Wykład 2 Informatyka Stosowana 10 października 2016 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 1 / 42
Systemy pozycyjne Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 2 / 42
Definicja : system pozycyjny System pozycyjny to metoda zapisania liczb w postaci ciagu pewnych cyfr w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciagu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. p - baza systemu cyfry : 0, 1, 2,..., p 1 Zapis (ba) p oznacza wartość Zapis (cba) p oznacza b a (ba) p 1 p 0 p a p 0 + b p 1 c b a p 2 p 1 p 0 (cba) p a p 0 + b p 1 + c p 2 W "życiu używamy systemu dziesiętnego, czyli o podstawie p = 10 W informatyce stosuje się systemy dwójkowe (p = 2), ósemkowe (p = 8) i szesnastkowe (p = 16). Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 3 / 42
System dziesiętny p = 10 cyfry: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Zapis (cba) 10 oznacza wartość c b a 10 2 10 1 10 0 (cba) 10 a 10 0 + b 10 1 + c 10 2 1256 = 1 1000 + 2 100 + 5 10 + 6 1 = 1 10 3 + 2 10 2 + 5 10 1 + 6 10 0 1 2 5 6 10 3 10 2 10 1 10 0 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 4 / 42
Jak dodajemy? Gdy podczas dodania dwóch cyfr otrzymujemy liczbę, a nie cyfrę wpisujemy tylko cyfrę jedności, a cyfra dziesiatek przechodzi do kolejnej kolumny (na lewo). Stad np. gdy 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7 = 4 + 6 = 5 + 5 = 10, zapisujemy wartość 0(zero) a 1 przechodzi do następnej (na lewo!!!) kolumny. 1 1234 1234 + 126 = + 126 =1360 888+112 = 1000 111 888 + 112 =1000 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 5 / 42
Mnożenie i odejmowanie 24 15 = 24 15= 1000 196 = 2 24 15 120 +24 =360 9 9 10 1000 196 = 804 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 6 / 42
System binarny (dwójkowy) p = 2 tylko dwie cyfry: 0 i 1 bit - pojedyncza cyfra w zapisie binarnym (źródło :Wikipedia -> Bit ) Binarny sposób zapisu informacji zwiazany jest z tym, że komputer jako urzadzenie cyfrowe rozpoznać może dwa stany napięciowe: 0 brak napięcia lub bardzo niskie 1 wysokie napięcie (np. 5V[1]). Z tego względu obliczenia wykonywane przez procesor opieraja się na binarnym (dwójkowym) systemie liczbowym. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 7 / 42
Zapis (cba) 2 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 2 2 2 1 2 0 (cba) 2 a 2 0 + b 2 1 + c 2 2 Ponieważ cyfry sa tylko zerami albo jedynkami, to przy obliczaniu wartości w systemie 10 odpowiadajaca potęga dwójki pojawia się (gdy 1) albo nie (gdy 0). (1101) 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 1 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 0 (11111111) 2 = 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, zatem największa liczba zapisana za pomoca ośmiu bitów to 255 = 256 1 = 2 8 1. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 8 / 42
Inwersja z systemu (2) na system (10): przedstawienie jako kombinacji odpowiednich potęg 2 (nieoptymalne) wykorzystanie schematu Hornera (optymalne pod katem liczby operacji). Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 9 / 42
Przykład 1 (1101) 2 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 1 + 1 2 0 = 8 + 4 + 1 = 13 1 1 0 1 2 3 2 2 2 1 2 0 schemat Hornera 1 1 0 1 2 1 zawartość pierwszej kolumny przepisujemy w pierwszej "klatce" drugiego wiersza wpisujemy wartość p, czyli podstawę danego systemu (tutaj p = 2) zawartość każdej kolejnej brakujacej pozycji wyliczamy ze schematu : "pomnóż to co na poczatku drugiego wiersza (tutaj 2) przez to co w poprzedniej klatce i dodaj to co nad toba" zawartość ostatniej "klatki" daje wartość liczby w systemie (10). 2 1 + 1 = 3 2 3 + 0 = 6 2 6 + 1 = 13 1 1 0 1 2 1 3 6 13 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 10 / 42
Przykład 2 (11111111) 2 = 1 2 7 + 1 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 + 1 2 0 = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255, schemat Hornera 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 + 1 = 3 2 3 + 1 = 7 2 7 + 1 = 15 2 15 + 1 = 31 2 31 + 1 = 63 2 63 + 1 = 127 2 127 + 1 = 255 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 7 15 31 63 127 255 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 11 / 42
Inwersja z systemu (10) na system (2): przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 2 znajdujemy najwyższa potęgi 2, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 2 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (2) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 12 / 42
Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? 2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8... 1 2 4 8 16 32 64 128 256... 2 7 = 128 < 236 i wtedy 236 128 = 108 2 6 = 64 < 108 i wtedy 108 64 = 44 2 5 = 32 < 44 i wtedy 44 32 = 12 2 3 = 8 < 12 i wtedy 12 8 = 4 2 2 = 4 236 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 2 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 13 / 42
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 2 236 : 2 = 118 r 0 118 : 2 = 59 r 0 59 : 2 = 29 r 1 29 : 2 = 14 r 1 14 : 2 = 7 r 0 7 : 2 = 3 r 1 3 : 2 = 1 r 1 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 11101100 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 14 / 42
Przykład 2 - pierwszy sposób 1234 =? 2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10... 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024... 2 10 = 1024 < 1234 i wtedy 1234 1024 = 210 2 7 = 128 < 210 i wtedy 210 128 = 82 2 6 = 64 < 82 i wtedy 82 64 = 18 2 4 = 16 < 18 i wtedy 18 16 = 2 2 1 = 2 1234 = 2 10 + 2 7 + 2 6 + 2 4 + 2 1 = 10011010010 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 15 / 42
Przykład 2 - drugi sposób 1234 =? 2 1234 : 2 = 617 r 0 617 : 2 = 308 r 1 308 : 2 = 154 r 0 154 : 2 = 77 r 0 77 : 2 = 38 r 1 38 : 2 = 19 r 0 19 : 2 = 9 r 1 9 : 2 = 4 r 1 4: 2 = 2 r 0 2 : 2 = 1 r 0 1 : 2 = 0 r 1 czytamy reszty od dołu do góry 1234 = 10011010010 2. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 16 / 42
Dodawanie liczb binarnych + 0 1 0 0 1 1 1 10 1 + 1 to w systemie (10) to 2 (nie ma takiej cyfry w systemie (2)), musimy 2 zapisać jako liczba w systemie (2) mamy 2 = 2 1 + 2 0 czyli 10. Mnożenie liczb binarnych 0 1 0 0 0 1 0 1 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 17 / 42
(1111 + 101) 2 = (10100) 2 sprawdźmy: 15 + 5 = 20 = 16 + 4 = 2 4 + 2 2 = (10100) 2 (1001) 2 (10) 2 = (10010) 2 sprawdźmy: 9 2 = 18 = 16 + 2 = 2 4 + 2 1 = (10010) 2 111 1111 + 101 = 10100 1001 10 0 + 1001 = 10010 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 18 / 42
(11101) 2 (10001) 2 = (111101101) 2 sprawdźmy: 29 17 = 493 = 256 + 128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 2 + 2 0 = (11101101) 2 11101 10001 11101 +11101 =1 11101101 (101) 2 (11) 2 = (10) 2 sprawdźmy: 5 3 = 2 = 2 1 = (10) 2 101 11 = 10 (1000) 2 (1) 2 = (111) 2 sprawdźmy: 8 1 = 7 = 4 + 2 + 1 = 2 2 + 2 1 + 2 0 = (111) 2 1 1 10 1000 1 = 111 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 19 / 42
System ósemkowy (octalny) p = 8 8 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 20 / 42
Zapis (cba) 8 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość c b a 8 2 8 1 8 0 (cba) 8 a 8 0 + b 8 1 + c 8 2 (165) 8 = 1 8 2 + 6 8 + 5 8 0 = 64 + 48 + 5 = 117 1 6 5 8 2 8 1 8 0 (777) 8 = 7 8 2 + 7 8 1 + 7 8 0 = 448 + 56 + 7 = 511 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 21 / 42
Inwersja z systemu (8) na system (10): (analogicznie jak dla systemu binarnego) przedstawienie jako kombinacji odpowiednich potęg 8 (nieoptymalne) wykorzystanie schematu Hornera (optymalne pod katem liczby operacji). Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 22 / 42
Przykład 1 (1234) 8 = 1 8 3 + 2 8 2 + 3 8 1 + 4 8 + 0 1 2 3 4 8 3 8 2 8 1 8 0 = 512 + 128 + 24 + 4 = 668 schemat Hornera 1 2 3 4 8 1 8 1 + 2 = 10 8 10 + 3 = 83 8 83 + 4 = 668 1 2 3 4 8 1 10 83 668 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 23 / 42
Przykład 2 (10000) 8 = 1 8 4 = 4096 schemat Hornera 1 0 0 0 0 8 1 8 1 + 0 = 8 8 8 + 0 = 64 8 64 + 0 = 512 8 512 + 0 = 4096 1 0 0 0 0 8 1 8 64 512 4096 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 24 / 42
Inwersja z systemu (10) na system (8): analogicznie jak inwersja z systemu (10) na system (2) przedstawienie danej liczby jako kombinacji potęg 8 znajdujemy największa wielokrotność najwyższej potęgi 8, jaka w danej liczbie się mieści odejmujemy, żeby zobaczyć "ile zostało do wypełnienia " itd. dzielenie całkowite danej liczby przez 8 z zapisywaniem reszt koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (8) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 25 / 42
Przykład 1 - pierwszy sposób 236 =? 8 8 0 8 1 8 2 8 3... 1 8 64 512... 3 8 2 = 3 64 = 192 < 236 i wtedy 236 192 = 44 5 8 = 40 < 44 i wtedy 44 40 = 4 4 8 0 = 4 236 = 3 8 2 + 5 8 + 4 8 0 = 354 8. W zasadzie i tak trzeba dzielić całkowicie i znajdywać reszty z dzielenia, zatem robimy dokładnie to samo co w sposobie drugim. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 26 / 42
Przykład 1 - drugi sposób 236 =? 8 236 : 8 = 29 r 4 bo 29 8 = 232 29 : 8 = 3 r 5 bo 3 8 = 24 3: 8 = 0 r 3 czytamy reszty od dołu do góry 236 = 354 8. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 27 / 42
Przykład 2 - drugi sposób 1234 =? 8 1234 : 8 = 154 r 2 bo 154 8 = 1232 154 : 8 = 19 r 2 bo 19 8 = 152 19 : 8 = 2 r 3 2 : 8 = 0 r 2 czytamy reszty od dołu do góry 1234 = 2322 8. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 28 / 42
Inwersja między systemami (2) i (8) Zauważmy, że 001 2 = 1 8 010 2 = 2 8 100 2 = 4 8 011 2 = 3 8 101 2 = 5 8 110 2 = 6 8 111 2 = 7 8 000 2 = 0 8 zatem każda cyfra w sytemie ósemkowym jest zapisana za pomoca trzech bitów w systemie dwójkowym. zamiana z systemu (2) na (8): podzielić (od końca) liczbę na odcinki długości 3 bitów (ewentualnie na poczatku uzupełnić zerami) każda liczbę 3-bitowa z systemu (2) zapisujemy jako odpowiednia cyfra systemu (8) 1010101 2 001 010 101 2 125 8 100011010010 2 100 011 010 010 2 4322 8 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 29 / 42
Zauważmy, że 001 2 = 1 8 010 2 = 2 8 100 2 = 4 8 011 2 = 3 8 101 2 = 5 8 110 2 = 6 8 111 2 = 7 8 000 2 = 0 8 zamiana z systemu (8) na (2): każda cyfrę z zapisu (8) zapisać w systemie (2) 2322 8 010 011 010 010 2 010011010010 2 10011010010 2 354 8 011 101 100 2 011101100 2 11101100 2 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 30 / 42
System szesnastkowy p = 16 tzw. system hexadecymalny 16 cyfr : 10 cyfr jakie znamy : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cyfry od 10 do 15 oznaczamy literkami : a, b, c, d, e, f albo A, B, C, D, E, F a b c d e f 10 11 12 13 14 15 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 31 / 42
Zapis (cba) 16 oznacza w systemie dziesiatkowym wartość 12 11 10 c b a (cba) 16 a 16 0 + b 16 1 + c 16 2 16 2 16 1 16 0 (1F 0) 16 = 1 16 2 + 15 16 + 0 16 0 =... 15 1 f 0 16 2 16 1 16 0 (123) 16 = 1 16 2 + 2 16 1 + 3 16 0 =... = 10 + 11 16 + 12 256 =... Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 32 / 42
Inwersja z systemu (16) na system (10): analogicznie jak dla systemu (2) i (8) przedstawienie jako kombinacji odpowiednich potęg 16 (nieoptymalne) wykorzystanie schematu Hornera (optymalne pod katem liczby operacji). Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 33 / 42
Przykład 1 (abc) 16 = 10 16 2 + 11 16 1 + 12 16 0 a b c 16 2 16 1 16 0 = 2560 + 176 + 12 = 2748 schemat Hornera 10 11 12 a b c 16 10 16 10 + 11 = 171 16 171 + 12 = 2748 10 11 12 16 10 171 2748 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 34 / 42
Przykład 2 (1C8) 16 = 1 16 2 + 12 16 + 8 16 0 = 256 + 192 + 8 = 456 schemat Hornera 16 1 + 12 = 28 16 28 + 8 = 456 1 C= 12 8 16 1 1 C= 12 8 16 1 28 456 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 35 / 42
Inwersja z systemu (10) na system (16): dzielenie całkowite danej liczby przez 16 z zapisywaniem reszt trzeba pamiętać, że niektóre reszty maja zapis literkowy koniec gdy część całkowita z dzielenia jest zerem liczba w systemie (16) to reszty spisane od dołu do góry Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 36 / 42
Przykład 1 236 =? 16 236 : 16 = 14 r 12 = C bo 14 16 = 224 14 : 16 = 0 r 14 = E czytamy reszty od dołu do góry 236 = EC 16. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 37 / 42
Przykład 2 1234 =? 16 1234 : 16 = 77 r 2 bo 77 16 = 1232 77: 16 = 4 r 13 = D bo 4 16 = 64 4 : 16 = 0 r 4 czytamy reszty od dołu do góry 1234 = 4D2 16. Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 38 / 42
Inwersja między systemami (2) i (16) Zauważmy, że 0001 2 = 1 16 0010 2 = 2 16 0100 2 = 4 16 1000 2 = 8 16 0011 2 = 3 16 0101 2 = 5 16 1001 2 = 9 16 0110 2 = 6 16 1010 2 = 10 16 = A 1100 2 = 12 16 = C 1011 2 = 11 16 = B 0111 2 = 7 16 1101 2 = 13 16 = D 1110 2 = 14 16 = E 1111 2 = 15 16 = F 0000 2 = 0 16 zatem każda cyfra w sytemie szesnastkowym jest zapisana za pomoca czterech bitów w systemie dwójkowym. zamiana z systemu (2) na (16): podzielić (od końca) liczbę na odcinki długości 4 bitów (ewentualnie na poczatku uzupełnić zerami) każda liczbę 4-bitowa z systemu (2) zapisujemy jako odpowiednia cyfra systemu (16) 1010101 2 0101 0101 2 55 16 100011010010 2 1000 1101 0010 2 8D2 16 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 39 / 42
Zauważmy, że 0001 2 = 1 16 0010 2 = 2 16 0100 2 = 4 16 1000 2 = 8 16 0011 2 = 3 16 0101 2 = 5 16 1001 2 = 9 16 0110 2 = 6 16 1010 2 = 10 16 = A 1100 2 = 12 16 = C 1011 2 = 11 16 = B 0111 2 = 7 16 1101 2 = 13 16 = D 1110 2 = 14 16 = E 1111 2 = 15 16 = F 0000 2 = 0 16 zamiana z systemu (16) na (2): każda cyfrę z zapisu (16) zapisać w systemie (2) 230 16 0010 0011 0000 2 001000110000 2 1000110000 2 35A 16 0011 0101 1010 2 0011 0101 1010 2 1101011010 2 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 40 / 42
Zadanie 1 Sporzadzić tabelkę działań dodawania + i mnożenia dla cyfr z systemu ósemkowego. Zadanie 2 Obliczyć: a) 123 8 + 75 8 b) 765 8 111 8 c) 572 8 + 126 8 d) 122 8 14 8 e) 315 8 41 8 f) 743 8 10 8 g) 1F8 16 + AB 16 h) CBA 16 111 16 i) A21 16 + 3F1 16 j) 12B 16 15 16 k) 29 16 AB 16 l) FFF 16 10 16 Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 41 / 42
Dziękuję za uwagę! Informatyka Stosowana Wykład 2 10 października 2016 42 / 42