Opracowanie parametrów transformacji między układami współrzędnych 1965 i 2000 dla obszaru powiatu oleśnickiego

Opracowanie parametrów transformacji między układami współrzędnych 1965 i 2000 dla obszaru powiatu oleśnickiego Wykonał: Dr hab. inż. Piotr Banasik Kraków, 2011

Spis treści 1. Dane, materiały i dokumenty wykorzystane w opracowaniu... 3 2. Opracowanie algorytmu jednoetapowej transformacji współrzędnych między układami 1965 i 2000 dla obszaru powiatu oleśnickiego... 4 a) Ustalenie optymalnego rodzaju i stopnia wielomianu transformacyjnego współrzędnych między układami 1965 i 2000... 4 b) Wybór punktów łącznych do transformacji z osnowy poziomej I klasy... 6 c) Algorytm i współczynniki transformacji między układami 1965 i 2000 dla obszaru powiatu oleśnickiego... 7 3. Weryfikacja opracowanego algorytmu transformacji... 9 4. Analiza jedno- i wieloetapowej transformacji... 12 5. Weryfikacja dokładności transformacji dla punktów granicznych powiatu oleśnickiego... 14 6. Wnioski końcowe... 18 2

Celem opracowania było sporządzenie algorytmu transformacji współrzędnych XY między układami współrzędnych 1965 i 2000, który byłby wykorzystany do transformacji map z układu 1965 do układu 2000. Zakres opracowanego algorytmu został ograniczony do obszaru powiatu oleśnickiego i obejmuje w całości sekcje mapy 1:10000 (1965): 453.223, 453.232, 453.234, 453.241-244, 453.412,453.421-422, oraz w części sekcje: 443.434, 443.443, 453 212-214, 453.221-222, 453.224, 453.411, 453.414, 453.124, 453.142, 453.144, 453.231, 453.233-234, 453.322, 453.411, 453.423-414, 453.423-424, 453.431-434, 453.441, 453.443, 454.411, 454.413, 454.131, 454.133, 454311, 454.313, 463.212, 463.221. 1. Dane, materiały i dokumenty wykorzystane w opracowaniu Do opracowania wykorzystano następujące dane dotyczące obszaru powiatu oleśnickiego:: - oryginalne cyfrowe wykazy współrzędnych z CODGiK: Wykaz punktów poziomej osnowy geodezyjnej w układzie 1965 z 18.08.2008 (Ukl_1965.txt, Ukl_1965.txt), Wykaz przeliczonych współrzędnych osnowy poziomej I i II z układu EUREF'89 na układ "2000" Lo = 18 (Ukl_2000.txt) - wykazy współrzędnych osnowy podstawowej I klasy i szczegółowej II klasy w układach 1965 i 2000: Osnowa_I_klasy.xls, Osnowa_I_II_klasy.xls, - wykaz współrzędnych punktów poziomej osnowy szczegółowej III klasy w układzie 1965 i 2000 (Osnowa_III_klasy.xls) - mapy przeglądowe w formacie DGN (MicroStation): Powiat-obreby.dgn, Mapa_osn_pozioma_tylko-ikl.dgn, Mapa_osn_pozioma_III_klasa.dgn, Mapa_osn_pozioma_nowa-ikl.dgn. Wszystkie ww. dane zostały udostępnione przez Powiatowy Ośrodek Dokumentacji Geodezyjnej i Kartograficznej w Oleśnicy. Wykazy współrzędnych sporządzone w formacie *.XLS skonfrontowano z oryginalnymi wykazami z CODGiK. Zauważono rozbieżności we współrzędnych układu 2000 wynoszące 1 mm, które z uwagi na oczekiwaną dokładność transformacji na poziomie osnowy szczegółowej III klasy nie mają istotnego znaczenia. W opracowaniu wykorzystano również pliki: - granica_powiatu_oleśnica_s41965.xls oraz 1965_pkt_compass_1965Do2000.txt zawierające współrzędne 4164 punktów granicy powiatu oleśnickiego w układach 1965 i 2000. Pliki te zostały udostępnione przez firmę Compass. Ponadto w opracowaniu wykorzystano następujące dokumenty i oprogramowanie: - Wytyczne techniczne G-1.10. Poprawki odwzorowawcze państwowego układu współrzędnych, COGiK, Warszawa, 1988. - Rozporządzenie RM z 8.08.2000 r. w sprawie państwowego systemu odniesień przestrzennych, Dz.U. Nr 70, poz.821, - Instrukcja G-2 Szczegółowa pozioma i wysokościowa osnowa geodezyjna i przeliczenia współrzędnych między układami, GUGiK,Warszawa, 2001. - Projekt nowelizacji Rozporządzenia RM w sprawie państwowego systemu odniesień przestrzennych z dnia 10.01.2008, www.gugik.gov.pl. - pakiet oprogramowania GEONET2006, program TRANSPOL, własne oprogramowanie do transformacji współrzędnych TRA-COR. 3

2. Opracowanie algorytmu jednoetapowej transformacji współrzędnych między układami 1965 i 2000 dla obszaru powiatu oleśnickiego Transformacja współrzędnych płaskich między układami 1965 i 2000 pochodzącymi z dwóch różnych układów odniesienia Pułkowo42 i ETRF89 wymaga zrealizowania następujących czterech etapów obliczeń: - współrzędne (XY) 1965 z układu 1965 należy odwzorować na powierzchnię odniesienia układu Pułkowo42 tj. elipsoidę Krasowskiego otrzymując współrzędne geodezyjne (ϕλ) Pułkowo42, zgodnie z parametrami odwzorowania quasi-stereograficznego dla IV strefy, - współrzędne geodezyjne (ϕλ) Pułkowo42 należy przetransformować na powierzchnię odniesienia układu ETRF89 tj. elipsoidę GRS80 otrzymując (ϕλ) ETRF89, zgodnie z parametrami 7-parametrowej transformacji ustalonej dla obszaru Polski (wg. G-1.10), - współrzędne (ϕλ) ETRF89 należy odwzorować na płaszczyznę zgodnie z parametrami odwzorowania Gaussa-Krugera z układu 2000 dla strefy południka 18, uzyskując matematyczne współrzędne (XY) 2000, - współrzędne (XY) 2000 należy przetransformować na współrzędne osnowy geodezyjnej (XY) 2000 wykorzystując lokalną transformację opracowaną na podstawie wybranych dla danego obszaru punków łącznych mających współrzędne w układzie 1965 i 2000. Powyższe 4 etapy realizują proces wprowadzania do współrzędnych globalnych (etap 1-3) i lokalnych korekt transformacyjnych (etap 4). Obliczenia te można zastąpić jednym etapem transformacji płaskiej (XY) 1965 (XY) 2000, po ustaleniu optymalnego dla danego obszaru algorytmu transformacji (Wytyczne...G-2). Jeden etap obliczeniowy zdecydowanie upraszcza obliczenia, co ma duże znaczenie w przypadku zastosowania algorytmu do masowych transformacji map wektorowych, dla której taki algorytm jest przeznaczony. a) Ustalenie optymalnego rodzaju i stopnia wielomianu transformacyjnego współrzędnych między układami 1965 i 2000 Na obszarze powiatu oleśnickiego wygenerowano siatkę punktów w odstępach 3km 3km ze współrzędnymi w układzie 1965 i za pomocą programu TRANSPOL obliczono ich współrzędne w matematycznym układzie 2000 (rys. 1). Uzyskany zbiór punktów dostosowania zawierał współrzędne pozbawione błędów współrzędnych wynikających z dokładności pomiarowo-obliczeniowej osnów geodezyjnych. Odległość 3-5 km między punktami odpowiada wzajemnemu położeniu punktów podstawowej osnowy poziomej, której punkty posłużą następnie jako właściwe punkty łączne. 4

Rys. 1 Pokrycie obszaru powiatu oleśnickiego siatką punktów testowych (3km 3km) służących do wstępnego ustalenia optymalnego rodzaju i stopnia wielomianu transformującego. Dla wygenerowanego zbioru punktów łącznych wykonano transformację ogólnowielomianową i konforemną stopnia 1-3 uzyskują następującą charakterystykę odchyłek. Tabela 1. Odchyłki transformacji współrzędnych płaskich między układami 1965 i 2000 Wartości różnic współrzędnych w [cm] Rodzaj i stopień transformacji Vx-min; Vy-min; Vx-max Vy-max Vxy-max Vxy-śred konforemna stopnia 1-73 : 79-40 : 47 82 30±18 konforemna stopnia 2-4 : 4-5 : 5 6 2±1 konforemna stopnia 3 0 : 0 0 : 0 0 0±0 ogólnowielomianowa st. I -72 : 78-41 : 46 81 30±13 ogólnowielomianowa stopnia 2-3 : 3-4 : 4 5 2±1 ogólnowielomianowa stopnia 3 0 : 0 0 : 0 0 0±0 gdzie: V X = x x ; V = y y różnice odpowiednio we współrzędnej x i y, Obl Tranf Y Obl Transf 2 2 Vxy odchyłka położenia równa: Vxy = Vx + Vy, Vxy-śred średnia odchyłka z ochyleniem standardowym (±OdchStd). 5

Uzyskane w tabeli 1 wartości wskazują, że optymalną jednoetapową transformacją współrzędnych płaskich między układami 1965 i 2000 dla badanego obszaru powiatu oleśnickiego jest transformacja konforemna lub ogólnowielomianowa 3 stopnia. Ze względu na nieco mniejszy obszar powiatu w stosunku do obszaru testowego oraz mniej regularne rozmieszczenie rzeczywistych punktów łącznych pochodzących z osnowy geodezyjnej, w kolejnych testach numerycznych wzięto również pod uwagę możliwość zastosowania transformacji obu rodzajów dla stopnia 2. b) Wybór punktów łącznych do transformacji z osnowy poziomej I klasy Spośród otrzymanych z PODGiK 42 punktów osnowy poziomej I klasy (bez ekscentrów) wybrano drogą kolejnych eliminacji 31 punktów. Ze względu na niedostateczne zagęszczenie po wschodniej stronie obszaru transformacji zbiór punktów łacznych uzupełniono o 5 wybranych punktów klasy II. Wybór punktów łącznych do transformacji miał zapewnić: - równomierne pokrycie punktami obszaru transformacji, - maksymalne odchyłki na punktach dostosowania do 5 cm, - punkty powinny obejmować zasadniczy obszar transformacji tj. powiat oleśnicki wraz z zewnętrznym pasem do 2 km. Rys. 2 Wytypowane z osnowy poziomej I i II klasy punkty dostosowania stanowiące podstawę algorytmu transformacji między układami 1965 i 2000 (1 punkt osnowy poziomej podstawowej I kl.; 2 punkt osnowy poziomej szczegółowej II kl.) 6

Dla tak utworzonego zbioru 36 punktów łacznych wykonano transformację konforemną i ogólnowielomianową stopnia 2 i 3. Syntetyczne wyniki obliczeń podano w tabeli 2. Tabela 2. Różnice współrzędnych w transformacji współrzędnych płaskich między układami 1965 i 2000 Wartości różnic współrzędnych w [cm] Rodzaj i stopień transformacji Vx-min; Vy-min; Vx-max Vy-max Vxy-max Vxy-śred konforemna stopnia 2-9 : 4-7 : 7 10 5±2 konforemna stopnia 3-7 : 6-5 : 7 9 4±2 ogólnowielomianowa stopnia 2-4 : 3-4 : 5 6 2±1 ogólnowielomianowa stopnia 3-4 : 3-3 : 2 4 2±1 Wartości zawarte w tabeli wskazują, że kryterium maksymalnej odchyłki położenia (5 cm) spełnia transformacja ogólnowielomianowa stopnia 3. Charakteryzuje się ona także minimalnymi odchyłkami w składowej X i Y. Algorytm transformacji obu rodzajów i stopni poddano następnie weryfikacji na punktach osnowy poziomej III klasy z powiatu oleśnickiego. c) Algorytm i współczynniki transformacji między układami 1965 i 2000 dla obszaru powiatu oleśnickiego Ogólne wzory transformacji: x2 = xb2 + y2 = yb2 + U = ( x1 xb1) S V = ( y1 yb1) S 3 i= 0 j= 0 3 3 3 i= 0 j= 0 a[ i, j] U b[ i, j] U co w przypadku podanych niżej współczynników przyjmuje następującą postać w kodzie źródłowym: x2 := xb2 + a[0,0] + a[0,1]*v + a[0,2]*v*v + a[0,3]*v*v*v + a[1,0]*u + a[1,1]*u*v + a[1,2]*u*v*v + a[2,0]*u*u + a[2,1]*u*u*v + a[3,0]*u*u*u; y2 := yb2 + b[0,0] + b[0,1]*v + b[0,2]*v*v + b[0,3]*v*v*v + b[1,0]*u + b[1,1]*u*v + b[1,2]*u*v*v + b[2,0]*u*u + b[2,1]*u*u*v + b[3,0]*u*u*u; gdzie: x1,y1 współrzędne w układzie pierwotnym w [m], x2,y2 współrzędne w układzie wtórnym (po transformacji) w [m]. xb1,yb1 oraz xb2,yb2 współrzędne biegunów układu odpowiednio pierwotnego i wtórnego, S skala normująca. i i V V j j 7

Dla transformacji z układu 1965 zwanego układem pierwotnym do układu 2000 zwanego wtórnym współczynniki transformacji są następujące: xb1:= 5584264.6172; yb1:= 3760112.4239; xb2:= 5683305.3420; yb2:= 6464363.5984; S:= 3.48806417308178E-0005; a[0,0]:= 6.98136255101702E-0002; a[0,1]:= -5.19244133434920E+0002; a[0,2]:= -2.38525758420485E-0001; a[0,3]:= -4.82292581890226E-0002; a[1,0]:= 2.86674553492049E+0004; a[1,1]:= -1.31149833555944E+0000; a[1,2]:= 1.49063848978483E-0001; a[2,0]:= 1.22383082179397E-0001; a[2,1]:= -4.66725408503121E-0003; a[3,0]:= -4.90754250754600E-0002; b[0,0]:= -4.09976971794864E-0002; b[0,1]:= 2.86672570603063E+0004; b[0,2]:= -6.25575575544798E-0001; b[0,3]:= 2.55514826722681E-0001; b[1,0]:= 5.19233501304712E+0002; b[1,1]:= 4.41789151475618E-0001; b[1,2]:= 2.13970764102382E-0001; b[2,0]:= 6.97904093454343E-0001; b[2,1]:= -1.99768648968787E-0001; b[3,0]:= 7.44141901806485E-0003; (gdzie: zapis: 6.98136255101702E-0002 oznacza 6.98136255101702 10-2 ) Dla transformacji z układu 2000 zwanego układem pierwotnym do układu 1965 zwanego wtórnym współczynniki transformacji są następujące: xb1:= 5683305.3420; yb1:= 6464363.5984 xb2:= 5584264.6172; yb2:= 3760112.4239 S:= 3.48771444979323E-0005 a[0,0]:= -6.90530550784750E-0002 a[0,1]:= 5.19192574350151E+0002 a[0,2]:= 2.73263561515302E-0001 a[0,3]:= 4.08190145925176E-0002 a[1,0]:= 2.86644105246018E+0004 a[1,1]:= 1.28835421331130E+0000 a[1,2]:= -1.54680270904990E-0001 a[2,0]:= -1.58453386997959E-0001 a[2,1]:= 1.64604884277620E-0002 a[3,0]:= 4.86663428048719E-0002 8

b[0,0]:= 4.22515227594022E-0002 b[0,1]:= 2.86646087903525E+0004 b[0,2]:= 6.12230641240084E-0001 b[0,3]:= -2.59930654670986E-0001 b[1,0]:= -5.19181941421507E+0002 b[1,1]:= -5.12794099382939E-0001 b[1,2]:= -1.89900443991117E-0001 b[2,0]:= -6.86641944288138E-0001 b[2,1]:= 2.06274696136774E-0001 b[3,0]:= -1.19861855951188E-0002 (gdzie: zapis: 2.86646087903525E+0004 oznacza 2.86646087903525 10 4 ) Przykład punktów, których współrzędne zostały obliczone w transformacji O-3 Pkt X 1965 [m] Y 1965 [m] X 2000 [m] Y 2000 [m] A 5571267.1400 3754168.9000 5670416.2648 6458185.1953 B 5595534.8800 3769437.4400 5694405.9264 6473892.1666 Opisany wyżej algorytm transformacji wraz ze współczynnikami został oznaczony symbolem O-3. 3. Weryfikacja opracowanego algorytmu transformacji Do kontroli transformacji wykorzstano punkty osnowy poziomej III klasy, które miały już wcześniej obliczone w wyniku modernizacji osnowy współrzędne w układzie 2000 (pomiary kątowo-liniowe, transformacja, itp, 2006 r.). Punkty te posiadały również współrzędne w układzie 1965. Stawią one niezależne źródło do weryfikacji opracowywanej transformacji. Rys. 3 Rozmieszczenie 1940 punktów osnowy szczegółowej III klasy na obszarze powiatu oleśnickiego ( na czerwono obszar maksymalnych rozbieżności we współrzędnych). 9

Spośród udostępnionych przez PODGiK punktów osnowy poziomej III klasy w liczbie 2220 w granicach powiatu oleśnickiego (z dodatkowym zewnętrznym pasem szerokości ok. 2 km) znalazło się 1940 punktów. Rozmieszczenie punktów przedstawiono na rys. 3. Współrzędne tych punktów przetransformowano z układu 1965 do 2000, wykorzystując transformacje konforemną i ogólnowielomianową 2 i 3 stopnia z wykorzstaniem wyselekcjonowanych 36 punktów łącznych. Obliczone współrzędne porównano następnie ze współrzędnymi katalogowymi w układzie 2000. Wyniki porównania współrzędnych dla różnic współrzędnych typu Vxy zawiera wykres na rys. 4. Rozbieżności (Vxy) we współrzędnych punktów osnowy III kl. 1800 1600 1494 1530 Liczba pubktów osnowy 1400 1200 1000 800 600 400 200 1293 433 207 1224 481 229 432 395 5 2 5 1 8 3 3 9 4 0 K-2 K-3 O-2 O-3 Rodzaj transformacji 2 0-5 cm 5-10 cm 10-15 cm 15-20 cm pow.20 cm Rys. 4 Porównanie wyników transformacji współrzędnych z układu 1965 do 200 zrealizowane na punktach osnowy poziomej III klasy z wynikami wcześniejszej modernizacji osnowy (2006) zawartymi w wykazie Osnowa_III_klasy.xls (transformacja ogólnowielomianowa O-2 i O-3 odpowiednio 2 i 3 stopnia; transformacja konforemna K-2 i K-3 odpowiednio 2 i 3 stopnia) Z wykresu wynika, że najlepszą zgodność w zakresie różnic położenia punktu 0 5 cm osiągnięto dla transformacji ogólnowielomianowej stopnia 3 (79% wszystki punktów). Dla transformacji konforemnej 3 stopnia ta zgodność wynosi (63% punktów). Dla transformacji konforemnych 2 i 3 stopnia widoczne są różnice we współrzędncyh w zakresie 10-15 cm (11% i 12% punktów). Różnic tego rodzaju praktycznie nie ma w przypadku transformacji ogólnowielomianowych (tylko 8-9 punktów na 1940 badanych charakteryzuje się takimi różnicami współrzędnych). Z wykresu wynika również, że 5-7 punktów niezależnie od rodzaju i stopnia transformacji uzyskało różnice w zakresie od 15 do ponad 20 cm (maksymalnie do 25 cm) (tabela 3). Ze szczegółowych analiz wynika, że dotyczy to tych samych punktów w każdym przypadku transformacji, a wartość różnic w położeniu wynika w ¾ z rozbieżności we współrzędnej X. Położenie punktów o rozbieżnościach powyżej 10 cm zaznaczono na rys. 3 oraz rys. 5, a wartości różnic podano w tabeli 3. Współrzędne tych punktów stały się przedmiotem osobnej analizy, którą zrealizowano na przykładzie jednego z punktów ww. punktów oraz znajdujących się w obliżu punktów osnowy poziomej I i II klasy. 10

Tabela 3. Maksymalne różnice we współrzędnych punktów poziomej osnowy szczegółowej III klasy między wynikami wcześniejszej modernizacji osnowy (2006) a testowanymi algorytmami transformacji w [cm] Arkusz Punkt Rodzaj transformacji O_2 O_3 K_2 K_3 453.431 31107 0.25 0.24 0.23 0.21 453.431 31106 0.23 0.22 0.21 0.18 453.431 31105 0.21 0.20 0.18 0.17 453.431 31108 0.19 0.19 0.18 0.17 453.431 31104 0.18 0.18 0.17 0.15 453.431 31103 0.16 0.16 0.15 0.14 453.431 31109 0.15 0.15 0.14 0.12 453.431 31102 0.15 0.15 0.13 0.12 Rys. 5 Fragment osnowy poziomej III klasy ( na zielono ) z punktami, które uzyskały maksymalne rozbieżności we współrzędnych w transformacji do układu 2000 ( na niebiesko punmty osnowy I i II klasy) W tabeli 4 zestawiono współrzędne katalogowe punktu 31107 oraz znajdujących się w pobliżu punktu osnowy I klasy nr 15 oraz II klasy nr 500. Współrzędne katalogowe wszystkich trzech punktów przeliczono z układu 1965 do układu 2000 programem TRANSPOL realizującym jedynie globalne korekty (trzy pierwsze etapy transformacji opisane w rozdziale 2). Tak uzyskane współrzędne (x,y) porównano ze współrzędnymi katalogowymi w układzie 2000 (X 2000,Y 2000 ). Na obu punktach wyższej klasy uzyskano różnice 33 cm i 34 cm we współrzędnej X oraz 1 cm i 6 cm we współrzędnej Y. Wartości te są zupełnie naturalne i wynikają z niedopasowania matematycznego układu do układu realizowanego przez osnowę geodezyjną (brak korekt lokalnych). Wartości dla składowej X są dość zgodne, co wykika z wzajemnego położenia obu punktów - oba punkty mają podobną współrzędną X i są odległe od siebie o ok. 3 km. Natomiast na punkcie 31107 znajdującym się zdecydowanie bliżej (ok. 300 m od punktu 500) wartość tej różnicy wynosi aż 53 cm we współrzędnej X oraz 8 cm we współrzędnej Y. Wskazuje to na niejednorodność (błąd) współrzędnych tego punktu w układzie 1965 lub 2000. Niejednorodność ta we współrzędnej X wynosi ok. 20 cm, co dobrze koresponduje z uzyskanymi w wyniku transformacji rozbieżnościami na tym punkcie wynoszącymi niezależnie od rodzaju transformacji ok. 20 cm. Warto zauważyć, że również w transformacjach wartość ta pochodziła głównie ze współrzędnej X. 11

Wnioski z przeanalizowanego tu przykładu dotyczą również pozostałych punktów z tabeli 3, co latwo w podobny sposób sprawdzić. W związku z tym punkty tego rodzaju nie mogą stanowić elementu kontroli poprawności działania opracowanego algorytmu transformacji. Tabela 4. Analiza jednorodności współrzędnych punktu poziomej osnowy III klasy nr 31107 Współrzędne katalogowe TRANSPOL Różnice Pkt X 1965 Y 1965 X 2000 Y 2000 x 2000 x 2000 X 2000 -x 2000 Y 2000 -y 2000 31107 5569068.29 3749358.33 5668304.33 6453335.02 5668304.86 6453335.10-0.53-0.08 500 5568871.48 3749629.70 5668102.809 6453602.910 5668103.15 6453602.90-0.34 0.01 15 5568235.60 3746700.98 5667519.917 6450662.896 5667520.25 6450662.84-0.33 0.06 4. Analiza jedno- i wieloetapowej transformacji Aby przeanalizować możliwości zastąpienia 4-etapowej transformacji zalecanej do przeliczenia współrzędnych z układu 1965 do 2000 transformacją 1-etapową wykonano następujący test. Na obszarze powiatu oleśnickiego wygenerowano siatkę 380 punktów w odległościach 2km 2km ze współrzędnymi w układzie 1965 (rys. 6). Rys. 6 Pokrycie obszaru powiatu oleśnickiego punktami siatki (2km 2km) sprawdzającej jednoi wieloetapową transformację współrzędnych między układami 1965 i 2000. Współrzędne te przetransformowano do układu 2000 dwoma sposobami. Pierwszy sposób za pomocą współczynników transformacyjnych podanych w dokumentach G-2 i G- 1.10, wykonując w jej zalecanym ostatnim etapie transformację konforemną lub ogólnowielomianową stopnia 1-3 na podstawie punktów łącznych z osnowy poziomej I i II 12

klasy wybranych w rozdziale 2b. W ten sposób został zrealizowany pełen schemat przeliczeniowy opisany na wstępie rozdziału 2 (G-2, G-1.10). Wyniki tego sposobu transformacji oznaczono następująco: - G-2_K1 trzy etapy wg. G-2, czwarty etap transformacja konforemna stopnia 1, - G-2_K2 trzy etapy j.w., czwarty etap transformacja konforemna stopnia 2, - G-2_K3 trzy etapy j.w., czwarty etap transformacja konforemna stopnia 3, - G-2_O1 trzy etapy j.w., czwarty etap transformacja ogólnowielomianowa stopnia 1, - G-2_O2 trzy etapy j.w., czwarty etap transformacja ogólnowielomianowa stopnia 2, - G-2_O3 trzy etapy j.w., czwarty etap transformacja ogólnowielomianowa stopnia 3, Drugi sposób transformacji to bezpośrednia transformacja konforemna i ogólnowielomianowa stopnia 1-3, której współczynniki podano w rodziale 2c, i którą oznaczono: - Tr_K3 transformacja konforemna stopnia 3, - Tr_O3 transformacja ogólnowielomianowa stopnia 3. W ostatnim etapie transformacji typu G-2_... oraz w transformacjach Tr... wykorzystano 36 punktów łącznych wybranych w rozdziale 2b. Następnie współrzędne uzyskane z pierwszego i drugiego sposobu porównano w ramach obu rodzajów transformacji konforemnej i ogólnowielomianowej (tab. 5). Tabela 5. Porównanie wyników transformacji 4-etapowej z transformacją 1-etapową na punktach siatki (2km 2km) na obszarze powiatu oleśnickiego. Wartości różnic we współrzędnych w [cm] Rodzaj i stopień transformacji Vx-min; Vy-min; 1-etapowej Vxy-max Vxy-śred Vx-max Vy-max G-2_K1 Tr_K3-6.5 : 4.1-7.5 : 6.4 8.4 1.9±1.8 G-2_K2 Tr_K3-4.5 : 2.8-4.6 : 4.8 5.4 1.5±1.2 G-2_K3 Tr_K3 0.1 : 0.1 0.1 : 0.1 0.1 0.0±0.0 G-2_O1 Tr_O3-2.4 : 3.8-7.2 : 5.5 7.7 2.2±1.3 G-2_O2 Tr_O3-0.5 : 0.5-4.6 : 4.5 4.6 1.3±0.8 G-2_O3 Tr_O3-0.1 : 0.0-0.1 : 0.0 0.1 0.0±0.0 Wyniki w tabeli 5 wskazują, że na całym obszarze 4-etapowa transformacja z ostanim etapem transformacji 3-stopnia (G-2_K3 i G-2_O3) i odpowiadająca jej transformacja jednoetapowa stopnia 3 (Tr_K3 lub Tr_O3) uzyskują te same wartości z dokładnością 1 mm. Dotyczy to zarówno transformacji konforemnej jak i ogólnowielomianowej. A więc wykorzystując daną grupę punktów łącznych zarówno w metodzie sugerowanej w Wytycznych...G-2, jak i w metodzie jednoetapowej transformacji można otrzymać identyczne wyniki. 13

5. Weryfikacja dokładności transformacji dla punktów granicznych powiatu oleśnickiego Jednym z problemów związanych z transformacją współrzędnych z układu 1965 do 2000 jest zachowanie zgodności wyników transformacji z wcześniej obliczonymi współrzędnymi punktów granicznych w tym przypadku powiatu oleśnickiego. Dysponując wykazem współrzędnych 4164 punktów granicznych w układzie 1965 i 2000 obliczono ich współrzędne różnymi metodami i porównano wyniki z danymi współrzędnymi (Compass) w układzie 2000. Do obliczeń wykorzystano opracowany algorytm transformacji ogólnowielomianowej stopnia 3 (rozdział 2c), transformacje z pakietu Unitrans w opcji bez korekt lokalnych (KG) a zawierające jedynie korektę globalną, z korektą lokalna konforemną (KG_KL_K) oraz z korektą lokalna oglnowielomianową (KG_KL_O). Wyniki porównania tak obliczonych współrzędnych ze współrzędnymi z wykazu zawarto w tabeli 6. Tabela 6a. Porównanie współrzędnych po transformacji z ustalonymi (Compass) współrzędnymi dla punktów granicy powiatu oleśnickiego cz.1 Wartości różnic we współrzędnych w [cm] Rodzaj i stopień transformacji Vx-min; Vy-min; Vx-max Vy-max Vxy-max Vxy-śred O-3-7 : 6-4 : 8 11 4±3 Unitrans (KG) -44 : -21 0 : 8 44 32±7 Unitrans (KG_KL_K) -19 : -4.3-21 : -9 28 19±4 Unitrans (KG_KL_O) -1 : 1-1 : 0 1 0±0 Tabela 6b. Porównanie współrzędnych po transformacji z ustalonymi (Compass) współrzędnymi dla punktów granicy powiatu oleśnickiego cz.2 Punkty graniczne Wartości różnicy Vxy powiatu oleśnickiego do 5cm do 6cm do 7cm do 8cm do 10cm do 11cm Liczba punktów 3180 3453 3622 3742 4151 4164 Liczba punktów w [%] 76.4 82.9 87.0 89.9 95.3 100.0 Z tabeli 6a (wyróżniony wiersz) wynika, że punkty graniczne powiatu oleśnickiego zawarte w ww. wykazie zostały obliczone w wyniku transformacji za pomocą pakietu Unitrans realizującym korekty globalne i lokalne ogólnowielomianowe. Wskazują na to wartości maksymalnych różnic we współrzędnych, które w przypadku tej transformacji nie przekraczały 1 cm (w zaokrągleniu). Opracowanym algorytmem (O-3) opisanym w rozdziale 2c uzyskano rozbieżności maksymalną do 11 cm (dla 10 punktów) przy czym ponad 76% wszystkich punktów granicznych uzyskało za pomocą tego algorytmu rozbieżności do 5 cm (tab. 6b). Aby wyjaśnić te rozbieżności w wynikach wykonano porównanie obu algorytmów (O- 3) oraz Unitrans (KG_KL_O) dla 36 punktów osnowy poziomej I i II klasy oraz 1940 punktów III klasy z obszaru powiatu oleśnickiego (rys. 2). Wyniki porównania obu metod przedstawiono w postaci wykresu (rys. 7). 14

15 Wartość różnicy w [cm] 10 5 0-5 VxMin VxMax VyMin VyMax VxyMax VxySred U_KG_KLO O-3-10 Rodzaj różnicy we współrzednych Rys. 7 Porównanie opracowanej transformacji O-3 z transformacją Unitans (KG_KLO) na 36 punktach osnowy poziomej podstawowej I i II klasy z obszaru powiatu oleśnickiego. Wartości różnic we współrzędnych uzyskane transformacją Unitrans (KG_KLO) zastosowaną dla punktów granicznych powiatu są ponad dwukrotnie większe niż w przypadku opracowanej transformacji ogólnowielomianowej stopnia 3 (O-3). Maksymalna różnica współrzędnych (Vxy) przekroczyła w przypadku transformacji KG_KLO 10 cm (na dwóch spośród punktów I klasy) a średnia różnica przekroczyła 4 cm. Dla transformacji O-3 wartości te są odpowiednio równe: 3.7 cm i 1.5 cm. Warto zaważyć, że współrzędne badanych punków należą do jadnej z najdokładniejszych klas w poziomych osnowach geodezyjnych. Wyniki z tabeli 6 oraz z wykresu (rys. 7) upoważniają do stwierdzenia niskiej spójności między współrzędnymi osnowy podstawowej I klasy i współrzędnymi punktów granicznych. W związku z tym stwierdzone w tabeli 6 (1 wiersz) wartości różnic dla transformacji ogólnowielomianowej O-3 są w pełni zrozumiałe. Na poniższym wykresie (rys. 8) zamieszczono wyniki podobnych obliczeń zrealizowanych tym razem dla 1940 punktów osnowy poziomej III klasy. 1800 1600 1530 1400 Liczba punktów 1200 1000 800 600 400 200 0 1155 549 395 230 9 4 4 2 2 0-5 cm 5-10 cm 10-15 cm 15-20 cm pow 20 cm U_KG_KLO O-3 Wartość różnicy (Vxy) Rys. 8 Porównanie opracowanej transformacji O-3 z transformacją Unitans (KG_KLO) na punktach osnowy poziomej III klasy z obszaru powiatu oleśnickiego (pionową linią oddzielono małe i duże różnice we współrzędnych). 15

Z wykresu wynika, że w zakresie dopuszczalnych różnic (do 10 cm) zmieściło się 99% punktów przetransformowanych za pomocą algorytmu O-3 i 88% punktów przetransformowanych transformacją U_KG-KLO. W zakresie dużych różnic (powyżej 10 cm) są to odpowiednio wartości 1% i 12%. Warto zauważyć, że w przypadku najmniejszych różnic (do 5 cm) transformacja O-3 dała zgodność w 79% punktów a transformacja U_KG- KLO w 60% punktów. Wyniki tych analiz wskazują, że transformacja O-3 zapewni większą jednorodność transformowanych punktów lub map z osnową geodezyjną. Widać to na przykładzie zarówno punktów I i II klasy oraz punktów zmodernizowanej różnymi technikami osnowy szczegółowej III klasy. Mając jednak na uwadze możliwość wykorzystania transformacji U_KG_KLO zawartej w pakiecie Unitrans opracowano dla niej analogiczny algorytm wielomianowy. Zbadano możliwe do zastosowania transformacje w postaci ogólnej stopnia 2-4. Badanie zweryfikowano na punktach osnowy III klasy, starając się uzyskać maksymalną zgodność z transformacją U_KG_KLO. Syntetyczne wyniki zawiera wykres na rys 9. Rozbieżności (Vxy) w położeniu punktów osnowy III kl. Liczba pubktów osnowy w [%] 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 79 20 0 O-3 60 58 60 60 28 31 28 28 12 10 12 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 U_KG_KLO TrU_KG_KLO_O-2 TrU_KG_KLO_O-3 TrU_KG_KLO_O-4 0-5 cm 5-10 cm 10-15 cm 15-20 cm pow 20 cm Rodzaj transformacji Rys. 9 Porównanie opracowanej wyników z transformacji Unitans (KG_KLO) z wynikami ogólnowielomianowych transformacji stopnia 2,3 i 4 zrealizowane na punktach osnowy poziomej III klasy z obszaru powiatu oleśnickiego. Z wykresu wynika, że zgodność z tą transformacją ma wariant ogólnowielomianowej transformacji stopnia 3 (TrU_KG_KLO_O3) lub stopnia 4 (TrU_KG_KLO_O4). Dla porównania na wykresie zamieszczono również (na różowo wyróżnione) analogiczne wyniki uzyskane za pomocą opracowanej w rozdziale 2c transformacji O-3. Do wyznaczenia współczynników wybrano transformację niższego stopnia. Obliczenie wartości współczynników dla transformacji (TrU_KG_KLO_O3) wykonano w następujący sposób: - współrzędne 238 punktów siatki punktów 3km 3km pokrywającej cały obszar powiatu oleśnickiego przeliczono za pomocą pakietu Unitrans z układu 1965 do 2000 oraz z 2000 do 1965. - dane współrzędne w układzie 1965 i współrzędne obliczone w układzie 2000 posłużyły jako współrzędne łączne w transformacji 1965 2000 i 2000 1965. 16

a) Współczynniki transformacji TrU_KG_KLO_O3 zgodnej z transformacją Unitrans (KG_KLO) zawierającą globalne i lokalne korekty ogólnowielomianowe. Ogólne i szczegółowe wzory są identyczne jak w rozdziale 2c. Dla transformacji z układu 1965 zwanego układem pierwotnym do układu 2000 zwanego wtórnym współczynniki transformacji są następujące: xb1:= 5582000.0000; yb1:= 3762500.0000; xb2:= 5680997.6772; yb2:= 6466710.0493; S:= 3.23370376203603E-0005; a[0,0]:= -2.21054981204261E-0002; a[0,1]:= -5.60075903146123E+0002; a[0,2]:= -2.63212421096354E-0001; a[0,3]:= -2.95954680193366E-0003; a[1,0]:= 3.09223289686053E+0004; a[1,1]:= -1.43311179998212E+0000; a[1,2]:= 1.70265786057782E-0001; a[2,0]:= 2.76085955252495E-0001; a[2,1]:= 2.81136537236863E-0002; a[3,0]:= -6.60075515407995E-0002; b[0,0]:= -7.72581407563713E-0002; b[0,1]:= 3.09221767349371E+0004; b[0,2]:= -6.57640402476303E-0001; b[0,3]:= 7.55877087692641E-0002; b[1,0]:= 5.59995231968769E+0002; b[1,1]:= 5.70521100624716E-0001; b[1,2]:= 3.23236720494446E-0002; b[2,0]:= 7.87327704582259E-0001; b[2,1]:= -1.78243912174433E-0001; b[3,0]:= -1.55725475806404E-0002; Dla transformacji z układu 2000 zwanego układem pierwotnym do układu 1965 zwanego wtórnym współczynniki transformacji są następujące: xb1:= 5680997.6772 ; yb1:= 6466710.0493; xb2:= 5582000.0000 ; yb2:= 3762500.0000; S:= 3.23331280984865E-0005; a[0,0]:= 2.34983568813810E-0002; a[0,1]:= 5.60033814863857E+0002; a[0,2]:= 3.00636947605231E-0001; a[0,3]:= -1.48427850976534E-0003; a[1,0]:= 3.09198528902124E+0004; a[1,1]:= 1.40106684786910E+0000; a[1,2]:= -1.71468938647908E-0001; a[2,0]:= -3.15847504150903E-0001; a[2,1]:= -1.51535823318396E-0002; a[3,0]:= 6.66084730930744E-0002; 17

b[0,0]:= 7.68367867591557E-0002; b[0,1]:= 3.09200051119720E+0004; b[0,2]:= 6.41475409431936E-0001; b[0,3]:= -7.60396039983976E-0002; b[1,0]:= -5.59953150016485E+0002; b[1,1]:= -6.47914285346446E-0001; b[1,2]:= -1.86939781366808E-0002; b[2,0]:= -7.70887698834629E-0001; b[2,1]:= 1.80194127414405E-0001; b[3,0]:= 1.11540144608711E-0002; Przykład punktów, których współrzędne zostały obliczone w transformacji TrU_KG_KLO_O3 Pkt X 1965 [m] Y 1965 [m] X 2000 [m] Y 2000 [m] A 5571267.1400 3754168.9000 5670416.2404 6458185.1896 B 5595534.8800 3769437.4400 5694405.9288 6473892.2014 6. Wnioski końcowe Wyniki przeprowadzonych testów wskazują, że dla obszaru powiatu oleśnickiego optymalną transformacją współrzędnych między układami 1965 i 2000 jest transformacja ogólnowielomianowa stopnia 3. Jej wzory ogólne i szczegółowe podano w rozdziale 2c. Transformacja ta realizuje na tym obszarze zarówno korekty globalne jak i lokalne. Do transformacji współrzędnych między układami 1965 i 2000 opracowano dwa algorytmy: - algorytm oznaczony symbolem O-3 (opisany w rozdziale 2c), będący transformacją ogólnowielomianową stopnia 3 ze współczynnikami utworzonymi na podstawie wybranych punktów łącznych z osnowy podstawowej I klasy (31 punktów) oraz szczegółowej II klasy (5 punktów); współrzędne w obu układach pobrano z wykazów GUGiK i PODGiK, - algorytm oznaczony symbolem TrU_KG_KLO_O3 (opisany w rozdziale 5a), będący transformacją ogólnowielomianową stopnia 3 ze współczynnikami utworzonymi na podstawie 238 punktów siatki 3km 3km pokrywającej cały obszar powiatu oleśnickiego; współrzędne tych punktów w układzie 1965 zostały wygenerowane w równych odległościach 3km, współrzędne w układzie 2000 obliczono za pomocą transformacji z pakietu Unitrans z korektami ogólnowielomianowymi, Działanie obu algorytmów sprawdzano na punktach osnowy I, II, III klasy oraz punktach granicznych powiatu oleśnickiego. Algorytm O-3 wykazuje: - wpasowanie w punkty osnowy poziomej I i II klasy z dokładnością do 3.7 cm (Vxymax) i do 1.5 cm (Vxy-sred), - wpasowanie w punkty osnowy III klasy do 5 cm dla 79% punktów i do 10 cm 99%, - wpasowanie w punkty graniczne do 11 cm (Vxy-max) i 4 cm (Vxy-sred), przy czym wpasowanie do 5 cm uzyskało ponad 76% punktów a wpasowanie do 10 cm ponad 95% wszystkich punktów granicznych (tab. 6b). Algorytm TrU_KG_KLO_O3 wykazuje: - wpasowanie w punkty osnowy poziomej I i II klasy z dokładnością do 10 cm (Vxymax) i do 4 cm (Vxy-sred), 18

- wpasowanie w punkty osnowy III klasy do 5 cm dla 60% punktów i do 10 cm dla 88% punktów, - wpasowanie w punkty graniczne do 1 cm (Vxy-max) i 1 cm (Vxy-sred). Algorytm O-3 w porównaniu z algorytmem TrU_KG_KLO_O3 wykazuje lepsze dopasowanie do osnowy geodezyjnej. Algorytmy O-3 i TrU_KG_KLO_O3 mogą być stosowane do transformacji współrzędnych punków z obszaru powiatu oleśnickiego z zewnętrznym pasem do 2 km od granic powiatu. 19