Wymagania edukacyjne oraz sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów Matematyka XI LO w Krakowie. Klasa pierwsza. Poziom podstawowy i rozszerzony. Wymagania ogólne używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników, rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne oraz operuje obiektami matematycznymi, buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia, tworzy strategię rozwiązania problemu, tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność. Szkoła sprzyja: w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia rozwijaniu umiejętności zdobywania, porządkowania, analizowania i przetwarzania informacji; opanowaniu umiejętności potrzebnych do oceny ilościowej i opisu zjawisk z różnych dziedzin życia; wykształceniu umiejętności budowania modeli matematycznych w odniesieniu do różnych sytuacji życiowych i stosowaniu metod matematycznych w rozwiązywaniu problemów praktycznych; rozwijaniu umiejętności czytania tekstu ze zrozumieniem; rozwinięciu wyobraźni przestrzennej; nabyciu umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy matematycznej; rozwijaniu zdolności i zainteresowań matematycznych; rozwijaniu pamięci; rozwijaniu logicznego myślenia; nabyciu umiejętności poprawnego analizowania, wnioskowania i uzasadniania; wykształceniu umiejętności operowania obiektami abstrakcyjnymi; precyzyjnemu formułowaniu wypowiedzi; pobudzeniu aktywności umysłowej uczniów; w zakresie kształtowania postaw kształtowaniu wytrwałości w zdobywaniu wiedzy i umiejętności matematycznych; wyrabianiu systematyczności w pracy; motywowaniu uczniów do kreatywności i samodzielności; kształtowaniu postaw dociekliwych, poszukujących i krytycznych; nabyciu umiejętności dobrej organizacji pracy, właściwego planowania nauki; kształtowaniu odpowiedzialności za powierzone zadania; kształtowaniu pozytywnych postaw etycznych (pomoc koleżeńska uczniom mniej zdolnym, piętnowanie nieuczciwości wyrażającej się w ściąganiu, podpowiadaniu itp.); rozwijaniu umiejętności pracy w zespole; kształtowaniu postawy dialogu i kultury dyskusji (komunikacja); dbaniu o estetykę (czytelny rysunek, jasne i przejrzyste rozwiązanie zadań itp.). 1
Sposoby sprawdzania osiągnięć edukacyjnych uczniów W ciągu każdego okresu uczeń otrzymuje oceny z co najmniej trzech wymienionych poniżej jedenastu form sprawdzania osiągnięć edukacyjnych. 1. Odpowiedzi ustne: a) odpowiedzi z trzech ostatnich tematów, b) prezentacja rozwiązania zadania, c) referat, d) dyskusja nad rozwiązaniem problemu w czasie lekcji. 2. Prace pisemne: a) krótkie kartkówki obejmujące materiał trzech ostatnich tematów (niekoniecznie zapowiedziane), b) zapowiedziane sprawdziany pisane przez całą lekcję, c) zadania klasowe obejmujące większą część materiału (np. zrealizowany dział), d) badanie wyników okresowej lub całorocznej pracy, np. mini matura. 3. Zadania domowe. 4. Prezentacja pracy w grupie. 5. Udział w konkursie (olimpiadzie, zawodach). Prace pisemne oceniane są wg następującej skali: poniżej 40% stopień niedostateczny od 40% poniżej 50% stopień dopuszczający od 50% poniżej 65% stopień dostateczny od 65% poniżej 70% stopień plus dostateczny od 70% poniżej 85% stopień dobry od 85% poniżej 90% stopień plus dobry od 90% poniżej 98% stopień bardzo dobry od 98% stopień celujący stopień celujący uzyskuje również uczeń, który spełnił wymagania na stopień bardzo dobry i ponadto rozwiązał zadanie dodatkowe o podwyższonym stopniu trudności lub przedstawił niekonwencjonalny, wartościowy sposób rozwiązania obowiązujących zadań. W przypadku nieobecności ucznia na sprawdzianie lub kartkówce w dzienniku lekcyjnym pojawia się zapis 0. Zapis ten nie ma wpływu na śródroczną i roczną ocenę klasyfikacyjną. Ocenę niedostateczną uczeń może poprawić w terminie ustalonym przez nauczyciela. Ogólne treści nauczania w klasie pierwszej (poziom podstawowy i rozszerzony) 1. Wprowadzenie. Pojęcia podstawowe. Zbiory. Zbiory liczbowe. 2. Działania w zbiorach liczbowych. 3. Wyrażenia algebraiczne. 4. Figury geometryczne na płaszczyźnie pojęcia wstępne. 5. Geometria płaska trójkąty. 6. Trygonometria. 7. Geometria płaska pole trójkąta i pole koła. 8. Funkcja i jej własności. 9. Przekształcanie wykresów funkcji. 2
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI klasa 1 (poziom podstawowy i rozszerzony) 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia podstawowe Tematyka zajęć: Zdanie. Zaprzeczenie zdania Koniunkcja zdań. Alternatywa zdań Implikacja. Równoważność zdań. Definicja. Twierdzenie Prawa logiczne. Prawa De Morgana Zbiór. Działania na zbiorach Zbiory liczbowe. Oś liczbowa Rozwiązywanie prostych równań Przedziały Rozwiązywanie prostych nierówności Zdanie z kwantyfikatorem ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dostatecznej, dobrej, dopuszczającej, a ponadto: a ponadto: a ponadto: bardzo dobrej, a ponadto: odróżnia zdanie logiczne od innej wypowiedzi; określa wartość logiczną zdania prostego; - neguje zdanie proste i określa wartość logiczną zdania zanegowanego; rozpoznaje zdania w postaci koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności zdań; buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, podaje prawa de Morgana i je stosuje; podaje przykłady zbiorów (w tym przykłady zbiorów skończonych oraz nieskończonych); określa relacje pomiędzy zbiorami (równość zbiorów, zawieranie się zbiorów, rozłączność zbiorów); opisuje budowę twierdzenia matematycznego; wskazuje jego założenie i tezę; buduje twierdzenie odwrotne do danego oraz ocenia prawdziwość twierdzenia prostego i odwrotnego; sprawnie posługuje się symboliką matematyczną dotyczącą zbiorów; 3 podaje przykłady zbiorów A i B, jeśli dana jest ich suma, iloczyn albo różnica; przeprowadza proste dowody, w tym dowody nie wprost, dotyczące własności liczb rzeczywistych; podaje przykład równania sprzecznego oraz równania tożsamościowego; stosuje działania na zbiorach do wnioskowania na temat własności tych zbiorów; określa dziedzinę i zbiór elementów spełniających równanie z jedną niewiadomą, zawierające wyrażenia wymierne lub pierwiastek stopnia
alternatywy, implikacji i równoważności zdań z danych zdań prostych; określa wartości logiczne zdań złożonych, takich jak koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność zdań; odróżnia definicję od twierdzenia; posługuje się pojęciami: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiór zbioru; stosuje symbolikę matematyczną dotyczącą zbiorów; definiuje sumę, iloczyn, różnicę zbiorów; wyznacza sumę, iloczyn i różnicę zbiorów skończonych; rozróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne; zamienia ułamek o rozwinięciu dziesiętnym nieskończonym okresowym na ułamek zwykły; operuje pojęciem przedziału, rozpoznaje przedziały ograniczone i nieograniczone; zaznacza na osi liczbowej podany przedział liczbowy; wyznacza sumę, różnicę oraz część wspólną przedziałów. określa relację pomiędzy elementem i zbiorem; wyznacza sumę, różnicę oraz część wspólną podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych: N, C, NW, W; zaznacza liczby wymierne na osi liczbowej; zapisuje za pomocą przedziałów zbiory opisane nierównościami; rozpoznaje równanie (nierówność) z jedną niewiadomą; określa dziedzinę równania; definiuje rozwiązanie równania (nierówności) z jedną niewiadomą; rozpoznaje równanie sprzeczne, równanie tożsamościowe; rozpoznaje nierówność sprzeczną, nierówność tożsamościową. podaje pojęcie dopełnienia zbioru i stosuje je w działaniach na zbiorach; wyznacza dopełnienie przedziału lub dopełnienie zbioru liczbowego skończonego w przestrzeni R; ocenia wartości logiczne zdań, w których występują zależności pomiędzy podzbiorami zbioru R; wyznacza dziedzinę równania z jedną niewiadomą, w przypadku, gdy trzeba rozwiązać koniunkcję warunków; stosuje zwroty dla każdego x... oraz istnieje takie x, że... w budowaniu zdań logicznych; zapisuje symbolicznie zdanie z kwantyfikatorem; ocenia wartość logiczną zdania z kwantyfikatorem; neguje zdanie z kwantyfikatorem i podaje wartość logiczną zdania po negacji. wskazuje przykład nierówności sprzecznej oraz nierówności tożsamościowej. drugiego. 4
2. Działania w zbiorach liczbowych Tematyka zajęć: Zbiór liczb naturalnych Zbiór liczb całkowitych Zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb niewymiernych Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych Rozwiązywanie równań metoda równań równoważnych Rozwiązywanie nierówności metoda nierówności równoważnych Procenty Punkty procentowe Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności z wartością bezwzględną Własności wartości bezwzględnej Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny, szacowanie ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: wskazuje liczby pierwsze i liczby złożone; rozkłada liczbę naturalną na czynniki pierwsze; wyznacza największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb naturalnych; wykonuje dzielenie z resztą w zbiorze liczb naturalnych; sprawnie wykonuje działania na ułamkach zwykłych i na ułamkach dziesiętnych; określa i stosuje w obliczeniach kolejność działań i prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych; porównuje liczby rzeczywiste; podaje i stosuje cechy podzielności liczb naturalnych (przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10); definiuje liczbę całkowitą, parzystą oraz nieparzystą; podaje własność proporcji i stosuje ją do rozwiązywania równań zawierających proporcje; stosuje twierdzenia pozwalające przekształcać w sposób równoważny równania i nierówności; odczytuje dane w postaci tabel i diagramów, a także przedstawia dane w postaci diagramów procentowych; podaje zapis symboliczny wybranych liczb, np. liczby parzystej, liczby nieparzystej, liczby podzielnej przez daną liczbę całkowitą, wielokrotności danej liczby; zapis liczby, która w wyniku dzielenia przez daną liczbę całkowitą daje wskazaną resztę; zapisuje symbolicznie zbiór na podstawie informacji o jego elementach; wymienia elementy zbioru zapisanego symbolicznie; podaje część całkowitą każdej 5 definiuje liczby względnie pierwsze; podaje i stosuje w obliczeniach zależność dotyczącą liczb naturalnych różnych od zera: NWD(a, b) NWW(a, b) = a b; wykonuje dzielenie z resztą w zbiorze liczb całkowitych ujemnych; wykazuje podzielność liczb całkowitych, zapisanych symbolicznie; szacuje wartość liczby niewymiernej. rozwiązuje zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące własności liczb rzeczywistych; bada liczbę rozwiązań równania typu x a + b x = m, gdzie a i b są danymi liczbami, zaś m jest parametrem.
rozwiązuje równania z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych; rozwiązuje nierówności z jedną niewiadomą metodą nierówności równoważnych; oblicza procent danej liczby, a także wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent; oblicza, jakim procentem danej liczby jest druga liczba; określa, o ile procent dana wielkość jest większa (mniejsza) od innej wielkości; odczytuje dane przedstawione w tabeli lub na diagramie i przeprowadza analizę procentową przedstawionych danych; posługuje się procentem w prostych zadaniach tekstowych (w tym wzrosty i spadki cen, podatki, kredyty i lokaty); oblicza wartość bezwzględną liczby; zapisuje i oblicza odległość na osi liczbowej między dwoma dowolnymi punktami; wyznacza przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej z żądaną dokładnością; oblicza błąd bezwzględny i względny danego przybliżenia. posługuje się pojęciem punktu procentowego ; definiuje wartość bezwzględną liczby rzeczywistej i podaje jej interpretację geometryczną; oblicza błąd procentowy przybliżenia; szacuje wartości wyrażeń. liczby rzeczywistej i część ułamkową liczby wymiernej; określa, kiedy dwa równania (dwie nierówności) są równoważne i wskazuje równania (nierówności) równoważne; rozwiązuje proste równania wymierne typu rozumie zmiany bankowych stóp procentowych i wyraża je w punktach procentowych (oraz bazowych); zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności z wartością bezwzględną typu: x a = b, x a < b, x a >b, x a b, x a b; zapisuje nierówność z wartością bezwzględną na podstawie zbioru jej rozwiązań; zna własności wartości bezwzględnej i stosuje je w rozwiązywaniu zadań o średnim stopniu trudności. 6
3. Wyrażenia algebraiczne Tematyka zajęć: Potęga o wykładniku naturalnym Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej Działania na wyrażeniach algebraicznych Wzory skróconego mnożenia, cz.1 Wzory skróconego mnożenia, cz.2 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym Potęga o wykładniku wymiernym Potęga o wykładniku rzeczywistym Dowodzenie twierdzeń Określenie logarytmu Zastosowanie logarytmów Przekształcanie wzorów Średnie ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: wykonuje działania na potęgach o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym; wyłącza wspólny czynnik z różnych wyrażeń; sprawnie posługuje się wzorami skróconego mnożenia: a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 b 2 = (a b)(a + b) i sprawnie wykonuje działania na wyrażeniach, które zawierają podaje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i stosuje je w obliczeniach; zapisuje liczbę w notacji wykładniczej; sprawnie sprowadza wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci i oblicza ich wartości dla podanych wartości zmiennych; podaje i stosuje następujące wzory skróconego mnożenia: (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ); sprawnie przekształca wyrażenia algebraiczne zawierające potęgi i pierwiastki; sprawnie zamienia pierwiastki arytmetyczne na potęgi sprawnie przekształca wyrażenia zawierające wszystkie wzory skróconego mnożenia; usuwa niewymierność z mianownika ułamka, stosując wzór skróconego mnożenia na sumę (różnicę) sześcianów; szacuje wartość potęgi o wykładniku rzeczywistym; sprawnie działa na wyrażeniach zawierających potęgi i pierwiastki z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia; sprawnie rozkłada wyrażenia zawierające potęgi i pierwiastki na czynniki, stosując jednocześnie wzory skróconego mnożenia i metodę grupowania wyrazów; wykorzystuje pojęcie 7
wymienione wzory skróconego mnożenia; oblicza pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych; definiuje logarytm i oblicza logarytmy bezpośrednio z definicji; podaje określenie średniej arytmetycznej, średniej ważonej i średniej geometrycznej liczb oraz oblicza te średnie dla podanych liczb. usuwa niewymierność z mianownika ułamka, stosując wzór skróconego mnożenia (różnicę kwadratów dwóch wyrażeń); podaje określenie pierwiastka arytmetycznego z liczby nieujemnej i stosuje prawa działań na pierwiastkach w obliczeniach; dowodzi proste twierdzenia; sprawnie przekształca wzory matematyczne, fizyczne i chemiczne. o wykładniku wymiernym i odwrotnie; sprawnie wykonuje działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym; wyłącza wspólną potęgę poza nawias; rozkłada wyrażenia na czynniki metodą grupowania wyrazów lub za pomocą wzorów skróconego mnożenia; podaje własności logarytmów i stosuje je w obliczeniach; stosuje średnią arytmetyczną, średnią ważoną i średnią geometryczną w zadaniach tekstowych. dowodzi twierdzenia posługując się dowodem wprost; dowodzi twierdzenia posługując się dowodem nie wprost. logarytmu (a także cechy i mantysy logarytmu dziesiętnego) w zadaniach praktycznych. 4. Geometria płaska pojęcia wstępne Tematyka zajęć: Punkt, prosta, odcinek, półprosta, kąt, figura wypukła, figura ograniczona Łamana. Wielokąt. Wielokąt foremny Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, odległość między prostymi równoległymi, symetralna odcinka, dwusieczna kąta Dwie proste przecięte trzecią prostą. Suma kątów w wielokącie Wektor na płaszczyźnie (bez układu współrzędnych) Wybrane przekształcenia płaszczyzny, cz.1 Wybrane przekształcenia płaszczyzny, cz.2 Twierdzenie Talesa Okrąg i koło Kąty i koła 8
ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: operuje figurami podstawowymi (punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeń) i zapisuje relacje między nimi; określa położenie prostych na płaszczyźnie; rozumie pojęcie odległości, wyznacza odległość dwóch punktów, punktu od prostej, dwóch prostych równoległych; określa pojęcie kąta i dzieli kąty ze względu na ich miarę; określa pojęcie kątów przyległych i kątów wierzchołkowych oraz stosuje własności tych kątów w rozwiązywaniu prostych zadań; określa pojęcie dwusiecznej kąta i symetralnej odcinka, stosuje własność dwusiecznej kąta oraz symetralnej odcinka w rozwiązywaniu prostych zadań, konstruuje dwusieczną danego kąta i symetralną danego odcinka; podaje twierdzenie Talesa; stosuje je do podziału odcinka w danym stosunku, do konstrukcji odcinka o danej długości, do obliczania długości odcinka w prostych zadaniach; podaje wnioski z twierdzenia Talesa i stosuje je definiuje figurę wypukłą i wklęsłą; podaje przykłady takich figur; definiuje figurę ograniczoną i figurę nieograniczoną, podaje przykłady takich figur; podaje własności kątów utworzonych między dwiema prostymi równoległymi, przeciętymi trzecią prostą i stosuje je w rozwiązywaniu prostych zadań; uzasadnia równoległość dwóch prostych, znajdując równe kąty odpowiadające; podaje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa i stosuje je do uzasadnienia równoległości odpowiednich odcinków lub prostych; określa wzajemne położenie dwóch okręgów; posługuje się terminami: kąt wpisany w koło, kąt środkowy koła; podaje twierdzenia dotyczące kątów wpisanych i środkowych i stosuje je przy rozwiązywaniu prostych zadań; podaje twierdzenie o odcinkach stycznych i stosuje je w rozwiązywaniu prostych zapisuje miarę stopniową kąta, używając minut i sekund; określa pojęcie łamanej, łamanej zwyczajnej, łamanej zwyczajnej zamkniętej; definiuje wielokąt; podaje i stosuje wzór na liczbę przekątnych wielokąta; podaje określenie wielokąta foremnego; definiuje wektor na płaszczyźnie (bez układu współrzędnych); podaje określenie wektorów równych, przeciwnych; dodaje, odejmuje wektory, mnoży wektor przez liczbę; definiuje przekształcenie geometryczne; punkt stały przekształcenia; definiuje przekształcenie tożsamościowe; definiuje izometrię;; definiuje i podaje własności takich przekształceń izometrycznych, jak: przesunięcie równoległe o wektor, symetria osiowa względem prostej, symetria środkowa względem punktu; określa oś i środek symetrii figury, figurę 9 udowadnia twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego; udowadnia, że suma miar kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest stała; podaje i stosuje prawa działań na wektorach; stosuje wiedzę o wektorach w rozwiązywaniu zadań geometrycznych; - podaje przykład przekształcenia nieizometrycznego (rzut równoległy na prostą oraz powinowactwo prostokątne); -rozwiązuje zadania złożone, wymagające wykorzystania równocześnie kilku poznanych własności. rozwiązuje nietypowe zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące odcinków, prostych, półprostych, kątów i kół, w tym z zastosowaniem poznanych twierdzeń; udowadnia twierdzenie o dwusiecznych kątów przyległych; udowadnia twierdzenia o kątach środkowych i wpisanych w koło; udowadnia twierdzenie o kącie dopisanym do okręgu; udowadnia własności figur geometrycznych w oparciu o poznane twierdzenia.
w rozwiązywaniu prostych zadań; definiuje koło i okrąg, poprawnie posługuje się terminami: promień, środek okręgu, cięciwa, średnica, łuk okręgu; określa wzajemne położenie prostej i okręgu; definiuje styczną do okręgu. zadań; podaje twierdzenie o stycznej do okręgu i wykorzystuje je przy rozwiązywaniu prostych zadań. osiowosymetryczna, środkowosymetryczną; konstruuje styczną do okręgu, przechodzącą przez punkt leżący w odległości większej od środka okręgu niż długość promienia okręgu; konstruuje styczną do okręgu przechodzącą przez punkt leżący na okręgu; określa kąt dopisany do okręgu; zna twierdzenie o kątach wpisanym i dopisanym do okręgu, opartych na tym samym łuku; rozwiązuje zadania o średnim stopniu trudności dotyczące okręgów, stycznych, kątów środkowych, wpisanych i dopisanych, z zastosowaniem poznanych twierdzeń. 5. Geometria płaska trójkąty Tematyka zajęć: Podział trójkątów. Suma kątów w trójkącie. Nierówność trójkąta. Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie Symetralne boków trójkąta. Okrąg opisany na trójkącie Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt Przystawanie trójkątów Podobieństwo trójkątów Twierdzenie o stycznej i siecznej 10
ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: dzieli trójkąty ze względu na boki i kąty; podaje sumę miar kątów w trójkącie i w czworokącie; podaje warunek na długość odcinków, z których można zbudować trójkąt; podaje twierdzenie dotyczące odcinka łączącego środki dwóch boków trójkąta i je stosuje w rozwiązywaniu prostych zadań; podaje twierdzenie Pitagorasa i stosuje je w rozwiązywaniu prostych zadań; podaje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i wykorzystuje je do sprawdzenia, czy dany trójkąt jest prostokątny; rysuje wysokości w trójkącie i wie, że wysokości (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie; określa środek ciężkości trójkąta; podaje twierdzenie o symetranych boków i o dwusiecznych kątów w trójkącie; wie, że punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie i konstruuje ten okrąg; określa na podstawie długości boków trójkąta, czy trójkąt jest ostrokątny, czy rozwartokątny; podaje twierdzenie o środkowych w trójkącie oraz stosuje je przy rozwiązywaniu prostych zadań; podaje i stosuje własności trójkąta prostokątnego: suma miar kątów ostrych trójkąta, długość wysokości w trójkącie prostokątnym równoramiennym w zależności od długości przyprostokątnej; długość promienia okręgu opisanego na trójkącie i długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt w zależności od długości boków trójkąta, zależność między długością środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego a długością przeciwprostokątnej. podaje zależności między bokami w trójkącie (nierówności trójkąta) i stosuje je przy rozwiązywaniu zadań; podaje i stosuje w zadaniach własność wysokości w trójkącie prostokątnym, poprowadzonej na przeciwprostokątną; udowadnia proste własności trójkątów, wykorzystując cechy przystawania trójkątów; rozwiązuje zadania o średnim stopniu trudności dotyczące okręgów wpisanych w trójkąt i okręgów opisanych na trójkącie; stosuje cechy podobieństwa trójkątów do rozwiązania zadań z wykorzystaniem innych, wcześniej poznanych własności; rozwiązuje zadania o średnim stopniu trudności dotyczące trójkątów, z zastosowaniem poznanych do tej pory twierdzeń; podaje twierdzenie o stycznej i siecznej oraz stosuje je w rozwiązywaniu zadań geometrycznych. 11 udowadnia twierdzenie o odcinku łączącym środki boków w trójkącie; oblicza długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny i długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, mając dane długości boków trójkąta; uzasadnia, że symetralna odcinka jest zbiorem punktów płaszczyzny równoodległych od końców odcinka; uzasadnia, że każdy punkt należący do dwusiecznej kąta leży w równej odległości od ramion tego kąta; udowadnia twierdzenie o symetralnych boków i twierdzenie o dwusiecznych kątów w trójkącie; udowadnia twierdzenie o odcinkach stycznych. rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące trójkątów, z wykorzystaniem poznanych twierdzeń; udowadnia twierdzenie o środkowych w trójkącie; udowodnia twierdzenie dotyczące wysokości w trójkącie prostokątnym, poprowadzonej na przeciwprostokątną; udowodnia twierdzenie o stycznej i siecznej.
wie, że punkt przecięcia się dwusiecznych kątów w trójkącie jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt i konstruuje ten okrąg; podaje i stosuje przy rozwiązywaniu prostych zadań własności trójkąta równobocznego: długość wysokości w zależności od długości boku, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt; podaje podstawowe własności trójkąta równoramiennego i stosuje je przy rozwiązywaniu prostych zadań; podaje trzy cechy przystawania trójkątów i stosuje je przy rozwiązywaniu prostych zadań; podaje cechy podobieństwa trójkątów; stosuje je do rozpoznawania trójkątów podobnych i przy rozwiązaniach prostych zadań; oblicza skalę podobieństwa trójkątów podobnych. 12
6. Trygonometria Tematyka zajęć: Określenie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów 30 0, 45 0, 60 0 Kąt skierowany Sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta Podstawowe tożsamości trygonometryczne Wzory redukcyjne Twierdzenie sinusów Twierdzenie cosinusów ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o danych długościach boków; korzysta z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora); podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 30 0, 45 0, 60 0 ; rozwiązuje trójkąty prostokątne; oblicza wartości wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne kątów o miarach 30 0, 45 0, 60 0 ; podaje definicje sinusa, określa znaki funkcji trygonometrycznych kątów wypukłych, różnych od 90 0 ; podaje wartości funkcji trygonometrycznych (o ile istnieją) kątów o miarach: 0 0, 90 0, 180 0 ; oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta wypukłego, gdy dana jest jedna z nich; stosuje poznane wzory redukcyjne w obliczaniu wartości wyrażeń; stosuje poznane wzory redukcyjne w zadaniach geometrycznych; buduje kąt wypukły znając wartość jednej z funkcji podaje określenie kąta skierowanego; określa miarę główną kąta skierowanego i wyznacza ją dla dowolnego kąta; definiuje sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta; podaje znaki wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach; oblicza, na podstawie definicji, wartości funkcji trygonometrycznych kątów np. 210, 240, 315, 330 stopni; buduje w układzie współrzędnych kąt o dowolnej mierze, gdy dana jest wartość 13 podaje i stosuje podstawowe tożsamości trygonometryczne (dla dowolnego kąta, dla którego funkcje trygonometryczne są określone) podaje i stosuje wzory redukcyjne; dowodzi różne tożsamości trygonometryczne; - rozwiązuje zadania o różnym stopniu trudności, wykorzystując także wcześniej poznaną wiedzę o figurach geometrycznych. udowadnia twierdzenie sinusów; udowodnia twierdzenie cosinusów; rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, wymagające niekonwencjonalnych pomysłów i metod.
cosinusa, tangensa i cotangensa dowolnego kata wypukłego; wyznacza (korzystając z definicji) wartości funkcji trygonometrycznych takich kątów wypukłych, jak: 120 0,135 0, 150 0 ; podaje i stosuje podstawowe tożsamości trygonometryczne (w odniesieniu do kąta wypukłego):,, ; podaje i stosuje wzory redukcyjne dla kąta,,. trygonometrycznych tego kąta. jednej funkcji trygonometrycznej tego kąta; podaje i stosuje podstawowe tożsamości trygonometryczne (dla dowolnego kąta, dla którego funkcje trygonometryczne są określone) podaje i stosuje wzory redukcyjne; dowodzi różne tożsamości trygonometryczne; podaje twierdzenie sinusów i stosuje je w zadaniach geometrycznych; podaje twierdzenie cosinusów i stosuje je w zadaniach geometrycznych; rozwiązuje zadania o średnim stopniu trudności, wykorzystując także wcześniej poznaną wiedzę o figurach geometrycznych. 7. Geometria płaska pole koła, pole trójkąta Tematyka zajęć: Pole figury geometrycznej Pole trójkąta, cz. 1 Pole trójkąta, cz. 2 Pola trójkątów podobnych Pole koła, pole wycinka koła Zastosowanie pojęcia pola w dowodzeniu twierdzeń 14
ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: rozumie pojęcie pola figury; podaje wzór na pole kwadratu i pole prostokąta; podaje i stosuje następujące wzory na pole trójkąta:, gdzie a długość boku trójkąta równobocznego,,,, gdzie rozwiązuje proste zadania geometryczne dotyczące trójkątów, wykorzystując wzory na pole trójkąta i poznane wcześniej twierdzenia; oblicza wysokość trójkąta, korzystając ze wzoru na pole; podaje twierdzenie o polach figur podobnych, stosuje je przy rozwiązywaniu prostych zadań; podaje wzór na pole koła i pole wycinka koła, stosuje te wzory przy rozwiązywaniu prostych zadań. rozwiązuje proste zadania geometryczne dotyczące trójkątów, wykorzystując wzory na ich pola i poznane wcześniej twierdzenia, w szczególności twierdzenie Pitagorasa oraz własności okręgu wpisanego w trójkąt i okręgu opisanego na trójkącie; wie, że pole wycinka koła jest wprost proporcjonalne do miary odpowiadającego mu kąta środkowego koła i jest wprost proporcjonalne do długości odpowiadającego mu łuku okręgu oraz stosuje tę wiedzę przy rozwiązywaniu prostych zadań. rozwiązuje zadania geometryczne o średnim stopniu trudności, stosując wzory na pola trójkątów, w tym również z wykorzystaniem poznanych wcześniej własności trójkątów; rozwiązuje zadania geometryczne, wykorzystując cechy podobieństwa trójkątów, twierdzenie o polach figur podobnych; rozwiązuje zadania dotyczące trójkątów, w których wykorzystuje twierdzenia poznane wcześniej ( tw. Pitagorasa, tw. Talesa, tw. sinusów, tw. cosinusów, twierdzenia o kątach w kole, itp.) wyprowadza wzór na pole trójkąta równobocznego i wzory:, gdzie - dowodzi twierdzenia, w których wykorzystuje pojęcie pola. udowadnia twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa z wykorzystaniem pól odpowiednich trójkątów; rozwiązuje nietypowe zadania geometryczne o podwyższonym stopniu trudności z wykorzystaniem wzorów na pola figur i i nnych twierdzeń. 15
8. Funkcja i jej własności Tematyka zajęć: Pojęcie funkcji. Funkcja liczbowa. Dziedzina i zbiór wartości funkcji Sposoby opisywania funkcji Wykres funkcji Dziedzina funkcji liczbowej Zbiór wartości funkcji liczbowej Miejsce zerowe funkcji Równość funkcji Monotoniczność funkcji Funkcje różnowartościowe Funkcje parzyste i funkcje nieparzyste Funkcje okresowe Największa i najmniejsza wartość funkcji liczbowej Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach Zastosowanie wykresów funkcji do rozwiązywania równań i nierówności. Zastosowanie wiadomości o funkcjach do opisywania, interpretowania i przetwarzania informacji wyrażonych w postaci wykresu funkcji ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: odróżnia funkcję od innych przyporządkowań; podaje przykłady funkcji; opisuje funkcje na różne sposoby: wzorem, tabelką, grafem, opisem słownym; szkicuje wykres funkcji liczbowej określonej słownie, grafem, tabelką, wzorem; odróżnia wykres funkcji od krzywej, która wykresem funkcji nie jest; szkicuje wykresy funkcji: y = x, interpretuje informacje na podstawie wykresów funkcji lub ich wzorów (np. dotyczące różnych zjawisk przyrodniczych, ekonomicznych, socjologicznych, fizycznych); przetwarza informacje dane w postaci wzoru lub wykresu funkcji; określa dziedzinę funkcji liczbowej danej wzorem w przypadku, gdy wyznaczenie dziedziny funkcji wymaga rozwiązania koniunkcji warunków, dotyczących mianowników lub pierwiastków stopnia drugiego, występujących we wzorze; oblicza miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem; 16 rysuje wykresy funkcji: y = reszta z dzielenia x przez 3, gdzie x C, y = sgn x, y = [x], y = x [x], y = max (5, x ), y = min (x, 2x + 1) i omawia ich własności; stosuje wiadomości o funkcji do opisywania zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu codziennym; rozwiązuje zadania dotyczące funkcji o podwyższonym stopniu trudności.
y = x 2, y = x 3, y =, y= określa dziedzinę funkcji liczbowej danej wzorem (w prostych przypadkach); oblicza miejsce zerowe funkcji liczbowej (w prostych przypadkach); oblicza wartość funkcji liczbowej dla danego argumentu, a także oblicza argument funkcji, gdy dana jest jej wartość. określa zbiór wartości funkcji w prostych przypadkach (np. gdy dziedzina funkcji jest zbiorem skończonym); odczytuje na podstawie wykresu funkcji liczbowej jej własności, takie jak: a) dziedzina funkcji b) zbiór wartości funkcji c) miejsce zerowe funkcji d) argument funkcji, gdy dana jest wartość funkcji e) wartość funkcji dla danego argumentu f) przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała g) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne, niedodatnie, nieujemne h) najmniejszą oraz największą wartość funkcji. na podstawie wykresów funkcji f i g podaje zbiór rozwiązań równania f(x) = g(x) oraz nierówności typu: f(x) < g(x), f(x) g(x). podaje określenie funkcji równych; definiuje funkcję parzystą oraz nieparzystą; podaje określenie funkcji okresowej; podaje własności funkcji okresowej na podstawie jej wykresu; bada na podstawie definicji, czy dane funkcje są równe; bada na podstawie definicji parzystość (nieparzystość) danej funkcji; bada na podstawie definicji monotoniczność danej funkcji. udowadnia na podstawie definicji różnowartościowość danej funkcji; wyznacza najmniejszą oraz największą wartość funkcji w przedziale domkniętym. podaje opis matematyczny prostej sytuacji w postaci wzoru funkcji; szkicuje wykres funkcji kawałkami ciągłej na podstawie wzoru tej funkcji; na podstawie wykresu funkcji kawałkami ciągłej omawia jej własności; szkicuje wykres funkcji o zadanych własnościach. 17
9. Przekształcenia wykresów funkcji Tematyka zajęć: Podstawowe informacje o wektorze w układzie współrzędnych Przesunięcie równoległe o wektor Symetria osiowa względem osi OX i osi OY Symetria środkowa względem punktu (0, 0) Wykres funkcji y = f(x) oraz y = f( x ) Powinowactwo prostokątne o osi OX i o osi OY Szkicowanie wykresów wybranych funkcji Zastosowanie wykresów funkcji do rozwiązywania zadań ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania Uczeń spełnia wymagania dobrej, bardzo dopuszczającej, a ponadto: dostatecznej, a ponadto: a ponadto: dobrej, a ponadto: podaje określenie wektora, podaje jego cechy; oblicza współrzędne wektora, mając dane współrzędne początku i końca wektora; wyznacza długość wektora (odległość między punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej); wykonuje działania na wektorach: dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie przez liczbę (analitycznie); oblicza współrzędne środka odcinka; operuje pojęciem przesunięcia równoległego o wektor i wyznacza obraz figury w przesunięciu równoległym o dany wektor; operuje pojęciem symetrii środkowej względem punktu oblicza współrzędne początku wektora (końca wektora), gdy dane ma współrzędne wektora oraz współrzędne końca (początku) wektora; - rysuje wykresy funkcji określonych wzorami, np.: y = (x + 3) 2 ; y = 4; y = ; y = (x 1) 2 5, y = y = podaje własności funkcji: y = f(x) + q, y = f(x p), y = f(x p) + q, y = f(x), y = f( x), y = f( x) w oparciu o dane własności funkcji y = f(x); zapisuje wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku podaje własności działań na wektorach i stosuje je w rozwiązywaniu zadań o średnim stopniu trudności; na podstawie wykresu funkcji y = f (x) sporządza wykresy funkcji: y = f(x), y = f( x ), y = k f(x) oraz y = f(kx), gdzie k 0; szkicuje wykres funkcji, którego sporządzenie wymaga kilku poznanych przekształceń; przeprowadza dyskusję rozwiązań równania z parametrem f(x) = m, w oparciu o wykres funkcji f. 18 stosuje własności przekształceń geometrycznych przy rozwiązywaniu zadań o średnim stopniu trudności. rozwiązuje nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności), dotyczące przekształceń wykresów funkcji oraz własności funkcji.
i symetrii osiowej wyglądem prostej oraz wyznacza obrazy figur w tych przekształceniach; podaje współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii osiowej względem osi OX oraz osi OY, w symetrii środkowej względem punktu (0,0), w przesunięciu równoległym o dany wektor; rysuje wykres funkcji y = f(x) + q, y = f(x p), y = f(x p) + q, y = f(x), y = f( x) oraz y = f( x) w przypadku, gdy dany jest wykres funkcji y = f(x). przekształcenia wykresu funkcji f przez symetrię osiową względem osi OX, symetrię osiową względem osi OY, symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, przesunięcie równoległe o dany wektor. Opracował zespół nauczycieli XI LO w Krakowie 19