GÓRNICTWO I GEOLOGIA 2011 Tom 6 Zeszyt 2 Tomasz NIEDOBA AGH Akademia Górniczo-Hutnicza ZASTOSOWANIE KRIGINGU ZWYCZAJNEGO DLA OSZACOWANIA ZAWARTOŚCI POPIOŁU I SIARKI W WĘGLU W ZALEŻNOŚCI OD GĘSTOŚCI I ROZMIARU ZIARNA Streszczenie. W pracy oszacowano zawartość siarki i popiołu w węglach w zależności od gęstości i rozmiaru ziarna. Najbardziej klasycznym sposobem opisania tej zależności jest wyznaczenie funkcji wektorowej f (d, ρ), f (d, ρ), gdzie f (d, ρ) jest regresją zależności zawartości popiołu, a f (d, ρ) regresją zależności zawartości siarki w zależności od wielkości i gęstości ziarna. Do opisu wspomnianych zależności zastosowano metodę krigingu zwyczajnego. W tym celu materiał uziarniony (węgiel) został poddany procesom rozdziału ze względu na rozmiar ziaren. Dla każdej klasy ziarnowej wyznaczono gęstość oraz zbadano procentową zawartość popiołu i siarki. Następnie, metodą krigingu uzyskano przewidywane zawartości popiołu i siarki w wybranych wielowymiarowych punktach o zadanej wielkości ziarna i gęstości. Tym samym potwierdzono możliwość stosowania metod krigingu w zakresie prognozowania jakościowego materiałów uziarnionych. Wyniki zweryfikowano empirycznie. APPLICATION OF ORDINARY KRIGING TO EVALUATE ASH AND SULFUR CONTENTS IN COAL DEPENDABLY ON PARTICLE SIZE AND DENSITY Summary. Paper presents the application of method of ordinary kriging in multidimensional analysis of coal. The densities and particle sizes were determined and the material was classified into fractions. For each of them, material characteristics as ash and sulfur contents were measured and it allowed application of kriging. The best variogram function was selected and final results were compared with empirical ones. The usefulness of kriging methods was proved.
160 T. Niedoba 1. Wstęp Wielowymiarowa analiza danych jest obecnie częstym zagadnieniem pojawiającym się w wielu badaniach naukowych. Dotyczy to również przeróbki surowców mineralnych, gdzie jednym z potencjalnych zastosowań tego typu analizy jest badanie jakościowe surowca mineralnego ze względu na kilka jego cech. Istnieje wiele technik umożliwiających tworzenie takich modeli. W pracy zostanie zaproponowana metoda krigingu, ze szczególnym uwzględnieniem krigingu zwyczajnego. Zwyczajowo, technika ta jest wykorzystywana powszechnie w geostatystyce, w badaniach terenowych. Proponowana w pracy metodyka może być jednak wykorzystana również w innych celach, w tym w badaniach jakościowych węgla. Materiałem do badań był węgiel pobrany z jednej z kopalń Górnego Śląska, który wstępnie został rozdrobniony i podzielony na klasofrakcje. W każdej z nich badano zawartości popiołu i siarki. Stanowiło to bazę do zastosowania metod krigingu zwyczajnego. 2. Metodyka Oznaczmy przez D zmienną losową opisującą średnicę ziarna, a przez jego gęstość. Niech x = (d, ρ) jest realizacją zmiennych D i. Każdemu punktowi (d, ρ) została przyporządkowana para zmiennych losowych (Z, S), gdzie Z zawartość procentowa popiołu, S zawartość procentowa siarki. Otrzymujemy więc odwzorowanie x(d, ρ) Z(x), S(x) (1) Przez odległość między punktami x, x rozumiemy odległość zdefiniowaną następująco: y(x, x ) = (ad ad ) + (bρ bρ ) (2) gdzie a, b są, odpowiednio dobranymi współczynnikami wymiarowymi, tak aby wartość zmiennych ad, b tworzyła kwadrat (np. jednostkowy). Zapewnia się w ten sposób jednakowy wpływ obu zmiennych na wartość odległości. Zakłada się, że E Z(x + h) Z(x) = 0, E S(x + h) S(x) = 0 (3)
Zastosowanie krigingu zwyczajnego 161 oraz V Z(x + h) Z(x) = 2γ (h), V S(x + h) S(x) = 2γ (h) (4) Funkcje 2γ (h) i 2γ (h) są funkcjami wariografu. Klasyczne estymatory wariogramów zostały zaproponowane przez Matherona [1] i są określone za pomocą wzoru (5). 2γ (h) = ( ) ( ) Z(x + h) Z(x ), 2γ (h) = ( ) (5) gdzie N(h) oznacza liczbę par punktów (x, x+h), oddzielonych o odległość h. ( ) S(x + h) S(x ) Do empirycznego wariografu należy dopasować jakiś model teoretyczny. Najczęściej stosowanymi modelami wariogramów są [2]: - model sferyczny γ(h) = C 1,5 0,5 + C dla h a C + C dla h > a (6) 0 - model liniowy γ(h) = dla h = 0 c + ah dla h > 0 (7) - model wykładniczy γ(h) = Cexp (8) - model potęgowy γ(h) = C h, C > 0, α (0,2) (9) - model gaussowski γ(h) = C 1 exp (10) W celu dopasowania modelu do wariogramu empirycznego należy wyestymować jego parametry, np. metodą najmniejszych kwadratów lub największej wiarygodności. Aby oszacować wartość zmiennych Z i S w punkcie x 0, korzystamy ze wzoru (11) [2, 3]: Z(x ) = Z(x ), S(x ) = β S(x ) (11) gdzie x i oznaczają punkty pomiarowe, dla których i, i oznaczają współczynniki spełniające warunki + + + = 1, β + β +... +β = 1 (12)
162 T. Niedoba Aby dobrać odpowiednie współczynniki i i i, należy wyznaczyć minimum warunkowe funkcji oraz L (,,, μ) = Z(x ) μ( + + + 1) (13) L,,, μ = S(x ) μ + + + 1 (14) Minimalny błąd estymacji zostanie otrzymany w momencie, gdy 1 n oraz 1 n, jak również mnożnik Lagrange a spełniają układ równań oraz γ (h ) + γ (h ) + + γ (h ) + μ = γ (h ) γ (h ) + γ (h ) + + γ (h ) + μ = γ (h ) (15) γ (h ) + γ (h ) + + γ (h ) + μ = γ (h ) + + + = 1 gdzie h ij oznacza odległość punktu x i od x j. γ (h ) + γ (h ) + + γ (h ) + μ = γ (h ) γ (h ) + γ (h ) + + γ (h ) + μ = γ (h ) (16) γ (h ) + γ (h ) + + γ (h ) + μ = γ (h ) + + + = 1 W metodach krigingu wymaga się aby para zmiennych definiująca pole losowe była niezależna. W tym przypadku nie można stwierdzić, że zmienne D i są zmiennymi niezależnymi, tak więc zastosowano metodę krigingu zwyczajnego, aby zbadać warunkowy rozkład wektora losowego Z(ρ d ), S(ρ d ), czyli będą rozważane punkty x(d, ρ), gdzie d 0 jest ustaloną średnią wielkością ziarna, a jego zmienną gęstością. Odległość między punktami x (d, ρ ) i x (d, ρ ) jest dana wówczas wzorem y(x, x ) = ρ ρ (17)
Zastosowanie krigingu zwyczajnego 163 3. Eksperyment Jako przykład została rozważona zawartość popiołu i siarki w klasie ziarnowej węgla (16-20) [mm]. Dane pomiarowe zostały przedstawione w tabeli 1. Tabela 1 Procentowe zawartości popiołu i siarki dla węgla z klasy ziarnowej 16-20 [mm] Gęstość [g/cm 3 ] Zawartość popiołu [%] Zawartość siarki [%] 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 14,75 17,50 16,53 16,67 27,30 36,35 51,96 0,82 0,78 0,80 0,85 0,51 1,36 2,16 Metodą najmniejszych kwadratów sprawdzono jakość dopasowania różnych modeli wariografów. Najlepszy okazał się model potęgowy. Za pomocą linearyzacji wyznaczono współczynniki rozpatrywanego modelu i otrzymano wariogram w postaci γ(h) = γ (h), γ (h) = (1152,56h, ; 1,3733h, ) (18) Współczynnik korelacji dla γ (h) wynosił r 1 =0,99, a dla γ (h); r 2 =0,95, co świadczy o dobrym doborze modelu. Wartości empirycznych wariogramów oraz ich teoretycznych modeli podaje tabela 2. Wartości empirycznych i teoretycznych wariogramów h γ (h) emp. γ (h) teor. γ (h) emp. 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 73,91 172,55 305,67 376,19 493,51 632,19 74,43 169,83 275,14 387,46 505,30 627,73 0,0836 0,1772 0,2629 0,3804 0,5940 0,7978 γ (h) teor. 0,0657 0,1641 0,2803 0,4097 0,5500 0,7000 Tabela 2
164 T. Niedoba Graficzne porównanie otrzymanych wyników zaprezentowano na rysunkach 1 i 2. 700 600 500 g1 400 300 200 100 emp. teor. 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 h Rys. 1. Porównanie empirycznego i teoretycznego wariogramu 1 Fig. 1. Comparison of empirical and theoretical variogram 1 g2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 h emp. teor. Rys. 2. Porównanie empirycznego i teoretycznego wariogramu 2 Fig. 2. Comparison of empirical and theoretical variogram 2 Następnie, rozwiązując odpowiednie układy równań (15 i 16), wyznaczono przewidywaną zawartość popiołu i siarki dla punktów x 1 =(18,05), x 2 =(18,2) i otrzymano na tej drodze wyniki dla zawartości popiołu i zawartości siarki Z(18,05) = 9,87; Z(18,2) = 54,80 S(18,05) = 0,66; S(18,2) = 2,68.
Zastosowanie krigingu zwyczajnego 165 4. Wnioski Zastosowana metoda krigingu zwyczajnego pozwala z powodzeniem obliczać współrzędne punktów wielowymiarowych. W pracy wymiarami są wybrane charakterystyki materiału uziarnionego, którym był węgiel jednej z kopalni Górnego Śląska. Okazało się, że technika ta, stosowana głównie w geostatystyce, może również zostać wykorzystana w badaniach materiałów uziarnionych. Potencjalne wykorzystanie tej techniki w przeróbce surowców mineralnych, a zwłaszcza węgla jest bardzo duże. Badania nad tą metodą są w toku. Artykuł został opracowany w ramach projektu pracy statutowej nr 11.11.100.276. BIBLIOGRAFIA 1. Matheron G.: A Simple substitute for conditional expectation. Proceedings, NATO ASI, Geostatistics 75, 1976. 2. Namysłowska-Wilczyńska B.: Geostatystyka. Teoria i zastosowania. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2006. 3. Niedoba T.: Application of kriging in approximations of grained materials characteristics distribution functions. Proceedings of XXV International Mineral Processing Congress, Brisbane, Australia 2010, p. 3321-3326. Recenzent: Dr inż. Joachim Pielot Abstract Multidimensional data analysis is currently one of the most important issue in many scientific and analytic works. It concerns also mineral processing, where one of the potential applications of such type of analysis is qualitative research over mineral raw material because of its several characteristics. Here, the kriging method is proposed to this purpose, with ordinary kriging as the main sort of this method applied in the work.
166 T. Niedoba The paper presents determination of sulfur and ash contents in coal dependably on density and particle size. The most classical way of describing this dependence is determination of vector function f (d, ρ), f (d, ρ) where f (d, ρ) is regression of ash contents dependence and f (d, ρ) regression of sulfur contents dependence on particle size and density. To describe this dependencies the method of ordinary kriging was applied. To this purpose the grained material (coal) was initially classified into fractions. For each fraction the density and ash and sulfur contents were measured. Next, by kriging method the forecasted values of ash and sulfur contents in selected multidimensional points of assumed particle size and density were obtained. It was proof that kriging methods may be applied to forecast quality of grained materials. The results were empirically verified.