w rozrzdzonych gazach atomowych Anna Okopińska Instytut Fizyki II. T E O R IA Z DE G E N E R O WA N Y C H G A Z Ó W DO S K O N A Ł Y C H
Mchanika cząstki kwantowj Cząstkę kwantową w polu siły o potncjal Vx,y,z,t opisuj fala prawdopodobiństwa ψ x, y, z, t, która spłnia zalżn od czasu równani Schrödingra: ψ ψ ψ + + m x y z ψ + V x, y, z, t ψ = i t
N cząstk Układ cząstk kwantowych opisuj funkcja falowa ψ r,, rn, t która spłnia zalżn od czasu równani Schrödingra: N + V r i i, t + m i= [ ] U r r, t ψ r,, r, t = i ψ r,, r ij i j N N, t t i, j= N iet Jśli oddziaływania ψ r,, rn, t = ψ r,, rn nizalżn od czasu otrzymujmy nizalżn od czasu równani Schrödingra: N N m i + V ri + U ij ri rj ψ r,, rn = Eψ r,, rn i= i, j= [ ]
Jśli cząstki ni oddziałuja z sobą to równani Schrödingra: N i + V ri, t m i = ψ r,, rn = Eψ r,, rn można rozsparować: ψ r,, rn = ψ r ψ r ψ rn [ ] otrzymujmy N nizalżnych równań jdnocząstkowych i + V ri ψ ri = ε iψ ri m i =,, N
S ta n y u k ła du c z ą s t k n i o ddzia łu j ą c y c h Stan pojdynczj cząstki ψ α : rozwiązani jdnocząstkowgo równania Schrödingra: + V r ψ α r = ε α ψ α r m Stan wilocząstkowy: ψ r,, rn = ψ α r ψ α = 0,,, α r ψ każda cząstka w pwnym stani jdnocząstkowym ψ α i o nrgii ε α i Enrgia układu cząstk E = ε α + ε α +... + ε α N α N rn
Symtria funkcji falowj względm przstawiń cząstk Klasyczni: cząstki rozróżnialn, bo poruszają się po trajktoriach. Kwantowo: cząstki nirozróżnialn, bo zasada nioznaczoności i paczki falow przkrywają się. Jśli ψ, - amplituda prawdopodobiństwa znalzinia równoczśni cząstki w punkci x, a cząstki w punkci x,, = ψ,, to gęstość prawdopodobiństwa ψ a więc amplituda prawdopodobiństwa dla przstawionych cząstk: ψ, = iϕ ψ,, gdzi ϕ - liczba rzczywista. Tak więc ψ, = iϕ ψ, = iϕ ψ, czyli musi być iϕ = ±.
. Funkcja falowa dwóch cząstk musi więc być ψ bądź symtryczna: bądź antysymtryczna:ψ. sym asym, = ψ, = sym ψ, asym, Jśli cząstki ni oddziałują z sobą, to stan dwu cząstk wyraża się przz stany jdnocząstkow o liczbach kwantowych α, β Funkcja falowa dwóch cząstk nioddziałujących: ψ symtryczna: ψ ψ α ψ albo antysymtryczna: tylko ψ α ψ β ψ α β ψ β α β + ψ β ψ α ψ β ψ α zakaz Pauligo
U m i s zc z n i dw ó c h c z ą s t k w dw ó c h ró ż n y c h s ta n a c h Cząstki klasyczn dwi możliwości α α β Cząstki kwantow bozony ψ α ψ β + ψ β ψ α lub frmionyψ α ψ β ψ β ψ α jdna możliwość α β β Cząstki kwantow mają N! razy mnij możliwości niż klasyczn! poprawn zliczani boltzmannowski
S ta ty s ty k a B o s g o E in s t in a Sathyndra Nath Bos wyprowadził prawo Plancka dla prominiowania ciała : doskonal czarngo, traktując układ fotonów jako gaz doskonały idntycznych cząstk. Z.Phys.69478 Albrt Einstin - uogólnił na przypadk cząstk o masi różnj od zra, których liczba jst zachowana N=const. Sitzungsbr.Kgl.Pruss.Akad.Wiss. 94 6 95 3.
S ta ty s ty k a F rm i g o Enrico Frmi zauważył ż jst inaczj w przypadku cząstk o spini połówkowym
Wi lk i z s pó ł k a n o n ic zn y Wilki zspół kanoniczny: układ cząstk w równowadz z trmostatm o tmpraturz T, ustalona śrdnia il.cząstk < Ν > = N Wilka suma statystyczna: Ξ µ,v, T = µν kt Ν =0 εν kt ν gdzi ν oznacza sumę po wszystkich stanach o N cząstkach, a ε ν nrgię takigo stanu. Potncjał chmiczny µ taki, ż: Wilki potncjał kanoniczny: Ω = kt ln Ξ µ,v, T ln Ξ < Ν > = kt = N µ trmodynamika Ω = N µ
G a z do s k o n a ły β := kt cząstki ni oddziałują z sobą nrgia pojdynczj cząstki ε p ; stany dyskrtn p=0,,. Wilka suma statystyczna: Ξ µ,v, β = { } Ν =0 np p β µ ε p np np = Ν Sumowani po rozkładach daj się wykonać: β µ ε p bozony Ξ µ,v, β = p β µ ε p frmiony + p µ < ε0
Wi lk i po t n c ja ł k a n o n ic zn y g a zu do s k o n a ł g o Wilka suma statystyczna: β µ ε p Ξ µ,v, β = p β µ ε p + p bozony frmiony Wilki potncjał kanoniczny: β µ ε p log bozony β p Ω µ,v, β = log Ξ µ,v, β = β log + β µ ε p frmiony β p
F u n k c ja ro zk ła du N= Ω µ,v, β = µ p β ε p µ więc śrdnia liczba obsadzń: f ε p := n p = β ε p µ bozony śrdnia nrgia E = ε p f ε p = p p frmiony ε bozony p β ε p µ śrdnia liczba cząstk ustalona N =< n>= µ p f ε p = p β ε p µ frmiony bozony frmiony
Wy s o k i t m p ra tu ry Gdy kt>> i n nizbyt duż bozony frmiony β ε 0 µ f ε p = mkt 3 / >> 3 hn β ε p µ T f B ε p = a więc fkty kwantow są zanidbywalni mał obsadzni wszystkich stanów mał: β ε p µ β ε p µ β ε p µ >> f. rozkładu Boltzmanna << trmodynamika klasyczna jst dobrym przybliżnim
N is k i t m p ra tu ry Przy obniżaniu T bozony frmiony β ε p µ f ε p = malj β ε p µ Efkty kwantow coraz ważnijsz i różnic pomiędzy gazm bozonowym i frmionowym stają się istotn.
G a z b o zo n o w y o u s ta lo n j lic zb i c z ą s t k Funkcja rozkładu cząstk f ε p = β ε p µ > 0 Przy obniżaniu T, µ więc musi być > µ ε0 wzrasta, al Dla wszystkich dostępnych poziomów: β ε p µ n p = f ε p β ε p ε 0 n p ograniczona!!! Ilość cząstk w stanach wzbudzonych N xc = p 0. Maksymalna możliwa ilość N xc µ = ε 0, T malj przy obniżaniu T. Jdyni na ilość cząstk w stani podstawowym ni ma ogranicznia!
K o n d n s a c ja B o s g o E in s t in a Tmpratura krytyczna, Tcr, jst okrślona warunkim, ż wszystki cząstki są w stanach wzbudzonych: N xc µ = ε 0, Tcr = N Poniżj Tcr tż musi być µ = ε 0. Cząstki przstają się miścić w stanach wzbudzonych i w stani podstawowym musi zgromadzić się rszta cząstk: N0 = N np Makroskopowa ilość! xc Powodm kondnsacji w stani podstawowym ni jst brak nrgii na wzbudznia. Tcr > > E E0, więc nrgia trmiczna jst wystarczająca, lcz w stanach wzbudzonych brak mijsca dla N 0 cząstk. Brak mijsca wynika z symtrii funkcji falowj. To czysto kwantowy fkt.
O b n i ż a m y t m p ra tu r ę T > Tcr T < Tcr T= 0 p=0 jst kondnsatm w przstrzni pędów, a ni położń, gdyż jgo przyczyną są własności symtrii funkcji falowj, a ni oddziaływani międzycząstczkow.
N = 0 0 0 0 R a c h u n k i n u m ry c zn M. Ligar, Am. J. Phys. 66 998 85
O b s a dz n ia dla pu ła pk i h a rm o n ic zn j mω r V r = klasyczni k w a n t o w o N=0000
O b s a dz n i s t.po ds ta w o w g o kwantowo klasyczni N=0000
T m p ra tu ra k ry ty c zn a Enrgia/cząstkę Pojmność ciplna N=0000
R o zw a ż a n ia a n a lity c zn przy b li ż n i s m ik la s y c zn Gaz jdnorodny V r = 0 Gaz idalny bozonowy w pułapc harmonicznj m V r = ω x x + ω y y + ω z z
G a z id a ln y b o zo n o w y w pu ła pc Przybliżni smiklasyczn: Przy kt > ε, gdzi ε odstęp między poziomami, widmo nrgii traktujmy jako ciągł Funkcja rozkładu f ε = β ε µ ilość cząstk zgromadzonych w stani podstawowym: N0 + ρ ε f ε dε 0 = N= 3 n r d r gęstość stanów w potncjal pułapki ρ ε = π 3 3 3 p δ ε m V r d rd p V r r0 V r0 = 0
Otrzymujmy: β V r µ n r = 3 g 3 λt l gdzi funkcja Bosgo gα x := Tmpraturę krytyczną l= x lα λt = π mkt µ 0 wyznacza związk: n r0 = 3 g 3 3.6 λt λt czyli gęstość w przstrzni fazowj n r0 λ T3.6 A więc kondnsacja zachodzi w takij T, ż długość fali d Brogli`a jst rzędu śrdnij odlgłości między cząstkami.
Gaz jdnorodny V=0 G ę s t o ś ć s t a n ó w c z ą s t ki s w o b o dn j Równani Schrödingra: Ψ Ψ Ψ + Ψ = + m m x y z sparuj się: Ψ r = X x Y y Z z jdnowymiarow równani: = ε Ψ ε = εx+εy+ εz X k = m ε + k X x = 0 x ma rozwiązania: X λ = aλ sin k λ x + bλ cos k λ x
Gdy cząstka zamknięta w kostc o boku a, to warunki brzgow: Xx=Yy=Zz=0 dla x=y=z=±a/, unormowan rozwiazania: + λ X = X λ = cos k λ x x a sin k λ x x a πλx kλ x =, a λ x = 0,,,3,... Mo ż liw w a rt o ś c i n rg ii c z ą s t k i π λ x ε = kλ x = m m a c a łk o w ita n rg ia λx x dla λ x = 0,,,... π ε = εx+ εy+ εz= λx+ λy+ λz m a
π Pęd cząstki swobodnj p = mε = λx+ λy+ λz a W prostokątnym układzi współrzędnych punkty λx, λy, λz. o wartościach całkowitych tworzą przstrznna sić. ak ap λ = = P o n i w a ż π π więc objętość prostopadłościanu o krawędziach λx, λy, λz. proporcjonalna do obj. prz.fazowj =obj. prz.położń *obj. prz.pędów Ω ~ λ 3 ~ a3 p3
dn = liczba stanów o modul pędu p,p+dp = liczba punktów siatki w /8 warstwy kulistj R, R+dR, a gdzi R = λ + λ + λ = p bo tylko punkty o λ>0 π x y z a 3 p dp Vp dp 4π Vp dp dn = dω = π R dr = = = 3 3 8 π π h3 taka jakby w komórc przstrzni fazowj o objętości h 3 znajdował się tylko jdn stan. p ε = m dn = m 3/ 3 π V ε dε 3 czyli gęstość stanów cząstki swobodnj: dn Vm ε g ε = = 3 dε π
G a z w pu ła pc h a rm o n ic zn j m V r = ω x + ω y + ω z x G ę s t o ś ć s ta n ó w o s c y la t o ra < ε N ε = 3 ω xω yω ~ objętość pod płaszczyzną dε dε x z 0 ε ε x ε ε ε x ε 0 z ω x + n y + ω y + nz + ω poziomy nrgii ε nx, n y, nz = nx + Il.stanów o nrgii y y z ε = εx+εy+εz ε3 0 d ε z = 6 3ω xω yω y z dn ε = czyli gęstość stanów oscylatora: g ε = dε 3ω xω yω z
Tmpratura krytyczna µ = ε0= 0 Największa ilość cząstk w st.wzbudzonych przy N xc = g ε f µ = 0 ε dε = 0 g ε 0 V r = 0 : Dla gazu jdnorodngo, 3 g ε = Vm ε 3 U r = ω Dla pułapki harmonicznj, ε g ε = 3ω ktcr 3 gdzi ω := ω xω yω ε / ktcr π n dε = N n ktcr = 3.3 m ς 3 3m π z 3 3 3 x x + ω ω N ς 3 3 3 y y + ω z z 0.94 ω N funkcja zta: ς α := l= lα : 3
Obsadzni stanu podstawowgo: N0 + ρ ε f ε dε = N 0 0 N0 < n0 > = = N T Tcr Dla gazu jdnorodngo: N0 N - α = 3 α dla T > Tcr dla T < Tcr Dla gazu w pułapc harmonicznj: N0 α = 3 N - Tcr Tcr Tcr