Andrzej Jackowicz Korczy ski Zakład Elektroenergetyki AGH Konspekt do wiczenia Pole elektryczne w izolacji kabli WN Streszczenie: Niniejszy konspekt opisuje metody modelowania pola elektrycznego w kablach wysokiego napi cia. Omówiono w nim cz teoretyczn wiczenia konieczn do opanowania przez studentów oraz cz praktyczn wiczenia laboratoryjnego ze szczegółowym opisem procedury pomiarowej oraz urz dze koniecznych do przeprowadzenia wiczenia.
Modelowanie rozkładu pola elektrycznego w kablu jedno yłowym. Analiza wpływu geometrii układu na rozkład pola i napr enie elektryczne
1. Wst p Konstrukcja kabla jedno yłowego analizowana w tym wiczeniu została przedstawiona na rys. 1. r 1 d r 2 Rys. 1. Geometria kabla koncentrycznego Układ ten stanowi model jedno yłowego kabla z izolacj jednorodn. yła kabla ma promie r 1, natomiast izolacja ma grubo d. Traktuj c kabel jako układ dwóch niesko czonej długo ci walców umieszczonych współosiowo mo na wyznaczy rozkład potencjałów w przekroju izolacji kabla dany wzorem: U U ( 1 2 ln r V r = U 2 r + r (1 1 2 ln r 2 gdzie: U 1 napi cie yły U 2 napi cie na ekranie r 1 promie yły r 2 = r 1 +d promie od osi kabla do izolacji Dla kabla napi cia stałego warto potencjału odpowiada warto ci potencjału elektrostatycznego, natomiast w przypadku kabla napi cia stałego warto ci te odpowiadaj warto ci skutecznej, zespolonej lub maksymalnej w zale no ci od warto ci dobranych dla zmiennych U 1 i U 2. Wyznaczaj c wektor nat enia pola elektrycznego na podstawie równania: E ( r grad( V ( r = (2 otrzymujemy równanie: U1 U 2 E ( r = (3 r 2 r ln r 1
Warto maksymalna wektora nat enia pola elektrycznego wyst puje zatem w izolacji znajduj cej si w pobli u yły kabla i mo e by wyznaczona ze wzoru: U1 U 2 E max = (4 r 2 r1 ln r 1 Nale y zwróci uwag, e w tym przypadku warto ci nat enia pola elektrycznego nie zale od parametrów materiałowych izolacji, zarówno dla pola przepływowego jak i dla pola przemiennego. 2. Opis modelowanych konstrukcji kabla wysokiego napi cia stałego i przemiennego W celu okre lenia rozkładu nat enia pola elektrycznego w kablach jedno yłowych wysokiego napi cia stałego o budowie koncentrycznej nale y przeprowadzi obliczenia symulacyjne dla wybranych modeli kabli zestawionych w poni szej tabeli. Tabela 1. Parametry wybranych kabli jedno yłowych Opis kabla Prototyp A kabla HydroQuebec New England Prototyp B kabla HydroQuebec New England Prototyp C kabla HydroQuebec New England Wymiary geometryczne Izolacja r 1 [mm] r 2 [mm] Napięcie 46,9 1,6 papierowo-olejowa 5 kv DC 47,3 92,9 papierowo-olejowa 5 kv DC 47,7 92,7 papierowo-olejowa 5 kv DC Podmorski kabel Hitachi 15,9 35,9 XLPE 25 kv DC XUHKXS 1x4/118 mm 2 Elektrim Kable S.A. 24,9 39,9 XLPE 11 kv AC U N 3. Wyznaczanie rozkładu pola metod analityczn oraz metod elementów sko czonych. Porównanie metod. W wiczeniu wykonywane s obliczenia rozkładu pola elektrycznego dla ró nych wymiarów geometrycznych kabli za pomoc wzorów przedstawionych wy ej, a tak e za pomoc programu FlexPDE korzystaj cego z metody elementów sko czonych. Przeprowadzenie oblicze ma na celu porównanie metody analitycznej z metod sko czon, oraz zapoznanie si z metod elementów sko czonych, stosowan pó niej w bardziej skomplikowanych układach.
Uzyskany przy zastosowaniu metody MES rozkład pola elektrycznego nale y porówna z rozkładem uzyskanym na podstawie wzoru (3. Nale y okre li tak e bł d metody sko czonej dla ró nych g sto ci elementów dyskretyzuj cych obszar, traktuj c wzór (3 jako rozwi - zanie dokładne. W czasie wiczenia wprowadzane s tak e zagadnienia wykorzystania w obliczeniach układu cylindrycznego i warunków brzegowych drugiego rodzaju w celu ograniczenia rozpatrywanego obszaru i wykorzystania symetrii geometrycznej. 4. Wpływ wymiarów kabla na rozkład pola i warto maksymaln W cz ci praktycznej nale y tak e wyznaczy rozkłady warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego w funkcji wymiarów geometrycznych na podstawie wzoru (4 przy załoeniu pewnej wybranej przez prowadz cego warto ci napi cia. Na podstawie okre lonych w ten sposób napr e okre li optymalne wymiary geometryczne kabla przy zało eniu odpowiedniej wytrzymało ci izolacji i okre lonego dla wybranego układu napi cia probierczego.
Wpływ temperatury yły (obci enia pr dowego na rozkład i warto ci maksymalne nat enia pola elektrycznego w kablu koncentrycznym napi cia stałego
1. Wst p O wytrzymało ci i trwało ci układów izolacyjnych napi cia stałego decyduje wiele czynników. Jednym z nich jest napr enie elektryczne, które jest zwi zane z wyst powaniem pola elektrycznego w izolacji. W przypadku napi stałych pole elektryczne jest nazywane polem przepływowym, poniewa warto ci nat enia tego pola s zwi zane z rezystywno ci izolacji. Rezystywno izolacji w rzeczywistych układach nie jest stała, gdy zale y od temperatury izolacj. Zale no t najlepiej opisuje funkcja: gdzie: α ( t t ( t = ρ e ρ (1.1 ρ rezystywno izolacji w temperaturze odniesienia t ρ ( t rezystywno izolacji w temperaturze odniesienia t α współczynnik okre laj cy podatno rezystywno ci na temperatur 2. Obliczanie rozkładu pola elektrycznego w kablu napi cia stałego o budowie koncentrycznej W układach izolacyjnych napi cia stałego rozkład nat enia pola elektrycznego zale y od rezystywno ci materiału izolacyjnego. Geometria układu izolacyjnego kabla o budowie koncentrycznej przedstawiona jest na rys. 1. r 1 d r 2 Rys. 1. Geometria kabla koncentrycznego Izolacja ta stanowi układ walców współosiowych co pozwala na przedstawienie rozkładu pola elektrycznego w tym układzie za pomoc wzoru: gdzie: E ( r U napi cie układu = r U ρ r 2 r 1 ρ ρ ( t rezystywno izolacji ( t( r ( t( r r dr
r 1,r 2 odpowiednio promie yły kabla i promie yły z izolacj Wyst puj ca we wzorze rezystywno ρ zale y od lokalnych warto ci temperatury izolacji zgodnie ze wzorem 1.1. Wyznaczenie rozkładu nat enia pola elektrycznego wymaga wi c w tym przypadku znajomo ci rozkładu rezystywno ci izolacji. Rozkład ten zale y od rozkładu temperatury w izolacji kabla. W przypadku geometrii układu jak na rys. 3.1. przy zało eniu jednorodno ci materiału izolacyjnego rozkład temperatury mo na wyznaczy ze wzoru: gdzie: r2 ( t1 t2 ln r t ( r = + t r2 ln r 1 1 t 1,t 2 odpowiednio temperatura yły kabla i temperatura zewn trznej warstwy izolacji r 1,r 2 odpowiednio promie yły kabla i promie yły z izolacj Wyznaczenie rozkładu pola elektrycznego wymaga wi c rozwi zania układu równa. 3. Opis modelowanego układu W celu okre lenia wpływu temperatury yły oraz współczynników α, β na rozkład nat - enia pola elektrycznego w kablu napi cia stałego o budowie koncentrycznej przeprowadzono obliczenia symulacyjne dla modelu kabla napi cia stałego (Rys. 1 o wymiarach: promie yły kabla r 1 = 16 [mm] ; promie yły z izolacj d = r2 r1 = 2 [mm]. Do oblicze przyj to warto napi cia kabla U = 25 [kv]. Przyj to, e materiał izolacyjny stanowi jednorodn substancj o stałym parametrze α, który wybierano z przedziału α ;. 3. 4. Wpływ temperatury yły na rozkład nat enia pola elektrycznego w kablu napi cia stałego o budowie koncentrycznej Z rozwa a zamieszczonych wy ej wynika, e rozkład nat enia pola elektrycznego jest zale ny od temperatury odpowiadaj cych zastosowanemu materiałowi izolacyjnemu. Temperatura yły zale y od pr dowego obci enia kabla. W zwi zku z tym porównano rozkłady uzyskane w wyniku symulacji, przy zmieniaj cym si współczynniku α.
4.1. Wpływ temperatury yły na rozkład nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie W wyniku przeprowadzonych symulacji otrzymano rozkłady nat enia pola elektrycznego dla ró nych temperatur yły kabla. W ka dym przypadku zało ono stały parametr α, których warto ci przedstawiono na wykresach (rys. 2 i 3. W przypadku, gdy współczynnik α = zmiana temperatury yły nie wpływa na rozkład nat enia pola elektrycznego. Na rys. 2 przedstawiono rozkład nat enia pola elektrycznego, który jest stały niezale nie od temperatury yły kabla. 2 18 α =. [Ω -1 mm -1 ] β =. [mm kv -1 ] E(r [kv mm] 16 14 12 1 8 16 2 24 r [m m] 28 32 36 Rys. 2. Rozkład pola elektrycznego w izolacji kabla (pomini to wpływ współczynników α Je eli współczynnik α zmiana temperatury yły poci ga za sob zmian nat enia pola elektrycznego (rys. 3. Zmienia si tak e lokalizacja maksymalnej warto ci nat pola elektrycznego ze strefy w pobli u yły, do strefy zewn trznej izolacji. Warto ta mo e znacznie przekroczy maksymaln warto wyznaczon z pomini ciem wpływu temperatury. enia 7 6 5 α =.1 [Ω -1 mm -1 ] β =. [mm kv -1 ] t = 9 t = 7 E(r [kv mm] 4 3 2 t = 5 t = 3 1 16 2 24 r [mm] 28 32 36 t = 1 Rys. 3. Rozkład pola elektrycznego w izolacji kabla w zale no ci od temperatury yły
Z przeprowadzonej analizy wynika, e zwi kszenie temperatury yły w pewnym zakresie prowadzi do zmniejszania maksymalnego nat enia pola elektrycznego, za po przekroczeniu tego zakresu prowadzi do wzrostu warto ci maksymalnego nat enia pola elektrycznego oraz zjawiska inwersji napr e. 4.2. Wpływ współczynnika α na rozkład nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie Podobnie jak w przypadku badania wpływu temperatury yły przeprowadzono symulacje w celu otrzymania rozkładów nat enia pola elektrycznego dla ró nych współczynników α. W ka dym przypadku zało ono stał temperatur yły, które to warto ci przedstawiono na wykresach (rys. 4. E(r [kv mm] 3 25 2 15 1 5 t zyly = 2 [ C] β =. [mm kv -1 ] α =.3 α =.25 α =.2 α =.15 α =.1 α =.5 α = 16 2 24 28 32 36 r [mm] Rys. 4. Rozkład pola elektrycznego w izolacji kabla w zale no ci od współczynnika α (pomini to wpływ współczynnika β Krzywa na rys. 4 odpowiadaj ca α = jest rozkładem pola z rys 2 Zmiana współczynnika α powoduje zmian rozkładu nat enia pola elektrycznego (rys. 4. W zale no ci od warto ci tego współczynnika zmienia si tak e lokalizacja oraz warto maksymalnego nat enia pola elektrycznego ze strefy w pobli u yły, do strefy zewn trznej izolacji. Zwi kszanie współczynnikaα, przy zało onej temperaturze yły, prowadzi na pocz tku do zmniejszania si warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego, a nast pnie do jej wzrostu z jednoczesn zmian lokalizacji tego maksimum ze strefy w pobli u yły do strefy zewn trznej izolacji. 5. Wpływ temperatury yły oraz współczynników α, β na maksimum nat enia pola elektrycznego. O wytrzymało ci elektrycznej układu izolacyjnego decyduje maksymalna warto nat - enia pola elektrycznego w tym układzie. Po przeanalizowaniu w poprzednich rozdziałach
wpływu współczynnika materiałowego α oraz temperatury yły na rozkład pola elektrycznego powstaje pytanie o wpływ tych parametrów na warto maksymaln nat enia pola elektrycznego. W celu okre lenia relacji pomi dzy wymienionymi parametrami a warto ci maksymaln nat enia pola elektrycznego przeprowadzono szereg oblicze symulacyjnych, które pozwoliły wyznaczy warto maksimum rozkładu nat enia pola elektrycznego przy zmieniaj cych si współczynniku α oraz zmiennej temperaturze yły. 5.1. Wpływ temperatury yły na warto maksimum nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie W wyniku przeprowadzonych oblicze otrzymano przebieg zale no ci maksimum nat - enia pola elektrycznego dla ró nych temperatur yły kabla. W ka dym przypadku zało ono stały parametr α, których warto ci przedstawiono na wykresach (rys. 5. Na rys. 5 przedstawiono przykładowe rozkłady nat enia pola elektrycznego. 25 2 β =. [mm kv -1 ] α =.3 E [kv mm] 15 1 5 α =.2 α =.1 α = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t [ C] Rys. 5. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego w izolacji kabla od temperatury W przypadku, gdy współczynnik α = zmiana temperatury yły nie wpływa na rozkład nat enia pola elektrycznego. Je eli współczynnik α zmiana temperatury yły poci ga za sob zmian nat enia pola elektrycznego (rys. 5. W zale no ci od warto ci współczynnika α zmienia si tak e lokalizacja minimum zale no ci maksymalnego nat enia pola elektrycznego od temperatury. Warto ta mo e znacznie przekroczy maksymaln warto wyznaczon z pomini ciem wpływu temperatury izolacji. Z przeprowadzonej analizy wynika, e zwi kszenie temperatury yły w pewnym zakresie prowadzi do zmniejszania maksymalnego nat enia pola elektrycznego, za po przekroczeniu tego zakresu prowadzi do wzrostu warto ci maksymalnego nat enia pola elektrycznego. Zmiana lokalizacji maksymalnego nat enia pola elektrycznego widoczna jest w postaci wy-
ra nego minimum wyst puj cego w okolicy 2 [ C]. Wzrost maksimum nat enia pola po osi gni ciu minimum jest praktycznie proporcjonalny do wzrostu temperatury. Stromo zale no ci ro nie w przybli eniu proporcjonalnie wraz ze wzrostem współczynnika α. 5.2. Wpływ współczynnika α na warto maksimum nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie Podobnie jak w przypadku badania wpływu temperatury yły przeprowadzono symulacje w celu otrzymania zale no ci maksimum nat enia pola elektrycznego dla ró nych współczynników α. W ka dym przypadku zało ono stał temperatur yły, które to warto ci przedstawiono na wykresach (6. W przypadku, gdy współczynnik α zmiana temperatury yły poci ga za sob zmian nat nat enia pola elektrycznego (rys. 6. Zmienia si tak e lokalizacja maksymalnej warto ci enia pola elektrycznego ze strefy w pobli u yły do strefy zewn trznej izolacji. Zmiana ta jest widoczna na wykresach w postaci wyra nego minimum. Maksymalne nat enie pola zmienia si praktycznie liniowo do okre lonego minimum, a nast pnie rosn c w przybli eniu proporcjonalnie wraz ze wzrostem warto ci współczynnika α. 25 2 β =. [mm kv -1 ] t = 9 E [kv mm] 15 1 t = 7 t = 5 5 t = 3.5.1.15.2.25.3 α [Ω -1 mm -1 ] t = 1 Rys. 6. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego w izolacji kabla od współczynnika α W zale no ci od warto ci tego współczynnika zmienia si tak e lokalizacja oraz warto maksymalnego nat enia pola elektrycznego ze strefy w pobli u yły, do strefy zewn trznej izolacji. Zwi kszanie współczynnikaα, przy zało onej temperaturze yły, prowadzi na pocz tku do zmniejszania si warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego, a nast pnie do jej wzrostu z jednoczesn zmian lokalizacji tego maksimum ze strefy w pobli u yły do strefy zewn trznej izolacji. Zmiana temperatury yły powoduje w przybli eniu proporcjonalne zwi kszenie warto ci maksymalnego rozkładu pola.
Wynika z tego, e temperatura yły i współczynnik α determinuj skal zjawiska polegaj cego na zmniejszaniu, a nast pnie zwi kszaniu warto ci maksimum nat enia pola elektrycznego, przy jednoczesnej zmianie strefy maksymalnego napr enia. 5.3. Rozkład warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego w zale no ci od współczynnika α i temperatury yły Szczegółow analiz wpływu współczynników materiałowych umo liwia przedstawienie zale no ci maksimum nat enia pola od współczynników materiałowych na wykresie powierzchni w przestrzeni 3-D. Ka dy z wykonanych wykresów został wyznaczony dla temperatury yły podanej na wykresie. β =. [mm kv -1 ] E [kv m m -1 ] 25 2 15 1 5 1 t [ C] 5.1.2.3 α [Ω -1 mm-1].4
β =.1 [mm kv -1 ] E [kv m m -1 ] 6 5 4 3 2 1 1.4 5 t [ C].1.2.3 α [Ω -1 mm-1] β =.3 [mm kv -1 ] E [kv mm -1 ] 4 35 3 25 2 15 1 1.4 t [ C] 5.1.2.3 α [Ω -1 mm-1] Rys. 7. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego od współczynnika α i temperatury yły dla ró nych warto ci współczynnika β. Symetryczno rozkładów wzgl dem przek tnej głównej wiadczy o jednakowym wpływie temperatury yły i współczynnika α na warto maksymaln nat enia pola. Jest to zgodne ze wzorem 1.1.
Wpływ współczynników materiałowych α, β oraz temperatury yły na rozkład i warto ci maksymalne nat enia pola elektrycznego w kablu koncentrycznym napi cia stałego
1. Wst p O wytrzymało ci i trwało ci układów izolacyjnych napi cia stałego decyduje wiele czynników. Jednym z nich jest napr enie elektryczne, które jest zwi zane z wyst powaniem pola elektrycznego w izolacji. W przypadku napi stałych pole elektryczne jest nazywane polem przepływowym, poniewa warto ci nat enia tego pola s zwi zane z rezystywno ci izolacji. Rezystywno izolacji w rzeczywistych układach nie jest stała, gdy zale y od temperatury izolacji oraz od nat enia pola elektrycznego. Zale no t najlepiej opisuje funkcja: gdzie: [ α ( t t β ( E E ] ( t, E = ρ e ρ (1.1 ρ rezystywno izolacji w temperaturze odniesienia t i nat eniu pola elektrycznego odniesienia E ( t, E ρ rezystywno izolacji w temperaturze odniesienia t i nat eniu pola elektrycznego E α, β współczynniki okre laj ce podatno rezystywno ci od temperatury i nat enia pola elektrycznego. Powy sza zale no pozwala wyznaczy rezystywno gdy znane s : rezystywno w temperaturze odniesienia i w polu elektrycznym odniesienia, współczynniki materiałowe α, β. 2. Metoda wyznaczania współczynników α, β Metoda ta opiera si na metodzie najmniejszej sumy kwadratów. Po obustronnym logarytmowaniu równania 1.1 otrzymujemy: ( = ln( ρ + α ( t t + β ( E ln ρ E (2.1 Równanie 2.1 jest równaniem płaszczyzny w przestrzeni [, E,ln( ρ ] dla przestrzeni [ x y, z] t postaci: z = A + α ( x B + β ( y C (2.2,. Idea metody przedstawiona jest na rys. 2.1.
ρ [ Ω mm] 1 17 1 16 1 15 1 14 1 13 1 12 1 11 25 2 15 E [kv mm -1 ] 1 5 1 2 3 4 6 5 t [ C] 7 8 9 W równaniu tym współczynniki Rys. 1. Metoda wyznaczania współczynników α, β A, B, C s współczynnikami odniesienia i odpowiadaj odpowiednio rezystywno ci odniesienia w temperaturze odniesienia i przy nat elektrycznego odniesienia. W celu wyznaczenia współczynników materiałowych eniu pola α, β nale y wykona pomiary rezystywno ci w ró nych temperaturach z zakresu temperatur pracy materiału izolacyjnego i przy ró nym nat równa : ln ln ln ln eniu pola. Po wykonaniu n pomiarów rezystywno ci otrzymujemy układ ( ρ a1 ln( ρ ( ρ ln( ρ... ( ρ ln( ρ... a2 ai = α ( t = α ( t = α ( t ( ρ ln( ρ = α ( t t + β ( E E an oraz zlogarytmowany wektor rezystywno ci: 1 i 2 n t + β ( E t + β ( E 1 t + β ( E i E 2 E n E (2.3
Oznaczaj c: ( ρ1 ln( ρ ( ρ ln( ρ ln ln 2... Y = (2.4 ln( ρ i ln( ρ... ( ( ln ρ n ln ρ ( ρ a1 ln( ρ ( ρ ln( ρ ln ln a2... Y a = (2.5 ln( ρ ai ln( ρ... ( ( ln ρ an ln ρ α K = (2.6 β t1 t E1 E t2 t E2 E...... X = (2.7 ti t Ei E...... tn t En E mo na równanie 1.5 przedstawi w zapisie macierzowym: Y a = X K (2.8 Przyjmuj c kryterium jako ci aproksymacji: Q = 2 T ( ln( ln( = ( Y Y ( Y Y T ( Y X K ( Y X K = Y n = T i= 1 n Y 2 K T X T an = Y + K T X T a X K a = (2.9 Przyjmuj c warunek optymalno ci aproksymacji, czyli minimum kryterium jako ci po zró - niczkowaniu Q wzgl dem K: Q T T = 2 X Y + 2 X X K (2.1 K Przyrównuj c warto pochodnej do zera otrzymujemy: X T Y = X T X K (2.11
Z równania 2.11 mo na wyznaczy wektor K z zało eniem, e istnieje macierz ( 1 X T X : K = T 1 T ( X X X Y Wektor ten zawiera szukane stałe α, β. (2.12 3. Obliczanie rozkładu pola elektrycznego w kablu napi cia stałego o budowie koncentrycznej W układach izolacyjnych napi cia stałego rozkład nat enia pola elektrycznego zale y od rezystywno ci materiału izolacyjnego. Geometria układu izolacyjnego kabla o budowie koncentrycznej przedstawiona jest na rys. 3.1. r 1 d r 2 Rys. 2. Geometria kabla koncentrycznego Izolacja ta stanowi układ walców współosiowych co pozwala na przedstawienie rozkładu pola elektrycznego w tym układzie za pomoc wzoru: gdzie: E ( r U napi cie układu ( t, E = r U ρ r 2 r 1 ρ ρ rezystywno izolacji ( t( r, E( r ( t( r, E( r r 1,r 2 odpowiednio promie yły kabla i promie yły z izolacj r dr (3.1 Wyst puj ca we wzorze rezystywno ρ zale y od lokalnych warto ci temperatury izolacji oraz od lokalnego nat rozkładu nat enia pola elektrycznego zgodnie ze wzorem 1.1. Wyznaczenie enia pola elektrycznego wymaga wi c w tym przypadku znajomo ci rozkładu rezystywno ci izolacji. Rozkład ten zale y od rozkładu temperatury w izolacji kabla. W przypadku geometrii układu jak na rys. 3.1. przy zało eniu jednorodno ci materiału izolacyjnego rozkład temperatury mo na wyznaczy ze wzoru:
gdzie: r2 ( t1 t2 ln r t ( r = + t1 (3.2 r2 ln r 1 t 1,t 2 odpowiednio temperatura yły kabla i temperatura zewn trznej warstwy izolacji r 1,r 2 odpowiednio promie yły kabla i promie yły z izolacj Wyznaczenie rozkładu pola elektrycznego wymaga wi c rozwi zania układu równa 1.1 i 3.1 Rozwi zanie tego układu drog analityczn nie jest mo liwe. W zwi zku z tym do rozwi zania układu mo na zastosowa iteracyjn metod iteracyjn. 3.1. Zastosowanie metody iteracyjnej do wyznaczenia rozkładu pola elektrycznego Rozwi zanie układu równa 1.1 oraz 3.1 z niewiadomymi: rozkładem rezystywno ci oraz rozkładem nat enia pola jest mo liwe przy zastosowaniu metody iteracyjnej. Metoda ta polega na wyznaczeniu w kolejnych iteracjach rozwi zania przybli onego z dowoln dokładnoci. W celu wyznaczenia rozkładu nat enia pola elektrycznego i rozkładu rezystywno ci metod iteracyjn nale y podzieli izolacj na n warstw, w obr bie których warto ci nat pola elektrycznego, temperatury oraz rezystywno ci b d stałe. Nast pnie nale y ze wzoru 3.2 obliczy rozkład temperatury wewn trz izolacji t ( r oraz obra dowolny pocz tkowy rozkład nat enia pola elektrycznego E ( r. Ze wzoru 1.1 nale y wyznaczy rozkład rezystywno ci: nat ( ρ( t( r E ( r r, ρ = (3.3 Na podstawie wyznaczonego rozkładu rezystywno ci ze wzoru 3.1 wyznacza si rozkład enia pola elektrycznego: E t ( r = r U ρ r 2 r 1 ρ ( t( r, E ( r ( t( r, E ( r Nast pnie oblicza si ró nic rozkładów: r ( r E ( r E ( r p1 t dr (3.4 = (3.5 Po wyznaczeniu ró nicy pocz tkowy rozkład nat enia pola E ( r przelicza si na skorygowany rozkład nat enia pola E 1 ( r : enia
( r E ( r + k p ( r E1 1 = (3.6 W równaniu 3.6 współczynnik k.1;. 2 jest współczynnikiem podrelaksacji. Nast pnie na podstawie wzoru 1.1. nale y wyznaczy rozkład rezystywno ci: ( ρ( t( r E ( r ρ = (3.7 1 r, 1 W dalszych krokach powtarza si kolejno obliczenia ze wzorów 3.4, 3.5 podstawiaj c zamiast rozkładu pocz tkowego nat enia pola E ( r skorygowany rozkład nat enia pola ( r a zamiast rozkładu pocz tkowego nat enia pola ( r ρ. Po sprawdzeniu warto ci ró nicy ( r 1 ( r E 1, ρ skorygowany rozkład nat enia pola p 2 kontynuuje si obliczenia w krokach 3.6 i 3.7 gdy ró nica jest wi ksza ni zało ona; lub ko czy si obliczenia uznaj c przybli enie za wystarczaj ce, gdy w czasie oblicze warto ró nicy p i ( r b dzie wystarczaj co mała. W i-tej iteracji obliczane s kolejno: ( r ρ( t( r E ( r ρ = (3.3 E i, t ( r = r U ρ r 2 r 1 ρ i i i ( t( r, Ei ( r ( t( r, E ( r r ( r = E ( r E ( r i dr (3.4 p +1 (3.5 E i t ( r E ( r + k p ( r i+ 1 i i+ 1 i = (3.6 ( r ( t( r E ( r ρ i+ 1 = ρ, i+ 1 (3.7 W powy szej procedurze iteracyjnej mo na zatem uzyska przybli one z dowoln dokładnoci rozkłady nat 4. Opis modelowanego układu enia pola elektrycznego oraz rezystywno ci. W celu okre lenia wpływu temperatury yły oraz współczynników α, β na rozkład nat - enia pola elektrycznego w kablu napi cia stałego o budowie koncentrycznej przeprowadzono obliczenia symulacyjne dla modelu kabla napi cia stałego (Rys. 3.1 o wymiarach: promie yły kabla r 1 = 16 [mm] ; promie yły z izolacj d = r2 r1 = 2 [mm]. Do oblicze przyj to warto napi cia kabla U = 25 [kv]. Przyj to, e materiał izolacyjny stanowi jednorodn substancj o stałych parametrach α, β, które wybierano z przedziału α, β ;, 3.
5. Wpływ temperatury yły oraz współczynników α, β na rozkład nat enia pola elektrycznego w kablu napi cia stałego o budowie koncentrycznej Z rozwa a zamieszczonych wy ej wynika, e rozkład nat zale ny od temperatury oraz współczynników enia pola elektrycznego jest α, β odpowiadaj cych zastosowanemu materiałowi izolacyjnemu. W zwi zku z tym porównano rozkłady uzyskane w wyniku symulacji, przy zmieniaj cych si odpowiednich współczynnikach. 5.1. Wpływ temperatury yły na rozkład nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie W wyniku przeprowadzonych symulacji otrzymano rozkłady nat enia pola elektrycznego dla ró nych temperatur yły kabla. W ka dym przypadku zało ono stałe parametry których warto ci przedstawiono na wykresach (rys. 5.1.1. i rys. 5.1.2.. α, β, W przypadku, gdy współczynnik α = zmiana temperatury yły nie wpływa na rozkład nat enia pola elektrycznego. Na rys. 5.1.1. przedstawiono przykładowy rozkład nat enia pola elektrycznego, który jest stały niezale nie od temperatury yły kabla. 2 18 α =. [Ω -1 mm -1 ] β =. [mm kv -1 ] E(r [kv mm] 16 14 12 1 8 16 2 24 r [mm] 28 32 36 Rys. 5.1.1. Rozkład pola elektrycznego w izolacji kabla (pomini to wpływ współczynników α, β Je eli współczynnik α zmiana temperatury yły poci ga za sob zmian nat enia pola elektrycznego (rys. 5.1.2. Zmienia si tak e lokalizacja maksymalnej warto ci nat pola elektrycznego ze strefy w pobli u yły, do strefy zewn trznej izolacji. Warto ta mo e znacznie przekroczy maksymaln warto wyznaczon z pomini ciem wpływu temperatury. enia
7 6 5 α =.1 [Ω -1 mm -1 ] β =. [mm kv -1 ] t = 9 t = 7 E(r [kv mm] 4 3 2 t = 5 t = 3 1 t = 1 16 2 24 r [mm] 28 32 36 E(r [kv mm] 25 2 15 1 α =.1 [Ω -1 mm -1 ] β =.3 [mm kv -1 ] t = 9 t = 7 t = 5 t = 3 t = 1 5 16 2 24 r [mm] 28 32 36 Rys. 5.1.2. Rozkłady pola elektrycznego w izolacji kabla w zale no ci od temperatury yły Z przeprowadzonej analizy wynika, e zwi kszenie temperatury yły w pewnym zakresie prowadzi do zmniejszania maksymalnego nat tego zakresu prowadzi do wzrostu warto ci maksymalnego nat enia pola elektrycznego, za po przekroczeniu enia pola elektrycznego. 5.2. Wpływ współczynnika α na rozkład nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie Podobnie jak w przypadku badania wpływu temperatury yły przeprowadzono symulacje w celu otrzymania rozkładów nat enia pola elektrycznego dla ró nych współczynników α. W ka dym przypadku zało ono stał temperatur yły oraz stały parametr β, które to wartoci przedstawiono na wykresach (rys. 5.2.1..
E(r [kv mm] 3 25 2 15 1 5 t zyly = 2 [ C] β =. [mm kv -1 ] α =.3 α =.25 α =.2 α =.15 α =.1 α =.5 α = 16 2 24 28 32 36 r [mm] E(r [kv mm] 4 35 3 25 2 15 1 5 t zyly = 5 [ C] β =.1 [mm kv -1 ] α =.3 α =.25 α =.2 α =.15 α =.1 α =.5 α = 16 2 24 28 32 36 r [mm] E(r [kv mm] 6 5 4 3 2 t zyly = 9 [ C] β =.1 [mm kv -1 ] α =.3 α =.25 α =.2 α =.15 α =.1 α =.5 1 α = 16 2 24 r [mm] 28 32 36 Rys. 5.2.1. Rozkłady pola elektrycznego w izolacji kabla w zale no ci od współczynnika α
Zmiana współczynnika α powoduje zmian rozkładu nat enia pola elektrycznego (rys. 5.2.1. W zale no ci od warto ci tego współczynnika zmienia si tak e lokalizacja oraz warto maksymalnego nat enia pola elektrycznego ze strefy w pobli u yły, do strefy zewn trznej izolacji. Zwi kszanie współczynnikaα, przy zało onej temperaturze yły, prowadzi na pocz tku do zmniejszania si warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego, a nast pnie do jej wzrostu z jednoczesn zmian lokalizacji tego maksimum ze strefy w pobli u yły do strefy zewn trznej izolacji. Wynika z tego, e temperatura yły i współczynnik α determinuj skal zjawiska polegaj cego na zmniejszaniu, a nast pnie zwi kszaniu warto ci maksimum nat enia pola elektrycznego, przy jednoczesnej zmianie strefy maksymalnego napr enia. 5.3. Wpływ współczynnika β na rozkład nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie Po przeanalizowaniu wpływu temperatury yły oraz współczynnika α na rozkład pola elektrycznego nale y okre li wpływ współczynnika β na ten rozkład. Przeprowadzone symulacje pozwoliły otrzyma rozkłady nat enia pola elektrycznego dla ró nych współczynników β. W ka dym przypadku zało ono stał temperatur yły oraz stały parametr α, które to warto ci przedstawiono na wykresach (rys. 5.1.4.. 2 18 t zyly = 2 [ C] α =. [Ω -1 mm -1 ] E(r [kv mm] 16 14 12 1 β =.3 β =.2 β =.1 β = 8 16 2 24 28 32 36 r [mm]
7 6 t zyly = 5 [ C] α =.2 [Ω -1 mm -1 ] β = 5 E(r [kv mm] 4 3 2 β =.1 β =.2 β =.3 1 16 2 24 28 32 36 r [mm] 25 2 t zyly = 9 [ C] α =.3 [Ω -1 mm -1 ] β = E(r [kv mm] 15 1 5 β =.1 β =.2 β =.3 16 2 24 28 32 36 r [mm] Rys. 5.3.1. Rozkłady pola elektrycznego w izolacji kabla w zale no ci od współczynnika β Przeprowadzone obliczenia symulacyjne wskazuj, e współczynnik β zmienia rozkład nat enia pola elektrycznego, lecz nie decyduje o lokalizacji maksimum nat enia pola elektrycznego. Zwi kszanie warto ci współczynnika β, niezale nie od warto ci temperatury yły oraz warto ci współczynnika α, powoduje znaczne ograniczenie warto ci maksymalnej nat - enia pola elektrycznego. Jednocze nie rozkład ten wraz ze wzrostem współczynnika asymptotycznie zbli a si do rozkładu charakterystycznego dla pola jednostajnego.
6. Wpływ temperatury yły oraz współczynników α, β na maksimum nat enia pola elektrycznego. O wytrzymało ci elektrycznej układu izolacyjnego decyduje maksymalna warto nat - enia pola elektrycznego w tym układzie. Po przeanalizowaniu w poprzednich rozdziałach wpływu współczynników materiałowych α, β oraz temperatury yły na rozkład pola elektrycznego powstaje pytanie o wpływ tych parametrów na warto maksymaln nat enia pola elektrycznego. W celu okre lenia relacji pomi dzy wymienionymi parametrami a warto ci maksymaln nat enia pola elektrycznego przeprowadzono szereg oblicze symulacyjnych, które pozwoliły wyznaczy warto maksimum rozkładu nat enia pola elektrycznego przy zmieniaj cych si współczynnikach α, β oraz zmiennej temperaturze yły. 6.1. Wpływ temperatury yły na warto maksimum nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie W wyniku przeprowadzonych oblicze otrzymano przebieg zale no ci maksimum nat - enia pola elektrycznego dla ró nych temperatur yły kabla. W ka dym przypadku zało ono stałe parametry α, β, których warto ci przedstawiono na wykresach (rys. 6.1.1. i rys. 6.1.2.. Na rys. 6.1.1. przedstawiono przykładowe rozkłady nat enia pola elektrycznego. 25 2 β =. [mm kv -1 ] α =.3 E [kv mm] 15 1 5 α =.2 α =.1 α = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t [ C]
45 4 β =.2 [mm kv -1 ] α =.3 35 α =.2 E [kv mm] 3 25 2 α =.1 15 α = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t [ C] Rys. 6.1.1. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego w izolacji kabla od temperatury dla ró nych współczynników β W przypadku, gdy współczynnik α = zmiana temperatury yły nie wpływa na rozkład nat enia pola elektrycznego. Je eli współczynnik α zmiana temperatury yły poci ga za sob zmian nat enia pola elektrycznego (rys. 6.1.1 i 6.1.2.. W zale no ci od warto ci współczynnika α zmienia si tak e lokalizacja minimum zale no ci maksymalnego nat enia pola elektrycznego od temperatury. Warto ta mo e znacznie przekroczy maksymaln warto wyznaczon z pomini ciem wpływu temperatury izolacji. 2 19 18 α =. [Ω -1 mm -1 ] β = E [kv mm] 17 16 15 14 β =.1 β =.2 β =.3 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t [ C]
14 β = 12 1 α =.2 [Ω -1 mm -1 ] E [kv mm] 8 6 4 2 β =.1 β =.2 β =.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 t [ C] Rys. 6.1.2. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego w izolacji kabla od temperatury dla ró nych współczynników α Z przeprowadzonej analizy wynika, e zwi kszenie temperatury yły w pewnym zakresie prowadzi do zmniejszania maksymalnego nat tego zakresu prowadzi do wzrostu warto ci maksymalnego nat Zmiana lokalizacji maksymalnego nat enia pola elektrycznego, za po przekroczeniu enia pola elektrycznego. enia pola elektrycznego widoczna jest w postaci wyra nego minimum wyst puj cego w okolicy 2 [ C]. Wzrost maksimum nat enia pola po osi gni ciu minimum jest praktycznie proporcjonalny do wzrostu temperatury. Stromo zale no ci ro nie w przybli eniu proporcjonalnie wraz ze wzrostem współczynnika α. Wzrost współczynnika β powoduje asymptotyczn zmian zale no ci do linii prostej rozkładu jednostajnego. 6.2. Wpływ współczynnika α na warto maksimum nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie Podobnie jak w przypadku badania wpływu temperatury yły przeprowadzono symulacje w celu otrzymania zale no ci maksimum nat enia pola elektrycznego dla ró nych współczynników α. W ka dym przypadku zało ono stał temperatur yły oraz stały parametr β, które to warto ci przedstawiono na wykresach (rys. 6.2.1. i 6.2.2..
E [kv mm] 28 26 24 22 2 18 16 14 tŝyły = 2 [ C] β = β =.1 β =.2 β =.3 12.5.1.15.2.25.3 α [Ω -1 mm -1 ] 25 2 tŝyły = 9 [ C] β = E [kv mm] 15 1 5 β =.1 β =.2 β =.3 nat.5.1.15.2.25.3 α [Ω -1 mm -1 ] Rys. 6.2.1. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego w izolacji kabla od współczynnika α dla ró nych temperatur yły W przypadku, gdy współczynnik α zmiana temperatury yły poci ga za sob zmian enia pola elektrycznego (rys. 6.2.1 i 6.2.2.. Zmienia si tak e lokalizacja maksymalnej warto ci nat enia pola elektrycznego ze strefy w pobli u yły do strefy zewn trznej izolacji. Zmiana ta jest widoczna na wykresach w postaci wyra nego minimum. Maksymalne nat e- nie pola zmienia si praktycznie liniowo do okre lonego minimum, a nast pnie rosn c w przybli eniu proporcjonalnie wraz ze wzrostem warto ci współczynnika α. Wzrost współczynnika β powoduje asymptotyczn zmian zale no ci do linii prostej rozkładu jednostajnego. Współczynnik ten nie zmienia jednak warto ci minimalnej zale no ci maksymalnego nat enia pola od współczynnika α.
25 2 β =. [mm kv -1 ] t = 9 E [kv mm] 15 1 t = 7 t = 5 5 t = 3.5.1.15.2.25.3 α [Ω -1 mm -1 ] t = 1 45 4 35 β =.2 [mm kv -1 ] t = 9 t = 7 E [kv mm] 3 25 2 t = 5 t = 3 15 t = 1 1.5.1.15.2.25.3 α [Ω -1 mm -1 ] Rys. 6.2.2. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego w izolacji kabla od współczynnika α dla ró nych współczynników β W zale no ci od warto ci tego współczynnika zmienia si tak e lokalizacja oraz warto maksymalnego nat enia pola elektrycznego ze strefy w pobli u yły, do strefy zewn trznej izolacji. Zwi kszanie współczynnikaα, przy zało onej temperaturze yły, prowadzi na pocz tku do zmniejszania si warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego, a nast pnie do jej wzrostu z jednoczesn zmian lokalizacji tego maksimum ze strefy w pobli u yły do strefy zewn trznej izolacji. Zmiana temperatury yły powoduje w przybli eniu proporcjonalne zwi kszenie warto ci maksymalnego rozkładu pola. Wynika z tego, e temperatura yły i współczynnik α determinuj skal zjawiska polegaj cego na zmniejszaniu, a nast pnie zwi kszaniu warto ci maksimum nat enia pola elektrycznego, przy jednoczesnej zmianie strefy maksymalnego napr enia.
6.3. Wpływ współczynnika β na warto maksimum nat enia pola elektrycznego w omawianym układzie Po przeanalizowaniu wpływu temperatury yły oraz współczynnika α na maksymalne nat enie pola elektrycznego nale y okre li wpływ współczynnika β na t warto. Przeprowadzone symulacje pozwoliły otrzyma rozkłady nat enia pola elektrycznego dla ró - nych współczynników β. W ka dym przypadku zało ono stał temperatur yły oraz stały parametr α, które to warto ci przedstawiono na wykresach (rys. 6.3.1., 6.3.2, 6.3.3.. 2 19 α =. [Ω -1 mm -1 ] 18 E [kv mm] 17 16 15 14 13.5.1.15.2.25.3 β [kv -1 mm] Rys. 6.3.1. Rozkłady pola elektrycznego w izolacji kabla w zale no ci od współczynnika β (pomini to wpływ współczynnika α W przypadku, gdy współczynnik α = zmiana temperatury yły nie wpływa na rozkład nat enia pola elektrycznego. Na rys. 6.3.1. przedstawiono zale no maksymalnego nat e- nia pola elektrycznego od współczynnika β w takiej sytuacji. 7 6 α =.1 [Ω -1 mm -1 ] 5 E [kv mm] 4 3 t = 9 2 t = 7 t = 5 t = 3 1 t = 1.5.1.15.2.25.3 β [kv -1 mm]
25 α =.3 [Ω -1 mm -1 ] 2 E [kv mm] 15 1 5 t = 9 t = 7 t = 5 t = 3 t = 1.5.1.15.2.25.3 β [kv -1 mm] Rys. 6.3.2. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego w izolacji kabla od współczynnika β dla ró nych współczynników α Z przeprowadzonej analizy wynika, e maksimum nat enia pola elektrycznego zmienia si w zale no ci od współczynnika β. Wzrost tego współczynnika powoduje asymptotyczne zmniejszanie warto ci maksymalnej nat nat eniu jednostajnego pola elektrycznego. enia pola elektrycznego do warto ci odpowiadaj cej 28 26 t zyly = 2 [ C] E [kv mm] 24 22 2 18 16 α =.3 14 α =.2 α =.1 α = 12.5.1.15.2.25.3 β [kv -1 mm]
25 t zyly = 9 [ C] 2 E [kv mm] 15 1 5 α =.3 α =.2 α =.1 α =.5.1.15.2.25.3 β [kv -1 mm] Rys. 6.3.3. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego w izolacji kabla od współczynnika β dla ró nych temperatur yły Przeprowadzone obliczenia symulacyjne wskazuj, e współczynnik β zmienia rozkład nat enia pola elektrycznego, lecz nie decyduje o lokalizacji maksimum nat enia pola elektrycznego. Zwi kszanie warto ci współczynnika β, niezale nie od warto ci temperatury yły oraz warto ci współczynnika α, powoduje znaczne ograniczenie warto ci maksymalnej nat - enia pola elektrycznego. Jednocze nie rozkład ten wraz ze wzrostem współczynnika asymptotycznie zbli a si do rozkładu charakterystycznego dla pola jednostajnego. Blisko dwóch krzywych na wykresie górnym rysunku 6.3.3. wiadczy o zmianie lokalizacji minimum nat - enia pola ze strefy w pobli u yły kabla do strefy zewn trznej izolacji, w zwi zku ze zmian warto ci współczynnika α. 7. Rozkład warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego w zale no ci od współczynników materiałowych i temperatury yły analizowanego kabla W celu wyznaczenia tego rozkładu konieczne było wykonanie szeregu symulacyjnych oblicze, gdzie warto współczynników α, β zmieniano krokowo co,5 dobieraj c warto ci z przedziału α, β ;, 3. Temperatur zmieniano krokowo co 2 [ C] dobieraj c warto ci z przedziału t 1 ;9 [ C]. W wyniku przeprowadzonych symulacji uzyskano trójwymiarowy rozkład funkcji skalarnej: ( α, β t E = f, (7.1 max w przestrzeni zmiennych współczynników α, β i zmiennej temperatury t. Uzyskany rozkład funkcji skalarnej z równania 7.1 przedstawiono poni ej:
Rys. 7.1. Rozkład warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego w zale no ci od współczynników materiałowych i temperatury yły analizowanego kabla.
Rys. 7.2. Rozkład logarytmu warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego w zale no ci od współczynników materiałowych i temperatury yły analizowanego kabla. Na przedstawionych wykresach zamieszczono izopowierzchnie odpowiadaj ce wartociom maksymalnym nat enia pola E = 14 [kv mm ]. Kolorowe powierzchnie na grani- 1 cach obszaru ilustruj rozkład maksymalnych nat e pól na tych powierzchniach. Z wykresu wyra nie wynika, e warto ci maksymalne rosn zdecydowanie przy wzro cie współczynnika α oraz przy wzro cie temperatury; a malej przy wzro cie współczynnika β. Obecno dwóch izopowierzchni wiadczy o wspomnianym ju wcze niej fakcie zmiany strefy wyst - powania maksymalnego nat enia pola elektrycznego. Obszar na wykresie wydzielony przez izopowierzchni i obejmuj cy wi kszo przestrzeni wykresu odpowiada przypadkom, gdy maksymalne nat enie pola elektrycznego wyst puj przy zewn trznej stronie izolacji. Obszar pomi dzy dwiema izopowierzchniami odpowiada w praktyce jednostajnemu rozkładowi pola elektrycznego. Pozostały obszar charakteryzuje si maksymaln warto ci nat enia pola elektrycznego wyst puj c w otoczeniu yły.
7.1. Rozkład warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego w zale no ci od współczynników materiałowych α, β Szczegółow analiz wpływu współczynników materiałowych umo liwia przedstawienie zale no ci maksimum nat enia pola od współczynników materiałowych na wykresie powierzchni w przestrzeni 3-D. Ka dy z wykonanych wykresów został wyznaczony dla temperatury yły podanej na wykresie. E [kv mm -1 ] 2 t = 15 [ C] 18 16 14 12.4.3 α [Ω -1 m -1 ].2.1.1.2.3 β [mm V -1 ].4
t = 2 [ C] E [kv mm -1 ] 3 25 2 15 1.4.3.2 α [Ω -1 m -1 ].1.1.2 β [mm V -1 ].3.4 t = 5 [ C] E [kv mm -1 ] 12 1 8 6 4 2.4.3.2 α [Ω -1 m -1 ].1.1.2 β [mm V -1 ].3.4 Rys. 7.1.1. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego od współczynników materiałowych α, β dla ró nych temperatur yły. Z analizy powy szych wykresów mo na wywnioskowa, e zwi kszanie współczynnika β powoduje zmniejszanie warto ci maksymalnej nat enia pola. Przy wzro cie współczyn-
nika α nast puje zmniejszenie warto ci maksymalnej nat enia pola do okre lonego minimum, a nast pnie stopniowy wzrost tej warto ci. Lokalizacja tego minimum nie zale y od warto ci współczynnika β, co widoczne jest w postaci w wozu równoległego do osi współczynnika β. Z wykresów wynika, e istnieje zwi zek pomi dzy warto ci współczynnika α oraz temperatur yły a warto ci maksymaln nat enia pola. Warto współczynnika α, gdzie powy sze rozkłady osi gaj minimum jest warto ci optymaln tego współczynnika przy zało onej temperaturze yły. 7.2. Rozkład warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego w zale no ci od współczynnika α i temperatury yły Szczegółow analiz wpływu współczynników materiałowych umo liwia przedstawienie zale no ci maksimum nat enia pola od współczynników materiałowych na wykresie powierzchni w przestrzeni 3-D. Ka dy z wykonanych wykresów został wyznaczony dla temperatury yły podanej na wykresie. β =. [mm kv -1 ] E [kv mm -1 ] 25 2 15 1 5 1 t [ C] 5.1.2.3 α [Ω -1 mm-1].4
β =.1 [mm kv -1 ] E [kv mm -1 ] 6 5 4 3 2 1 1.4 5 t [ C].1.2.3 α [Ω -1 mm-1] β =.3 [mm kv -1 ] E [kv mm -1 ] 4 35 3 25 2 15 1 1.4 t [ C] 5.1.2.3 α [Ω -1 mm-1] Rys. 7.2.1. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego od współczynnika α i temperatury yły dla ró nych warto ci współczynnika β.
Z przedstawionych wykresów wynika, e lokalizacja minimum nie ulega zmianie w zale no ci od współczynnika β. Współczynnik ten zmienia jedynie skal zjawiska wzrostu maksymalnego nat enia pola elektrycznego przy wzro cie temperatury i współczynnika α.zmienia zatem stromo zboczy powy szych rozkładów. Symetryczno rozkładów wzgl dem przek tnej głównej wiadczy o jednakowym wpływie temperatury yły i współczynnika α na warto maksymaln nat enia pola. Jest to zgodne ze wzorem 1.1. 7.3. Rozkład warto ci maksymalnej nat enia pola elektrycznego w zale no ci od współczynnika β i temperatury yły Szczegółow analiz wpływu współczynników materiałowych umo liwia przedstawienie zale no ci maksimum nat enia pola od współczynników materiałowych na wykresie powierzchni w przestrzeni 3-D. Ka dy z wykonanych wykresów został wyznaczony dla temperatury yły podanej na wykresie. E [kv mm -1 ] α =.5 [Ω mm -1 ] 35 3 25 2 15 1 1 5 t [ C].1.2 β [mm V -1 ].3.4
α =.1 [Ω mm -1 ] E [kv mm -1 ] 7 6 5 4 3 2 1 1 t [ C] 5.1.2.3 β [mm V -1 ].4 α =.3 [Ω mm -1 ] E [kv mm -1 ] 25 2 15 1 5 1 5 t [ C].1.2 β [mm V -1 ].3.4 Rys. 7.3.1. Zale no maksimum nat enia pola elektrycznego od współczynnika β i temperatury yły dla ró nych warto ci współczynnika α.
Z analizy powy szych wykresów mo na wywnioskowa, e zwi kszanie współczynnika β powoduje zmniejszanie warto ci maksymalnej nat yły nast puje zmniejszenie warto ci maksymalnej nat enia pola. Przy wzro cie temperatury enia pola do okre lonego minimum, a nast pnie stopniowy wzrost tej warto ci. Lokalizacja tego minimum nie zale y od warto ci współczynnika β, co widoczne jest w postaci w wozu równoległego do osi współczynnika β. Z wykresów wynika, e istnieje zwi zek pomi dzy warto ci współczynnika α oraz temperatur yły a warto ci maksymaln nat enia pola. Warto temperatury yły, gdzie powy sze rozkłady osi gaj minimum jest warto ci optymaln tego współczynnika przy załoonym współczynniku α. 8. Metoda wyznaczania współczynników α, β Metoda ta opiera si na metodzie najmniejszej sumy kwadratów. Po obustronnym logarytmowaniu równania 1.1 otrzymujemy: ( = ln( ρ + α ( t t + β ( E ln ρ E (2.1 Równanie 2.1 jest równaniem płaszczyzny w przestrzeni [, E,ln( ρ ] dla przestrzeni [ x y, z] t postaci: z = A + α ( x B + β ( y C (2.2,. Idea metody przedstawiona jest na rys. 2.1.
ρ [ Ω mm] 1 17 1 16 1 15 1 14 1 13 1 12 1 11 25 2 15 E [kv mm -1 ] 1 5 1 2 3 4 6 5 t [ C] 7 8 9 Rys. 2.1. Metoda wyznaczania współczynników W równaniu tym współczynniki α, β A, B, C s współczynnikami odniesienia i odpowiadaj odpowiednio rezystywno ci odniesienia w temperaturze odniesienia i przy nat elektrycznego odniesienia. W celu wyznaczenia współczynników materiałowych eniu pola α, β nale y wykona pomiary rezystywno ci w ró nych temperaturach z zakresu temperatur pracy materiału izolacyjnego i przy ró nym nat równa : ln ln ln ln eniu pola. Po wykonaniu n pomiarów rezystywno ci otrzymujemy układ ( ρ a1 ln( ρ ( ρ ln( ρ... ( ρ ln( ρ... a2 ai = α ( t = α ( t = α ( t ( ρ ln( ρ = α ( t t + β ( E E an oraz zlogarytmowany wektor rezystywno ci: 1 i 2 n t + β ( E t + β ( E 1 t + β ( E i E 2 E n E (2.3
Oznaczaj c: ( ρ1 ln( ρ ( ρ ln( ρ ln ln 2... Y = (2.4 ln( ρ i ln( ρ... ( ( ln ρ n ln ρ ( ρ a1 ln( ρ ( ρ ln( ρ ln ln a2... Y a = (2.5 ln( ρ ai ln( ρ... ( ( ln ρ an ln ρ α K = (2.6 β t1 t E1 E t2 t E2 E...... X = (2.7 ti t Ei E...... tn t En E mo na równanie 1.5 przedstawi w zapisie macierzowym: Y a = X K (2.8 Przyjmuj c kryterium jako ci aproksymacji: Q = 2 T ( ln( ln( = ( Y Y ( Y Y T ( Y X K ( Y X K = Y n = T i= 1 n Y 2 K T X T an = Y + K T X T a X K a = (2.9 Przyjmuj c warunek optymalno ci aproksymacji, czyli minimum kryterium jako ci po zró - niczkowaniu Q wzgl dem K: Q T T = 2 X Y + 2 X X K (2.1 K Przyrównuj c warto pochodnej do zera otrzymujemy: X T Y = X T X K (2.11
Z równania 2.11 mo na wyznaczy wektor K z zało eniem, e istnieje macierz ( 1 X T X : K = T 1 T ( X X X Y Wektor ten zawiera szukane stałe α, β. (2.12
Pole elektryczne w warstwowych układach izolacyjnych kabli (kable hybrydowe
Konstrukcje izolacji kabli wielo yłowych. Pole elektryczne w kablach wielo yłowych.