Rozmaitości matematyczne. dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS

Podobne dokumenty
Zadania do samodzielnego rozwiązania

LISTA 5. C++ PETLE for, while, do while

Przykładowe zadania z teorii liczb

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice? Czy liczby pierwsze zdradzą swoje tajemnice?

Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Jeśli lubisz matematykę

Elementy teorii liczb. Matematyka dyskretna

Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata. Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby pierwsze. Jacek Nowicki Wersja 1.0

O CIEKAWYCH WŁAŚCIWOŚCIACH LICZB TRÓJKĄTNYCH

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

Chen Prime Liczby pierwsze Chena

Liczby pierwsze. Jacek Nowicki Wersja 0.92

O liczbach niewymiernych

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

GSP077 Pakiet. KArty pracy. MateMatyka. Ekstraklasa 6klasisty matematyka kpracy 6 pak 1.indd 1

(mniejszych od 10 9 ) podanych przez użytkownika, wypisze komunikat TAK, jeśli są to liczby bliźniacze i NIE, w przeciwnym przypadku.

Od autorów... 7 Zamiast wstępu zrozumieć symbolikę... 9 Zdania Liczby rzeczywiste i ich zbiory... 15

Liczby pierwsze. Kacper Żurek, uczeń w Gimnazjum nr 1 im. Jana Pawła II w Giżycku.

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2012/13. Czwartek 28 marca zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 1.

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Wrocław, Wstęp do informatyki i programowania: liczby pierwsze. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej.

Matematyka dyskretna

Indukcja matematyczna. Matematyka dyskretna

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb

I) Reszta z dzielenia

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

KURS MATURA ROZSZERZONA część 1

Algorytm Euklidesa. Największy wspólny dzielnik dla danych dwóch liczb całkowitych to największa liczba naturalna dzieląca każdą z nich bez reszty.

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, C/10

Matematyka dyskretna

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

Matematyka liczby zespolone. Wykład 1

Luty 2001 Algorytmy (8) 2000/2001

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Liczby pierwsze rozmieszczenie. Liczby pierwsze rozmieszczenie

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

Dzień pierwszy- grupa młodsza

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV

Algorytmy w teorii liczb

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Pzetestuj działanie pętli while i do...while na poniższym przykładzie:

Kod ucznia... MAŁOPOLSKI KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów Rok szkolny 2016/2017 ETAP SZKOLNY - 8 listopada 2016 roku

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

XXXII Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i II szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

w. SIERPIŃSKI (Warszawa)

Funkcje arytmetyczne. Funkcje arytmetyczne

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

Liczba pierwsza to taka liczba n, która posiada dokładnie dwa dzielniki: 1 i

Równanie Pella Sławomir Cynk

11. Liczby rzeczywiste

do instrukcja while (wyrażenie);

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Wielkopolskie Mecze Matematyczne

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Dąbrowski Konkurs Matematyczny Dla uczniów klas pierwszych szkół ponad gimnazjalnych

KONKURS MATEMATYCZNY

Daniela Spurtacz, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019

XV Olimpiada Matematyczna Juniorów

Zajęcia nr. 3 notatki

Transkrypt:

Rozmaitości matematyczne dr Agnieszka Kozak Instytut Matematyki UMCS

Liczby i zbiory Liczby naturalne Liczby pierwsze Liczby złożone Liczby doskonałe I i II Liczby bliźniacze Liczby zaprzyjaźnione Liczby całkowite Liczby wymierne Liczby rzeczywiste Liczby niewymierne

Liczby pierwsze Liczbę naturalną n nazywamy liczbą pierwszą jeśli n>1 Jedynymi jej dzielnikami są 1 i n Przykłady: 2,3,5,7,11,13 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Każda liczba naturalna może być przedstawiona w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Euklides Euklides ur. 330 BC Miejsce zamieszkania: Aleksandria- Egipt Narodowość: Grek Niezapomniane dzieło: Elementy Euklidesa

Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych - Euklides Jak je znaleźć? Eratostenes - odkrył w jaki sposób można znaleźć liczby pierwsze pośród innych. (metoda sita) Uwaga: Każda liczba naturalna złożona n ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy p, który spełnia nierówność p n.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18, 19, 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,... 100 Usuwamy podzielne przez 2 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19, 21,23,25,27,29,...99 Usuwamy podzielne przez 3 1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,...,.97 Usuwamy podzielne przez 5 1,7,11,13,17,19,23,29,31,...97 Usuwamy podzielne przez 7 i ostatecznie dostajemy: Przykład N=100 p=2,3,5,7 < 10

Liczby pierwsze, które są w przedziale od 1 do 100 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, 53,59,61,71,73,79,83,89,97

Twierdzenie Czebyszewa Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od jedynki, między liczbami n i 2n istnieje co najwyżej jedna liczba pierwsza. Erdös-wzmocnił to twierdzenie.

Liczby doskonałe Liczbę m nazywamy liczbą doskonałą gdy jest równa sumie wszystkich swoich dzielników 6=1+2+3 28=1+2+4+7+14 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248

Znów Euklides Euklides odkrył, że niektóre liczby parzyste, doskonałe zapisuja się w postaci: 2 n 1 (2 n 1) Nie wiedział, czy wszystkie!!! Wyznaczył cztery pierwsze

Liczby doskonałe znane w starożytności d=2 n 1 (2 n 1) n = 2: 2 1 (2 2 1) = 6 n = 3: 2 2 (2 3 1) = 28 n = 5: 2 4 (2 5 1) = 496 n = 7: 2 6 (2 7 1) = 8128

Uwagi o liczbach doskonałych Co będzie następne (n=11)? Jaka jest długość kolejnych liczb doskonałych (1,2,3,4,?) Jaka jest ostatnia cyfra w liczbie doskonałej (6,8)? Czy czynnik iloczynu 2 n 1 daje nam zawsze liczbę pierwszą?

Co będzie następne? (n=11) Następna liczba niestety nie jest doskonała. Dla n=11 mamy 2 10 (2 11 1) = 2096128= 2 10 23 89

Następna: Okazuje się, że nastepną liczba doskonałą jest liczba, ktorej długość nie wynosi 5 cyfr, ale 8 i na końcu ma planową 6 2 12 (2 13 1) = 33550336

Następna? Nastepną liczbą doskonałą jest liczba, która na końcu ma 6, a nie jak przypuszczaliśmy 8. 2 16 (2 17 1) =8589869056

Leonard Euler Leonard Euler ur. 15.04.1707 Narodowość: Szwajcar

Twierdzenie Euklidesa-Eulera 2000 lat po Euklidesie, Euler pokazał, że wzór 2 n 1 (2 n 1) wyznacza wszystkie liczby doskonałe parzyste. Ponadto jeśli liczba 2 n 1jest liczbą pierwszą, to powyższy wzór wyznacza nam liczbe doskonałą.

Liczby Mersenne'a Liczbę postaci M=2 n 1 nazywamy liczbą Mersenne'a. Niektóre z tych liczb są liczbami pierwszymi. Np. dla n=3,5 mamy odpowiednio 7 i 31, ale dla n=11 mamy 2 11 1=23 89. Największa liczba Mersenne'a, która jest pierwsza to: 2 32582657 1

Liczba ta ma 9808358 cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 4 września 2006 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a - uczestników projektu GIMPS. Poprzednia największa liczba pierwsza, 43 liczba Mersenne'a, została odkryta w grudniu 2005. Electronic Frontier Foundation ustanowiła nagrodę 100 tysięcy dolarów dla odkrywcy liczby pierwszej o więcej niż 10 milionach cyfr. Zatem liczba (2 32582657 1)2 32582656 jest doskonała

Czego nie wiemy! Nie wiemy, czy liczb doskonałych jest nieskończenie wiele. Nie wiemy, czy istnieją liczby doskonałe nieparzyste. Nie wiemy jak efektywnie wyznaczać liczby pierwsze.

Ciekawostka N=6 1/6+1/3+1/2+1/1=2 N=28 1/28+1/14+1/7+1/2+1/1=2 Co będzie dla innych liczb doskonałych? Czy jest to przypadek?

Inne ciekawe liczby Liczby lustrzane: To pary liczb pierwszych, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady: 13 i 31, 17 i 71, 37 i 73, 79 i 97,107 i 701,... Liczby palindramiczne pierwsze To liczby pierwsze, które nie zmieniają się, gdy ich cyfry zapiszemy w odwrotnej kolejności. Przykłady: 11, 101, 131, 191, 929.

Cd. ciekawych liczb Liczby bliźniacze: Para liczb pierwszych różniacych się o 2. 5,7 Liczby zaprzyjaźnione: Jedna liczba jest równa sumie dzielników drugiej liczby. 220=1+2+4+71+142 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 1184 ~ 1210 17296~18416

Uwaga! Każda liczba doskonała jest zaprzyjażniona sama ze sobą. Widziecie to?????

Zadania Zadanie 1 Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p takie, że liczba p+4 jest kwadratem liczby naturalnej. Zadanie 2 Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej p>3 liczba p²-1 jest podzielna przez 24. Zadanie 3 Znaleźć wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że p²-2q²=1.