Kody splotowe Zastosowanie Niekiedy potrzeba buforowania fragmentu wiadomości przed zakodowaniem, tak jak to ma miejsce w koderze blokowym, jest przeszkodą, gdyż dane do zakodowania napływają strumieniem. Wtedy wyjściem jest zastosowanie kodera splotowego, który przetwarza dane w sposób ciągły. W praktyce kodery splotowe są stosowane np. jako sposób korekcji błędów przy zapisie na płytach DVD. Opis działania Działanie kodera splotowego można porównać do działania maszyny o skończonej liczbie stanów. Składa się ona z: 1. M-stopniowego rejestru przesuwnego (składającego się z M przerzutników), 2. n sumatorów modulo 2, 3. multipleksera. L-bitowy ciąg wiadomości jest kodowany w n(l+m) -bitowy ciąg wyjściowy. Def. Stopa kodu kodu splotowego wyraża się wzorem: L r= bitów /symbol n L M Zazwyczaj L» M, więc przyjmuje się w przybliżeniu: r= 1 n. Def. Długość ograniczona kodu splotowego jest równa liczbie przesunięć, podczas których pojedynczy bit wiadomości może wpłynąć na wyjście kodera. Dla kodera o M-stopniowym rejestrze przesuwnym, długość ograniczona kodu K = M + 1. Przykład Schemat przykładowego kodera splotowego dla n=2 oraz K=3 przedstawiony jest poniżej: Kod generowany przez ten koder jest kodem niesystematycznym. W przeciwieństwie do kodów blokowych, zazwyczaj stosuje się niesystematyczne kody splotowe. Niech wiadomość do zakodowania ma postać: 1. Przy rozpoczęciu kodowania zakładamy, że koder jest wyzerowany, czyli we wszystkich przerzutnikach znajdują się wartości 0. Kolejne bity wiadmości wsuwamy z lewej strony, po czym wędrują one zgodnie z kierunkiem strzałek, po drodze zapamiętywane w kolejnych przerzutnikach rejestru przesuwnego. Wynik dodawania (zgodnie ze schematem) w sumatorach modulo dwa przechodzi do multipleksera, a stąd na wyjście.
Zauważmy, że multiplekser, na schemacie umieszczony jako przełącznik, w każdym swoim położeniu definiuje aktywną ścieżkę w koderze (w tym przypadku są dwie, również zaznaczone na schamacie). Prześledźmy kolejne fazy kodowania wiadomości 1 dla pierwszej ścieżki: Zauważmy, że gdy wyczerpią się bity z ciągu wejściowego, kodowanie przebiega dalej, aż do wyzerowania rejestru przesuwnego. Zakładamy wtedy, że na wejście kodera wchodzi cały czas wartość 0, jest to tzw ogon wiadomości. Zbierając dane z wyjścia kodera otrzymujemy ciąg 1. Postępując analogicznie dla drugiej ścieżki, otrzymamy 1. Multiplekser ustawia w ciąg wyjściowy naprzemiennie bity napływające z kolejnych ścieżek, więc w rezultacie otrzymujemy: c = ( ) jako zakodowany ciąg wyjściowy. Kodowanie z wykorzystaniem odpowiedzi impulsowych kodera Każdą ścieżkę od wejścia do wyjścia kodera można scharakteryzować za pomocą odpowiedzi impulsowej, czyli odpowiedzi danej ścieżki na symbol 1 podany na wejście (przy założeniu, że wszystkie przerzutniki były początkowo wyzerowane): g 0 i, g 1 i, g 2 i,..., g M i. Kompletny koder splotowy jest opisany przez zbiór wielomianów generujących (zbiór generujący): {g 1 D, g 2 D,..., g n D }, gdzie g i D =g 0 i g 1 i D g 2 i D 2... g M i D M, D zmienna opóźnienia jednostkowego (analogiczna do X przy kodowaniu cyklicznym). Splot w dziedzinie czasu transformuje się na mnożenie w dziedzinie częstotliwości. Wielomian kodowy dla i-tej ścieżki jest więc równy: c i D = g i D m D, gdzie m(d) jest wielomienem wiadomości do zakodowania.
Dla podanego wyżej przykładu kodera mamy: Odpowiedzi impulsowe ścieżek i odpowiadajęce im wielomiany generujące: g i = 1 ; g i D =1 D D 2 g i = 1 ; g i D =1 D 2 Ciąg wiadomości i wielomian wiadomości: m= 1 ; m D =1 D 3 D 4 Z tego wyliczamy wielomiany kodowe dla każdej ze ścieżek: c 1 D =g 1 D m D = 1 D D 2 1 D 3 D 4 =1 D D 2 D 3 D 6 c 2 D =g 1 D m D = 1 D 2 1 D 3 D 4 =1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 Po zamianie wielomianów na ciągi i zmultipleksowaniu otrzymamy dokładnie taki sam wynik jak w powyższym przykładzie. Wynika z tego, że do pełnej charakterystyki kodera splotowego, która wystarczy do zakodowania dowolnej wiadomości, wystarczy podać zbiór odpowiedzi impulsowych dla wszystkich scieżek, czyli zbiór generujący. Diagramy: stanu oraz kratowy Na początku niniejszego opracowania działanie kodera splotowego zostało porównane do maszyny o skonczonej liczbie stanów. Stan kodera określony jest jednoznacznie przez zawartość rejestru przesuwnego. Tak więc koder o M-stopniowym rejestrze przesuwnym ma 2 M różnych stanów. Przejście od jednego do drugiego stanu odbywa się po podaniu na wejście bitu danych wynika z tego, że z danego stanu koder może przejść w jednym kroku maksymalnie do jednego z dwóch innych stanów (na wejściu 1 albo 0), może też pozostać w obecnym stanie. Wszystkie możliwe stany oraz przejścia pomiędzy nimi ilustruje diagram stanów kodera. Powracając do naszego przykładu diagram stanów dla niego ma postać: Węzły diagramu to kolejne stany. Linia ciągła oznacza przejście ze stanu do stanu spowodowane podaniem na wejście wartości 0. Linia przerywana analogicznie wartości 1. Przy liniach dodatkowo umieszczone są wartości podawane na wyjście kodera (dla obydwu ścieżek). Umożliwia to zakodowanie wiadomości przy pomocy diagramu rozpoczynamy w węźle oznaczającym stan i poruszamy się po odpowiednich liniach w zależności od tego, czy na wejściu pojawia się 0 czy 1, zbierając po drodze wartośći z wyjścia. Po wyczerpaniu bitów wiadomości kodujemy ogon złożony z zer, aż zatrzymamy się ponownie w węźle. Innym typem diagramu jest diagram kratowy. Nazwa wzięła się z regularnie rozmieszczonych
węzłów, pomiędzy którymi rozpięte są krzyżujące się linie przejść pomiędzy stanami. Kolejnym stanom odpowiadają kolejne wiersze kraty, natomiast kolejne kolumny to poziomy (nazywane też głębokościami), które odpowiadają za kolejne kroki kodowania. W przeciwieństwie do diagramu stanów, rozpiętość diagramu kratowego zależy od długości wiadomości do zakodowania. Oto przykład (wciąż rozpatrujemy ten sam koder) dla wiadomości o długości L: j=0 1 2 3 4 L L+1 L+2 Dekodowanie algorytm Viterbiego Rozpatrzmy koder splotowy zdefiniowany przez diagram kratowy. Dekoder posiada (lub rekonstruuje na podstawie innych danych) taki sam diagram i wykorzystuje go do dekodowania oryginalnego ciągu. Odbierając kolejny podciąg n bitów dekoder porusza się w diagramie wkratowym w prawo, wzdłuż linii oznaczonej tym ciągiem (który w koderze oznacza ciąg wyjściowy), przechodząc do kolejnego stanu. Zauważmy, że z danego węzła diagramu nie są osiągalne wszystkie stany, tak samo jak nie są dopuszczalne wszystkie kombinacje podciągów. Jeśli dekoder napotka na taki niedozwolony ciąg, mamy do czynienia z przekłamamiem transmisji. Ponieważ nie istnieje linia oznaczona odczytanym podciągiem, musimy znaleźć algorytm decyzyjny, który wybierze dalszą drogę w grafie. W praktyce, nie możemy polegać jedynie na istnieniu odpowiedniej ścieżki w grafie z aktualnego punktu, gdyż przypadkowa zamiana jednego dozwolonego podciągu na inny, też dozwolony wprawdzie pozwoli nam posunąć się dalej, ale później spowoduje lawinę błędów i, w rezultacie, błędną rekonstrukcję. Dlatego trzeba analizować wszystkie możliwe ścieżki, dzięki czemu otrzymamy rezultat o maksymalnej wiarygodności dekodowania. Tak działa algorytm Viterbiego, który do oceny wiarygodności dekodowania dla każdej ścieżki używa odległości Hamminga pomiędzy odczytanym ciągiem a ciągiem zdekodowanym przy użyciu danej ścieżki. Dla kolejnych poziomów w diagramie kratowym postępujemy wg następującego algorytmu: Algorytm Viterbiego: Dla każdego węzła na danym poziomie: wybierz tą ze ścieżek dochodzących do tego węzła, która daje w wyniku najmniejszą sumaryczną odległość Hamminga pomiędzy odczytanym ciągiem a ciągiem zdekodowanym. W przypadku, gdy wszystkie ścieżki dają taki sam wynik, wybierz jedną losowo. Pozostałe ścieżki odrzuć, a sumaryczną odległość Hamminga zapamiętaj w węźle, w celu wykorzystania w następnym kroku. Ścieżki, które pozostają w diagramie po odrzuceniu pozostałych nazywają się ścieżkami aktywnymi lub ścieżkami ocalenia. Algorytm startuje ze stanu wyzerowanego kodera (lewy skrajny punkt diagramu kratowego) oraz sumarycznej odległości równej 0, zakończy się po dojściu do puktu końcowego po prawej stronie, gdzie nastąpi ostateczny wybór ścieżki. W praktyce zapamiętanie wszystkich ścieżek ocalenia, gdy ciąg do zakodowania jest bardzo długi (np ciąg bitów w strumieniu danych na płycie DVD) jest niemożliwe, ze względu na szybko wzrastające
wymagania pamięciowe. Wtedy algorytm stosuje się sekwencyjnie na oknie o ograniczonej długości. W tej wersji nie jest to już algorytm o maksymalnej wiarygodności dekodowania, ale przy odpowiedniej długości okna (5 lub więcej razy długość K kodu), jest wystarczająco dobry.