Górnictwo i Geoin ynieria Rok 4 Zeszyt 00 Bogumi Wrana*, Bart omiej Czado* ZASTOSOWANIE TRANSFORMATY FALKOWEJ DO OKRE LENIA DEFEKTÓW PALI. Wst p Do testowania d ugo ci pali i identyfikacji uszkodze stosowane s techniki nieniszcz ce NDT, w zakresie ma ych odkszta ce PIT (pile integrity testing), a w szczególno ci metoda echo sondy SE (sonic echo) oraz metoda odpowiedzi impulsowej []. Metody te pozwalaj na lokalizacj du ych defektów w palach przez obci enie impulsowe o ma ej energii, które generuje fal pod u n w palu w szerokim zakresie cz stotliwo ci. W tych metodach obci enie impulsowe generuje fale o niskich warto ciach napr e. W celu zwi kszenia dok adno ci badania sygna u pomiarowego metody PIT, zaproponowano w artykule zastosowanie transformaty falkowej do analizy tego sygna u. Po raz pierwszy, zastosowanie transformaty falkowej do takiego sygna u zaproponowali badacze z Uniwersytetu w Edynburgu [, ]. Zauwa ono, e 0% uszkodzenia przekroju pala nie mo na zidentyfikowa analizuj c sygna zapisany w dziedzinie czasu, natomiast przy zastosowaniu transformaty falkowej by o to mo liwe [4]. Analiz sygna u uzyskanego metod PIT zajmowa si Niederleithinger [5], badaj c zmian sygna u w pierwszych dniach dojrzewania betonu, a Sheng-Huoo [6] ze wspó pracownikami stosowa transformat falkow do sygna u uzyskanego z symulacji numerycznych pala.. Metoda Pile Integrity Testing PIT Metoda PIT polega na analizie sygna u pr dko ci (lub przyspieszenia) zarejestrowanego na g owicy pala od obci enia impulsowego przyk adanego te na g owicy pala (rys. ). * Zak ad Wspó dzia ania Budowli z Pod o em, Instytut Mechaniki Budowli, Wydzia In ynierii L dowej, Politechnika Krakowska, Kraków 647
a) b) Rys.. Metoda ma ych odkszta ce PIT: a) pomiar, b) przyk adowy sygna pomiarowy Metoda jest efektywna wtedy, gdy sztywno pala (betonu) jest znacznie wy sza od sztywno ci pod o a wokó pala. D ugo pala L wyznaczana jest ze wzoru: L = V LDt () gdzie V L pr dko fali pod u nej w palu i wyra ona jest wzorem: VL = E t () Dok adno tej metody zale y od dok adno ci podawanych warto ci: E modu u Younga, g sto ci obj to ciowej betonu oraz t opó nienia czasowego do powrotu fali pod u nej. Metoda polecana jest w wielu krajach i opisana jest w normach krajowych: niemieckiej [7], francuskiej [8] czy ameryka skiej [9]. Najcz ciej sygna jest filtrowany filtrem dolnoprzepustowym o cz stotliwo ci 50 khz. D ugo pala wyznacza si ze wzoru: L = V L n f () gdzie: V L pr dko fali pod u nej, f cz stotliwo próbkowania, n liczba próbek. 648
Uwagi: ) ) ) analiza sygna u pr dko ci polega na odczytaniu opó nienia szczytowych warto ci zarejestrowanych pr dko ci, w metodzie PIT nie stosuje si transformat z dziedziny czasu do dziedziny cz stotliwo- ci, w wielu przypadkach wyst puje trudno w identyfikacji ma ych uszkodze w betonie ich rozmiarów.. Ci g a transformata falkowa Transformata falkowa jest obecnie jednym z dynamicznie rozwijanych narz dzi analizy cz stotliwo ciowej sygna ów niestacjonarnych. Ci g a transformata falkowa sygna u x(t), w dziedzinie czasu, jest zdefiniowana w nast puj cy sposób [0]: CWT^t, ah = x^xhc x - t ` dx a a j - (4) Równanie (4) prezentuje filtracj sygna u x(t) sygna em analizuj cym (t), przeskalowanym w dziedzinie czasu wspó czynnikiem skali a, przy czym w przypadku a > sygna analizuj cy jest wyd u any, a dla a < jest skracany. Ci g a transformata w dziedzinie cz stotliwo ci jest okre lona wzorem: F * jpft CWT x ^t, ah= a X^f hc ^af he df - (5) Równanie (5) prezentuje odwrotne przekszta cenie Fouriera iloczynu widma sygna u X(f) i przeskalowanego widma falki * (af). Synteza sygna u okre lona jest przez transformat odwrotn : x^th= CWT, a g t x x x ) - dx da c 8 ^ h ` c a a jb 0 0 (6) gdzie: C^ f h Cc = df, C^0h = 0 f - (7) We wzorze (6) funkcja g(t) oznacza falk syntezuj c, we wzorze (4) * (t) dualn, sprz on do niej falk analizuj c, za * (f) w (5) jest jej widmami Fouriera. Dzielenie i mno enie przez ; B a B ; B ma zapewni niezmienno energii falek i ich widm po przeskalowa- 649
niu. Sygna analizuj cy (t), spe niaj cy rol funkcji bazowej, jest sygna em impulsowym zlokalizowanym w osi czasu wokó t = 0 i posiada ograniczone pasmowe widmo cz stotliwo ciowe (f 0 ± f/). Graficzn prezentacj transformaty falkowej jest skalogram (mapa falkowa w osiach czas-skala) okre lona wzorem: S SCAL x ^t, ah= CWTx ^t, ah (8) Zapis S x SCAL (t, a) w dziedzinie czas-skala jest równowa ny zapisowi S x SCAL (t, (f 0 ± f/)/a) w dziedzinie czas-cz stotliwo. W praktycznej analizie czasowo-cz stotliwo ciowej sygna ów, kiedy odwracalno transformaty nie jest wymagana, cz sto jako (t) przyjmuje si zespolony sygna harmoniczny z obwiedni gaussowsk, czyli tzw. falk Morleta: ^ath c^t h = expc m $ exp^-jrft h (9) obwiednia Gaussowska zespolony sygnal harmoniczny 4. Przyk ady oblicze Rozwa any jest pal elbetowy prefabrykowany (o znanej geometrii) o d ugo ci 6 m, o rednicy 0, m wraz z otaczaj cym go gruntem (rys. ). Do g owicy pala zosta a przy o- ona si a impulsowa o charakterystyce w czasie i w cz stotliwo ciach przedstawionej na rysunku. Na rysunku 4 przedstawiono sygna i skalogram przy zastosowaniu falki Morleta dla pala idealnie wykonanego, bez uszkodze, natomiast na rysunku 5 przedstawiono sygna i skalogram dla pala lokalnie pogrubionego. Na rysunku 6 przedstawiono skalogramy dla dwóch przypadków sztywno ci gruntu wokó pala: dla E s = 500, oraz E s = 000, gdzie: E s modu Younga pala, E g modu Younga otaczaj cego gruntu. Rys.. Pal prefabrykowany o d ugo ci,0 m, rednicy,0 m wraz z otaczaj cym go gruntem,0 m 650
Rys.. Charakterystyka obci enia impulsowego: a) w czasie, b) w cz stotliwo ci Rys. 4. Pal elbetowy idealny nieuszkodzony: a) przyspieszenia, b) ci g a transformata falkowa Rys. 5. Pal elbetowy pogrubiony lokalnie: a) przyspieszenia, b) ci g a transformata falkowa 65
5. Wnioski Rys. 6. Ci g e transformaty falkowe: a) E s = 500, b) E s = 000, E s modu Younga pala, E g modu Younga gruntu Praca zawiera zastosowanie transformaty falkowej do analizy sygna u fali spr ystej, zarejestrowanej przez czujnik pr dko ci umieszczony na górnej p aszczy nie pala elbetowego. Sygna ten jest rejestracj odpowiedzi w palu na obci enie impulsowe przy o one te na górnej powierzchni pala. Na podstawie przedstawionych wyników analizy falkowej sygna u, mo na stwierdzi, e ten sposób analizy sygna u wnosi dodatkowe informacje o defektach w palu, oprócz informacji o d ugo ci pala. W przedstawionych rezultatów wynika, e metoda jest efektywna do: okre lenia d ugo ci pala, wnosi dodatkowe informacje o zmianie kszta tu pala. Ponadto wyniki oblicze przedstawione w postaci mapy falkowej pokazuj, e cz stotliwo sygna u odbitej fali od ko ca pala, zale y od stosunku sztywno ci pala i sztywno ci otaczaj cego gruntu. LITERATURA [] Olson L.D., Wright C.C.: Non-destructive Testing of Deep Foundations with Sonic Methods. In: Proceedings found engineering congress: current principles and practice, vol., Reston ASCE 989, p. 7 8 65
[] Addison P.S., Watson J.N.: Wavelet Analysis for Low-strain Integrity Testing of Foundation Piles. In: 5 th International conference on inspection, appraisal, repairs, maintenance of buildings and structures, Singapore 997, p. 5 6 [] Addison P.S., Watson J.N., Feng T.: Low-oscillation Complex Wavelets. J. Sound Vib. 00; 54 (4), p. 7 6 [4] Sedel J.P.: Presentation of Low-strain Integrity Testing in the Time-frequency Domain. The Application of Stress Wave Theory to Piles, Rotterdam 000, p. 9 00 [5] Niederleithinger E., Taffe A.: Early Stage Elastic Wave Velocity of Concrete Piles, Cement & Concrete Composites 8, 006, p. 7 0 [6] Sheng-Huoo Ni, Kuo-Feng Lo, Lutz Lehmann,Yan-Hong Huang: Time frequency Analyses of Pile-integrity Testing Using Wavelet Transform, Computers and Geotechnics 5, 008, p. 600 607 [7] German Society for Geotechniques, Working Group.. Recommendations for static and dynamic pile tests, 998 [8] NF P 94-60-: Auscultation d un element de fondation. Partie : Methode par reflexion. Association francaise de normalisation, 99 [9] ASTM: D588-00. Standard test method for low strain integrity testing of piles. ASTM International [0] Bia asiewicz J.T.: Falki i aproksymacje, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 000 [] Wrana B.: Zastosowanie analizy falkowej w obliczeniach dynamicznych konstrukcji, Materia y Sympozjum Wp ywy Sejsmiczne i Parasejsmiczne na Budowle. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 00