Arytmetyka Magdalena Lemańska
System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności.
System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. Można to zapisać jako 178 = 1 100 + 7 10 + 8 1 albo 178 = 1 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0.
System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. Można to zapisać jako 178 = 1 100 + 7 10 + 8 1 albo 178 = 1 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0. System dziesiętny W systemie dziesiętnym kolejne cyfry oznaczają współczynniki przy kolejnych potęgach liczby 10, zaczynając od największej, a kończąc na najmniejszej potędze.
System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. Można to zapisać jako 178 = 1 100 + 7 10 + 8 1 albo 178 = 1 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0. System dziesiętny W systemie dziesiętnym kolejne cyfry oznaczają współczynniki przy kolejnych potęgach liczby 10, zaczynając od największej, a kończąc na najmniejszej potędze. Baza systemu dziesiętnego Mówimy, że liczba 10 jest podstawą albo bazą systemu dziesiętnego.
System dziesiętny System dziesiętny Weźmy liczbę 178. Składa się ona z jednej setki, siedmiu dziesiątek i ośmiu jedności. Można to zapisać jako 178 = 1 100 + 7 10 + 8 1 albo 178 = 1 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0. System dziesiętny W systemie dziesiętnym kolejne cyfry oznaczają współczynniki przy kolejnych potęgach liczby 10, zaczynając od największej, a kończąc na najmniejszej potędze. Baza systemu dziesiętnego Mówimy, że liczba 10 jest podstawą albo bazą systemu dziesiętnego. W systemu dziesiętnym uzywa się dziesięciu cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a zapis d r d r 1... d 0 oznacza d r 10 r + d r 1 10 r 1 +... + d 0 10 0.
System dwójkowy System dwójkowy W informatyce bardzo ważnym systemem jest system dwójkowy, gdzie podstawą jest liczba 2 i gdzie mamy tylko dwie cyfry: 0 i 1. Cyfry w systemie dwójkowym nazywa się bitami.
System dwójkowy System dwójkowy W informatyce bardzo ważnym systemem jest system dwójkowy, gdzie podstawą jest liczba 2 i gdzie mamy tylko dwie cyfry: 0 i 1. Cyfry w systemie dwójkowym nazywa się bitami. Zapis d r d r 1... d 0 oznacza d r 2 r + d r 1 2 r 1 +... + d 0 2 0.
System dwójkowy System dwójkowy W informatyce bardzo ważnym systemem jest system dwójkowy, gdzie podstawą jest liczba 2 i gdzie mamy tylko dwie cyfry: 0 i 1. Cyfry w systemie dwójkowym nazywa się bitami. Zapis d r d r 1... d 0 oznacza d r 2 r + d r 1 2 r 1 +... + d 0 2 0. Liczby w systemie dziesiętnym i dwójkowym Poniżej przedstawiono kilka liczb w systemie dziesiętnym i dwójkowym: Dziesiętny Dwójkowy 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000
Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym:
Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit;
Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje:
Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm;
Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm; jeśli wskazany bit jest jedynką, to zamieniamy go za zero i wskazujemy następny bit w lewo; jeśli nie ma następnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkę na początku liczby i kończymy algorytm.
Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm; jeśli wskazany bit jest jedynką, to zamieniamy go za zero i wskazujemy następny bit w lewo; jeśli nie ma następnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkę na początku liczby i kończymy algorytm. Inaczej mówiąc, szukamy pierwszego zera od prawej strony, zamieniamy je na jedynkę, a wszystkie jedynki stojące za nim zamieniamy na zera.
Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm; jeśli wskazany bit jest jedynką, to zamieniamy go za zero i wskazujemy następny bit w lewo; jeśli nie ma następnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkę na początku liczby i kończymy algorytm. Inaczej mówiąc, szukamy pierwszego zera od prawej strony, zamieniamy je na jedynkę, a wszystkie jedynki stojące za nim zamieniamy na zera. Zadanie Zwiększ o jeden liczby: a) (11010011) 2, b) (111111) 2.
Zwiększanie liczby o jeden Algorytm zwiększania liczby o jeden Aby zwiększyć o jeden liczbę zapisaną w systemie dwójkowym: wskazujemy na ostatni bit; powtarzamy, co następuje: jeśli wskazany bit jest zerem, to zamieniamy go na jedynkę i kończymy algorytm; jeśli wskazany bit jest jedynką, to zamieniamy go za zero i wskazujemy następny bit w lewo; jeśli nie ma następnego bitu w lewo, to stawiamy jedynkę na początku liczby i kończymy algorytm. Inaczej mówiąc, szukamy pierwszego zera od prawej strony, zamieniamy je na jedynkę, a wszystkie jedynki stojące za nim zamieniamy na zera. Zadanie Zwiększ o jeden liczby: a) (11010011) 2, b) (111111) 2. Zadanie Dodaj i pomnóż liczby: (11010011) 2 oraz (110011) 2.
Zamiana systemu Ponieważ będziemy używać różnych systemów zapisu liczb, więc zapis w systemie z bazą b oznaczymy przez (d r d r 1... d 0 ) b.
Zamiana systemu Ponieważ będziemy używać różnych systemów zapisu liczb, więc zapis w systemie z bazą b oznaczymy przez (d r d r 1... d 0 ) b. Pierwszy sposób (110101) 2 = 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 32 + 16 + 4 + 1 = (53) 10.
Zamiana systemu Ponieważ będziemy używać różnych systemów zapisu liczb, więc zapis w systemie z bazą b oznaczymy przez (d r d r 1... d 0 ) b. Pierwszy sposób (110101) 2 = 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 32 + 16 + 4 + 1 = (53) 10. I odwrotnie (53) 10 = 5 10 1 + 3 10 0 = (101) 2 (1010) 2 + (11) 2 = (110101) 2.
Zamiana systemu Ponieważ będziemy używać różnych systemów zapisu liczb, więc zapis w systemie z bazą b oznaczymy przez (d r d r 1... d 0 ) b. Pierwszy sposób (110101) 2 = 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 32 + 16 + 4 + 1 = (53) 10. I odwrotnie (53) 10 = 5 10 1 + 3 10 0 = (101) 2 (1010) 2 + (11) 2 = (110101) 2. Drugi sposób Polega na kolejnym dzieleniu liczby w sposób całkowity przez 2 i zapamiętywaniu reszt z dzielenia. Reszty te, zapisane w odwrotnej kolejności, tworzą zapis binarny liczby.
W poniższej tabeli przedstawiono kolejne ilorazy i reszty dla liczby 178. liczba iloraz reszta 178 89 0 89 44 1 44 22 0 22 11 0 11 5 1 5 2 1 2 1 0 1 0 1
W poniższej tabeli przedstawiono kolejne ilorazy i reszty dla liczby 178. liczba iloraz reszta 178 89 0 89 44 1 44 22 0 22 11 0 11 5 1 5 2 1 2 1 0 1 0 1 Reszty zapisane w odwrotnej kolejności 10110010 tworzą binarny zapis liczby (178) 10.
Uogólnienie Ten ostatni sposób można łatwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiętnego na system z inną bazą b. Należy tylko dzielić przez b. Jeśli chcemy, na przykład, przedstawić liczbę 60 w systemie trójkowym, to dzielimy kolejno przez trzy i spisujemy reszty z dzielenia.
Uogólnienie Ten ostatni sposób można łatwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiętnego na system z inną bazą b. Należy tylko dzielić przez b. Jeśli chcemy, na przykład, przedstawić liczbę 60 w systemie trójkowym, to dzielimy kolejno przez trzy i spisujemy reszty z dzielenia. liczba iloraz reszta 60 20 0 20 6 2 6 2 0 2 0 2
Uogólnienie Ten ostatni sposób można łatwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiętnego na system z inną bazą b. Należy tylko dzielić przez b. Jeśli chcemy, na przykład, przedstawić liczbę 60 w systemie trójkowym, to dzielimy kolejno przez trzy i spisujemy reszty z dzielenia. liczba iloraz reszta 60 20 0 20 6 2 6 2 0 2 0 2 W wyniku otrzymamy 60 10 = (2020) 3.
Uogólnienie Ten ostatni sposób można łatwo uogólnić na algorytm zamiany liczb z systemu dziesiętnego na system z inną bazą b. Należy tylko dzielić przez b. Jeśli chcemy, na przykład, przedstawić liczbę 60 w systemie trójkowym, to dzielimy kolejno przez trzy i spisujemy reszty z dzielenia. liczba iloraz reszta 60 20 0 20 6 2 6 2 0 2 0 2 W wyniku otrzymamy 60 10 = (2020) 3. Zadanie Liczby (81) 10, (257) 10 oraz (1023) 10 zapisz w postaci dwójkowej, trójkowej, czwórkowej i szesnastkowej.
System szesnastkowy System szesnastkowy Do systemu szesnastkowego potrzeba szesnastu cyfr. Zwykle używa się cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
System szesnastkowy System szesnastkowy Do systemu szesnastkowego potrzeba szesnastu cyfr. Zwykle używa się cyfr : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F Dziesiętny Dwójkowy Szesnastkowy 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F
Dzięki temu, że 16 jest potęgą dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy i odwrotnie. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów według tabeli.
Dzięki temu, że 16 jest potęgą dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy i odwrotnie. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów według tabeli. Przy zamianie z systemu dwójkowego na szasnastkowy postępujemy odwrotnie. Zastępujemy grupy po cztery bity pojedynczymi cyframi: (1110 0011 1011 0000) 2 = $E3B0
Dzięki temu, że 16 jest potęgą dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy i odwrotnie. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów według tabeli. Przy zamianie z systemu dwójkowego na szasnastkowy postępujemy odwrotnie. Zastępujemy grupy po cztery bity pojedynczymi cyframi: (1110 0011 1011 0000) 2 = $E3B0 Jeśli liczba cyfr w postaci dwójkowej nie dzieli się przez cztery, to uzupełniamy ją zerami na początku: (110 1111 0110 0010) 2 = (0110 1111 0110 0010) 2 = $6F 62.
Dzięki temu, że 16 jest potęgą dwójki, prosta jest zamiana postaci liczby z systemu dwójkowego na szesnastkowy i odwrotnie. Przy zamianie z systemu szesnastkowego na dwójkowy wystarczy zamieniać kolejne cyfry przedstawienia na grupy odpowiednich czterech bitów według tabeli. Przy zamianie z systemu dwójkowego na szasnastkowy postępujemy odwrotnie. Zastępujemy grupy po cztery bity pojedynczymi cyframi: (1110 0011 1011 0000) 2 = $E3B0 Jeśli liczba cyfr w postaci dwójkowej nie dzieli się przez cztery, to uzupełniamy ją zerami na początku: (110 1111 0110 0010) 2 = (0110 1111 0110 0010) 2 = $6F 62. W ten sposób możemy używać zapisu szesnastkowego do zwięzłego przedstawiania długich ciągów bitów.