Test, dzień pierwszy, grupa młodsza



Podobne dokumenty
Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Sprawdzian 2. MATEMATYKA. Przed próbną maturą. (poziom podstawowy) Czas pracy: 90 minut Maksymalna liczba punktów: 26. Imię i nazwisko ...

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H

XII. GEOMETRIA PRZESTRZENNA GRANIASTOSŁUPY

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA. MaturoBranie

KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW SZCZYRK 2017

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 11 Teoria planimetria

V Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie. Zadania i rozwiązania

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

Liczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW SZKÓŁ GIMNAZJALNYCH

Bank zadań na egzamin pisemny (wymagania podstawowe; na ocenę dopuszczającą i dostateczną)

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

LICZBY I DZIAŁANIA PROCENTY FIGURY GEOMETRYCZNE

Matematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

KRZYŻÓWKA Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

Matematyka. Zadanie 1. Zadanie 2. Oblicz. Zadanie 3. Zadanie 4. Wykaż, że liczba. 2 2 jest podzielna przez 5. Zadanie 5.

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

Wersja testu A 25 września 2011

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 2007 DROGI UCZNIU!

Treści zadań Obozu Naukowego OMJ

1. Proporcjonalnością prostą jest zależność opisana wzorem: x 5

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

Matematyka rozszerzona matura 2017

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

KONKURS MATEMATYCZNY

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

Matura próbna matematyka poziom rozszerzony

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

ARKUSZ VIII

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Małopolski Konkurs Matematyczny r. etap wojewódzki A B C D E

XV Olimpiada Matematyczna Juniorów

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

LX Olimpiada Matematyczna

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

XV WOJEWÓDZKI KONKURS Z MATEMATYKI

Przykładowy zestaw zadań nr 2 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Konkurs dla gimnazjalistów Etap II 15 lutego 2012 roku

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI - MODUŁ 13 Teoria stereometria

Temat: PRZEKROJE PROSTOPADŁOŚCIANÓW. Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej

Kryteria ocen z matematyki w klasie IV

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

TABELA ODPOWIEDZI. kod ucznia

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

Rozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. (dla klas trzecich liceum i klas czwartych technikum)

II Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich

Przykładowe zadania z teorii liczb

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 25 SIERPNIA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

LXIII Olimpiada Matematyczna

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 2009/10. Test (nr 3) do samodzielnego treningu

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

Transkrypt:

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę, gdy na sali zjawia się 20 chłopaków wszyscy z nich chętni do tańca. Odsetek dziewczyn na imprezie zmniejsza się tym samym do 58 procent. Ilu osobom chce się tańczyć po przybyciu 20 dodatkowych osób?...600...400...250 2.Załóżmy,żedanejest5kolejnychliczbcałkowitycha,b,c,d,e,przyczyma>3.Wówczas:...wszystkieteliczbymogąbyćzłożone...przynajmniej4znichsązłożone...przynajmniej3znichsązłożone 3. Dana jest tablica liczb: 1 3 5... 97 99 4 8 12... 197... gdzie elementy kolejnego wiersza tworzy się przez sumowanie wyrazów znajdujących się w wierszu wyżej bezpośrednio po przekątnej. Ile razy w całej tablicy wystąpi wielokrotność liczby 67?...mniejniż10razy...więcejniż10razy...mniejniż20razy 4.Załóżmy,żeliczbyrzeczywistea 0orazbspełniająrówność a b a = b a a.wówczas:...wówczas a = b...wówczas a b...wówczasa b 5.Rozważmyrównanie xy + x y =1,gdziex,ysąliczbamicałkowitymi.Wówczas:... równanie to ma nieskończenie wiele rozwiązań...jeślipara(x,y)spełniatorównanie,to x = y =1...jeślipara(x,y)spełniatorównanietox 2. 6.DanyjestkwadratABCDobokudługości10oraztrójkątostrokątnyECDotejwłasności,żejego część wspólna z kwadratem ABCD ma pole równe 80. Wówczas:...trójkąttenmusibyćzawartywkwadracieABCD...wysokośćtegotrójkątato20...wysokośćtegotrójkątato25

Test, dzień pierwszy, grupa starsza 1.Wyznaczilośćtakichparliczbcałkowitychdodatnich(a,b),żea+b=1000izarównoa,jakibnie mają w zapisie dziesiętnym cyfry 0....369...657...739 2.Niechnbędzieliczbąnaturalną.Wówczaswyrażenien!+5... nigdy nie jest kwadratem liczby całkowitej... nigdy nie jest sześcianem liczby całkowitej... nigdy nie jest czwartą potęgą liczby całkowitej 3.DanyjesttrapezABCD,gdzieAD BC,przyczym AD =2012, BC =1000,zaśkątyostre przywierzchołkacha,dwynosząodpowiednio37,53.niechm,nbędąśrodkamipodstawtego trapezu. Wówczas:...długośćodcinka MN jestliczbącałkowitą...długośćodcinka MN jestliczbąwymierną...długośćodcinka MN jestliczbąniewymierną 4.PięciokątwypukłyABCDEmatęwłasność,żepolatrójkątówABC,BCD,CDE,DEA,EABsą równe i wynoszą 1. Wówczas:...pięciokąttenjestforemny... pole tego pięciokąta jest jednoznacznie określone i znajduje się w przedziale[1,4]... pole tego pięciokąta nie jest jednoznacznie określone, ale znajduje się w przedziale[3,5] 5. Liczbę całkowitą nazywamy dobrą, jeśli jest ona równa czterokrotności sumy cyfr swojego rozwinięcia dziesiętnego....nieistniejepięcyfrowaliczbadobra... tylko dla skończenie wielu n istnieje n-cyfrowa liczba dobra... suma wszystkich liczb dobrych nie przekracza 100 6. Niech a < b < c będą ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Rozważmy funkcję f(x)= x a + x b + x c....fosiągaminimumdlax=c...fosiągaminimumdlax=a+b...fmożeosiągaćwartośćdowolniebliską0

Odpowiedzi do testów, dzień pierwszy. Grupa młodsza 1.NIE,NIE,NIE-prawidłowaodpowiedźto252 2.TAK,NIE,TAK-(24,25,26,27,28),(5,6,7,8,9),jasne 3.NIE,TAK,TAK-wielokrotność37wystąpidokładnie17razy.Zauważmy,żechoćwcałejtablicy jest 50 wierszy, to wielokrotności 67 występują jedynie w wierszach nieparzystych; w kolumnie, która leży poniżej 67. Takich wierszy jest 17. 4.NIE,NIE,NIE-zpodanegowarunkuwynika,żeb a 5.NIE,NIE,TAK-torównaniema6rozwiązań:łatwojewyznaczyć 6. NIE, NIE, TAK- część wspólna to trapez o podstawach długości 6, 10. Zatem układając proporcję otrzymujemy,żeh=25. Grupa starsza 1.NIE,NIE,NIE-prawidłowaodpowiedźto738.Szukamy2liczb,któredodająsiędo100,awięc wystarczy liczyć liczby n w przedziale[511,999], które spełniają warunki: brak zera w n, oraz brak zeraw1000 n.dlan [511,899]mamy4możliwecyfrysetek,8możliwychdziesiątek,9możliwych jedności,awięc288liczb.dlan [911 999]mamy9możliwychcyfrdziesiątekiimożliwych jedności,awięc81.awięcłącznie369liczbpowyżej511.dotego369poniżej.awięctakichpar jest 738. 2.TAK,NIE,TAK-n!+5daje,dlan>3resztę2zdzieleniaprzez3,awięcniemożebyćani kwadratem,aniczwartąpotęgą,zaś5!+5=125(innychsześcianówniema). 3. TAK, TAK, NIE- po przedłużeniu ramion widzimy, że powstały trójkąt jest prostokątny, dalej tw. Talesa. 4. NIE, TAK, NIE- z równości pól dostajemy równoległość odpowiednich przekątnych z bokami. Pole wynosizawsze 5+5 2.Jakjepoliczyć? Niechpole[BPC]=x.Wówczas[DPC]=1 xoraz: [BPC] [DPC] = BP PD =[EBP] [EPD]. Wynikastąd,że x 1 x = 1 x.zatemx= 5 1 2.PolecałegopięciokątaABCDErównejest3+x,a więc 5+ 5 2.

5.TAK,TAK,NIE-sątylkoczteryliczbydobre:12,24,36,48-istotnie,niemajednocyfrowejliczby dobraje,niematrzycyfrowej(bo96a+6b-3c=0,aleonamusibyćwiększaniż69).dlan>4 liczbajestniewiększaniż10 n 1,zaśczterokrotnoscsumycyfrjestniewiekszaniż36).Tymczsem 10 n 1 36n>36(10 n 3 n)>0,apowinnotobyć0. 6.NIE,NIE,NIE-funkcjataosiągaminimumdlax=bijesttoc a.wystarczysprawdzićbiorąc xkolejnowprzedziałach(,a),[a,b),[b,c),(c, ).

Test, dzień trzeci, grupa młodsza 1. Po zakończeniu sezonu zasadniczego ligi koszykówki pierwsze 5 zespółów gra mini-turniej mający ustalić kolejność między najlepszymi. Pierwszy mecz grają zespoły: 4. i 5. sezonu zasadniczego. Przegrany zostaje ostatecznie na 5. miejscu. Wygrany gra mecz nr 2. z 3. zespołem sezonu zasadniczego. Przegrany zostaje ostatecznie na 4. miejscu. W trzecim meczu gra zwyciężca drugiego meczu i 2. zespół ligi itd... Ile jest możliwych konfiguracji pierwszych 5 miejsc ligi po zakończeniu mini-turnieju?...więcejniż8...niewięcejniż16...niewięcejniż32 2.Ciągrosnący2,3,5,6,7,10,11,...zawierawszystkieliczbycałkowitedodatnie,któreniesąkwadratami, ani sześcianami liczb całkowitych. Można powiedzieć, że:...dwudziestypierwszywyraztegociąguto28...trzydziestywyraztegociąguto38...setnywyraztegociąguto113 3.Wartośćwyrażenia: 20112010 2 20112009 2 +20112011 2 2...jestwiększaod1/3...jestwiększaod2/5...jestwiększaod1/2 4.Powiemy,żeliczbatrzycyfrowaabcjestgeometryczna,jeślijejcyfryniesązeramiia/b=b/c.Jaka jest różnica pomiędzy największą i najmniejszą liczą trzycyfrową geometryczną?...807...840...931 5.CzworokątABCDjesttaki,żetrójkątyABC,BCD,CDA,DABmająrówneobwody....czworokąttenjestzawszekwadratem.... czworokąt ten jest zawsze równoległobokiem....czworokąttenjestzawszetrapezem. 6. Dany jest sześcian. Każdą z jego ścian malujemy jednym z kolorów: białym lub czarnym. Dwa kolorowania sześcianu, które są identyczne po obróceniu sześcianu uważamy za jedno i to samo kolorowanie. Ile jest możliwych kolorowań?...10...15...20

Test, dzień trzeci, grupa starsza 1. Niech p będzie liczbą pierwszą większą niż 5. Wówczas:...p-400niemożebyćkwadratemliczbycałkowitej...p-40niemożebyćsześcianemliczbycałkowitej...p-4niemożebyćczwartąpotęgąliczbycałkowitej 2.Ilejestliczbnaturalnychdodatnichmniejszychod2011,podzielnychprzez3i4,alenieprzez5....więcejniż800...więcejniż810...więcejniż820 3. Niech S będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, składającym się z liczb, które w zapisie dziesiętnym mają postać 0,(abc), gdzie a, b, c są różnymi cyframi. Wówczas:...sumaelementówzbioruSwynosi252...sumaelementówzbioruSwynosi324...sumaelementówzbioruSwynosi360 4.WtrójkącieABCpunktyDiEsąśrodkamiodpowiedniobokówBCiAC.Wówczas:...jeślikątyCADorazCBEmająpo30,toABCjestrównoboczny...jeślikątyCADorazCBEmająpo30,toABCjestrównoramienny... jeśli kąty CAD oraz CBE są równe, to ABC jest równoramienny 5.Dlajakwieluparkolejnychliczbcałkowitychzezbioru{1000,1001,1002,...,2000}niepotrzeba przenoszenia w pamięci przy pisemnym ich dodawaniu?...154...155...156 6.Niecha,b,cbędądługościamibokówtrójkąta.NiechX= a b+c + b c+a + c a+b.wówczas:...x<1...x<2...x<3

Odpowiedzi do testów, dzień trzeci. Grupa młodsza 1.TAK,TAK,NIE:Możliwychkonfiguracjijestdokładnie16.Są4meczeiwkażdympo2różne wyniki. Dwa różne wyniki to dwie różne klasyfikacje końcowe. A więc wszystkich możliwości jest tyle,comożliwychwynikówmeczów,awięc2 4 =16. 2.TAK,TAK,TAK:Ad.1Zauważmy,żeponiżej21mamy4kwadratyi2sześciany,przyczymliczba 1jestzarównokwadratemjakisześcianem.Zatemten21.wyraztoprzynajmniej26.Alepodrodze napotykamy kolejny kwadrat: 25, a więc 21. wyraz przynajmniej 27. Ale 27 jest sześcianem, a więc 21.wyrazciągutoistotnie28.Ad2.Zauważmy,żeponiżej30mamy5kwadratówi3sześciany,przy czym liczba 1 jest zarówno kwadratem, jak i sześcianem. Xatem 30. wyraz ciągu to przynajmniej 37. Ale po drodze jest jeszcze kwadrat: 36, zatem 30. wyrazem naszego ciągu jest 38.Ad 3. Zauważmy, żeażdo100mamy11kwadratówi4sześciany,przyczymliczby1i64sązarównokwadratami,jak i sześcianami. Zatem 100. wyraz ciągu to przynajmniej 113. Po drodze nie mamy jednak żadnego kwadratu ani sześcianu, zatem to rzeczywiście jest 113. 3. TAK, TAK, NIE. To wyrażenie to dokładnie 1/2. Istotnie, wystarczy pobawić się wzorami skróconego mnożenia. 4.NIE,TAKlubNIE,NIE.Niestetyzapomniałemdopisaćwtreścizałożenieotym,żecyfrysąróżne. Wtedyodpowiedźto840.Najmniejsza-to124.Anajwiększatonie931,ale964.Gdycyfrysą identyczne to zadanie jest bardzo proste: różnica to 999-111 = 888/ 5. NIE, TAK, TAK. Trzeba pokazać, że jest to prostokąt. Robimy to pokazując, że przekątne tej figury są równe, podobnie jak parami odpowiadające sobie boki. 6.TAK,NIE,NIE.Odpowiedźto10.Idziemyprzezprzypadki,tzn.ustalamyileścianmabyćkolorowanych na biało: 0 ścian- wówczas jest 1 kolorowanie(wszystko na czarno) 1 ściana- wówczas jest 1 kolorowanie 2 ściany- wówczas są 2 kolorowania: albo ściany mają wspólną krawędź, albo leżą naprzeciw siebie 3 ściany- wówczas są 2 kolorowania: albo ściany mają wspólny wierzchołek, albo nie 4 ściany- tak jakbyśmy rozpatrywali problem dla dwóch czarnych- 2 kolorowania 5 ścian- tak jakbyśmy rozpatrywali problem dla jednej czarnej- 1 kolorowanie 6ścian-1kolorowanie Grupa starsza 1.NIE,NIE,TAK:409-400=9,67-40=27.Jeślichodzioczwartepotęgi,togdybyp-4było czwartą potęgą, to p=q 4 +4=q 4 +4q 2 +4 4q 2 =(q 2 +2) 2 (2q) 2 =(q 2 +2q+2)(q 2 2q+2),

askorop>5,toobydwaczynnikisąwiększeniż1. 2.TAKlubNIE,NIE,NIE.Znowumójbłąd...Miałybyćdzielniki3lub4iwtedypierwszaodpowiedź byłaby prawidłowa. Istotnie, liczylibyśmy wielokrotności 3 i 4:[2011/3] +[2011/4] [2011/12]. Wyłączylibyśmy z tego wielokrotności 5, przy czym uważalibyśmy aby dwa razy nie policzyć wielokrotności60:[2011/15]+[2011/20] [2011/60].Ostateczniebyłobyto:670+502-167-134-100 +33=804.Askorobyływielokrotności3i4,toszukanaliczbawynosiłaznaczniemniejniż800, bo zawierała jedynie wielokrotności 12... Przepraszam za tę pomyłkę. 3.NIE,NIE,TAK-zauważmy,żekażdatakaliczbajestpostaci x 999 imaparę: 999 x 999.Askoro kombinacjidającychcyfryokresujest10 9 8=720,toparsumującychsiędo1jest360.Zatem odpowiedź to 360. 4.TAK,TAK,TAKNamocycechykąt-kąt-kąttrójkątyADCorazBECsąpodobne.Stąd Zatem AC 2 = BC 2 AC = BC. AC BC = DC EC =2 DC 2 EC = BC AC. 5.NIE,NIE,TAK:jaktopoliczyć?Jeśliliczbanmazapisdziesiętnypostaci1abc,towprzypadku gdya,blubcjestrówne5,6,7,8,toprzydodawaniux+(x+1)przędziekonieczneprzenoszenie. Tojednasprawa.Następnyproblem,togdyb=9,zaśc 9orazgdya=9ianib,anicniesą równe 9. Również wtedy będzie przenoszenie. Innymi słowy, jeśli x nie jest postaci opisanej wyżej, to jest czworakiego rodzaju: 1abc, 1ab9, 1a99, 1999, {a,b,c} {0,1,2,3,4}. Zatemmamy5 3 +5 2 +5+1=156takichwartościn. 6.NIE,TAK,TAK.Dowoduwymagajedyniepunkt2.Zauważmy,że a b+c < 2a a+b+c.istotnie,jesttopo wymnożeniu stronami równoważne nierówności trójkąta a < b + c. Stosując podobne oszacowania dlapozostałychułamkówwidzimy,żex<2.łatwopokazać,żestałej2niemożnaobniżyć.