Wymagania edukacyjne z matematyki zakres rozszerzony nowa podstawa programowa

Wymagania edukacyjne z matematyki zakres rozszerzony nowa podstawa programowa Wymagania stawiane przed uczniem podzielone są na trzy grupy: wymagania podstawowe; wymagania dopełniające; wymagania wykraczające. Wymagania rozszerzające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące 50% 70% wymagań podstawowych, zaś ocenę dostateczną uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące powyżej 70 % wymagań podstawowych i 30% 40% wymagań dopełniających. Ocenę dobrą otrzymuje uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące do 40% 90% wymagań dopełniających, zaś ocenę bardzo dobrą uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności stanowiące powyżej 90% wymagań dopełniających. Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który opanował wiedzę i zdobył umiejętności zawarte w wymaganiach wykraczających lub jest laureatem (finalistą) olimpiady (konkursu) matematycznego. 1-2. Zbiory. Działania w zbiorach liczbowych potrafi sprawnie posługiwać się symboliką matematyczną dotyczącą zbiorów; potrafi podać przykłady zbiorów A i B jeśli A-B potrafi wyznaczyć dopełnienie zbioru (w tym przedziału liczbowego); zna i stosuje w obliczeniach zależność dotyczącą liczb naturalnych różnych od zera: NWD(a, b). NWW(a, b) = a. b; potrafi rozwiązywać zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, w których jest mowa o własnościach liczb całkowitych; potrafi przeprowadzać dowody, w tym dowody nie wprost dotyczące własności liczb zna takie pojęcia jak: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiór zbioru; zna symbolikę matematyczną dotyczącą zbiorów (,,,,,, ); potrafi podać przykłady zbiorów (w tym przykłady zbiorów skończonych oraz nieskończonych); potrafi określić relację pomiędzy elementem i zbiorem; potrafi określić relację pomiędzy zbiorami (równość zbiorów, zawieranie się zbiorów, rozłączność zbiorów); zna definicję sumy, iloczynu, różnicy zbiorów; potrafi wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę zbiorów; potrafi wyznaczyć sumę, różnicę oraz część wspólną podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych takich jak zbiór N, C, NW, W; potrafi rozróżniać liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne; potrafi wskazać liczby pierwsze i złożone; zna i potrafi zastosować cechy podzielności liczb naturalnych (przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10); potrafi rozłożyć liczbę naturalną na czynniki pierwsze; potrafi wyznaczyć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb naturalnych; zna definicję liczb względnie pierwszych; zna definicję liczby całkowitej parzystej oraz nieparzystej; potrafi wykonać dzielenie z resztą w zbiorze liczb całkowitych; zna prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych; potrafi porównywać liczby wymierne oraz liczby niewymierne; potrafi przedstawiać liczby wymierne w postaci ułamków zwykłych i dziesiętnych; potrafi sprawnie wykonywać działania na ułamkach zwykłych i na ułamkach dziesiętnych; potrafi przedstawić ułamek okresowy w postaci ilorazu liczb całkowitych; potrafi zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej; potrafi wyznaczyć przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej z żądaną dokładnością; potrafi sprawnie wykonywać działania w zbiorze liczb rzeczywistych z wykorzystaniem praw działań; potrafi porównywać wielkości; zna własność proporcji i potrafi stosować ją do rozwiązywania równań zawierających proporcje; zna twierdzenie pozwalające w sposób równoważny przekształcać równania i nierówności; potrafi rozwiązywać równania (nierówności) z jedną niewiadomą metodą równań (nierówności) równoważnych; 2 1 x 5 potrafi rozwiązać proste równania wymierne typu = ; = 0; x + 7 4 x 2 potrafi wyznaczyć błąd względny i bezwzględny; rozumie pojęcie przedziału liczbowego jako podzbioru zbioru liczb rzeczywistych; potrafi zapisać za pomocą przedziałów zbiory opisane nierównościami; potrafi wyznaczyć sumę, różnicę oraz część wspólną przedziałów liczbowych; potrafi zaznaczyć na osi liczbowej podany przedział liczbowy; potrafi obliczyć procent danej liczby, a także wyznaczyć liczbę, gdy dany jest jej procent; potrafi obliczyć jakim procentem jednej liczby jest druga liczba; potrafi określić o ile procent dana wielkość jest większa (mniejsza) od innej wielkości; potrafi posługiwać się procentem w prostych zadaniach tekstowych; rozumie pojęcie punktu procentowego i potrafi się nim posługiwać; potrafi odczytywać dane w postaci tabel i diagramów, a także przedstawiać dane w postaci diagramów procentowych; potrafi przeprowadzać analizę ilościową przedstawionych danych; zna definicję wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i jej interpretację geometryczną; potrafi obliczyć wartość bezwzględną liczby; całkowitych (np. dzielenie z resztą, podzielność liczb całkowitych itp.); potrafi wyznaczyć dziedzinę równania z jedną niewiadomą w przypadku, gdy trzeba rozwiązać koniunkcję warunków; potrafi podać przykład równania sprzecznego oraz równania tożsamościowego; potrafi podać przykłady nierówności sprzecznej oraz nierówności tożsamościowej; potrafi podać zapis symboliczny wybranych liczb, np. liczby parzystej, liczby nieparzystej, liczby podzielnej przez daną liczbę całkowitą, wielokrotności danej liczby, zapis liczby, która w wyniku dzielenia przez daną liczbę całkowitą daje wskazaną resztę; potrafi zapisać symbolicznie zbiór na podstawie informacji o jego elementach; potrafi wymienić elementy zbioru zapisanego symbolicznie; potrafi wykazać podzielność liczb całkowitych zapisanych symbolicznie; umie podać część całkowitą każdej liczby rzeczywistej i część ułamkową każdej liczby wymiernej; wie, kiedy dwa równania (dwie nierówności) są równoważne i potrafi wskazać równania (nierówności) równoważne; rozumie zmiany bankowych stóp procentowych i umie wyrażać je w punktach procentowych (oraz bazowych); potrafi oszacować wartość liczby niewymiernej; potrafi stosować własności wartości bezwzględnej takie jak: x = x, x x x 0, xy = x y, = y y w rozwiązywaniu zadań; potrafi stosować własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania nierówności z wartością bezwzględną. potrafi stosować działania na zbiorach do wnioskowania na temat własności zbiorów; potrafi dowodzić twierdzenia dotyczące własności liczb rzeczywistych; potrafi rozwiązywać zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące zbioru liczb rzeczywistych i jego podzbiorów; potrafi określić dziedzinę i zbiór elementów spełniających równanie z jedną niewiadomą, zawierające wyrażenia wymierne lub pierwiastek stopnia drugiego; posługuje się takimi własnościami wartości bezwzględnej jak: x + y x + y i x y x + y w rozwiązywaniu zadań oraz dowodzeniu twierdzeń; potrafi zbadać liczbę rozwiązań równania typu x a + b x = m, gdzie a i b są danymi liczbami, zaś m parametrem.

potrafi zaznaczyć na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności z wartością bezwzględną typu: cx a = b, c x a < b, cx a > b, c x a b, c x a b; potrafi na podstawie zbioru rozwiązań nierówności, zapisać tę nierówność w postaci nierówności z wartością bezwzględną; potrafi obliczyć błąd procentowy przybliżenia; potrafi szacować wartości wyrażeń; wie, co to jest równanie (nierówność) z jedną niewiadomą; potrafi określić dziedzinę równania; zna definicję rozwiązania równania (nierówności) z jedną niewiadomą; wie, jakie równanie nazywamy sprzecznym, a jakie tożsamościowym; wie, jaką nierówność nazywamy sprzeczną, a jaką tożsamościową. 3. Wyrażenia algebraiczne potrafi sprawnie posługiwać się wzorami skróconego mnożenia: potrafi stosować wzory skróconego mnożenia potrafi sprawnie działać na (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 takie jak: wyrażeniach zawierających (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) potęgi oraz pierwiastki a 2 b 2 = (a b)(a + b) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) i potrafi wykonywać działania na wyrażeniach, które zawierają wzory skróconego mnożenia; potrafi usuwać niewymierność z mianownika ułamka stosując wzór skróconego mnożenia (różnicę kwadratów dwóch wyrażeń); a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ), do usuwania niewymierności z mianownika ułamka; sprawnie przekształca wyrażenia algebraiczne zawierające potęgi i pierwiastki oraz powyższe wzory skróconego mnożenia; sprawnie zamienia pierwiastki arytmetyczne na potęgi o wykładniku wymiernym i odwrotnie; potrafi wyłączać wspólną potęgę poza nawias; z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia; potrafi sprawnie rozkładać wyrażenia zawierające potęgi i pierwiastki na czynniki, stosując jednocześnie wzory skróconego mnożenia oraz metodę grupowania wyrazów; potrafi wykorzystać pojęci zna prawa działań na potęgach o wykładnikach rzeczywistych; potrafi rozłożyć wyrażenia na czynniki metodą logarytmu w zadaniach zna prawa działań na pierwiastkach; grupowania wyrazów lub za pomocą wzorów praktycznych. potrafi wykonywać działania na potęgach i pierwiastkach; potrafi zapisać liczbę w notacji wykładniczej; sprawnie sprowadza wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci i oblicza ich wartości dla podanych wartości zmiennych; potrafi wyłączyć wspólny czynnik z różnych wyrażeń; zna pojęcie pierwiastka arytmetycznego z liczby nieujemnej; potrafi obliczać pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych; skróconego mnożenia; potrafi oszacować wartość potęgi o wykładniku rzeczywistym; potrafi dowodzić twierdzenia posługując się dowodem wprost lub nie wprost; zna i potrafi stosować własności logarytmów w obliczeniach; zna definicję logarytmu i potrafi obliczać logarytmy bezpośrednio stosuje średnią arytmetyczną, geometryczną z definicji; i ważoną w zadaniach tekstowych. sprawnie przekształca wzory matematyczne, fizyczne i chemiczne; potrafi szacować wartości wyrażeń; zna pojęcie średniej arytmetycznej, geometrycznej oraz harmonicznej liczb oraz potrafi obliczyć wymienione średnie. 4. Geometria płaska pojęcia wstępne zna figury podstawowe (punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń) i potrafi - potrafi zapisać miarę stopniową kąta używając potrafi udowodnić zapisać relacje między nimi; minut i sekund; twierdzenia o dwóch prostych zna pojęcie figury wypukłej i wklęsłej, potrafi podać przykłady takich potrafi rozwiązywać zadania geometryczne przeciętych trzecią prostą; figur; o średnim stopniu trudności z zastosowaniem potrafi rozwiązywać zna pojęcie figury ograniczonej i figury nieograniczonej, potrafi podać twierdzenia Talesa, twierdzenia odwrotnego do nietypowe zadania przykłady takich figur; twierdzenia Talesa; o podwyższonym stopniu rozumie pojęcie odległości, umie wyznaczyć odległość dwóch punktów, zna pojęcie kąta zewnętrznego wielokąta, umie trudności dotyczące punktu od prostej, dwóch prostych równoległych; zna określenie kąta i podział kątów ze względu na ich miarę; uzasadnić, że suma kątów zewnętrznych w wielokącie jest stała; odcinków, prostych, półprostych, kątów w tym zna pojęcie kątów przyległych i kątów wierzchołkowych oraz potrafi potrafi udowodnić twierdzenie o liczbie z zastosowaniem poznanych zastosować własności tych kątów w rozwiązaniu prostych zadań; przekątnych w wielokącie; twierdzeń; zna własności kątów utworzonych między dwiema prostymi potrafi uzasadnić, że symetralna odcinka jest umie udowodnić twierdzenia równoległymi, przeciętymi trzecią prostą i umie je zastosować zbiorem punktów płaszczyzny równoodległych o katach środkowych w rozwiązywaniu prostych zadań; potrafi uzasadnić równoległość dwóch od końców odcinka; i wpisanych w koło; prostych, znajdując równe kąty odpowiadające; potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu umie udowodnić twierdzenie zna twierdzenie Talesa ; potrafi je stosować do podziału odcinka w danym trudności dotyczące odcinków, prostych, o kącie dopisanym do okręgu; stosunku, do konstrukcji odcinka o danej długości, do wyznaczania półprostych, kątów i trójkątów, z zastosowaniem umie udowodnić własności długości odcinka; poznanych twierdzeń; figur geometrycznych zna twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa i potrafi je stosować do zna dowody twierdzeń o kątach środkowych w oparciu o poznane uzasadnienia równoległości odpowiednich odcinków lub prostych; i wpisanych; twierdzenia; zna wnioski z twierdzenia Talesa i potrafi je stosować w rozwiązaniach wie, co to jest kąt dopisany do okręgu; potrafi rozwiązywać zadania o prostych zadań; zna twierdzenie o kątach dopisanym do okręgu podwyższonym stopniu zna twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego trójkąta, potrafi je i wpisanym w okrąg opartych na tym samym trudności dotyczące stosować w rozwiązaniach prostych zadań; łuku przekształceń potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne wykorzystując: potrafi rozwiązać zadania o średnim stopniu geometrycznych w których twierdzenie Talesa, wnioski z niego wypływające, twierdzenie trudności dotyczące okręgów, stycznych, kątów stosuje oryginalne metody o dwusiecznej kąta wewnętrznego środkowych, wpisanych i dopisanych rozwiązań i które wymagają umie określić położenie prostych na płaszczyźnie; z zastosowaniem poznanych twierdzeń; niestandardowych pomysłów; zna pojęcie dwusiecznej kąta i symetralnej odcinka, potrafi zastosować potrafi rozwiązać zadania złożone wymagające wykorzystania równocześnie kilku poznanych

własność dwusiecznej oraz symetralnej odcinka w rozwiązaniu prostych zadań, a także skonstruować dwusieczną danego kąta i symetralną danego odcinka; zna definicję koła i okręgu, poprawnie posługuje się terminami: promień, środek okręgu, cięciwa, średnica i łuk okręgu; potrafi określić wzajemne położenie prostej i okręgu; zna definicje stycznej do okręgu; zna twierdzenie o stycznej do okręgu i potrafi je wykorzystać przy rozwiązywaniu prostych zadań; zna twierdzenie o odcinkach stycznych i potrafi je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań; umie określić wzajemne położenie dwóch okręgów; posługuje się terminami: kąt wpisany w koło, kąt środkowy koła, zna twierdzenia dotyczące kątów wpisanych i środkowych i umie je zastosować przy rozwiazywaniu prostych zadań; zna określenie wielokąta i przekątnej wielokąta; zna i potrafi zastosować wzór na liczbę przekątnych wielokąta; zna pojęcie wielokąta foremnego i potrafi rozróżnić takie wielokąty; zna pojęcie przekształcenia geometrycznego i potrafi podać przykłady przekształceń geometrycznych; wie jakie przekształcenie geometryczne jest tożsamościowe; zna i rozumie pojęcie przekształcenia izometrycznego; zna pojęcie przesunięcia równoległego o wektor i potrafi wyznaczyć obraz figury geometrycznej w przesunięciu równoległym o wektor; zna pojęcie symetrii osiowej względem prostej i potrafi wyznaczyć obraz figury geometrycznej w symetrii osiowej względem prostej; zna pojęcie symetrii środkowej względem punktu i potrafi wyznaczyć obraz figury geometrycznej w symetrii środkowej względem punktu; potrafi wskazać punkty stałe poznanych przekształceń geometrycznych; potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii osiowej względem osi OX oraz osi OY; zna i rozumie pojęcie środka symetrii figury; zna i rozumie pojęcie osi symetrii figury; potrafi wyznaczyć osie symetrii i środek symetrii danej figury, a także wskazać figury środkowo i osiowosymetryczne; zna określenie wektora i potrafi podać jego cechy (bez układu współrzędnych); zna określenie wektorów równych i wektorów przeciwnych oraz potrafi stosować własności tych wektorów w rozwiązywaniu zadań; potrafi wykonywać działania na wektorach dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie przez liczbę (syntetycznie ); własności. 5. Geometria płaska trójkąty zna podział trójkątów ze względu na boki i kąty; zna twierdzenia o zależnościach między kątami potrafi udowodnić wie ile wynosi suma miar kątów w trójkącie i czworokącie; zna warunek na długość odcinków z których można zbudować trójkąt i stosuje je przy rozwiązywaniu zadań; i bokami w trójkącie; potrafi udowodnić twierdzenie o odcinku łączącym środki boków w trójkącie; twierdzenie o środkowych w trójkącie; potrafi udowodnić zna twierdzenie Pitagorasa i umie je zastosować w rozwiązywaniu potrafi udowodnić twierdzenie o sumie kątów twierdzenie o wysokościach w prostych zadań; w trójkącie (wielokącie); trójkącie; zna twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i wykorzystuje je do potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu potrafi rozwiązywać sprawdzania,czy dany trójkąt jest prostokątny; trudności dotyczące trójkątów i okręgów na nich nietypowe zadania umie określić na podstawie długości boków trójkąta, czy trójkąt jest opisanych i w nie wpisanych, z zastosowaniem o podwyższonym stopniu ostrokątny, czy rozwartokątny; poznanych twierdzeń; trudności dotyczące wie, że wysokości ( lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym potrafi obliczyć długość promienia okręgu i trójkątów, w tym punkcie; wpisanego w trójkąt równoramienny i długość z zastosowaniem poznanych zna i umie zastosować w zadaniach własność wysokości w trójkącie promienia okręgu opisanego na trójkącie twierdzeń; prostokątnym poprowadzonej na przeciwprostokątną; równoramiennym, mając dane długości boków potrafi udowodnić zna twierdzenie o środkowych w trójkącie oraz potrafi je zastosować trójkąta; twierdzenie o stycznej w rozwiązaniu prostych zadań; umie udowodnić twierdzenie o odcinkach i siecznej. zna twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków oraz potrafi je stycznych; zastosować w rozwiązaniu prostych zadań; potrafi stosować cechy podobieństwa trójkątów zna twierdzenie o sumie kątów w trójkącie oraz potrafi je zastosować do rozwiązywania zadań z wykorzystaniem w rozwiązaniu prostych zadań; innych, wcześniej poznanych własności; zna pojęcie środka ciężkości trójkąta; potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu zna twierdzenie o symetralnych boków w trójkącie i potrafi skonstruować trudności dotyczące trójkątów, z zastosowaniem okrąg opisany na trójkącie; poznanych do tej pory twierdzeń; zna twierdzenie o dwusiecznych kątów w trójkącie i potrafi skonstruować zna twierdzenie o stycznej i siecznej oraz potrafi okrąg wpisany w trójkąt; je stosować w rozwiązywaniu zadań geometrycznych. zna i stosuje przy rozwiązywaniu prostych zadań własności trójkąta równobocznego: długość wysokości w zależności od długości boku, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt; zna i stosuje własności trójkąta prostokątnego: suma miar ostrych trójkąt, długość wysokości w trójkącie prostokątnym równoramiennym

w zależności od długości przyprostokątnej; długość promienia okręgu opisanego na trójkącie i długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt w zależności od długości boków trójkąta, zależność między długością środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego a długością przeciwprostokątnej; zna i umie stosować w zadaniach własność wysokości w trójkącie prostokątnym, poprowadzonej na przeciwprostokątną; zna podstawowe własności trójkąta równoramiennego i stosuje je przy rozwiązywaniu prostych zadań; zna trzy cechy przystawania trójkątów i potrafi je zastosować w rozwiązaniu prostych zadań; zna cechy podobieństwa trójkątów; potrafi je stosować do rozpoznawania trójkątów podobnych i przy rozwiązywaniu prostych zadań; umie obliczyć skalę podobieństwa trójkątów podobnych; 6. Trygonometria Uczeń zna pojęcie kata skierowanego; potrafi rozwiązywać zadania o wie, co to jest miara główna kata skierowanego podwyższonym stopniu i potrafi ją wyznaczyć dla dowolnego kata; trudności, wymagające zna definicje funkcji trygonometrycznych niekonwencjonalnych dowolnego kąta; pomysłów i metod; potrafi określić znaki funkcji potrafi udowodnić trygonometrycznych w poszczególnych twierdzenie sinusów; ćwiartkach układu współrzędnych; potrafi udowodnić potrafi obliczyć, na podstawie definicji, wartości twierdzenie cosinusów; funkcji trygonometrycznych takich katów, jak: 210, 315, 330 ; umie zbudować w układzie współrzędnych dowolny kąt o mierze α, gdy dana jest wartość jednej funkcji trygonometrycznej tego kąta; potrafi wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, gdy dana jest wartość jednej z nich; potrafi dowodzić różne tożsamości trygonometryczne; zna i potrafi stosować podstawowe tożsamości trygonometryczne (dla dowolnego kata, dla którego funkcje trygonometryczne są określone); zna i potrafi stosować wzory redukcyjne; zna twierdzenie cosinusów i potrafi je stosować w zadaniach geometrycznych; zna twierdzenie sinusów i potrafi je stosować w zadaniach geometrycznych; potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu trudności, wykorzystując także wcześniej poznaną wiedzę o figurach geometrycznych. potrafi obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o danych długościach boków; potrafi znaleźć w tablicach kąt o danej wartości funkcji trygonometrycznej; potrafi odczytać z tablic wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta; potrafi korzystać z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych ( odczytanych z tablic) zna wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 30, 45, 60 ; potrafi rozwiązywać trójkąty prostokątne; potrafi obliczać wartości wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne kątów o miarach 30, 45, 60 ; zna definicję sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dowolnego kata wypukłego; potrafi wyznaczyć (korzystając z definicji) wartości funkcji trygonometrycznych takich katów wypukłych, jak: 120, 135, 150 ; zna znaki funkcji trygonometrycznych kątów wypukłych, różnych od 90 ; zna wartości funkcji trygonometrycznych (o ile istnieją) katów o miarach: 0, 90, 180 ; potrafi obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta wypukłego, gdy dana jest jedna z nich; zna i potrafi stosować podstawowe tożsamości trygonometryczne (w odniesieniu do kąta wypukłego): sin α sin 2 α + cos 2 α = 1, tgα =, tgα ctgα = 1; cosα potrafi dowodzić proste tożsamości trygonometryczne; potrafi stosować wzory redukcyjne w obliczaniu wartości wyrażeń; potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym; potrafi stosować miarę łukową i stopniową kąta (zamieniać stopnie na radiany i odwrotnie); potrafi zbudować kąt wypukły znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych tego kata potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne z zastosowaniem twierdzenia sinusów i cosinusów.; 7. Geometria płaska pole koła, pole trójkąta zna następujące wzory na pole trójkąta: P = 2 a P = 2 1 a ha, 3, gdzie a długość boku trójkąta równobocznego, 4 γ, 1 P = a b sinγ, gdzie 2 ( 0 ), 180 --potrafi wyprowadzić wzory na pole trójkąta abc P =, 4R 1 a + b + c P = p r, gdzie p =, 2 2 a + b + c P = p(p a)(p b)(p c), gdzie p = ; 2 potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne dotyczące trójkątów, równobocznego i wzory: P = 2 1 a b sinγ, 1 a + b + c P = p r, gdzie p =, ze wzoru 2 2 P = 2 1 a ha ; potrafi rozwiązywać zadania geometryczne o średnim stopniu trudności, wykorzystując wzory na pola trójkątów, w tym również z wykorzystaniem poznanych wcześniej własności trójkątów; potrafi rozwiązywać zadania geometryczne, wykorzystując cechy podobieństwa trójkątów, twierdzenie o polach figur podobnych; potrafi udowodnić twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa z wykorzystaniem pól odpowiednich trójkątów; potrafi rozwiązywać nietypowe zadania geometryczne o podwyższonym stopniu trudności z wykorzystaniem wzorów na pola figur i innych twierdzeń.

wykorzystując wzory na pole trójkąta i poznane wcześniej twierdzenia; potrafi obliczyć wysokość trójkąta, korzystając ze wzoru na pole; potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne dotyczące trójkątów, wykorzystując wzory na ich pola i poznane wcześniej twierdzenia, w szczególności twierdzenie Pitagorasa oraz własności okręgu wpisanego w trójkąt i okręgu opisanego na trójkącie; zna twierdzenie o polach figur podobnych; potrafi je stosować przy rozwiązywaniu prostych zadań; zna wzór na pole koła i pole wycinka koła; umie zastosować te wzory w rozwiązaniach prostych zadań; wie, że pole wycinka koła jest wprost proporcjonalne do miary odpowiadającego mu kąta środkowego kołą i jest wprost proporcjonalne do długości odpowiadającego mu łuku okręgu oraz umie zastosować tę wiedzę przy rozwiązywaniu prostych zadań. zna wzór na długość okręgu i długość łuku okręgu; umie zastosować te wzory w rozwiązaniach prostych zadań. 8. Funkcja i jej własności potrafi odróżnić funkcję od innych przyporządkowań; potrafi podawać przykłady funkcji; potrafi opisywać funkcje na różne sposoby: wzorem, tabelką, grafem, opisem słownym; potrafi szkicować wykres funkcji liczbowej określonej słownie, grafem, tabelką, wzorem; potrafi odróżnić wykres funkcji od krzywej, która wykresem funkcji nie jest; 2 3 1 zna wykresy funkcji, takich jak: y = x, y = x, y = x, y = x, y = ; x potrafi określić dziedzinę funkcji liczbowej danej wzorem (w prostych przypadkach); potrafi wyznaczyć miejsce zerowe funkcji liczbowej danej wzorem (w prostych przypadkach); potrafi obliczyć wartość funkcji liczbowej dla danego argumentu, a także obliczyć argument funkcji, gdy dana jest jej wartość; potrafi określić zbiór wartości funkcji w prostych przypadkach (np. w przypadku, gdy dziedzina funkcji jest zbiorem skończonym); potrafi na podstawie wykresu funkcji liczbowej odczytać jej własności, takie jak: a) dziedzina funkcji; b) zbiór wartości funkcji; c) miejsce zerowe funkcji; d) argument funkcji, gdy dana jest wartość funkcji; e) wartość funkcji dla danego argumentu; f) przedziały w których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała; g) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne, niedodatnie, nieujemne; h) najmniejszą oraz największą wartość funkcji; i) parzystość, nieparzystość, okresowość; j) różnowartościowość; k) potrafi narysować wykres funkcji o zadanych własnościach; potrafi narysować wykres funkcji liczbowej, której wzór jest określony za pomocą wzorów różnych funkcji składowych; potrafi interpretować informacje na podstawie wykresów funkcji lub ich wzorów (np. dotyczące różnych zjawisk przyrodniczych, ekonomicznych, socjologicznych, fizycznych); potrafi obliczyć miejsce zerowe funkcji liczbowej oraz współrzędne punktu w którym wykres przecina oś OY, której wzór jest określony za pomocą wzorów różnych funkcji składowych; potrafi opisać własności funkcji liczbowej, której wzór jest określony za pomocą wzorów różnych funkcji składowych; potrafi stosować wiadomości o funkcji do opisywania zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu codziennym; potrafi podać opis matematyczny prostej sytuacji w postaci wzoru funkcji; potrafi przetwarzać informacje dane w postaci wzoru lub wykresu funkcji; umie na podstawie wykresów funkcji f i g podać zbiór rozwiązań równania f ( x) = g( x) oraz nierówności typu: f ( x) < g( x), f ( x) g( x). rozwiązuje zadania dotyczące trójkątów, w których wykorzystuje twierdzenia poznane wcześniej (tw. Pitagorasa, tw.talesa, tw. sinusów, tw. cosinusów, twierdzenia o kątach w kole itp. ) potrafi dowodzić twierdzenia, w których wykorzystuje pojęcie pola. potrafi określić dziedzinę funkcji liczbowej potrafi rozwiązywać zadania o danej wzorem w przypadku, gdy wyznaczenie podwyższonym stopniu dziedziny funkcji wymaga rozwiązania trudności. koniunkcji warunków, dotyczących mianowników lub pierwiastków stopnia drugiego, występujących we wzorze; potrafi obliczyć miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem; wie, jakie funkcje nazywamy równymi; zna definicję funkcji parzystej oraz nieparzystej; wie, jaką funkcję nazywamy okresową; potrafi podać własności funkcji okresowej na podstawie jej wykresu; potrafi zbadać na podstawie definicji, czy dane funkcje są równe; potrafi zbadać na podstawie definicji parzystość (nieparzystość) danej funkcji; potrafi zbadać na podstawie definicji monotoniczność danej funkcji; potrafi udowodnić na podstawie definicji różnowartościowość danej funkcji; potrafi wyznaczyć najmniejszą oraz największą wartość funkcji w przedziale domkniętym; posługuje się wykresami funkcji: y = reszta z dzielenia x przez 3, gdzie x C, y = sgn x, y = [x], y = x [x], y = max(5, x ), y = min (x, 2x + 1); potrafi stosować wiadomości o funkcji do opisywania zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu codziennym; potrafi podać opis matematyczny prostej sytuacji w postaci wzoru funkcji; potrafi naszkicować wykres funkcji kawałkami ciągłej na podstawie wzoru tej funkcji; potrafi na podstawie wykresu funkcji kawałkami ciągłej omówić jej własności; 9. Przekształcenia wykresów funkcji zna określenie wektora i potrafi podać jego cechy; potrafi obliczyć współrzędne wektora, mając dane współrzędne początku i końca wektora; potrafi obliczyć współrzędne początku wektora (końca wektora), gdy zna własności działań na wektorach i potrafi je stosować w rozwiązywaniu zadań o średnim stopniu trudności; potrafi na podstawie wykresu funkcji y = f (x) potrafi rozwiązywać nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności), dotyczące

dane ma współrzędne wektora oraz współrzędne końca (początku) wektora; potrafi wyznaczyć długość wektora (odległość między punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej); zna określenie wektorów równych i wektorów przeciwnych oraz potrafi stosować własności tych wektorów przy rozwiązywaniu zadań; potrafi wykonywać działania na wektorach: dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie przez liczbę (analitycznie); potrafi obliczyć współrzędne środka odcinka; potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii osiowej względem osi OX oraz osi OY; potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii środkowej względem punktu (0,0); potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor; potrafi narysować wykres funkcji y = f(x) + q, y = f(x p), y = f(x p) + q, y = f(x), y = f( x) oraz y = f( x) w przypadku, gdy dany jest wykres funkcji y = f(x); (potrafi narysować wykresy funkcji określonych wzorami, np.: y = (x + 3) 2 ; y = x 4; y = x 1 ; sporządzić wykresy funkcji: y = f(x), y = f( x ), y = k f(x), k 0 oraz y = f(k x), k 0; potrafi naszkicować wykres funkcji, którego sporządzenie wymaga kilku poznanych przekształceń; potrafi przeprowadzić dyskusję rozwiązań równania z parametrem f(x) = m, w oparciu o wykres funkcji f; potrafi stosować własności przekształceń geometrycznych przy rozwiązywaniu zadań o średnim stopniu trudności. przekształceń wykresów funkcji oraz własności funkcji.. y = (x 1) 2 5, y = 1 x, y = + 3); x 2