MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 19, (1981) PŁASKA FALA SILNEJ NIECIĄ GŁOŚ CI WE WSTĘ PNIE ODKSZTAŁCONYM IZOTROPOWYM MATERIALE SPRĘ Ż YSTYM SŁAWOMIR KOSIŃ SKI (ŁÓDŹ) 1. Wstę p silnej niecią gł śi c raz fale przyspieszenia były przedmitem rzważ ań wielu autrów m.in. D. R. BLANDA [1] i P. J. CHENA [6]. W pracy [3] Z. WESOLOWSKI pdał metdę, która w przypadku przybliż enia adiabatyczneg, umż liwia wyznaczenie prę dkś ci prpagacji fali, amplitudy raz skku entrpii w ś rdku wstę pnie dkształcnym. Rzwią zanie dla prę dkś i c prpagacji U v i amplitudy H bazuje na rzwinię ciu U v i H w szereg ptę gwy parametru m, który jest mdułem amplitudy fali. Wielkść m traktuje się jak mały parametr jeg wartść należy przyją ć zgdnie z warunkami fizycznymi zadania. Nastę pnie wyznacza się prę dkść prpagacji U raz amplitudę H i skk entrpii w funkcji amplitudy H, skk jest rzę du m 3. W pracy rzwią zan pwyż szym spsbem zagadnienie prpagacji płaskich sprę ż -y stych fal silnej niecią gł ś i c w bszarze niegranicznym, dla materiału II rzę du. Przed frntem fali silnej niecią gł śi c przyję t jednrdny stan dkształcenia. Na wykresach przedstawin wpł yw skł adwych tensra dkształ cenia n a prę dkść prpagacji fali akustycznej, która jest zerwym przybliż eniem dla prę dkśi cfali silnej niecią głś ci, raz wpływ wielkś ci skku m na prę dkść fali. Wykresy wyknan dla stali i aluminium. 2. Zwią zki pdstawwe Pdstawwe wzry teg punktu pdane zstaną zgdnie z pracami [2], [3], [4]. Ruch ciał a pisany jest zwią zkami (2.1) x' = x\x a, t), gdzie X a są współrzę dnymi punktu materialneg w knfiguracji dniesienia B R, x l współ rzę dnymi punktu materialneg w knfiguracji aktualnej, a t czasem. Przez xi znaczane są skł adwe gradientu defrmacji JF". Zwią zek mię dzy lewym tensrem dkształcenia Cauchy- Greena B, a tensrem dkształ - cenia D jest nastę pują cy (2.2) Z) = 1(5-1), gdzie przez 1 znaczn tensr metryczny.
546 S. KOSIŃ SKI Pnieważ w pracy bę dą rzważ ane jedynie małe przemieszczenia, przyjmuje się załż enie utż samieniu tensra D z tensrem mał ych dkształ ceń E, któreg skł adwe bę dą znaczane e'y. Zgdnie z pracami [3], [4] przez a jest znaczana gę stść energii sprę ż yste j nagrmadznej, dniesinej d jednstki masy w B R, a przez r\ entrpia. W ciele sprę ż ystym a = = cr(xa, rj). Wprwadzimy znaczenie F znacza, że pchdna dtyczy bszaru przed frntem fali silnej niecią gł ś ci. Dla materiału iztrpweg gę stść energii sprę ż yste j nagrmadznej dniesinej d jednstki masy, mż na wyrazić jak funkcję niezmienników tensra B i entrpii (2.4) ff= a(h,h,h,n)- W dalszych rzważ aniach knieczna jest znajmść wyraż eń dla pchdnych f, afum, «, P, y = 1, 2, 3; i, k, m = 1, 2, 3 (zgdnie z (2.3)). Wyraż enie dla pchdnej af k mż na znaleźć w [2] (s. 37). Pchdną af^ bliczymy róż niczkując (2.4). Jeś li dany jest mduł skku gradientu defrmacji * (2-5) m - H* = (ff'tf,)* = (. gdzie g"p, g ik znaczają składwe tensra metryczneg w ukł adzie {X a } i {V} dpwiedni. Wówczas dla kreś lneg kierunku prpagacji fali N a mż na wyznaczyć z warunku prpagacji [3], prę dkść prpagacji U raz kierunek teg skku. Warunek prpagacji wyprwadzny z dkł adnś cią d m 3 jest nastę pują cy M (2.6) af^h k N a N p + I af^h k H m N a N^N Y + i af^ ónh k H'"H n N a N ll N Y N 9 + + i. fw. w H'^H'- H- N^NS = Ul H,. G Aby wyznaczyć przybliż ne wartś ci U i if', stsujemy rzwinię cie bu wielkś ci w szeregi ptę gwe parametru m, aprksymację pełneg rzwinię cia ptę gweg graniczymy d dwóch pierwszych wyrazów rzwinię cia. ( 2 7 ) H/ m = U,(m).m U D +mu v. P wstawieniu wyraż eń (2.7) d (2.6) trzymamy C2 8") ł p - UlS lk )H k - 2H t U v U v +~&&,H k H m N a N^N Y =,
PŁ ASKA FALA SILNEJ NiEdĄ OŁ OŚr c 547 raz #<#,= 1, (2-9) H'H t =. i Ostatnie cztery równania pzwalają wyznaczyć dla daneg skku m, {/, U, raz i H i H. 3. Zwią zki dla materiał u II rzę du Zgdnie z prpzycją Murnaghana, dla niezbyt duż ych dkształ ceń, mż liwa jest nastę pująa c pstać energii sprę ż yste j nagrmadznej w jednstce bję tśi cmateriał u iztrpweg [4] (s. 39) (3.1) gdzie ix, A stał e Lameg l,m,n stał e sprę ż ystś i cii rzę du A, B, C, D,n,m współ czynniki przy czł nach z entrpią T temperatura pczą tkwa ś rdka w stanie naturalnym W wyraż eniu pwyż szym ddan czł ny uwzglę dniająe c entrpię. Zał ż n, że defrmacja wstę pna w bszarze przed frntem fali silnej niecią gł śi c pisana jest wzrami (3.2) gdzie: X lt X 2, K z stał e Ukł ady współ rzę dnych {X a }, {**} są pkrywają cymi się ukł adami kartezjań skimi. Gradient defrmacji przy takim pisie ruchu jest niezależ ny d współ rzę dnych X a i czasu t, funkcje afi; ffy dla materiał u jednrdneg pzstaną stał e w czasie i przestrzeni. Otrzymujemy "Aj (3-3) { }' = A 2. A 3.
548 S. KsiŃ asi raz (3.4) Zi = Af T 3 2 12 12 * 3 A I ^ A -»3 Zakł adamy, że pwierzchnia niecią gł ś i c jest pł aszczyzną równaniu (3.5) X*( = / (O ^«- iv" - (1,, ). Birą c pd uwagę równanie pwierzchni niecią gł ś ci, trzymamy tensr akustyczny pstaci (3.6) Q ik <= U *ifc- 1,2,3. Dla gradientu defrmacji {^} F raz tensrów {- B ij '} F i {C C " 3 } F składwe tensra akustyczneg Q ik zgdnie z (5.21) w [2] wynszą 2 (3.7) "" Q K L ffl2 = 23 = O 1! 3 = - We wzrach pwyż szych i dalej wprwadzn znaczenia n \ 8 a S 2 cr # 93 (T di K I K l L di K di L di M Birą c pd uwagę pierwsze równania (2.8) i (2.9) trzymamy rzwią zania są nastę pują ce = U (3.1) 2 " il. (± 1.,); (,i :l,); (,,± i); H\\N, HLN. Zerwe przybliż enia U v i H są. wię c rzwią zaniami równania prpagacji fali akustycznej. Wyraż enie gólne dla trzeciej pchdnej ajfó zajmuje duż miejsca, raz ma skmplikwaną budwę, dlateg niż ej pdane zstaną isttne dla pisywaneg tu przypadku, wartś ci trzeciej pchdnej
PŁASKA FALA SILNEJ NIECIĄ GŁOŚ CI 549 1 a\ \ \ = QR (3.11) ffi = 8R.111 _ - 1 1 _.111 #222 "333 112 232 CT 123 "233 ~ ^322 U Z drugieg równania (2.8) i (2.9) mż emy bliczyć przyrsty prę dkś ci i składwe amplitudy 1 rzę du dla kierunku pdł uż neg i bu kierunków pprzecznych. Zakładamy. że trzy zerwe przybliż enia prę dkś i cfali silnej niecią głś i c są róż ne. Dla fali pdł uż nej U v, / / (+ 1,, ) trzymamy (3.12) La\\\. Skł adwe amplitudy dla tej fali speł niają równania i H l H t =. P rzwią zaniu trzymamy H = (,, ) Dla fali pprzecznej kierunku X 2, U V,H (, ± 1,) mamy 4U U (3.14) c daje statecznie i H ( H' =, - Łr 2 )],, ).
;55 S. KOSIŃ SKI Analgicznie dla fali pprzecznej kierunku X 3, U v, H = (,, ± 1) mamy 1! iu V" = ^333 =, 4U, (3.15) Ostatecznie trzymamy (ii-c I U =. 1 Jak wynika z przytcznych pwyż ej wzrów jedynie prę dkść fali pdł uż ne j zwię ksza się. Fale w dwóch pzstał ych kierunkach pprzecznych, przy przyję tym przybliż eniu, prpagują z prę dkś ą ci równą prę dkśi cfali akustycznej. Weź my pd uwagę pdł uż ną falę silnej niecią gł ś, ci wstawiając d (2.7)!, (3.1)! i rzwią zanie dla (3.13) trzymamy (3.16) T= Hi+m.O, ). Birąc pd uwagę warunki zgdnś ci w [3], <3.17) [x ] = # iv a dla a = 1,2, 3 raz i = 1,2,3. Stwierdzamy, że skku mże dznać tylk jedna skł adwa gradientu defrmacji x{. Chcąc dbrać wielkść skku m, skł adwych gradientu defrmacji, tak aby skł adwe tensra dkształ cenia D, który tu redukuje się d tensra E, nie przekrczył y granicy sprę ż ystś i materiału c zauważ ymy, że j_ Birąc pd uwagę (3.2), (3.17) raz fakt iż jedynie [x\] = m/ trzymamy ID 11 } = l^if + Kp, = ~ >(3.1) * * r Przypadek X x < zgdnie z (3.2) nie jest fizycznie mż liwy. Zależ nść (3.18) jest pdstawą dla przeprwadznej dalej analizy numerycznej. Przy zał ż eni u D = E, czł ny rzę du wię kszeg niż m w (3.18) nie mają "isttneg znaczenia, wbec teg wyraż enie (3.18) upraszcza się d pstaci (3.19) p>"] = [xj] =, ±m = [ 8 "], - stateczna mdyfikacja mż liwa jest dalej w parciu równanie (4.5).
PŁ ASKA FALA SILNEJ NIECIĄ GŁ OŚI C 551 Rzpatrując wył ą czni e fale sprę ż yste, mż na stwierdzić, że maksymalny skk skł adwej tensra dkształ cenia, mże być równy pdwjnej granicy sprę ż ystś i ce s, ale jedynie w przypadku kiedy przed frntem fali silnej niecią gł śi cskł adwa jest równa granicy sprę ż ystś i cmateriału ze znakiem przeciwnym niż skk. W nastę pnym punkcie pracy birąc pd uwagę przybliż enie izentrpwe bliczn prę dkśi cfal, gdy dkształ - cenia przed frntem fali silnej niecią gł śi zmieniają c się w granicach ±e s, a mduł skku dkształ cenia ^ m s 2e s. 4. Przybliż enie izentrpwe Zgdnie z uwagami w 2.2 w [1] jak pierwsze przybliż enie przyję t równanie (3.1) z entrpią r\ =. D bliczeń przyję t stał e sprę ż ystś i wg. c tabeli 1 zamieszcznej w pracy [5], stał e v lt v 2, v 3 pdane przez Smitha, Sterna i Stephensa przeliczn na stał e Murnaghana l,m,n. Stał e te wynszą Tabela 1 ś rdek fi- 1-6 A- 1" s m- 1-6 «i- 6 M- 6 Fe.821 +.5 1.11 ±.1-6.36 +.56-7.8 +.32-4.61 ±.85 Al.276 +.1.57 ±.2-4.1 + 1.38-4.8 ± 1.36-3. 1 ± 1.25 Stał e w tabeli wyraż ne są w kg/ cm 2. Wartś ci stał ych l,m,n wahają się w dść znacznych granicach. Bardz isttną sprawą dla dalszych bliczeń jest ustalenie dkształ cenia dpwiadają ceg granicy sprę ż ystś i dla c stali i aluminium e s. Obliczenia dla stali przeprwadzn dla dkształ ceń zmieniają cych się w granicach - 85 1~ 4 4 e ^ 85 1~ 4, a dla aluminium - 3 1~ 4 < e «? 3 1~ 4. P wstawieniu d (3.7) współ czynników (3.8) blicznych dla rj = (zakł adamy, że entrpia w stanie naturalnym wynsi zer), raz p zastą pieniu skł adwych tensra B skł adwymi tensra D = E tzn. B ij = 1+ 2 - D ij = 1 + 2 - e ij, A 2 = l+ 2e (nie sumwać) i wstawieniu danych z tabeli 1 trzyman z (3.7) dla stali nastę pująy c wzór (4.1) Ul- ^- -{1.37- ^,- 13, 2 ^.n- «n - 4.6 - w!!/,- We wzrze pwyż szym przyję t Q R = 7.85 t/ m 3, pnadt przyję t = a 3 e 1 1 < a 3 1, 2 2. Na rys. 1 sprzą dzn wykresy dla e u zmieniają ceg się w granicach + 85 1~ 4-2 < K<2. i dla
552 S. KOSIŃ SKI 85 5 25 25 5 Rys. 1. Wykres prę dkś i c l/ pdłuż nej fali akustycznej w stali. 85»1O" 4 W analgiczny spsób trzymujemy wyraż enia dla prę dkś i cfal pprzecznych (4.2) 2-1 7-9.81,... 2 przy znaczeniach Ilustrację graficzną wzru (4.2) przedstawin na rys. 2. Wyraż enie dla prę dkś ic - Cv 1 rn/ s I I i 34 Fe 1 33 = = = = =._ -2 ~ = ' _, - " - H fc" 32 ^*- 1 31 \ i 3 i i I e 1 3 3 85 5 25 25 5 85 *1' 4 Rys. 2. Wykres prę dkś i c Uv pprzecznej fali akustycznej w stali. U v trzymamy z (4.2) wstawiają c e 22 w miejsce e 33. Wykres identyczny jak w przypadku wzru (4.2). Gdy bszar przed frntem fali silnej niecią głś i cnie jest wstę pnie dkształcny z (2.8)! i (3.1) trzymamy U B = 5852 m/ sek, U = = 321 m/ sek
PŁ ASKA FALA SILNEJ NIECIĄ GŁ OŚI C 553 Widzimy, że zerwe przybliż enia prę dkśi cfali silnej niecią gł śi w c ś rdku niedkształ cnym przed frntem fali, są równe prę dkśi cfali pdł uż ne j i pprzecznej w danym ś rdku. Z rys. 1 wynika, że maksymalne róż nice w prę dkś ciac h wystą pią przy K 2, dla e n = 85 1" 4 U = 5454 m/ sek, a przy e u = - 85-1-, * U = 6224 m/ sek. Róż nica prę dkśi cwynsi 77 m/ sek. Na rys. 2 wystą pi analgiczna sytuacja dla L = 2, przy zmianie e 33 przed frntem fali z 85 1~ 4 na 85 lo"*, róż nica prę dkśi cwyniesie 313 m/ sek. Analgiczne wyraż enia dla zerwych przybliż eń prę dkśi cfali w aluminium, przy Q R 2.65 t/ m 3 są nastę pująec (4.3) yi = 2-17 - 9.81 2.65 {.56-9.47 ll ~2.85K eil } 5 (4.4) 2 1 7 9 81 m 2 2.65 {.13-.72 8-1.46X,. 3a }, - ^ Wykresy wzrów (4.3) i (4.4) przedstawin na rys. 3, 4. Zakres zmiennś ci dkształ - ceń przyję t + 3-1" 4. Dla bszaru niedkształ cneg przed frntem fali trzymamy dpwiedni \ ' _ 1 1 =====5 T 1 V v V k - m/ s 66 64*^ =6439" PR 62 1 1 Al 1 1 1 i i 3 2 1 1 2 Rys. 3. Wykres prę dkśi cuv pdł uż ne j fali akustycznej w aluminium. - <= -2-1 _ 1 2- eit 3» U. = = 6439 m/ sek, U v - = 3219 m/ sek. Najwię ksze róż nice prę dkśi cu v wystą pią dla K = 2, przy zmianie dkształ cenia u "przed frntem fali z 3 1~ 4 na 3 1~ 4 róż nica prę dkśi cwyniesie 461 m/ sek. Dla prę dkśi cu rys. 4, przy takiej samej zmianie dkształ cenia róż nica prę dkśi cwynsi 23 m/ sek. Wstawiając wartś ci współ czynników (3.8) d pierwszeg równania (3.11) raz bi-
554 S. KOSIŃ SKI 1. 1 m/ s I I 33 Al ' - US - 3219,, 31 1 1 3 I I 3 2 1 1 2 3-1" 4 Rys. 4. Wykres prę dkśi cv«pprzecznej fali akustycznej w aluminium. rąc pd uwagę (3.12), przy stał ych sprę ż ystś i cpdanych w tabeli 1, raz zmianie skł a- dwych tensra B na D = E, dla stali trzymamy (4.5) U, = ii_ i? 1 = ± 1, pnieważ C7 > zgdnie z [4] mż liwa jest tylk nastę pująa c sytuacja -~ jsr'= - i, x 1 > i przy ij 1 = 1, X l <, zachdzi również nierównść / >, ale warunek aby X 1 <, zgdnie z (3.2) nie jest fizycznie mż liwy. Skk entrpii wynsi [3] (4.6) 12 Wbec (4.5) i (3.16) licznik teg wyraż enia raz a n jak temperatura bezwzglę dna, są zawsze wię ksze d zera, wbec czeg [rj] >. Sprawdzenia teg dknan zgdnie z uwagą w [1] 2.2, w myśl której dpuszczalne jest izentrpwe przybliż enie w przypadku fali silnej niecią gł ś, ci jedynie wtedy, kiedy zstanie stwierdzny fakt, że mał a zmiana v\ przy prpagacji fali każe się rzeczywiś cie ddatnia. Zgdnie z uwagami przy wzrze (4.5) stał a X x > stąd mamy H 1 = 1. Jedncześ nie birąc pd uwagę (2.7)! trzymamy H 1 / = H 1 = mh 1 = - m. Mduł skku w skł adwych gradientu defrmacji m (2.5) jest c najwyż ej równy ((3.19)) = 2-85- lct 4.
PŁASKA FALA SILNEJ NIECIĄ GŁOŚ CI 555- Przy przyję ciu znaczenia K jak w (4.1), trzymamy zgdnie z (2.7) 2 nastę pują ce wyraż enie dla prę dkś i c fali silnej niecią głś ic 1 m K (4.7) J U u = U v - h n l {26.38+ 173.24ex 11 + 27.6Ke i 11 ; }- m 3 - i i ' sek Odkształcenie przed frntem fali waha się w granicach ± 85 1~ 4, wartść m w równaniu (4.7) dbieramy tak, aby p skku, p strnie B pwierzchni niecią gł ś ci, składwe stanu dkształ cenia nie przekrczył y granicy sprę ż ystś. ciłatw zauważ yć, że najwię ksza wartść skku mże wynieść 2 85 1~ 4. Weź my pd uwagę (3.19), dla H 1 < trzymamy ID 11 ] = [e 11 ] = [xl] = (xj) B - (xł) F = - 2-85- 1- *. Zakładają c (x\) F = 85 1~ 4 mamy (x}) B = - 85 1" 4, przypadek ten ilustruje rys. 5. Przy wartś ci skku m = 2 85 lo" 4 granica sprę ż ystśi cmateriał u nie zstał a przekrczna. Na rys. 6 przedstawin wzór (4.8) dla K = 2, raz dla pię ciu wartś ct 85-1" 2-85- 1-85- 1" B Rys. 5. K=2 m/s 64 bszar plastyczny bszar sprę ż yst y t m= 2-85- 1~' 1.5-85- 1~ 85 6 5 35 25 25 42,5 5 Rys. 6. Wykres prę dkś i c U«w funkcji skku m dla stali. 85 > 1"
556 S. KOSIŃ SKI skków skł adwej gradientu defrmacji mniejszych niż mówiny wyż ej, graniczny 2 85 1~ 4, linia cią gła znacza bszar sprę ż ysty, przerywana plastyczny. Najwię kszy i przyrst prę dkśi cmu v uzyskuje się w punkcie C rys. 6. Przyrst prę dkśi cwynsi w tym punkcie 274 m/ sek. > m Prównując wartść prę dkśi c U v = = 5852 (Rys. 6) przy niedkształ cnym bszarze przed pwierzchnią niecią gł ś, ci z prę dkś ą ci fali silnej nie- Fe bszar plastyczny bszar sprę ż yst y 25 5 Rys, 7. Wykres prę dkśic 1 1 85 1,5-85 2-85 - 1CT* w punktach A, C w zależ nśi cd skku m dla stali. cią gł ś, ci stwierdzamy wzrst prę dkśi c 119 m/ sek, punkt A rys. 6. Prę dkść fali U wynsi 5971 m/ sek. W analgiczny spsób, w parciu te same równania trzymujemy nastę pująe c wyraż eniedla prę dkśi cu B fali w aluminium (4.8) U v = U v + l {19.2+ 112.24 ll 18. m, znaczenie K jak w (4.1) Skk w skł adwych gradientu defrmacji jest c najwyż ej równy (zgdnie z (3.19)) m = 6 1-4, i Odpwiednie wykresy przedstawin na rys. 8. Najwię kszy przyrst prę dkśi cmu v uzyskuje się w punkcie C rys. 8. Przyrst prę dkśi cw tym punkcie wynsi 172 m/ sek. Prównanie wartś ci prę dkśi c U v = = 6439 m/ sek, przy niedkształ c-
PŁASKA FALA SILNEJ NIECIĄ GŁOŚ CI 557 bszar plastyczny bszar sprę ż yst y 5-1 3-1Q- 1 2-1Q- 1 1-1 2 1 1 2 3 "1" 1 Rys. 8. Wykres prę dkśi c ^A> w funkcji skku m dla aluminium. m/s 67 - I I bszar plastyczny bszar sprę ż yst y " 1 2 3 4 5 6 Rys. 9. Wykres prę dkś i c W> w punktach A, C w zależ nśi c d skku m dla aluminium. nym bszarze przed pwierzchnią niecią głś ci, wykazuje wzrst prę dkś i c 82 m/ sek w dniesieniu d prę dkś i cfali silnej niecią głś ci. Prę dkść U v wynsi 6521 m/ sek. (Rys. 8). 5. Przybliż enie adiabatyczne Rzpatrzmy adiabatyczną falę silnej niecią gł ś ci. W wyraż eniu (3.1) zstanie uwzglę d- nina entrpia. W warunkach adiabatycznych przed frntem fali, entrpia jest stał a. Jeż el i w bszarze tym prpaguje fala silnej niecią głś ci, stał a wartść entrpii ulega zmianie. Entrpia przyjmuje nwą wartś ć, która nie zmienia się, aż d czasu przejś cia przez bszar nwej fali silnej niecią gł ś ci. Pprzedni w punkcie 4 rzpatrywaliś my przybliż enie izentrópwe, załż yliś my, że entrpia przed frntem fali wynsi zer. Obliczmy 4 Mech. Teret. i Sts. 4/ 81
558 S. KOSIŃ SKI przyrst entrpii jaki wywła przejś cie przez bszar adiabatycznej fali silnej niecią głś ci. Pnieważ skk entrpii jest rzę du m 3 [3], [4], składwe tensra dkształcenia są rzę du m, należy w wyraż eniu (3.1) pminą ć wyrazy zawierają ce rf i rf raz ilczyny r\ i niezmienników tensra B. Równanie (3.1) zstał wyprwadzne z dkł adnś ci ą d trzecich ptę g skł adwych tensra dkształ cenia. Otrzymamy (5.1) skk entrpii wynsi [3] + Ą +1 = S = 12 W naszym przypadku (3.18), (3.6) mamy H= H(m,, ), N a = N a = 1 wię c (5.2) 12 fe i fłi zgdnie z (3.13) 4^ i Um) V Temperaturę pczą tkwą T przyję t 3 K. Birą c pd uwagę statnią zależ nść (5.2) bliczn wartś ci skku entrpii dla róż nych wartś ci skku m składwych gradientu defrmacji. Wartś ci skku entrpii w kcal/ (kg K) dla stali pdan w tabeli 2, a dla aluminium w tabeli 3. Tabela 2 skk m 1-* 25-5- i-* 85-1-* 1.5-85- 1"* 2.85 1-* skk J.37 i- 6 2.93- i- 6 14.25-1-* '48.5-1- s 113.75-1- 6 H l < e m 85 1-*
PŁASKA FALA SILNEJ NIECIĄ GŁOŚ CI 559 Tabela 3 skk m 1-1-* 3-1-* 2- i-* 5-1"* 6- i-* skk s.5 1- c.38 i- 6 1.27-1- 6 4,89 i- 6 1.19 i- 6 H 1 < fi u m 3 i-* Wyniki zawarte w tabelach przedstawin na rysunkach 1 i 11. 1 8-1 kcal/ kg K Fe i r / / 1 6 4 - / / H'<O C- 85"' - i. 1 1 1 1 m 1 5 85 1 1,5-85 2- "85 «1 4 Rys. 1. Zależ nść skku entrpii \ rj\ d wartś ci skku m dla stali. 1 1 2 3 4 5 6-1- 1 Rys. 11. Zależ nść skku entrpii [rj\ d wartś ci skku m dla aluminium. W przypadku gdyby rzą d skku entrpii fl^j, kazał się równy rzę dwi skku m, knieczne jest uwzglę dnienie entrpii zgdnie z (3.1). Otrzymamy wtedy nastę pują ce wyraż enie dla prę dkś i cfali akustycznej zgdnie z (3.11) (5.3)
56 S. KOSIŃ SKI l (5.4) ul (5.6) y v^y v \, ]= + } 1 : QR Wartś ci współczynników TL raz m w (3.1) mż na znaleźć w [7]. gdzie: /? współczynnik bję tś ciwe j rzszerzalnś ci cieplnej q ciepł właś ciwe przy zerwym stanie naprę ż eni a Dla stali wartś ci współczynników n i c przy wynszą 1 kcal 7i = 1598851,6 1 4 ^ g2 K,., w = 2678,2 k, S f. m kcal sek 2 kcal Birą c pd uwagę najwię kszy skk m = 2 85 1~ 4 z tabeli 2 i dpwiadają cy mu skk entrpii [??] = 113.75 1~ 6 stwierdzamy, że skk entrpii jest rzę du m 2. Zachwują c w równaniach (5.3), (5.4), (5.5) człny ze współ czynnikami n, c stwierdzamy, że prę dkś ic bliczne z pwyż szych równań, przy przyję tej dkł adnś ci liczenia nie ulegają zmianie. 6. Wniski i uwagi kń cwe Z przedstawinych wykresów wynika, że prę dkść fali silnej niecią głś i czależy w znacz nym stpniu d wstę pneg dkształcenia ś rdka. Prę dkść fali akustycznej U u jest wię ksza w strefie gdzie e u <, maleje ze wzrstem dkształ cenia e 11; sią gając w stanie niedkształcnym wartść U v = [(X+2fi)JQ R ] l!2.^ Z prównania wykresów 1,2 wynika, że najwię kszy wpływ na prę dkść U u ma dkształ cenie e u, dkształ cenia e 22, e 33 nie są w stanie tak wpłyną ć na prę dkś, ćaby w strefie gdzie e L1 <, przyję ła wartść mniejszą d U = [(.^ +2ju)[Q R ] t l 2. Inaczej jest w przypadku prę dkś i c U v. Odkształ cenie e 33 ma mniejszy wpływ na zmiany prę dkś ci, zmianie decydują dkształcenia e 22, e Xi
PŁASKA FALA SILNEJ NIECIĄ GŁOŚ CI 561 w strefie gdzie dkształ cenia te są rzcią gają ce np. (K 2), a dkształ cenie e 33 <, prę dkść U jest mniejsza d U u = (ji/ Qa) 112 - "W strefie gdzie e tl <, e 22 <, e 33 >, (K = 2), prę dkść jest wię ksza d prę dkś i c fali pprzecznej w tym ś rdku. Najwię ksza róż nica mię dzy prę dkś ci ą fali akustycznej, prpagują cą siew ś rdku wstę p- nie dkształ cnym, a prę dkś ci ą fali silnej niecią gł ś i cw tym ś rdku wynsi 274 m/ sek, punkt C rys. 6. Prę dkść fali akustycznej wynsi w tym punkcie 5454 m/ sek. Otrzymamy wię c 5% przyrst prę dkś ci. Skk entrpii bę dą cy rzę du m 3, dla mał ych wartś ci skku m szybk wzrasta ze skkiem m rys. 1, 11. Dla stali trzyman wię ksze przyrsty prę dkś ci niż dla aluminium, wią że się t z mniejszą wartś cią granicy sprę ż ystśi cprzyję tą dla aluminium, a tym samym mniejszym skkiem m. W pisanym tu przypadku fala silnej niecią głś i cjest falą ś ciskają cą. Zachdzi tu analgiczna sytuacja jak w gazie przy zaniedbaniu przewdnictwa cieplneg, nierównść \rj\ > dpuszcza jedynie ś ciskają ce fale silnej niecią gł ś ci, raz uniemż liwia prpagację fal rzrzedzeniwych. Literatura cytwana w tekś cie 1. D. R., BLAND, Nnlinear Dynamie Elasticity, Waltham, 1969. 2. Z. WESOŁOWSKI, Zagadnienia dynamiczne nieliniwej terii sprę ż ystś ci, PWN, W- wa 1974. 3. Z. WESOŁOWSKI, Strng discntinuity wave in initially strained elastic medium, Arch. Mech. Sts. 3, 3, 1978. 4. Z. WESOŁOWSKI, Nieliniwa teria sprę ż ystś ci, w IV tmie,.mechaniki Technicznej" pt. Sprę ż ystś, ć " red. M. Skł wski, PWN, W- wa 1978. 5. H. FUKUOKA, H. TODA, Preliminary experiment n acustelasticity fr stress analysis, Arch. Mech. Sts. 5, 29, 1977. 6. P. J. CHEN, Grwth and decay f waves in slids, in Handbuch der Physik", Vl. VI, a/ 3. Springer Verlag, Berlin New Yrk. 7. C. K. FflyHOB, S/ iememnu MexamtKU ennumu cpedu, H3fl. Hayna, 1978. P e 3 IO M e luiockas yflaphafl BOJIHA B ripeflbaphtejilho HAnpjDKEHJł, ynpyrfi H3OTPOIIHOH CPE^E. PaccMOTpeHO pacfiparpahehne IIJIOCKHX ysaphbix BOJIH B OflHpflHii HerpamweHHii cpefle c ynpynwih nctnnhbimh TpeTter npflflka. npeflnji>keh 3 ^rr nepefl <ŁpHTOM y^apnń BOJIHBI PaccMOTpeHO ahha6ainqecke H H33eHTpnnp B pa6te iicnjib3bah MeTOfl flka3ahhbih B pa6te [3]. ITcjie pa3irjkehhji ckpcri paenp- H ajwnjihtyflti B cienemibie paflbi njiy^eho pemehhe. KaK HyjieBe" nph6jih>keinie n- BOJiHy yckpehha (flhy npflojilhyr H flbe nnepe'qhlie). H a pkcyhkax npeflcrabjiea CKOpcTb paccnpctpaheinia B 3aBHCHMcTH OT KOMnHeHT TeH3pa He<J)pMar(pnt nepefl CHHryjrapHii nbepxhoctti.,,riepbe" nph6nii>kehhe flaem TOJIBKO OflHy npfljithyi yflaphyi Bjnry. H a pticyh- Kax npeflcrabneho ckpcra ynapuśi Bjnn.i B 3aBHCHMOCTH OT a<a^ka rpaflaeh ia flet )pmairhh. P H- cymch CflenaH mm cranh H
562 S. KsiŃ SKI Summary STRONG DISCONTINUITY PLANE WAVES IN INITIALLY STRAINED ELASTIC ISOTROPIC MEDIUM. The subject f the paper is the analysis f prpagatin f strng discntinuity plane waves in an istrpic unbunded medium. The istrpic material with the secnd rder elasticity cefficients has been assumed. We als assumed that the strains in frnt f the strng discntinuity wave were hmgeneus. The isentrpic and adiabatic apprximatin were taken int cnsideratin. By means f the methd described in paper [3] the amplitude vectr H' and the speed prpagatin U v have been expanded int pwer series f the parameter m. As the zer" apprximatin we btained the acceleratin wave (tw transversal and ne lngitudinal). The diagrams fr the speed prpagatin against the strains in frnt f the singular surface have been presented. The first" apprximatin gives nly a single lngitudinal strng discntinuity wave. On the remeining diagrams we presented the strng discntinuity wave speed against the jump f the defrmatin gradient. The diagrams were made fr steel and aluminium. It has been calculated that the greatest difference between the acustic speed wave prpagated in initially strained medium and the strng discntinuity wave speed in this medium fr the steel is 274 m/ s. Praca zstała złż naw Redakcji dnia 8 stycznia 198 rku