystaniem programu GDM for Windows. Otrzymane rezultaty dla 9 zmiennych w niewielkim stopniu odbiegają od wyników z uwzględnieniem 18 zmiennych. W wariancie drugim, w którym zastosowano wagi, jednakowe różnice w uporządkowaniu szkół wyższych są znacznie większe. Informują o tym wartości współczynników korelacji z tab. 3. Tabela 3. Wartości współczynników korelacji IWspółczynnik korelacji lrank_l8 Rank 9 lrank 18 j rrau b Kendalla Rank_18 1,000 0,870 0,701 Rank_9 0,870 1,000 0,730 Rank 18 j 0,701 0,730 1,000 ho Spearmana lrank_18 1,000 0,972 0,886 tranic9 0,972 1,000 0,900 lrank 18 j 0,886 0,900 1,000 Źródło: obliczenia własne z wykorzystaniem pakietu SPSS for Windows. Świadczy to O nieprawidłowym doborze wag w analizie. Jak słusznie podkreśla T. Borys ([1984], s. 321) w przypadku stosowania wag zróżnicowanych,,ich zróżnicowanie powinno być»łagodne«, nadmierne zróżnicowanie wag budzi bowiem podejrzenie, że do zbioru cech preferencyjnych włączono cechy zbędne". 5. Podsumowanie W artykule zaprezentowano zastosowanie uogólnionej miary odległości ODM jako syntetycznego miernika rozwoju w metodach porządkowania liniowego. Scharakteryzowano uogólnioną miarę odległości oraz wskazano obszary jej zasto 142

10 sowań. W części empirycznej przedstawiono przykład zastosowania uogólnionej miary odległości GDM w rankingu wyższych uczelni w Polsce. Literatura Bąk A (1999), Modelowanie symulacyjne wybranych algorytmów wielowymiarowej analizy porównawczej w języku C++, Wydawnictwo AE, Wrocław. Borys T. (1984), Kategoria jakości w statystycznej analizie porównawczej, Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 284, Seria: Monografie i Opracowania nr 23. Gordon AD. (1999), Classification, 2nd Edition, Ptapman and Hall/CRC, London. Hellwig Z. (1968), Zastosowanie metody taksonomicznej do typologicznego podziału krajów ze względu na poziom ich rozwoju i strukturę wykwalifikowanych kadr,,,przegląd Statystyczny" z. 4, Jajuga K., Walesiak M., Bąk A. (2001), On the General Distance Measure, W: Schwaiger M., Opitz O. (Eds.): Exploratory Data Analysis in Empirical Research, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (w druku). Walesiak M. (1990), Syntetyczne badania porównawcze w świetle teorii pomiaru,,,przegląd Statystyczny" z. 1-2, Walesiak M. (1993), Statystyczna analiza wielowymiarowa w badaniach marketingowych, Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 654, Seria: Monografie i Opracowania nr 101. Walesiak M. (1996), Metody analizy danych marketingowych, PWN, Warszawa. Walesiak M. (1999), Distance measure for ordinal data, "Argumenta Oeconomica" No 2 (8), Walesiak M. (2000), Propozycja uogólnionej miary odległości w statystycznej analizie wielowymiarowej, Referat na konferencję naukową nt. "Statystyka regionalna w służbie samorządu lokalnego i biznesu" (Kiekrz k. Poznania, 5-7 czerwca 2000 r.). Walesiak M. (2002), Uogólniona miara odległości w statystycznej analizie wielowymiarowej. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu. Walesiak M., Bąk A, Jajuga K. (2002), Uogólniona miara odległości - badania symulacyjne, W: Jajuga K., Walesiak M. (red.), Klasyfikacja i analiza danychteoria i zastosowania, Taksonomia 9, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu nr 942. THE GENERALISED DISTANCE MEASURE GDM AS SYNTHETIC MEASURE IN LlNEAR ORDERING METHODS Summary The article contains the application of generalised distance measure GDM as synthetic measure in linear ordering methods. In the paper the following problems 143

11 are discussed: the derivation of the generalised distance measure and the areas of applications of the distance. In addition, the empirical example of application of GDM to ranking of Polish universities is provided. Keywords. The Generalised Distance Measure, Linear Ordering Methods, Data Analysis.