OD MODELU DO KODOWANIA WSPÓ CZYNNIKÓW REGULATORÓW W NAPÊDACH ELEKTRYCZNYCH. CZÊŒÆ II

Grzegorz ELEKTROTECHNIKA SIEKLUCKI, Tomasz I ELEKTRONIKA KO ACZ, Grzegorz AKSAMIT OD TOM MODELU 28. ZESZYT DO 1 2, KODOWANIA 2009 WSPÓ CZYNNIKÓW REGULATORÓW... Grzegorz SIEKLUCKI *, Tomasz KO ACZ **, Grzegorz AKSAMIT ** OD MODELU DO KODOWANIA WSPÓ CZYNNIKÓW REGULATORÓW W NAPÊDACH ELEKTRYCZNYCH. CZÊŒÆ II STRESZCZENIE Artyku³ jest kontynuacj¹ wydanego w 2008 roku w czasopiœmie Elektrotechnika i Elektronika t. 27, z. 1. artyku³u omawiaj¹cego problemy wdro eniowe cyfrowych systemów regulacji napêdami elektrycznymi. Przedstawiono tu wp³yw zakresu i rozdzielczoœci przetwarzanych sygna³ów na jakoœæ regulacji. Analizie poddano uk³ady pomiaru pr¹du i prêdkoœci (enkoder inkrementalny) oraz uk³ady zasilania (przekszta³tnik tyrystorowy i przemiennik czêstotliwoœci). Zaprezentowano wyniki badañ symulacyjnych. S³owa kluczowe: napêd pr¹du sta³ego, przetworniki energii, enkoder inkrementalny, rozdzielczoœæ przetworników pomiarowych, sta³oprzecinkowe przetwarzanie sygna³ów FROM MODEL TO CONTROLLER FACTORS CODING IN ELECTRIC DRIVES. PART II The paper is the continuation given in 2008 year in Elektrotechnika i Elektronika periodical vol. 27 issue 1 article about implementation problems of the digital systems of the electric drives control. The range and the resolution of processed signals were introduced on the quality of control. The current and the speed (incremental encoder) measurements and the supply systems (DC static converter and frequency converter) were subjected of the analysis. The results of simulation researchs were presented. Keywords: DC drive, power converters, incremental encoder, resolution of measuring converters, fixed-point signals processing 1. WSTÊP Czêœæ pierwsza opracowania [1] prezentowa³a zagadnienia teoretyczne i mo liwe do uzyskania wyniki podczas sterowania cyfrowego napêdami elektrycznymi. Przedstawiono w nim modele matematyczne i standardowe struktury regulacji silnikami obcowzbudnymi i synchronicznymi z magnesami trwa³ymi. W czêœci pierwszej artyku³u przedstawiono równie metody optymalizacji parametrycznej regulatorów w uk³adzie napêdowym, dyskretyzacjê oraz wp³yw b³êdów kwantyzacji na powstawanie cyklu granicznego i statyzmu w zamkniêtym uk³adzie regulacji. Udowodniono w nim, e zbyt krótki czas próbkowania powoduje utratê w³aœciwoœci ca³kowania regulatorów cyfrowych. Druga czêœæ artyku³u dotyczy analizy rozdzielczoœci przetworników, zakresu sygna³ów pomiarowych, d³ugoœci s³owa przetwarzanego przez procesor oraz symulacji uk³adów napêdowych z wykorzystaniem biblioteki FIXED-PO- INT TOOLBOX œrodowiska MATLAB-SIMULINK. Dobór rozdzielczoœci przetwarzanych sygna³ów ma istotny wp³yw na wyniki uzyskiwane w uk³adach przemys³owych, w których mo e dochodziæ do kumulacji b³êdów obliczeniowych. ród³em tych b³êdów s¹ zaokr¹glenia wspó³czynników regulatorów oraz wyników mno enia, dzielenia, dodawania i odejmowania. W rezultacie efektem pracy takich systemów mo e byæ powstawanie: nieprzewidzianych przeregulowañ, cyklu granicznego, uchybów w stanie ustalonym. Z powy szych powodów wskazane jest przewidywanie zjawisk, jakie mog¹ siê pojawiæ podczas wdra ania systemów sterowania cyfrowego i tej tematyce zosta³ poœwiêcony niniejszy artyku³. 2. ZAKRES A ROZDZIELCZOŒÆ PRZETWARZANYCH SYGNA ÓW Typowa rozdzielczoœæ przetworników analogowo-cyfrowych, które s¹ wykorzystywane do pomiaru pr¹dów lub napiêæ, jest w zakresie 10 12 bitów. Jeœli s¹ stosowane przetworniki o mniejszej rozdzielczoœci, mo e dochodziæ do nieprzewidzianych przeregulowañ w uk³adzie regulacji. Porównanie takiego zjawiska z oczekiwanym wynikiem dla kaskadowej struktury regulacji napêdem pr¹du sta³ego zosta³o przedstawione na rysunku 1 (7-bitowy pomiar pr¹du twornika i 8-bitowy regulator). Rys. 1. Wp³yw zbyt ma³ej rozdzielczoœci pomiaru na przebieg pr¹du twornika * Wydzia³ Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki, Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie ** Pañstwowa Wy sza Szko³a Zawodowa w Tarnowie 26

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 28. ZESZYT 1 2, 2009 Przedstawione przebiegi nie s¹ wynikiem b³êdów identyfikacji parametrów modelu matematycznego napêdu, ale s¹ spowodowane zbyt du ym stopniem skwantowania przebiegów. Nale y pamiêtaæ, e b³êdy identyfikacji mog¹ pog³êbiæ przedstawione zjawisko. W czasie rozruchu, hamowania i nawrotu pr¹d silnika mo e byæ wiêkszy od wartoœci znamionowej I N o jej dopuszczaln¹ krotnoœæ λ N. Przeci¹ alnoœæ silnika zale y od jego konstrukcji i typowo s¹ to wartoœci: λ N = 1,8 2,2 dla silników pr¹du sta³ego, λ N = 2,0 4,5 dla silników bezszczotkowych. Z zaprezentowanego przebiegu widaæ, e uk³ad pomiarowy (najczêœciej przetwornik LEM) powinien mieæ zakres przetwarzanych sygna³ów nieco wiêkszy ni przedstawiony na rysunku, np. ±1,1λ N I N. Pozwala to na pomiar stanów awaryjnych, które mog¹ wystêpowaæ w uk³adach przemys³owych. Równoczeœnie widaæ, e zakres pomiarowy dla zadania stabilizacji prêdkoœci k¹towej jest znacznie mniejszy i dla przebiegu pr¹du wynosi ±I N. Oznacza to, e w uk³adach, których g³ównym zadaniem jest stabilizacja prêdkoœci, warto przeprowadziæ mniej dynamiczny rozruch (w procesie optymalizacji parametrycznej regulatorów przyj¹æ wartoœæ λ N mniejsz¹ od podanej w karcie katalogowej silnika), a zwiêkszyæ dok³adnoœæ w typowym zakresie pracy napêdu. Natomiast w uk³adach, w których g³ównym zadaniem jest realizacja czêstych rozruchów i nawrotów silnika, lepiej jest zrezygnowaæ z precyzyjnej stabilizacji na rzecz wysokiej dynamiki. W nowoczesnych uk³adach sterowania silnikami elektrycznymi do pomiaru prêdkoœci k¹towej stosuje siê enkodery inkrementalne. Enkoder jest przetwornikiem zamieniaj¹cym ruch obrotowy na ci¹g cyfrowych impulsów elektrycznych. Zasadniczym elementem konstrukcji enkodera inkrementalnego, bêd¹cym jednoczeœnie przetwornikiem analogowo-cyfrowym, jest tarcza z rozmieszczonymi równomiernie na obwodzie N szczelinami (rys. 3). Po jednej stronie tarczy znajduje siê Ÿród³o œwiat³a (widzialnego lub podczerwonego), a po drugiej uk³ad detektorów œwiat³oczu³ych. Detektory rozmieszczone s¹ w taki sposób, aby sygna³y przez nie wygenerowane (A i B) podczas obrotu tarczy kodowej by³y przesuniête w fazie o 90 o elektrycznych. Analiza kolejnoœci pojawiania siê impulsów w kanale A i B umo liwia okreœlenie kierunku ruchu obrotowego, a dodatkowo po zastosowaniu uk³adu detekcji zboczy narastaj¹cych i opadaj¹cych pozwala na czterokrotne zwiêkszenie liczby impulsów w stosunku do liczby szczelin (enkoder kwadraturowy QEP). Przyk³adowa sekwencja rozruchu, stabilizacji i nawrotu silnika obcowzbudnego zosta³a przedstawiona na rysunku 2. Rys. 2. Zakres pomiarowy pr¹du twornika podczas rozruchu, stabilizacji i nawrotu silnika Rys. 3. Budowa i dzia³ania enkodera inkrementalnego, A, B sygna³y generowane przez uk³ady detektora przy zmiennej prêdkoœci, x i impulsy odpowiadaj¹ce zboczom narastaj¹cym i opadaj¹cym, Δx zliczanie impulsów w czasie próbkowania T s Prêdkoœæ k¹tow¹ wi¹ e siê z k¹tem obrotu przez zale - noœæ dα ω=. dt Zastêpuj¹c pochodn¹ ilorazem ró nicowym α ( t+ Ts ) α( t) ω Ts oraz zak³adaj¹c dla ka dego kroku próbkowania pocz¹tkowe po³o enie α(0) = 0 i t 0, otrzymujemy: α( Ts ) ω Ts Tarcza kodowa posiada równomiernie rozmieszczone rysy, wiêc k¹t α k reprezentowany jest liczb¹ impulsów Δx zliczonych w czasie T s. αk Δ x = xi i : (1) a prêdkoœæ k¹towa jest proporcjonalna do Δx ω :. Ts 27

Grzegorz SIEKLUCKI, Tomasz KO ACZ, Grzegorz AKSAMIT OD MODELU DO KODOWANIA WSPÓ CZYNNIKÓW REGULATORÓW... Uwzglêdniaj¹c liczbê rys na jeden obrót tarczy oraz kwadraturowe zwielokrotnienie liczby impulsów, otrzymuje siê π α k = Δx 2N wówczas Zarówno silniki pr¹du sta³ego, jak i pr¹du przemiennego s¹ uk³adami o dzia³aniu ci¹g³ym. Zasilane s¹ one z wykorzystaniem przetworników energii (wzmacniaczy mocy) o dzia- ³aniu cyfrowym. Najbardziej rozpowszechnione s¹ [2, 3]: statyczne przekszta³tniki tyrystorowe, poœrednie napiêciowe przemienniki czêstotliwoœci PWM. Δx ω= Ksc T s π gdzie K sc =. 2N Po up³ywie czasu T s zawartoœæ licznika zostaje wyzerowana (Δx(0) = 0) i rozpoczyna siê kolejny cykl przetwarzania. Proces wyznaczania prêdkoœci k¹towej mo na przedstawiæ w postaci schematu zaprezentowanego na rysunku 4. Podstawowym problemem przy pomiarach dla sta³ej wartoœci czasu T s jest zmienna rozdzielczoœæ zale na od prêdkoœci k¹towej. Im mniejsza prêdkoœæ, tym ni sza rozdzielczoœæ (mniej zliczonych impulsów). Roœnie tym samym wzglêdny b³¹d pomiaru analogiczny do b³êdu kwantowania w przetwornikach A/C ω ωrz δ % = 100% (2) ωrz Rys. 4. Algorytm wyznaczania prêdkoœci na podstawie impulsów generowanych przez enkoder inkrementalny przy za³o onym czasie próbkowania T s Wyniki b³êdów pomiaru prêdkoœci k¹towej przedstawiono na rysunku 5. Wyd³u enie czasu próbkowania T S przy tej samej prêdkoœci owocuje znacznym zmniejszeniem b³êdu. Dla prêdkoœci ω = 50 rad/s i czasu próbkowania 0,001 s b³¹d δ% = 5,8%, natomiast dla czasu 0,01 s b³¹d wynosi δ% = 0,1%. 3. UK ADY ZASILANIA JAKO PRZETWORNIKI CYFROWO-ANALOGOWE Rys. 5. Pomiar prêdkoœci na podstawie impulsów generowanych przez enkoder inkrementalny przy za³o onym czasie próbkowania T s = 0,001 i 500 rysach na obrót W obydwóch rodzajach powy szych uk³adów energoelektronicznych mo na siê dopatrzyæ zasad próbkowania i kwantyzacji, zwi¹zanych z trójk¹tn¹ fal¹ noœn¹, która determinuje wyzwalanie elementów prze³¹czaj¹cych. Fala noœna najczêœciej realizowana jest przez uk³ady czasowo-licznikowe procesorów steruj¹cych elementami prze³¹czaj¹cymi, które posiadaj¹ w³asn¹ rozdzielczoœæ uzale nion¹ od cyklu maszynowego procesora. Ostatecznie dok³adnoœæ uk³adu czasowo-licznikowego (iloœæ mo liwych stanów na jeden cykl) wp³ywa na rozdzielczoœæ sygna³u wyjœciowego. Przyk³adowe wyzwalanie elementów energoelektronicznych przedstawiono na rysunkach 6 i 7. W przypadku przekszta³tników tyrystorowych, bazuj¹cych na sygna³ach 3-fazowych sinusoidalnych podlegaj¹cych kontrolowanemu prostowaniu, pojawia siê nieliniowoœæ wzmocnienia napiêciowego i razem z kwantyzacj¹ sygna³u trójk¹tnego prowadzi do zwiêkszenia b³êdów przetwarzania cyfrowo-analogowego przetwornika energii. W uk³adach falownikowych pojawiaj¹ siê równie dodatkowe b³êdy wymuszone zastosowanie opóÿnienia za³¹czenia tranzystora w ga³êzi falownika (DEAD-BAND), taka technika bêdzie równie zmniejsza³a rozdzielczoœæ uk³adu zasilaj¹cego analizowanego jako przetwornik. Zgodnie z opracowaniem [4] i uwzglêdnieniem dodatkowych zasad sterowania przetwornikami energii zarówno w uk³adach pr¹du sta³ego, jak i przemiennego mo na przyj¹æ, e uk³ady te obni aj¹ rozdzielczoœæ sygna³ów wyjœciowych z uk³adu regulacji o oko³o 2 3 bitów. Na dok³adne okreœlenie rozdzielczoœci wyjœciowego przetwornika, jakim jest uk³ad zasilaj¹cy, maj¹ równie wp³yw wartoœci indukcyjnoœci i rezystancji uzwojeñ. Stosunek tych wartoœci okreœla sta³¹ czasow¹ filtru opisuj¹cego przetwarzanie napiêcia na pr¹d. 28

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 28. ZESZYT 1 2, 2009 Rys. 6. Wyzwalanie tyrystorów w przekszta³tniku statycznym Rys. 7. Metoda wektora przestrzennego falownik napiêcia 4. BADANIA SYMULACYJNE Badania symulacyjne cyfrowego uk³adu regulacji nawrotnym napêdem pr¹du sta³ego zosta³y zrealizowane w œrodowisku MATLAB-SIMULINK. Badania symulacyjne przeprowadzono dla napêdu pr¹du sta³ego o nastêpuj¹cych parametrach: P N = 18 kw, U N = 440 V, I N = 47 A, n N = 1800 rpm, ω N = 188 rad/s, ω 0 = 200, 3 rad/s, R =1, 8 Ω, L = 99 mh, T = L/R = 55 ms, ψ en = 2, 197 V s/rad, λ N = 2Imax/I N, J = 0, 69 kgm 2, K p = 75 V/V, p = 50I N A/s. Parametry regulatorów ci¹g³ych zosta³y poddane dyskretyzacji z czasem próbkowania T s = 0,001 dla regulatora pr¹du twornika i T s = 0,001 s lub T s = 0,003 s toru przetwarzania prêdkoœci k¹towej [1]. Badania wykaza³y, e 8-bitowa rozdzielczoœæ przetworników A/C (pomiar pr¹du) nie ma wiêkszego wp³ywu na powstawanie cyklu granicznego w uk³adzie regulacji. Z tego powodu we wszystkich badaniach symulacyjnych by³a ona niezmienna. Zakres przetwarzanego sygna³u pr¹du przyjêto jako ±1,2λ N I N. Model uk³adu pomiaru prêdkoœci k¹towej zosta³ wykonany w oparciu o zasady przetwarzania sygna³ów z enkodera. W trakcie badañ przyjêto iloœæ rys przetwornika równ¹ 500 oraz 2000. Badania wykaza³y, e uk³ad regulacji kaskadowej napêdem dzia³a poprawnie przy 8-bitowej rozdzielczoœci uk³adu zasilaj¹cego (przekszta³tnika tyrystorowego) i taka rozdzielczoœæ zosta³a przyjêta w zaprezentowanych poni ej wynikach symulacji. W wyniku przeprowadzonych doœwiadczeñ symulacyjnych nie dostrze ono wp³ywu d³ugoœci s³owa jednostki steruj¹cej (rozdzielczoœæ s³ów przetwarzanych przez regulatory) i uzyskane wyniki dla s³ów 16- i 32-bitowych by³y nierozró nialne. Z tego powodu w zaprezentowanych wynikach przyjêto 32-bitow¹ rozdzielczoœæ. Model uk³adu pomiaru prêdkoœci k¹towej zosta³ wykonany w oparciu o zasady przetwarzania sygna³ów z enkodera inkrementalnego. W trakcie badañ przyjêto iloœæ rys przetwornika równ¹ 500 oraz 2000. Z przeprowadzonych badañ wynika, e najwiêkszy wp³yw na powstawanie oscylacji w stanie ustalonym ma rozdzielczoœæ uk³adu pomiaru prêdkoœci. Z tego powodu w zaprezentowanych wynikach po³o ono najwiêkszy nacisk na sposób pomiaru prêdkoœci. Na rysunku 8 przedstawiono wyniki rozruchu i udarowego obci¹ enia momentem znamionowym (w 2 s symulacji) silnika. Przebiegi przedstawiaj¹: prêdkoœæ k¹tow¹ silnika ω przed pomiarem za pomoc¹ uk³adu enkoder-licznik, porównanie przebiegów pr¹du twornika I w uk³adzie dyskretnym (przetwarzanie sygna³ów zmiennoprzecinkowych) z przebiegami w uk³adzie cyfrowym (uwzglêdnienie rozdzielczoœci przetworników i d³ugoœci s³owa procesora), powiêkszenie przebiegu pr¹du twornika w stanie ustalonym, przebieg sygna³u Δx (1) proporcjonalnego do prêdkoœci k¹towej, który jest uzyskany z uk³adu enkoder-licznik. Sygna³ wyra ony jest w liczbach ca³kowitych i okreœla rozdzielczoœæ metody pomiarowej. Zaprezentowane przebiegi pr¹du œwiadcz¹ o wystêpowaniu oscylacji w stanie przejœciowym, które przenosz¹ siê na drgania momentu elektrycznego. G³ównym Ÿród³em takiego zjawiska jest niska rozdzielczoœæ pomiaru prêdkoœci k¹towej (500 rys na tarczy enkodera i T s = 1 ms) w stanie ustalonym Δx = 60 i mo e siê zmieniaæ o ±1. Oznacza to, e b³¹d pomiaru (2) jest równy δ % = 3,33%. Z uwagi na wiêksz¹ wartoœæ elektromechanicznej sta³ej czasowej B od elektromagnetycznej T [1] mo na zwiêkszyæ czas próbkowania dla toru przetwarzania prêdkoœci (pomiar i regulator prêdkoœci) do T s = 3 ms jednoczeœnie pozostawiaj¹c czas próbkowania toru pr¹dowego równy 1 ms. Wówczas b³¹d pomiaru prêdkoœci zmaleje trzykrotnie. Równoczeœnie znacznemu zmniejszeniu ulegnie statyzm pr¹du twornika podczas rozruchu, który uwidacznia siê brakiem stabilizacji pr¹du w uk³adzie cyfrowym na wartoœci λ N I N = 94 A. Widoczne efekty poprawy przebiegów pr¹du s¹ obserwowane po zastosowaniu dok³adniejszego pomiaru prêdkoœci k¹towej np. enkoder o 2000 rys i czas próbkowania (dla toru ω) T s = 3 ms. Przy takim rozwi¹zaniu licznik wspó³pracuj¹cy z enkoderem inkrementalnym zlicza do 720, co daje b³¹d pomiaru ok. δ % = 0,29%. Wyniki pracy takiego uk³adu zosta³y przedstawione na rysunku 9. Zporównania przebiegów pr¹du twornika w uk³adzie cyfrowym i odniesienia (dyskretnym) wynika minimalizacja oscylacji i statyzmu w stosunku do zaprezentowanych wyników dla enkodera o 500 rysach. 29

Grzegorz SIEKLUCKI, Tomasz KO ACZ, Grzegorz AKSAMIT OD MODELU DO KODOWANIA WSPÓ CZYNNIKÓW REGULATORÓW... Rys. 8. Przebiegi sygna³ów w uk³adzie regulacji dla enkodera o 500 rysach i czasie próbkowania T s = 1 ms Rys. 9. Przebiegi sygna³ów w uk³adzie regulacji dla enkodera o 2000 rys i czasie próbkowania T s = 3 ms 5. PODSUMOWANIE W artykule zaprezentowano analizê cyfrowego uk³adu regulacji kaskadowej napêdem pr¹du sta³ego. Przedstawione wyniki mo na rozszerzyæ na uk³ady sterowania silnikami bezszczotkowymi [1]. W artykule najwiêkszy nacisk po³o- ony zosta³ na analizê rozdzielczoœci pomiaru prêdkoœci k¹towej realizowanej z wykorzystaniem enkodera inkrementalnego. Nale y pamiêtaæ, e przedstawione wyniki uzyskano dla wartoœci zadanej równej prêdkoœci znamionowej silnika ω N, a w napêdach o regulowanej w szerokim zakresie prêdkoœci nale y siê spodziewaæ znacznego wzrostu b³êdów pomiaru dla niskich prêdkoœci k¹towych (rys. 5). Przedstawione wyniki potwierdzaj¹ przypuszczenia wysuniête w pierwszej czêœci artyku³u i dotycz¹ce cyklu granicznego i astatyzmu w napêdach sterowanych cyfrowo. 30

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 28. ZESZYT 1 2, 2009 Lieratura [1] Sieklucki G., Ko³acz T., Aksamit G.: Od modelu do kodowania wspó³czynników regulatorów w napêdach elektrycznych. Cz. 1. Elektrotechnika i Elektronika (pó³rocznik AGH), 27(1), 2008, 37 47. [2] KaŸmierkowski M.P., Krishnan R., Blaabjerg F.: Control in Power Electronics. Academic Press, San Diego, 2002. [3] Trzynadlowski A.M.: Control of Induction Motors. Academic Press, San Diego, 2000. [4] Alter D.M.: Using PWM Output as a Digital-to-Analog Converter on a TMS320F280x Digital Signal Controller. Application Report SPRAA88A, 2008. Wp³ynê³o: 24.03.2009 Grzegorz SIEKLUCKI Urodzi³ siê 2 lutego 1972 w Krakowie. Ukoñczy³ 1997 roku kierunek automatyka i robotyka na Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. W 2000 roku uzyska³ tytu³ doktora nauk technicznych w dyscyplinie elektrotechnika. Obecnie jest zatrudniony w Katedrze Automatyki Napêdu i Urz¹dzeñ Przemys³owych. Zajmuje siê sterowaniem cyfrowym napêdami elektrycznymi. e-mail: sieklo@kaniup.agh.edu.pl Tomasz KO ACZ Urodzi³ siê 29 kwietnia 1978 roku w Tarnowie. Ukoñczy³ w 2002 roku studia in ynierskie w Pañstwowej Wy - szej Szkole Zawodowej w Tarnowie na kierunku Elektrotechnika o specjalnoœci uk³ady sterowania i systemy pomiarowe. Studia magisterskie ukoñczy³ w 2004 roku na Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie na kierunku elektrotechnika o specjalnoœci automatyka i metrologia. Obecnie jest zatrudniony w Zak³adzie Elektrotechniki PWSZ w Tarnowie. e-mail: tmk@pwsztar.edu.pl Grzegorz AKSAMIT Urodzi³ siê 22 lutego 1978 roku w Tarnowie. Ukoñczy³ w 2002 roku studia in ynierskie w Pañstwowej Wy - szej Szkole Zawodowej w Tarnowie na kierunku elektrotechnika o specjalnoœci uk³ady sterowania i systemy pomiarowe. Studia magisterskie ukoñczy³ w 2004 roku na Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie na kierunku elektrotechnika o specjalnoœci automatyka i metrologia. Obecnie jest zatrudniony w Zak³adzie Elektrotechniki PWSZ w Tarnowie. e-mail: aksamitg@pwsztar.edu.pl 31