Rozmaitości matematyczne dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS
Liczby i zbiory Liczby naturalne Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby doskonałe I i II Liczby bliźniacze Liczby zaprzyjaźnione Liczby całkowite Liczby wymierne Liczby rzeczywiste Liczby niewymierne
Liczby pierwsze Liczbę naturalną n nazywamy liczbą pierwszą jeśli n>1 Jedynymi jej dzielnikami są 1 i n Przykłady: 2,3,5,7,11,13 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Każda liczba naturalna może być przedstawiona w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Euklides Euklides ur. 330 BC Miejsce zamieszkania: Aleksandria- Egipt Narodowość: Grek Niezapomniane dzieło: Elementy Euklidesa
Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych - Euklides Jak je znaleźć? Eratostenes - odkrył w jaki sposób można znaleźć liczby pierwsze pośród innych. (metoda sita) Uwaga: Każda liczba naturalna złożona n ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy p, który spełnia nierówność p n.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18, 19, 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,... 100 Usuwamy podzielne przez 2 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, 21,23,25,27,29,...99 Usuwamy podzielne przez 3 1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,...,.97 Usuwamy podzielne przez 5 1,7,11,13,17,19,23,29,31,...97 Usuwamy podzielne przez 7 i ostatecznie dostajemy: Przykład N=100 p=2,3,5,7 < 10
Liczby pierwsze, które są w przedziale od 1 do 100 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, 53,59,61,71,73,79,83,89,97
Twierdzenie Czebyszewa Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od jedynki, między liczbami n i 2n istnieje co najwyżej jedna liczba pierwsza. Erdös-wzmocnił to twierdzenie.
Liczby doskonałe Liczbę m nazywamy liczbą doskonałą gdy jest równa sumie wszystkich swoich dzielników 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
Znów Euklides Euklides odkrył, że niektóre liczby parzyste, doskonałe zapisuja się w postaci: 2 n 1 (2 n 1) Nie wiedział, czy wszystkie!!! Wyznaczył cztery pierwsze
Liczby doskonałe znane w starożytności d=2 n 1 (2 n 1) n = 2: 2 1 (2 2 1) = 6 n = 3: 2 2 (2 3 1) = 28 n = 5: 2 4 (2 5 1) = 496 n = 7: 2 6 (2 7 1) = 8128
Uwagi o liczbach doskonałych Co będzie następne (n=11)? Jaka jest długość kolejnych liczb doskonałych (1,2,3,4,?) Jaka jest ostatnia cyfra w liczbie doskonałej (6,8)? Czy czynnik iloczynu 2 n 1 daje nam zawsze liczbę pierwszą?
Co będzie następne? (n=11) Następna liczba niestety nie jest doskonała. Dla n=11 mamy 2 10 (2 11 1) = 2096128= 2 10 23 89
Następna: Okazuje się, że nastepną liczba doskonałą jest liczba, ktorej długość nie wynosi 5 cyfr, ale 8 i na końcu ma planową 6 2 12 (2 13 1) = 33550336
Następna? Nastepną liczbą doskonałą jest liczba, która na końcu ma 6, a nie jak przypuszczaliśmy 8. 2 16 (2 17 1) =8589869056
Leonard Euler Leonard Euler ur. 15.04.1707 Narodowość: Szwajcar
Twierdzenie Euklidesa-Eulera 2000 lat po Euklidesie, Euler pokazał, że wzór 2 n 1 (2 n 1) wyznacza wszystkie liczby doskonałe parzyste. Ponadto jeśli liczba 2 n 1jest liczbą pierwszą, to powyższy wzór wyznacza nam liczbe doskonałą.
Liczby Mersenne'a Liczbę postaci M=2 n 1 nazywamy liczbą Mersenne'a. Niektóre z tych liczb są liczbami pierwszymi. Np. dla n=3,5 mamy odpowiednio 7 i 31, ale dla n=11 mamy 2 11 1=23 89. Największa liczba Mersenne'a, która jest pierwsza to: 2 32582657 1
Liczba ta ma 9808358 cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 4 września 2006 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a - uczestników projektu GIMPS. Poprzednia największa liczba pierwsza, 43 liczba Mersenne'a, została odkryta w grudniu 2005. Electronic Frontier Foundation ustanowiła nagrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej niż 10 milionach cyfr. Zatem liczba (2 32582657 1)2 32582656 jest doskonała
Czego nie wiemy! Nie wiemy, czy liczb doskonałych jest nieskończenie wiele. Nie wiemy, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste. Nie wiemy jak efektywnie wyznaczać liczby pierwsze.
Ciekawostka N=6 1/6+1/3+1/2+1/1=2 N=28 1/28+1/14+1/7+1/2+1/1=2 Co będzie dla innych liczb doskonałych? Czy jest to przypadek?
Inne ciekawe liczby Liczby lustrzane: To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73, 79 i 97,107 i 701,... Liczby palindramiczne pierwsze To liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry zapiszemy w odwrotnej kolejności. Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929.
Cd. ciekawych liczb Liczby bliźniacze: Para liczb pierwszych różniacych się o 2. 5,7 Liczby zaprzyjaźnione: Jedna liczba jest równa sumie dzielników drugiej liczby. 220=1+2+4+71+142 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 1184 ~ 1210 17296~18416
Uwaga! Każda liczba doskonała jest zaprzyjażniona sama ze sobą. Widziecie to?????
Zadania Zadanie 1 Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie, że liczba p+4 jest kwadratem liczby naturalnej. Zadanie 2 Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej p>3 liczba p²-1 jest podzielna przez 24. Zadanie 3 Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że p²-2q²=1.