WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi. WARTOŚĆ LICZBOWA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNEGO Wartością liczbową wyrażenia algebraicznego dla danych wartości zmiennych nazywamy liczbę, którą otrzymamy po podstawieniu tych wartości w miejsce zmiennych. Wyrażenia algebraiczne służą do symbolicznego zapisywania różnych wielkości. Na przykład pole prostokąta o bokach i zapisujemy za pomocą wyrażenia, a objętość walca o promieniu r i wysokości h za pomocą wyrażenia. JEDNOMIAN Jednomian to iloczyn liczby i zmiennych, na przykład:,, itd. Jednomiany podobne (wyrazy podobne), to jednomiany, w których występują te same zmienne w tej samej potędze jednomiany podobne mogą różnić się jedynie współczynnikiem liczbowym. Jednomiany podobne można dodawać i odejmować (redukować). Zapisywanie jednomianów w najprostszej postaci nazywamy porządkowaniem. SUMA I ILOCZYN ALGEBRAICZNY Sumę dwóch lub większej liczby jednomianów nazywamy sumą algebraiczną. Na przykład sumy algebraiczne to:,, Iloczyn dwóch lub większej liczby sum algebraicznych nazywamy iloczynem algebraicznym. Na przykład iloczyny algebraiczne to:,, DZIAŁANIA NA WYRAŻENIACH ALGEBRAICZNYCH Reguły opuszczania nawiasów. Jeżeli w sumie algebraicznej występują nawiasy, to nawiasy poprzedzone znakiem plus (lub gdy nie ma przed nimi żadnych znaków), można usunąć bez zmiany znaków przed wyrazami w nawiasach, na przykład: nawiasy poprzedzone znakiem minus, można usunąć, zmieniając jednocześnie znak każdego wyrazu występującego w nawiasie na przeciwny, na przykład: Dodawanie sum algebraicznych. Aby wykonać dodawanie, należy najpierw opuścić nawiasy, a następnie zredukować wyrazy podobne, na przykład: 1
Odejmowanie sum algebraicznych. Aby wykonać odejmowanie, należy najpierw opuścić nawiasy, a następnie zredukować wyrazy podobne, na przykład: Mnożenie sum algebraicznych przez jednomian. Aby wykonać mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian, należy każdy składnik sumy pomnożyć przez ten jednomian według następującego wzoru: Jest to tzw. prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania, na przykład: Mnożenie sum algebraicznych przez siebie. Aby wykonać mnożenie sum algebraicznych przez siebie należy każdy składnik pierwszej sumy pomnożyć przez każdy składnik drugiej sumy, według wzoru: Na przykład: KOLEJNOŚĆ WYKONYWANIA DZIAŁAŃ Matematyka to sztuka a w każdej sztuce konieczne jest opanowanie rzemiosła. Tym rzemiosłem jest prawidłowe wykonywanie działań. Opiszę to na przykładzie. Przypuśćmy, że mamy obliczyć wartość wyrażenia: [ ] Pierwszeństwo mają działania w nawiasach. W nich z kolei zaczynamy od potęgowania, następnie wykonujemy mnożenie, a następnie dodawanie. Na końcu rezultat musimy podnieść do potęgi. A zatem,. W nawiasie mamy zatem. Na koniec Zapamiętajmy najpierw wykonujemy potęgowanie, potem mnożenie i dzielenie (w kolejności zapisu), a następnie dodawanie i odejmowanie (też w kolejności zapisu). Kolejność zapisu oznacza, że, gdyż najpierw dzielimy 4 przez 5 a następnie wynik mnożymy przez 2. Gdybyśmy operacje wykonali w innej kolejności otrzymalibyśmy inny (nieprawidłowy) rezultat. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA kwadrat sumy kwadrat różnicy różnica kwadratów sześcian sumy sześcian sumy suma sześcianów suma sześcianów 2
ZAMIANA SUMY ALGEBRAICZNEJ NA ILOCZYN Zamianę sumy algebraicznej na iloczyn możemy dokonać poprzez: wyłączenie wspólnego czynnika przed nawias, na przykład: wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia, na przykład: grupowanie wyrazów, na przykład: POTĘGI O WYKŁADNIKU NATURALNYM Potęgowanie to po prostu mnożenie przez siebie danej liczby określoną ilość razy. Zapisujemy to następująco: i tych jest n. Na przykład. Liczbę nazywamy podstawą potęgi a jej wykładnikiem. Oczywiście. Na potęgach można wykonywać działania. I tak: Na przykład Na przykład Na przykład Na przykład POTĘGI O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM Jeżeli i jest liczbą naturalną to: Na potęgach o wykładniku ujemnym obowiązują wszystkie podane wyżej działania (tak samo jak dla dodatnich). PIERWIASTEK Jeżeli i to pierwiastkiem stopnia z liczby nazywamy taką liczbę, że. Pierwiastek stopnia z liczby oznaczamy. Jeżeli to w zapisie pomijamy i piszemy. Przykłady:, bo,, bo,, bo Nietrudno zauważyć, że nie z każdej liczby da się łatwo wyciągnąć pierwiastek. Już liczba sprawia kłopoty. Podobnie i wiele wiele innych. Jednak takie pierwiastki istnieją i są liczbami niewymiernymi. Będziemy je zapisywać właśnie w postaci i zajmiemy się nimi później. Liczbą niewymierną jest również dobrze znana liczba. Ma ona jednak inny typ niewymierności.. 3
LOGARYTM Logarytmem liczby b przy podstawie a nazywamy taką liczbę c, że a podniesione do potęgi c daje liczbę b. Matematycznie zapiszemy tą definicję tak: A zatem żeby obliczyć, wystarczy odpowiedzieć na pytanie: Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę a, żeby otrzymać liczbę b?. Logarytm istnieje tylko wtedy, gdy spełnione są trzy warunki, nazywane dziedziną logarytmu. podstawa logarytmu musi by ć zawsze liczbą dodatnią, czyli:, podstawa musi być różna od 1, zatem:, liczba logarytmowana musi być dodatnia, czyli:. Własności logarytmów: 1. 2. 3. 4. 5. = 6. ZADANIA SPRAWDZAJĄCE 1. Zapisz poniższe wyrażenia w postaci pojedynczej potęgi b) = c) = d) = e) (( ) ) = 2. Zapisz poniższe wyrażenia w postaci potęgi liczby punkty a b c i punkty d, e, f):, b), c) ( ) ( ) ( ) d), ( ), ( ) e),, 4
f),,,, 3. Oblicz wartości wyrażeń b) c) d) e) 4. Wykonaj działania b) ( ) c) ( ) ( ) = d) ( ) ( ) = 5. Uprość wyrażenia b) c) ( ) d) 6. Usuń niewymierności z mianowników ułamków b) 7. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia [( ) ( ) ] c) d) e) b) [( ) ( ) ] 5 c) d) 8. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego: liczbę o mniejszą od liczby m b) liczbę razy większą od liczby w c) połowę liczby g d) kwadrat liczby p
6 e) iloraz kwadratu liczby a przez 5 f) pole 5 razy mniejsze od pola P g) objętość razy większą od objętości V h) trzy kolejne liczby naturalne pierwszą z nich oznacz n 9. Doprowadź do najprostszej postaci b) w a w a c) d) a a e) a a f) a b a b g) h) a b c a b c a b c 10. Wykonaj mnożenie i zredukuj wyrazy podobne: a b a b b) t s t s c) d) e) m m f) a a g) b c b c h) b c b c 11. Zastosuj wzory skróconego mnożenia b) c) d) ( ) e) a b f) g) ab h) ab i) y j) (x 3)(x+3) = k) (3x+7) (3x 7) = l) ( )( ) 12. Zamień sumy algebraiczne na iloczyny: y y b) 25 + 20xy + 4y = c) a 2a + 1 = d) y 10ay + 25a =
7 e) 4y 24xy + 36 = f) 16 b = g) 25 = h) 4a 49 = i) 36z 9 = 13. Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci stosując wzory skróconego mnożenia y y y b) c) 14. Rozłóż wyrażenia na czynniki a b ab b) a ab b c) y d) e) a ay b by f) a ay b by g) am an m n h) ac bc a b i) a ab ac bc j) a b b c c a k) l) 15. Rozwiąż równania b) c) d) e) f) y g) y h) i) j) k) l) m) n) o) p) q)
r) s) a a a a a t) c c c c u) 16. Rozwiąż nierówności b) c) d) e) f) 17. Oblicz poniższe logarytmy b) c) d) e) ( ) f) g) h) i) j) 18. Korzystając z definicji logarytmu wyznacz : b) c) d) e) 8