Zastosowanie analizy falkowej do badań oscylacji krótkookresowych w zmianach współrzędnych geodezyjnych

Zastosowanie analizy falkowej do badań oscylacji krótkookresowych w zmianach współrzędnych geodezyjnych JANUSZ BOGUSZ, ANNA KŁOS Wojskowa Akademia Techniczna, Centrum Geomatyki Stosowanej, 00-908 Warszawa, ul. S. Kaliskiego 2, klos_ania@wp.pl Streszczenie. Sieć ASG-EUPOS to wielofunkcyjny system precyzyjnego pozycjonowania satelitarnego, w skład którego wchodzi ponad 130 stacji na obszarze Polski oraz z obszarów przygranicznych. Dane wykorzystane do wykonania projektu to współrzędne geocentryczne ortokartezjańskie w układzie ITRF2005, obejmujące okres od czerwca 2008 roku do czerwca 2010 roku z interwałem godzinnym. Są one wynikiem opracowania obserwacji pochodzących z systemu ASG-EUPOS wykonanego przez Centrum Geomatyki Stosowanej Wojskowej Akademii Technicznej. Istnienie kilkumilimetrowych oscylacji krótkookresowych na stacjach systemu ASG-EUPOS zostało udowodnione przez wykonanie szybkiej transformacji Fouriera na współrzędnych topocentrycznych (NEU) stacji systemu. Analiza fourierowska zatraca jednak charakter zmian oscylacji informację o tym, kiedy dana zmiana nastąpiła nie nadaje się do analizowania niestacjonarnych szeregów czasowych. Analiza falkowa, jako narzędzie do analiz czasowo-częstotliwościowych, staje naprzeciw tym oczekiwaniom, dając możliwość badania szeregów niestacjonarnych. W wyniku zastosowania analizy falkowej do badania oscylacji krótkookresowych, otrzymano transformaty ukazujące zmiany amplitud oscylacji w czasie, przeanalizowano przekroje przez transformaty oraz udowodniono istnienie sygnałów geofizycznych w zmianach amplitud oscylacji krótkookresowych. Słowa kluczowe: ASG-EUPOS, GNSS, analiza falkowa, szeregi czasowe

1. Wprowadzenie Szybka transformacja Fouriera (z ang. Fast Fourier Transform) jest całkową transformacją szeregów czasowych polegającą na przejściu z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości, która rozkłada dany szereg czasowy na funkcje okresowe w taki sposób, że ich splot daje funkcję pierwotną. W wyniku zastosowania FFT otrzymujemy informację o mocy oscylacji w funkcji okresu tracimy dane na temat, kiedy dana zmiana nastąpiła. Wadą transformacji Fouriera jest fakt, że nadaje się ona jedynie do badania szeregów stacjonarnych, a w przypadku szeregów geodezyjnych nie ma mowy o stacjonarności. Transformacja falkowa (z ang. Wavelet Transform) jest przekształceniem podobnym do transformacji Fouriera, jednak idealnym do badania szeregów niestacjonarnych. Opiera się na dzieleniu sygnału na mniejsze części, a następnie na porównywaniu ich z przeskalowaną i przesuniętą wersją falki podstawowej. W wyniku zastosowania ciągłej transformacji falkowej otrzymujemy wyniki na płaszczyźnie czas-skala, dlatego zagadnieniem istotnym podczas analizowania szeregów czasowych tą metodą jest przeliczenie otrzymanej skali na odpowiadającą jej częstotliwość. Biorąc pod uwagę fakt, iż stacje sieci ASG-EUPOS służą do udostępniania serwisów pozycjonowania, których podstawą są stabilne współrzędne, badanie zmian współrzędnych stacji w czasie jest zagadnieniem istotnym, a transformacja falkowa wydaje się być najlepszą metodą analizy czasowo-częstotliwościowej wyliczeń współrzędnych w ramach systemów nawigacji satelitarnej. 2. Analiza falkowa Transformacja falkowa (ang. WT Wavelet Transform) stała się alternatywą dla transformacji Fouriera z tego względu, że nie zatraca charakteru badanego szeregu (nadaje się do analizowania sygnałów niestacjonarnych). Poza tym umożliwia kompresowanie obrazów, czy odszumianie sygnałów bez jakiejkolwiek ich degradacji. Wyróżniamy ciągłą (ang. CWT Continuous Wavelet Transform) oraz dyskretną transformację falkową (ang. DWT Discrete Wavelet Transform). Ciągła transformacja falkowa polega na dzieleniu sygnału na mniejsze części, za pomocą okien wagowych o zmieniających się wymiarach, a następnie na analizowaniu każdej z nich poprzez porównywanie z przesuniętą i przeskalowaną funkcją

podstawową. W wyniku zastosowania CWT otrzymujemy macierz współczynników mówiących o tym, w jakim stopniu dana część sygnału pokrywa się z porównywaną falką podstawową [3]: C ( skala, pozycja ) f ( t) ( skala, pozycja, t) dt, (1) gdzie: f(t) oryginalny sygnał, ψ falka podstawowa, C macierz współczynników. Dobór parametrów okien wagowych odbywa się na zasadzie kostki Heisenberga parametry okna zmieniają się, natomiast ich stosunek jest stały (rys.1). Rys. 1. Zasada analizowania sygnału za pomocą CWT Wymiary analizowanego okna wagowego zmieniają się w zależności od tego, którą z informacji (o czasie, czy o częstotliwości), chcemy uzyskać z większą wiarygodnością. Stosując okno o dużej rozdzielczości czasowej otrzymujemy dokładne informacje o niskich częstotliwościach, natomiast stosując okna o małej rozdzielczości czasowej dokładne informacje o wysokich częstotliwościach. Ciągła transformacja falkowa zdefiniowana jest jako suma całego omawianego sygnału pomnożonego przez przeskalowane i przesunięte wersje falki podstawowej ψ* [7]: gdzie: s skala, τ przesunięcie czasowe, x(t) oryginalny sygnał. CWT x ( s, ) x( t) * s, ( t) dt, (2)

Falka podstawowa ψ* zdefiniowana jest wzorem [7]: 1 t * s, ( t) ( ), (3) s s gdzie: s skala, τ przesunięcie czasowe. CWT nie bazuje jednak bezpośrednio na relacji czas-częstotliwość, ale na relacji czas-skala. Problem przeliczenia tych dwóch wielkości rozwiązuje się za pomocą pojęcia tzw. częstotliwości środkowej f c, wykorzystując wzór [8]: gdzie: f c częstotliwość środkowa, a współczynnik skali, T okres próbkowania, f a pseudo-częstotliwość związana ze skalą a. f a fc, (4) a T 3. Opracowanie obserwacji Jako dane wejściowe do analizy krótkookresowych zmian współrzędnych stacji sieci ASG-EUPOS posłużyły pliki z okresu dwóch lat z godzinnymi zmianami współrzędnych XYZ tych stacji. Współrzędne wyrażone były w układzie ITRF2005. Pliki gromadzone na stacjach systemu są dostępne dla Centrum Geomatyki Stosowanej Wojskowej Akademii Technicznej na mocy porozumienia o współpracy, zawartego w dniu 28 kwietnia 2009 r. pomiędzy Wojskową Akademią Techniczną, a Głównym Geodetą Kraju, panią Jolantą Orlińską. Zadaniem WAT, w ramach powyższej współpracy, jest np. monitorowanie współrzędnych stacji poprzez opracowanie obserwacji z całej sieci ASG-EUPOS w postaci rozwiązań dobowych i tygodniowych. Dane obserwacyjne systemu udostępniane są w interwale 30 sekund, w postaci plików dobowych w formacie Compact RINEX (Hatanaka)[1].

Obserwacje wykorzystane do wykonania pracy objęły 99 polskich stacji permanentnych oraz 22 stacje zagraniczne. Opracowanie obserwacji zostało wykonane w programie Bernese 5.0 [2], a do wyrównania zostały włączone również stacje komercyjne [1] (rys.2). Jako referencyjne wybrano stacje BOR1, WTZR, METS, POTS, ONSA. Szeregi czasowe współrzędnych z tych stacji cechowały się bowiem brakiem nieciągłości, wartości odstających i wysoką precyzją. Zgodnie z zaleceniami EPN (EUREF Permanent Network), dotyczącymi zagęszczania sieci regionalnej, do obliczeń włączono kilka stacji EPN spoza kraju. Zalecanym jest również wprowadzenie standardu IGS (International GNSS Service), dotyczącego wszelkich informacji (głównie dotyczących anteny i odbiornika) o stacjach. W wyniku opracowania obserwacji, pochodzących ze stacji systemu ASG-EUPOS, otrzymano pliki z godzinnymi zmianami współrzędnych. Rozwiązania godzinne służą monitorowaniu pracy stacji, ocenie stabilności rozwiązań i kontroli obserwacji, ale również stanowią materiał do dalszych analiz i interpretacji, również o charakterze geodynamicznym. Rys. 2. Rozmieszczenie stacji wziętych do opracowania obserwacji. 4. Dobór odpowiedniej falki Niniejszy projekt wykonano w środowisku oprogramowania MATLAB (nr licencji # 350334), które posiada wbudowane biblioteki falek oraz umożliwia ich implementację do dużej ilości różnorodnych obserwacji. Do opracowania szeregów czasowych przetestowano wszystkie rodzaje falek dostępnych w tym oprogramowaniu, począwszy

od Daubechies skończywszy na Mexican Hat. Empirycznie, po przeanalizowaniu wyników, do analizy omawianych szeregów czasowych wykorzystano zespoloną falkę Morleta o równaniu [5]: ( x) 1 x 2i fcx f e e b, (5) f b 2 będącą funkcją dwóch parametrów: f b szerokość okna oraz f c częstotliwość środkowa. Pozostałe rodzaje falek, zarówno dyskretne, jak i ciągłe, nie wykrywały oscylacji w omawianych szeregach (rys. 3). Rys. 3. Spektrogramy dla falek Daubechies (po lewo) oraz Complex Gaussian (po prawo). W związku z powyższym wybór odpowiedniego rodzaju falki ograniczył się do wyboru dwóch parametrów. Za najlepsze uznano szerokość okna f b =25 oraz częstotliwość środkową f c =5. O wyborze tych parametrów przesądził wygląd spektrogramu. Używając falki cmor25-5 zmiany amplitud w czasie są najlepiej widoczne. Zmieniając szerokości okna i częstotliwość środkową na mniejsze obraz jest zbyt rozmyty, nie widać kiedy dokładnie dana zmiana nastąpiła (rys. 4), natomiast zwiększając je oscylacje są w ogóle niewidoczne (rys.5). Rys. 4. Spektrogramy dla cmor3-5 (po lewo) oraz cmor25-1 (po prawo).

Rys. 5. Spektrogramy dla cmor31-5 (po lewo) oraz cmor25-7 (po prawo). 5. Wyniki Współrzędne ITRF2005 każdej ze stacji systemu ASG-EUPOS przeliczono na współrzędne topocentryczne North-East-Up (N wzdłuż południka miejsca obserwacji, E wzdłuż pierwszego wertykału oraz U względem normalnej do elipsoidy odniesienia), świadczące o tym, w jaki sposób każda antena zmienia swoje położenie w układzie związanym z nią samą. Istnienie oscylacji krótkookresowych o okresach 24-, 12- oraz 8-godzin na stacjach systemu ASG-EUPOS zostało udowodnione poprzez wykonanie szybkiej transformacji Fouriera na współrzędnych topocentrycznych NEU [6]. Wartości tych oscylacji kształtują się na poziomie pojedynczych milimetrów. Rysunek 6 przedstawia przykładowe wykresy oscylacji współrzędnych dla stacji Hrubieszów. Podobne wykresy uzyskano dla wszystkich stacji systemu ASG-EUPOS. Rys. 6. Oscylacje krótkookresowe stacja Hrubieszów (na górze od lewej względem N, E, na dole względem U).

W wyniku analizy falkowej współrzędnych topocentrycznych uzyskano po trzy wykresy transformat (niezależnie dla każdej składowej) dla wszystkich stacji ASG- EUPOS, na których możemy wyraźnie zobaczyć spodziewane zmiany amplitud o okresach 24-, 12- oraz 8-godzinnych (główne krótkookresowe zmiany dynamiczne). Przykładowe transformaty dla stacji Hrubieszów przedstawiono na rysunku 7, podobne wykresy uzyskano dla pozostałych stacji systemu. Rys. 7. Ciągła transformata falkowa dla stacji Hrubieszów (na górze od lewej względem N, E, na dole względem U). Analiza falkowa, jako jedyna z dostępnych technik analiz szeregów czasowych, pozwala na wykrycie w danych nieciągłości w wyższych pochodnych, trendów, czy samopodobieństwa sygnału. Analiza falkowa daje możliwość badania zmian w czasie amplitud interesujących nas okresowości, dlatego też badania pod tym kątem przeprowadzono na przekrojach przez transformaty w okresach 24-, 12- oraz 8-godzinnych. Rysunek 8 pokazuje zmiany amplitudy oscylacji względem U w czasie dla stacji Hrubieszów, natomiast rysunek 9 zmiany amplitud oscylacji względem U w czasie dla stacji Iława. Na wszystkich wykresach 24-godzinne zmiany mają największą amplitudę, co więcej zmiany amplitud oscylacji zmieniają się bardzo wolno w czasie. W zmianach 12-godzinnych widać powtarzalność jednego miesiąca, a 8-godzinne wykresy są najbardziej ostre amplitudy zmieniają się najszybciej w czasie. Podobne zachowania zmian amplitud w czasie zauważono na pozostałych przekrojach przez transformaty dla wszystkich stacji systemu ASG-EUPOS.

Rys. 8. Przekroje przez transformaty dla stacji Hrubieszów (zmiany 24-, 12- oraz 8-godzinne). Rys. 9. Przekroje przez transformaty dla stacji Iława (zmiany 24-, 12- oraz 8-godzinne). Analiza przekrojów przez transformaty pozwoliła na odróżnienie krótkookresowo mniej i bardziej stabilnych stacji systemu ASG-EUPOS. Za stacje stabilne uznano stacje osiągające małe zmiany amplitud oscylacji w czasie, natomiast za stacje mniej stabilne stacje z dużymi zmianami amplitud oscylacji w czasie (rys. 10).

Rys. 10. Przykład mniej (BPDL po lewo) i bardziej stabilnej stacji (KLOB po prawo) sieci ASG-EUPOS. Dla właściwej interpretacji otrzymanych przekrojów została wykonana szybka transformacja Fouriera ich obwiedni. Obwiednia sygnału jest chwilową wartością amplitudy sygnału w funkcji czasu, jednak zmieniającą się znacznie wolniej niż sam sygnał. Pojęcie obwiedni sygnału (pomimo faktu, że jest intuicyjne i nieścisłe) stosuje się do sygnałów mających charakter szybkich oscylacji. Obwiednia jest definiowana jako [3]: 2 ~ 2 E( t) x ( t) x ( t), (6) gdzie ~ x ( t ) jest transformatą Hilberta o postaci: ~ 1 1 x( t) x( ) d 1, (7) gdzie τ sygnał oryginalny. Po wykonaniu FFT obwiedni przekrojów uzyskano oscylacje roczne oraz o okresach mniejszych niż rok (1/2 roku, 1/3 roku oraz 1/4 roku) analizowanymi danymi są dane dwuletnie, więc na ich podstawie można uzyskać oscylacje o okresach roku tropikalnego oraz jego podwielokrotności, aczkolwiek z niedużą wiarygodnością. Rysunek 11 przedstawia przebieg zmian amplitud oscylacji współrzędnych topocentrycznych w czasie dla stacji Ostrów Mazowiecka OSMZ względem U dla 12 godzin (po lewo) oraz dla stacji Drawsko Pomorskie DRWP względem U dla 12 godzin (po prawo). Na wykresach widać sygnał roczny (365 dni) oraz o okresie 1/3 roku (122 dni). Zmiany amplitud oscylacji sięgają wartości kilku milimetrów.

Rys. 11. Periodyczne zmiany w półdobowych oscylacjach składowej U dla stacji OSMZ i DRWP. Jednakże prawidłowa interpretacja wykresów przedstawionych na rysunku 11 może być wykonana dopiero po wykonaniu demodulacji metodą najmniejszych kwadratów lub demodulacji zespolonej. W tym specyficznym przypadku częstotliwości dobowe i półdobowe mogą składać się powodując sztuczne zmiany o okresie roku tropikalnego i jego podwielokrotności (tabela 1). W omawianych badaniach modulującymi składowymi częstotliwościowymi są [9]: P1 (0.9972621 cpd), S1 (1.0000001 cpd), K1 (1.0027379 cpd), ψ1 (1.0054757 cpd), φ1 (1.0082137 cpd) w przypadku dobowych składowych częstotliwościowych, P2 (1.9945244 cpd) i K2 (2.0054758 cpd) w przypadku pół-dobowych składowych częstotliwościowych, gdzie [cpd] z ang. Cycles per Day oznacza ilość cykli na dzień. Tabela 1. Modulujące składowe częstotliwościowe. Po wykonaniu demodulacji będzie można odrzucić sztuczne zmiany amplitud oscylacji w czasie, tym samym uzyskując rzeczywisty sygnał geofizyczny. 6. Podsumowanie i wnioski Rozróżnienie stacji stabilnych systemu ASG-EUPOS również w sensie stabilności krótkookresowej jest zagadnieniem istotnym ze względu na fakt, iż sieć ta w najbliższej przyszłości pełnić będzie rolę podstawowej osnowy geodezyjnej kraju.

Odpowiednim rodzajem falki przy analizie szeregów czasowych jest falka Morleta. Przy jej wykorzystaniu widoczne były oscylacje w analizowanych szeregach czasowych. Analiza empiryczna pozwoliła na wyznaczenie parametrów falki. Stacje systemu ASG-EUPOS ze względu na wielkość otrzymanych oscylacji można podzielić na mało stabilne (na których amplitudy oscylacji osiągają duże wartości) i stabilne (z małymi wartościami amplitud oscylacji) w sensie zmian amplitud oscylacji krótkookresowych. Potencjalne składowe sezonowych wahań współrzędnych mogą być podzielone na trzy grupy. Pierwsza z nich wynika z oddziaływań grawitacyjnych Słońca i Księżyca. Do tej grupy zalicza się: zmiany w ruchu obrotowym Ziemi związane z sezonowym ruchem bieguna, zmiany czasu UT1 dla bieguna oraz zmiany wywołane pływami skorupy ziemskiej, pływami oceanicznymi, czy atmosferycznymi. Do tej kategorii należy także pływ bieguna wraz ze spektrum o okresie jednego roku oraz okresie Chandlera. Sezonowe wahania współrzędnych stacji mogą mieć także pochodzenie termiczne, czy związane z hydrodynamiką. Do tej grupy należą zmiany spowodowane przez sezonowe zmiany ciśnienia atmosferycznego, fluktuacje swobodnej powierzchni mórz oraz wód podziemnych. Do trzeciej kategorii zalicza się błędy generujące zmiany sezonowe, np. sezonowe błędy wynikające z satelitarnych modeli orbit, modeli atmosfery, modeli wilgotności, modeli odchylenia centrum fazowego, szumów anteny, lokalnej wielodrożności, czy pokrycia anteny śniegiem [4]. Do wyeliminowania sztucznych wahań należy opracować metodę ich eliminacji na bazie metody demodulacji metodą najmniejszych kwadratów lub demodulacji zespolonej. Podziękowania Autorzy pragną wyrazić serdeczne podziękowania p. dr. hab. inż. Mariuszowi Figurskiemu za opracowanie obserwacji otrzymanych od ASG-EUPOS wykorzystanych do wykonania projektu. Niniejsza praca jest częścią projektu nr UMO-2011/01/B/ST10/05384.

LITERATURA [1] Araszkiewicz A., Bogusz J., Figurski M., Kroszczyński K., Szafranek K., Raport dotyczący precyzyjnego opracowania danych obserwacyjnych ze stacji permanentnych systemu ASG-EUPOS, Materiały Centrum Geomatyki Stosowanej, Wojskowa Akademia Techniczna, Warszawa 2009 [2] Beutler G., Bock H., Brockmann E., Dach R., Fridez P., Gurtner W., Habrich H., Hugentobler U., Ineichen D., Jaeggi A., Meindl M., Mervart L., Rothacher M., Schaer S., Schmid R., Springer T., Steigenberger P., Svehla D., Thaller D., Urschl C., Weber R., Bernese GPS software version 5.0., 2006. [3] Box G., Jenkins G., Time series analysis: Forecasting and control, San Francisco: Holden-Day, 1970. [4] Dong D., Fang P., Bock Y., Cheng M. K., Miyazaki S., Anatomy of apparent seasonal variations from GPS-derived site position time series. Journal of Geophysical Research, Vol. 107, No. B4, 10.1029/2001JB000573, 2002. [5] Goupillaud P., Grossmann A., Morlet J., Cycle-octave and related transforms in seismic signal analysis. Geoexploration, 23, pp. 85-102, 1984. [6] Kłos A., Analiza krótkookresowych zmian współrzędnych stacji sieci ASG-EUPOS, praca inżynierska, Wojskowa Akademia Techniczna, Warszawa 2011. [7] Mallat S., A wavelet tour of signal processing, 2nd Edition, Academic Press, New York, 1999. [8] Misiti M., Misiti Y., Oppenheim G., Poggi J.-M., Wavelet toolbox. The MathWorks Inc., 2000. [9] Tamura, Y., A harmonic development of the tide-generating potential, Bull. Info. Maries Terrestres, Vol. 99, pp. 6813-6855, 1987.

J. BOGUSZ, A. KŁOS The use of wavelet transform for detection of short-term oscillations in geodetic time series. Abstract. The ASG-EUPOS network is the the multifunctional precise satellite positioning system, containing of 130 sites from Poland area and the neighbouring countries. The data taken to this project are the geocentric coordinates in ITRF2005 frame from June 2008 to June 2010. They result from processing of ASG-EUPOS observations made by Centre of Applied Geomatics, Military University of Technology in Warsaw. The existence of short-term oscillations on the ASG-EUPOS sites was proved by performing the Fourier Transformation on the site s topocentric coordinates. However the Fourier analysis loses the oscillation character the time of its appearance it is suitable only for analyzing the stationary time series. The wavelet transform, as the tool for time-frequency analysis, gives the opportunity for non-stationary time series exploration. The analysis of transforms obtained within this project showed the changes of oscillations ampitudes in time, allowed the analysis of transforms profiles and was helpfull in detecting the geophysical signals. Keywords: ASG-EUPOS, GNSS, wavelet transform, time series