ZASTOSOWANIE METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

Transkrypt

1 ZASTOSOWANIE METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU

2 Studia Ekonomiczne ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH

3 ZASTOSOWANIE METOD MATEMATYCZNYCH W EKONOMII I ZARZĄDZANIU Redaktorzy naukowi Jerzy Mika Katarzyna Zeug-Żebro Katowice 3

4 Komitet Redakcyny Krystyna Lisiecka (przewodnicząca), Anna Lebda-Wyborna (sekretarz), Florian Kuźnik, Maria Michałowska, Antoni Niederliński, Irena Pyka, Stanisław Swadźba, Tadeusz Trzaskalik, Janusz Wywiał, Teresa Żabińska Komitet Redakcyny Wydziału Zarządzania Janusz Wywiał (redaktor naczelny), Tomasz Żądło (sekretarz) Alozy Czech, Jacek Szołtysek, Teresa Żabińska Rada Programowa Lorenzo Fattorini, Mario Glowik, Miloš Král, Bronisław Micherda, Zdeněk Mikoláš, Marian Noga, Gwo-Hsiung Tzeng Redaktor Patryca Keller Copyright by Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach 3 ISSN Wersą pierwotną Studiów Ekonomicznych est wersa papierowa Wszelkie prawa zastrzeżone. Każda reprodukca lub adaptaca całości bądź części niniesze publikaci, niezależnie od zastosowane techniki reprodukci, wymaga pisemne zgody Wydawcy WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO W KATOWICACH ul. Maa 5, 4-87 Katowice, tel.: , faks: wydawnictwo@ue.katowice.pl

5 SPIS TREŚCI Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska: OD ABAKUSA DO KOMPUTERA... 7 Summary... 7 Wiktor Esmont, Janusz Łyko: WPŁYW POŁOŻENIA SZKOŁY NA WYNIKI EDUKACYJNE UCZNIÓW... 8 Summary Bartłomie Jabłoński: MODELOWE UJĘCIE POLITYKI DYWIDEND Z PUNKTU WIDZENIA INWESTORA RYNKU KAPITAŁOWEGO ORAZ EMITENTA Summary... 5 Anna Janiga-Ćmiel: ANALIZA ZALEŻNOŚCI PRZYCZYNOWYCH ROZWOJU GOSPODARCZEGO POLSKI I WYBRANYCH PAŃSTW UNII EUROPEJSKIEJ... 5 Summary... 7 Adrianna Mastalerz-Kodzis: ZASTOSOWANIE FUNKCJI HÖLDERA W MODELU FRAMA Summary... 8 Monika Miśkiewicz-Nawrocka: WPŁYW REDUKCJI SZUMU LOSOWEGO METODĄ NAJBLIŻSZYCH SĄSIADÓW NA WYNIKI PROGNOZ OTRZYMANYCH ZA POMOCĄ NAJWIĘKSZEGO WYKŁADNIKA LAPUNOWA... 8 Summary Joanna Trzęsiok: WYKORZYSTANIE REGRESJI NIEPARAMETRYCZNEJ DO MODELOWANIA WIELKOŚCI OSZCZĘDNOŚCI GOSPODARSTW DOMOWYCH Summary... 8

6 Łukasz Wachstiel: ZASTOSOWANIE METODY AHP DO WYBORU OPTYMALNEGO ZINTEGROWANEGO SYSTEMU INFORMATYCZNEGO WSPOMAGAJĄCEGO ZARZĄDZANIE UCZELNIĄ... 9 Summary... 3 Katarzyna Zeug-Żebro: BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO NA IDENTYFIKACJĘ CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH... 4 Summary... 35

7 Agata Berdowska Gabriela Górecka-Berdowska Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach OD ABAKUSA DO KOMPUTERA Wprowadzenie Inspiracą do napisania tego artykułu były pytania stawiane (edne z autorek) przez studentów I roku Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach o cel nauczania matematyki na te Uczelni. W odpowiedzi otrzymali zapewnienie, że matematyka est m.in. narzędziem prowadzonym w kolenych przedmiotach, że uczy logicznego myślenia, szybkiego podemowania optymalnych decyzi, algorytmów do rozwiązywania problemów, że w dalsze nauce będą mogli zobaczyć zastosowania matematyki nie tylko w naukach ekonomicznych. Można tu zacytować S.K Steina [998]: Matematyka est ak słoń ze znane przypowieści, w które miało go opisać trzech ślepców. Jeden dotknął nogi i powiedział, że słoń przypomina drzewo. Drugi dotknął trąby i powiedział, że słoń przypomina węża. Trzeci dotknął ucha i uznał, że słoń przypomina nietoperza. Tak est i z matematyką. Kto zna ą tylko ako metodę dokonywania obliczeń, na przykład obliczania długości i powierzchni albo dochodów i kosztów temu wydae się podobna do młotka lub śrubokrętu. Kto widzi, ak została wykorzystana do opisania grawitaci, albo geometrii chromosomów, zapewne uważa ą za uniwersalny ęzyk fizycznego wszechświata. Kto zaś przeszedł kurs geometrii lub rachunku różniczkowego i całkowego, może uznać matematykę za naukę rozwiaącą umieętności analityczne, za swego rodzau»salę treningową«, ułatwiaącą karierę w tak popłatnych zawodach ak biznes, prawo i medycyna. Wskazanie chociaż częściowo wyże wymienionych korzyści teoretycznie powinno prowadzić do zwiększenia chęci uczenia się tego przedmiotu. Szczególnie interesuącym dla autorek było sporzenie studentów Wydziału Informatyki i Komunikaci UE Katowice na korzyści wynikaące z uczenia się matematyki. Luźne wypowiedzi studentów studiów zaocznych, kończących pierwszy rok studiów, zawierały stwierdzenia: Informatyka bazue na matematyce ; Komputer to maszyna licząca ; Algorytmy stosowane w informatyce to praktyczne zastosowanie matematyki ; Matematyka to podstawa działania systemów i urządzeń informatycznych ; Im bardzie skomplikowane są funkce

8 8 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska i wyrazy, tym łatwieszy dla użytkownika est program ; Komputer działa dzięki algebrze Boola a, grafika bazue na funkcach, bazy danych na zbiorach dla informatyki matematyka est bardzo ważna. Te wyrywkowe stwierdzenia skłoniły autorki do postawienia studentom tego wydziału kolenych pytań dotyczących związków matematyki z rozwoem komputera, maszyny, która we współczesnym świecie odgrywa dominuącą rolę w niemal każde dziedzinie życia. Młodemu pokoleniu komputery towarzyszą od namłodszych lat i służą zarówno do zabawy, ak i nauki. Coraz rzadzie ednak młodzi ludzie zdaą sobie sprawę ze złożoności tego narzędzia, a przede wszystkim ego związku z matematyką. Mało kto zastanawia się nad tym, że zbudowanie te istotne dla współczesne cywilizaci maszyny, poprzedzał stopniowy rozwó środków i urządzeń ułatwiaących liczenie, do budowy których przyczyniła się przede wszystkim matematyka. W listopadzie r. autorki przeprowadziły wśród studentów I i III roku studiów staconarnych Wydziału Informatyki i Komunikaci (WIK-u) Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach badanie ankietowe, pozwalaące ustalić, czy studenci zetknęli się z pewnymi zagadnieniami historii rozwou komputerów oraz czy dostrzegaą związek informatyki z matematyką. Przebadanych zostało 47 studentów wybranych losowo ( osoby z I roku i 5 osób z III roku). Studentom postawiono 6 pytań. Pytanie pierwsze: Czy liczydło można uznać za historyczny pierwowzór komputera? Wśród studentów pierwszego roku na to pytanie pozytywnie odpowiedziało 7,73%, natomiast z trzeciego roku 8% badanych. Zapytano także, czy kalkulator był pierwowzorem komputera. Odpowiedzi pozytywne udzieliło prawie 8% studentów I roku oraz dokładnie 9% studentów III roku. Kolenym pytaniem zadanym studentom było: Czy w Pana/i opinii komputer nadal est maszyną liczącą? Na to pytanie studenci odpowiedzieli Tak w % zarówno na pierwszym, ak i na trzecim roku. Czwarte pytanie dotyczyło systemów liczbowych. Znaomość poszczególnych systemów liczbowych przez studentów I i III roku przedstawiono w tabeli. Znaomość systemów liczbowych Tabela System Rok Rzymski Dziesiętny Dwókowy Ósemkowy Szesnastkowy Żadnego I 9,9% 9,9% 7,73% 45,45% 5,%,% III 88,% 96,% 88,% 56,% 6,% 4,%

9 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA 9 Zapytano także studentów, do czego w informatyce est używany system binarny. W tabeli przedstawiono wyniki udzielanych odpowiedzi. Zastosowania kodu binarnego Tabela Zastosowanie Do kodowania liczb Do Do Do przetwarzania dziesiętnych, W protokołach reprezentaci kodowania danych wewnątrz znaków alfabetu transferu danych liczb grafiki komputera i symboli (np. TCP/IP) i dźwięku (np.ascii, Nie wiem UNICODE) Rok I 7,73%,73% 36,36% 3,8% 4,9% 8,8% III 96,% 64,% 68,% 44,% 5,%,% Szóste i ostatnie pytanie dotyczyło opinii studentów co do tego, czy matematyka est niezbędna do rozwou informatyki. Odpowiedzi Tak udzieliło 9,9% studentów pierwszego roku i 9,% studentów III roku. Z przedstawionych wyników badań można w zasadzie wywnioskować, że większość studentów informatyki dostrzega związek pomiędzy informatyką a matematyką, zarówno w sferze historyczne, ak i realne. Jednak z odpowiedzi udzielonych na piąte pytanie wynika, że studenci nie znaą wszystkich wymienionych w ankiecie zastosowań kodu binarnego, co wpływa na ich sporzenie na relace matematyki z informatyką. To widać również w odpowiedziach na ostatnie pytanie (około % studentów nie est przekonanych o takie zależności). To skłoniło autorki do przedstawienia szerszego sporzenia na ten problem, do głębszego przeanalizowania wpływu osiągnięć w historii matematyki na rozwó informatyki i na budowę współczesnych komputerów.. Geneza systemów liczbowych i maszyn liczących Liczenie est edną z nabardzie podstawowych i pierwotnych operaci matematycznych wykonywanych przez człowieka. Polega na nadawaniu przedmiotom tego samego rodzau kolenych liczebników porządkowych. Liczenie pozwala określić ilość np. przedmiotów, pieniędzy czy liczby członków grupy. Umieętność ta umożliwia opisywanie otaczaące rzeczywistości w sposób precyzyny, syntetyczny i ednoznaczny [Troskolański, 96]. Początkowo człowiek liczył pomagaąc sobie palcami, ednak z czasem potrzebował do liczenia także zapisu. To spowodowało, że w wielu kulturach sta-

10 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska rożytnych (m.in. w Egipcie, Babilonie, Chinach, Greci oraz Indiach) zaczęto stosować do zapisu liczb różne umowne znaki (symbole), które nazywano cyframi [Empacher, Sęp, Żakowska, Żakowski, 97]. Jednym z pierwszych systemów zapisu liczb, w ograniczonym zakresie używanym do dzisia, est system rzymski. Składa się on z siedmiu cyfr za pomocą których zapisywane są liczby. Są to cyfry: I, V, X, L, C, D, M (wartości tych cyfr podano w tabeli 3). Tabela 3 Wartości cyfr rzymskich I V X L C D M Symbol Jeden Pięć Dziesięć Pięćdziesiąt Sto Pięćset Tysiąc Wartość Źródło: Na podstawie: [Empacher, Sęp, Żakowska, Żakowski, 97]. System rzymski est tak zwanym addytywnym systemem liczbowym, co oznacza, że wartość żądane liczby otrzymue się poprzez dodanie wartości reprezentowanych przez kolene cyfry, np. liczba trzysta edenaście w systemie rzymskim będzie zapisana następuąco: CCCXI. Jeżeli cyfra o mniesze wartości występue przed cyfrą o większe wartości, to należy wykonać odemowanie (od znaku reprezentuącego większą wartość, ten reprezentuący mnieszą), np. IV oznacza liczbę cztery [Ore, 988]. Około VIII wieku p.n.e. hinduski matematyk Pingala wynalazł pierwotny binarny (dwókowy) system liczbowy. System ten do zapisu liczb wykorzystue cyfrę zero i eden. Ta zasada obowiązue we współcześnie stosowanym systemie dwókowym, gdzie każda liczba dziesiętna przedstawiona est przy pomocy dwóch cyfr i ustawionych w określone pozyci, a wagi są kolenymi potęgami liczby [Graves, 9]. Sposób zapisu liczb nazywany przez nas systemem dziesiętnym powstał prawdopodobnie w VI wieku n.e. w Indiach. System ten składa się z dziesięciu cyfr:,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (nazywanych arabskimi, ponieważ rozpowszechniony został przez arabskiego uczonego Al-Chwarizmiego w traktacie pt. O rachunku indyskim [Kordos, ]). Jest to system pozycyny ednorodny, co oznacza, że pozyca każde cyfry w zapisie liczby ma bardzo istotne znaczenie, a wagi są potęgami liczby będące podstawą systemu. Każda cyfra est nieza-

11 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA leżna od innych cyfr ą otaczaących [Sowiński, 965]. Al-Chwarizmi opisał również sposób wykonywania działań pisemnych w systemie dziesiętnym. Od ego nazwiska stosowany est do dzisia termin algorytm * [Kordos, ]. Starożytni (m.in. Chińczycy, Rzymianie, Grecy i Egipcanie) w celu ułatwienia obliczeń w systemie dziesiętnym, stosowali narzędzie nazywane abakusem (abak). Pierwotnie była to deska z piaskiem, na które wyznaczano równoległe rowki i w nich umieszczano kamienie. Pierwsza kolumna oznaczała edności, druga dziesiątki, trzecia setki, czwarta tysiące itd. Obliczeń dokonywano przez wkładanie i przekładanie kamyków. W późnieszym okresie były to koraliki na drewnianych pałeczkach (rysunek ). Rys.. Abakus z brązu i z koralików Źródło: [Diaków, 8]. W Europie, system dziesiętny rozpowszechnił się od X do XII w. Również w tym okresie coraz częście stosowano liczydła, których konstrukcę oparto na abakusie (abakus słupkowy za ego twórcę uważany est Gerbert z Aurillac papież Sylwester II). Przy ego pomocy możliwe było (i nadal est) wykonywanie takich działań, ak dodawanie i odemowanie [Selin, ed., 997]. Jedną z pierwszych osób, które próbowały skonstruować maszynę liczącą, był włoski malarz, architekt, filozof, muzyk, pisarz, odkrywca, matematyk, mechanik, anatom, wynalazca i geolog Leonardo da Vinci (45-59). Niestety ego wynalazek nie przetrwał lub nie został odnaleziony do dzisia. W 968 r. w Stanach Zednoczonych rekonstrukci dokonał doktor Roberto Guatellie (ekspert w dziedzinie twórczości da Vinciego) na podstawie nieznanych dotąd prac, odnalezionych w Madrycie w Bibliotece Narodowe Hiszpanii. Proekt nosił nazwę Codex Madrid (rysunek ). Guatellie wyże wymienioną replikę zaprezentował na wystawie zorganizowane przez firmę IBM. Je dzisiesze losy są nieznane [Diaków, 8; Maths for Europe]. * Ściśle określony ciąg czynności, których wykonanie prowadzi do rozwiązania akiegoś zadania.

12 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska Rys.. Proekt maszyny liczące Leonarda da Vinci Źródło: Ibid. W 64 r. szkocki matematyk John Napier (Neper) w swoich pracach Logarithmorum canonis descriptio i Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio opisał logarytmy. Pozwalały one zamienić mnożenie na dodawanie, co znacznie przyspieszało obliczenia. Zaczęto układać pierwsze tablice logarytmiczne [Bąk, 4; Encyklopedia Brytannica]. Korzystanie z tablic było zadaniem czaso- i pracochłonnym. W 6 r. angielski matematyk i wynalazca Edmund Gunter odkrył skalę logarytmiczną, na które kreski podziałki były położone w odstępach proporconalnych do logarytmów kolenych liczb. Tę skalę wykorzystał inny angielski matematyk William Oughtred i stworzył suwak logarytmiczny (rysunek 3) kolene urządzenie ułatwiaące obliczenia [Pluciński, ]. Rys. 3. Suwak logarytmiczny Źródło: [Pluciński, ]. John Napier skonstruował także kostki (nazywane kostkami lub pałeczkami Napiera). Była to tabliczka mnożenia realizowana przy pomocy specalnych pałeczek (prętów o kwadratowym przekrou). Na każde płaszczyźnie pręta znadował się zapisany iloczyn dane mnożne po przemnożeniu przez cyfry od do 9. Chcąc

13 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA 3 wykonać obliczenie sumy pewnych iloczynów, należało ze zbioru pałeczek wybrać potrzebne mnożne, ułożyć e obok siebie, odczytać iloczyny cząstkowe i e dodać (rysunek 4) [Bradley, 6]. Kostki te również przyspieszały obliczenia. Rys. 4. Kostki Napiera Źródło: [Wikipedia, ; Museo Arqueológico Nacional Madrid, ]. Kolenym, który podął próbę zmechanizowania procesu obliczeń, był niemiecki astronom i matematyk Wilhelm Schickhard z Tybingi (59-635), który w roku 63 r. skonstruował z drewna zegar liczący, działaący na bazie pałeczek Napiera i wykonuący cztery podstawowe działania matematyczne. Urządzenie zostało nazwane zegarem, ponieważ wykorzystywało mechanizmy typowe dla zegarów, czyli tryby i koła, których ruch był wzaemnie od siebie uzależniony. Pełny obrót koła zawieraącego cyfry od do 9 powodował mechaniczne przesunięcie się koła zawieraącego ednostki wyższego rzędu. Odemowanie polegało na ruchu kół w przeciwną stronę (rysunek 5) [Wietrzykowski]. Jego wynalazek dał początek maszynom, które dzisia są nazywane cyfrowymi [Sowiński, 965]. Rys. 5. Replika zegara liczącego W. Schickharda Źródło: [Wietrzykowski, ].

14 4 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska W latach 64 do 645 francuski matematyk, fizyk i filozof Blaise Pascal (63-66) zbudował maszynę arytmetyczną (rysunek 6) wykonuącą dwa działania dodawanie i odemowanie. Maszyna działała podobnie do zegara Schickharda, z tym że działanie odemowanie odbywało się poprzez dodawanie. Skonstruował ą dla oca (pełniącego funkcę radcy podatkowego na dworze króla), w celu ułatwienia obliczania podatków. Powstało około 6 maszyn tego typu [Bradley, 6]. Rys. 6. Maszyna arytmetyczna Pascala (Pascaline) Źródło: [Wietrzykowski, ]. Kilka lat późnie w roku 666 r. angielski matematyk, polityk, dyplomata, szpieg i wynalazca Samuel Morland (65-695), zbudował kieszonkowy kalkulator arytmetyczny (rysunek 7). Urządzenie miało wymiary x 7 x 8 mm. Było wykonane ze srebra i mosiądzu. Na pokrywie urządzenia zamontował 8 par stopniuących tarcz. Skale były wpisane na pierścieniach wokół nich. Dolne trzy tarcze wykorzystywano do obliczeń w gwineach (angielska ednostka monetarna z XVII w.; gwinea = szylingów, szyling = pensów, pens = 4 farthingsy ćwiartki) i dlatego podzielone zostały na 4, i części. Pięć dużych tarcz u góry miało skale dziesiętne i reprezentowały ednostki, dziesiątki, setki, tysiące oraz dziesiętne. Urządzenie wykonywało operacę dodawania i odemowania. Operaca dodawania była wykonywana poprzez obrócenie odpowiedniego pokrętła zgodnie z kierunkiem wskazówek zegara, natomiast odemowanie poprzez obrót pokrętła w kierunku przeciwnym [Hook, Norman, Williams, ]. Rys. 7. Kalkulator Morlanda Źródło: [Science Museum Group, ].

15 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA 5 Kolenym uczonym, który przyczynił się do rozwou maszyn liczących był niemiecki filozof, matematyk, prawnik, inżynier-mechanik, fizyk, historyk i dyplomata Gottfried Wilhelm von Leibniz (646-76). Zbudował czterodziałaniowe urządzenie liczące arytmometr Leibniza (rysunek 8). Oryginał te maszyny est przechowywany w muzeum Leibniza w Hanowerze. Jest to edyny zachowany egzemplarz z czterech, które pierwotnie skonstruował Leibniz. Zwrócił on także uwagę na możliwość wykorzystania w obliczeniach maszynowych systemu binarnego. Urządzenie Leibniza składało się z sumatora i automatu, który umożliwiał wprowadzenie cyfr na koła sumatora. Automat przesuwał się względem sumatora, co pozwalało ustawić mnożnik dziesiętny przy wprowadzaniu liczby. Cyfry wprowadzano ręcznie napierw do reestru automatu, a następnie liczbę przenoszono za pomocą obrotu korbką na koła sumatora [Curley, ed., ; Wietrzykowski]. Rys. 8. Arytmometr Leibniza Źródło: [Wietrzykowski, ]. Bardzo znaczącym wydarzeniem dla rozwou maszyn liczących było zaprezentowanie przez francuskiego tkacza i wynalazcę Josepha-Marie Jacquarda (na wystawie w Paryżu w roku 8), kart dziurkowanych z zakodowanym wzorem, służących do sterowania krosnem tkackim (rysunek 9). Jego wynalazek dał początek automatyzaci procesu przetwarzania danych. Podobne karty zostały późnie wykorzystane do zapisywania muzyki odtwarzane przez automatyczne pianina i do przechowywania programów komputerowych [Curley, ed., ]. Rys. 9. Maszyna Jacquarda Źródło: [Diaków, ].

16 6 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska Przełomowy wynalazek Jacquarda zaowocował dalszymi pracami nad maszynami liczącymi, mianowicie z ego pomysłu skorzystał w swoich pracach angielski matematyk Charles P. Babbage (79-87). W latach 8-84 zaproektował i budował (lecz e nie ukończył) maszynę różnicową. Maszyna ta miała służyć do liczenia za pomocą metody różnic skończonych * (rysunek ). Została zbudowana w całości dopiero w latach 8. XX wieku (znadue się w Muzeum Nauki w Londynie), natomiast pierwsze obliczenia przy e pomocy zostały przeprowadzone w latach 9. Uzyskano wyniki z dokładnością do 3 cyfr. Wadą maszyny była konieczność kręcenia korbą (od kilkuset do kilku tysięcy razy) przy wykonywaniu każdego obliczenia. Rys.. Maszyna różnicowa i analityczna Ch. Babbage Źródło: [Muzeum Nauki w Londynie, ]. Babbage stworzył także koncepcę maszyny analityczne (rysunek ), która miała zawierać arytmometr sterowany za pomocą kart perforowanych oraz urządzenie do ich wczytywania, a także posiadać pamięć o poemności do tysiąca liczb, składaących się z pięćdziesięciu cyfr dziesiętnych każda. Maszyna miała być napędzana parą. Pozostawione przez Babbage szczegółowe proekty znacząco wpłynęły na strukturę współczesnych maszyn liczących. Przyaciółka Babbage'a (córka Georga Byrona), matematyczka, Augusta Ada Lovelace (85-85), w roku 843 opracowała i szczegółowo opisała wskazówki, dotyczące tworzenia wymiennych programów do tego typu maszyn. Jest ona uważana za pierwszą programistkę [Bąk, 4; Dalakov, ]. * Metoda polegaąca na przybliżeniu pochodne funkci poprzez skończone różnice, w zdyskretyzowane przestrzeni. Można ą wyprowadzić wprost z ilorazu różnicowego bądź z rozwinięcia w szereg Taylora.

17 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA 7 W tym okresie (rok 8) pracował również francuski wynalazca i matematyk Xavier Thomas de Colmar, który zbudował arytmometr działaący ak współczesny kalkulator. Urządzenie to opierało się na wynalazku Leibniza i wykonywało, na liczbach o długości od 6 do cyfr, cztery podstawowe operace matematyczne. Arytmometry Colmara były używane do czasów I wony światowe (rysunek ) [Hook, Norman, ]. Rys.. Arytmometr Colmara Źródło: [Collegium Maius, ]. Dużą rolę w rozwou maszyn liczących odegrało wydane w roku 854 przez angielskiego matematyka i filozofa George Boole a (85-864) dzieło zatytułowane An Investigation of the Laws of Thought, w którym zawarł opracowane przez siebie podstawy logiki i logikę symboliczną. Dwuelementowa algebra Boole a est wykorzystywana w układach scalonych do dzisia (bramki logiczne) [Boole, 4; Fulmański; Sobieski, 4].. Maszyny liczące XX i XXI w. Pod koniec XIX w. postawiono na rozwó maszyn mechanograficznych *, w celu usprawnienia wykonywania rachunków statystycznych, księgowych i biurowych. Prace nad tego typu urządzeniami zostały zapoczątkowane w Stanach Zednoczonych w roku 887, przez inżyniera i wynalazcę Hermana Holleritha (86-99), który opracował maszynę sortuąco-liczącą (rysunek ). Została ona wykorzystana w 89 r. do przeprowadzenia badań statystycznych, związanych ze spisem ludności Stanów Zednoczonych. W maszynie te użyto, ako nośnika informaci, kart perforowanych oraz elektrycznego czytnika-sortera ako urządzenia analitycznego [Hook, Norman, ]. * Mianem mechanografii nazywane są prace analityczne realizowane przy pomocy kart perforowanych.

18 8 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska Rys.. Maszyna sortuąco-licząca H. Holleritha Źródło: [IBM, ]. Hollerith założył także firmę TM (Tabulating Machine Co.), która w 94 r. zmieniła nazwę na IBM (International Business Machines Corporation). Firma Holleritha sprzedawała i wypożyczała swoe maszyny, do realizaci spisów w wielu kraach europeskich i Rosi [Fulmański; Sobieski, 4]. Kilka lat po wynalazku Holleritha (w roku 9) w Hiszpanii, inżynier, wynalazca i matematyk Leonardo Torres y Quevedo (85-936), zbudował automatyczny arytmometr elektromagnetyczny, który składał się z ednostki arytmetyczne i maszyny do pisania. Urządzenie to wykonywało cztery podstawowe działania arytmetyczne, całkowicie automatycznie (rysunek 3) [Hook, Norman, ]. Rys. 3. Arytmometr L. Torresa y Quevedo Źródło: [Dalakov, ].

19 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA 9 Znaczący wpływ na rozwó maszyn liczących wywarł, opracowany w latach przez angielskiego matematyka i kryptologa Alana Mathiesona Turinga (9-954), teoretyczny model automatu realizuącego dowolny algorytm (maszyna Turinga rysunek 4). Schemat maszyny Turinga zakładał, że urządzenie liczące powinno być urządzeniem przetwarzaącym dane, do którego są wprowadzane dane weściowe, a następnie przetwarzane i wyrzucane ako dane wyściowe. Idee zawarte w pracach Turinga zostały w późnieszym okresie zastosowane do budowy elektronicznych maszyn cyfrowych [Forouzan, Mosharraf, 8]. Rys. 4. Schemat maszyny Turinga Źródło: [Darling, ed., ]. Koleny krok w rozwou maszyn liczących postawił amerykański matematyk i fizyk George Stibitz (ur ), który w roku 938 zbudował przekaźnikowy kalkulator binarny, wykorzystuący kod BCD (kod zamieniaący liczby zapisane w systemie dziesiętnym na liczby w systemie dwókowym). Kalkulator został zbudowany dla firmy Bell Telephone Laboratories. Maszyna ta posiadała ednostkę arytmetyczno-logiczną działaącą na liczbach zespolonych, których rzeczywista i uroona część była zamieniana z liczb dziesiętnych na dwókowe (rysunek 5) [Reilly, 3].

20 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska Rys. 5. Kalkulator binarny Stibitza Źródło: [Computer History Museum, ]. Duży rozwó maszyn cyfrowych nastąpił w okresie II wony światowe. W Niemczech powstała Enigma, która służyła do kodowania meldunków i rozkazów, rozsyłanych do ednostek rozlokowanych na wszystkich frontach. Je wynalazcą był niemiecki inżynier Artur Scherbius. Enigma była wyposażona w klawiaturę alfabetyczną, służącą do wprowadzania tekstu meldunku. W środku znadowały się rotory (wirniki) oraz mechanizm obracaący ednym lub kilkoma wirnikami ednocześnie. Kodowanie liter było realizowane za pomocą obwodów elektrycznych i wirników (rysunek 6). Szacue się, że Niemcy używali ponad 7 tys. takich maszyn [Van Tilborg, Jaodia, ]. Rys. 6. Enigma i e rotory Źródło: [Science Photo Library, ]. W Niemczech powstała również maszyna o nazwie Z3 (rysunek 7). Zbudował ą w 94 r. niemiecki inżynier i konstruktor Konrad Zuse, wykorzystuąc przekaźniki elektromagnetyczne. Maszyna pracowała na liczbach binarnych o zmiennym przecinku, a programy i dane, zamiast na kartach perforowanych, były przechowywane na dziurkowanych taśmach filmowych. Z3 została zniszczona w 944 r. Zachował się natomiast e nowszy model o nazwie Z4, który po

21 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA wonie był wykorzystywany przez bank w Zurychu, a dzisia można go oberzeć w muzeum techniki w Monachium [Roas, ]. Zuse stworzył także na przełomie 944 i 945 r. pierwszy algorytmiczny ęzyk programowania o nazwie PLANKALKUL [Encyclopedia Britannica, ]. Rys. 7. Maszyna Z3 Źródło: [Deutsches Museum, ]. W tym okresie, w Wielkie Brytanii, powstał zespół specalistów który pracował nad maszyną deszyfruącą kody Enigmy. Jednym z członków te grupy był wspomniany uż wcześnie Alan Turing. Zbudowana przez Brytyczyków maszyna deszyfruąca była maszyną mechaniczną. Prace nad nią doprowadziły do konstrukci kalkulatorów elektronicznych o nazwie Coloss (rysunek 8). Powstało kilka wersi tych urządzeń. Ich głównym konstruktorem był angielski inżynier Thomas Harold Fowers, pracuący dla British Post Office Research Laboratories. Colossy były maszynami elektronicznymi, które wykorzystywały arytmetykę binarną. Były w nich także sprawdzane warunki logiczne (za pomocą algebry Boole a). Kalkulatory te posiadały reestry, dzięki którym mogły wykonywać programy, poprzez uruchomienie tablic rozdzielczych. Wyniki były przesyłane na elektryczną maszynę do pisania [Reilly, 3]. Rys. 8. Rekonstrukca Colossa z Bletchley Park Źródło: [Proekt Geograph, ].

22 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska Należy tuta dodać, że Brytyczycy korzystali z materiałów, otrzymanych w 939 r. od polskiego zespołu kryptologów, kierowanego przez matematyka i kryptologa Mariana Reewskiego. Wśród dostarczonych materiałów była maszyna deszyfruąca o nazwie Bomba (rysunek 9), nad którą Polacy pracowali od 935 r. Pierwszy brytyski egzemplarz Bomby powstał w czerwcu 943 r., natomiast amerykańskie werse w sierpniu tego samego roku [Reilly, 3]. Rys. 9. Maszyna o nazwie Bomba Źródło: [Science Photo Library, ]. Również w czasie II wony, dokładnie w roku 94 w Stanach Zednoczonych, inżynier informatyk John Vincent Atanasoff wraz z elektrotechnikiem i wynalazcą Cliffordem Berrym zbudowali kalkulator elektroniczny nazwany ABC (Atanasoff-Berry Computer). Był on wielkości dużego biurka i posiadał centralną ednostkę przetwarzaącą oraz mógł rozwiązywać układy zawieraące do 9 równań liniowych (rysunek ) [Reilly, 3]. Rys.. Komputer ABC Źródło: [Ames Laboratory, ]. W latach amerykański inżynier Howard Aiken (9-973) wraz z firmą IBM skonstruował maszynę cyfrową z automatycznym sterowaniem (ASCC Automatic Seguence Controlled Calculator) o nazwie MARK I. Jest to maszyna po raz pierwszy nazwana komputerem. Podobnie ak maszyna

23 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA 3 Z3, MARK I pracował na elektronicznych przekaźnikach i posiadał pamięć o poemności 7 liczb 3-cyfrowych. Jego struktura była oparta na koncepci maszyny analityczne Babbage'a. Składał się z 755 elementów i ważył ok. 5 ton. Prędkość przetwarzania danych MARK-a I była uzależniona od wykonywanego działania. Trzy operace dodawania były realizowane w ciągu sekundy, natomiast edno mnożenie zamowało 6, a dzielenie 5 sekund (rysunek ). Jego programistką była matematyczka Grace Hopper, która pracowała nad ęzykami programowania (m.in. nad COBOL-em The Common Business- -Oriented Language) [Hook, Norman, Williams, ]. Rys.. Komputer MARK I Źródło: [Columbia Uniwersity, ]. Również w tym okresie (943 do 946) w Stanach Zednoczonych, powstał komputer o nazwie ENIAC (Elektronic Numerical Integrator And Computer). Je twórcami byli fizyk i inżynier John William Mauchly oraz inżynier John Prespera Eckert. ENIACa zbudowano z 8 tysięcy lamp elektronowych i ważył on 3 ton oraz zamował 7 m powierzchni. Pamięć te maszyny mieściła liczb -cyfrowych. ENIAC wykonywał 5 tysięcy operaci dodawania lub od 3 do 5 operaci mnożenia na sekundę (rysunek ). Rys.. ENIAC Źródło: [BBC News, ].

24 4 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska Następcami ENIAC-a były maszyny: EDVAC, EDSAC, UNIVAC. Duże znaczenie w pracach nad EDVAC-iem (w 948 r.), miały osiągnięcia węgierskiego matematyka, chemika, fizyka i informatyka Johanna von Neumanna (93-957), który w swoe pracy pt.: Pierwszy szkic raportu na temat komputera EDVAC zaprezentował teoretyczne podstawy budowy i funkconowania komputerów pracuących na liczbach binarnych reprezentuących dane i rozkazy. Taka struktura est stosowana także we współczesnych maszynach. To on stworzył podział komputera na trzy części: pamięć operacyną, procesor i urządzenia peryferyne [Hook, Norman, Williams, ]. Wynalezienie w 97 r. przez amerykańską firmę Intel mikroprocesora (oznaczonego ako 44 i długości słowa maszynowego 4 bity) pozwoliło na stworzenie mikrokomputerów. Pierwsze urządzenia tego typu znacznie różniły się wyglądem i możliwościami od dzisieszych, ale dały początek maszynom dostępnym w domu [Hook, Norman, Williams, ]. Twórcami pierwszego mikrokomputera osobistego byli, amerykański inżynier i programista Stephen Gary Woźniak oraz przedsiębiorca, proektant i wynalazca Stephen Paul Jobs. W 976 r. zbudowali pierwszy komputer z serii APPLE o nazwie APPLE I (rysunek 3) [Curley, ed., ]. Rys. 3. Apple I Źródło: [The Telegraph, ]. W późnieszych latach powstawały kolene mikrokomputery. Przykładem uważanym za przełomowe odkrycie w historii maszyn liczących est skonstruowany w 98 r. przez elektrotechnika Dona Estridge a z firmy IBM, komputer klasy JJBM PC z 6-bitowym procesorem Intel 88 i systemem operacynym DOS [Hook, Norman, Williams, ].

25 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA 5 Podsumowanie Można zauważyć, że naczelnym motywem działania wymienionych powyże matematyków, wynalazców i inżynierów, na przełomie wieków, była chęć ułatwienia wykonywania coraz bardzie skomplikowanych obliczeń. Były to ułatwienia teoretyczne i praktyczne, co prowadziło do zwiększenia kręgu użytkowników. Stopniowe włączanie do tego procesu osiągnięć innych dziedzin (fizyki, chemii, mechaniki, elektroniki i innych) przyczyniło się do konstrukci kolenych egzemplarzy narzędzia obliczeniowego, który dzisia nosi miano komputera. Z powyższych rozważań wynika, że bez matematyki nie byłoby informatyki, a bez osiągnięć informatycznych we współczesnym świecie trudno byłoby funkconować matematykom wykorzystuącym osiągnięcia teoretyczne swoe dziedziny do zastosowań praktycznych. Można powiedzieć, że korzyść est obopólna. Literatura Ames Laboratory, Iowa, (.4.). Bąk A. (red.) (4): Wprowadzenie do informatyki dla ekonomistów. Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne, Wrocław. Boole G. (854): An Investigation of the Laws of Thought. Macmillan, London. Bradley M.J. (6): The Age of Genius: 3 to 8. Chelsea House, New York. Brookshear G.J. (3): Informatyka w ogólnym zarysie. Wydawnictwa Naukowo- -Techniczne, Warszawa. Columbia Uniwersity, New York, (.5.). Computer History Museum, Mountain View, Kanada, (.5. ). Curley R. (ed.) (): The Most Influential Inventors of All Time. Britannica Educational Publishing, New York. Dalakov G.: History of Computers. (4..). Darling D. (ed.): The Encyklopedia of Science. (5.5.). Deutsches Museum, München, (.3.). Diaków P.: Technologia informacyna notatki w Internecie. AGH, 8, (9..). Empacher B., Sęp Z., Żakowska A., Żakowski W. (97): Mały słownik matematyczny. Wiedza powszechna, Warszawa. Encyclopedia Britannica, (5..;..).

26 6 Agata Berdowska, Gabriela Górecka-Berdowska Forouzan B.A., Mosharraf F. (8): Foundations of Computer Science. Thomson Learning, London. Fulmański P., Sobieski Ś. (4): Wstęp do informatyki. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź. Graves M. (9): Computer Technology Encyclopedia: Quick Reference for Students and Professional. Delmar, New York. Hook D.H., Norman J.M. (): Origins of Cyberspace: A Library on the History of Computing, Networking and Telecommunication. California. Hook D.H., Norman J.M., Wiliams M.R. (): Origins of Cyberspace: A Library on the History of Computing, Networking and Telecommunication, California, (..). (9..). Kordos M. (): Wykłady z historii matematyki. Script, Warszawa. Museo Arqueológico Nacional Madrid, (7..). Ore O. (998): Number Theory and Its History. Dover Publications, New York. Pluciński T.: Logarytmy, suwak logarytmiczny i inne maszyny do liczenia. Uniwersytet Gdański, (9..). Maths for Europe, Reilly E.D. (3): Milestones in Computer Science and Information Technology. Greenwood Press, Westport. Roas R.: The Architecture of Konrad Zuse s Elary Computing Machines. W: The First Computers: History and Architectures. Ed. by R. Roas, U. Hashagen. MIT Press, Massachusetts,. Selin H. (ed.) (997): Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Science Museum Group, UK, Collections online, (..). Science Photo Library, London, (..). Sowiński A. (965): Elektroniczne maszyny liczące. Wydawnictwa Komunikaci i Łączności, Warszawa. Stein S.K. (998): Potęga liczb. Matematyka w życiu codziennym. Amber, Warszawa. BBC News, (.5.). Collegium Maius, (4..). IBM, (3.3.). Science Museum, London, (..).

27 OD ABAKUSA DO KOMPUTERA 7 Proekt Geograph, (.4.). The Telegraph, UK, (.5.). Tilborg H.C.A. van, Jaodia S. (): Encyclopedia of Cryptography and Security. Springer Science+Business Media, New York. Troskolański J. (96): Matematyka w zarysie. Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa. Wietrzykowski W.: Konstrukca pierwszego kalkulatora mechanicznego, plus.lanet.wroc.net (..). Wikipedia: Kostki Napiera. (9..). FROM THE ABACUS TO THE COMPUTER Summary The aim of the study was systematizing the data on the origins digital machines and their connection with the achievements in the field of mathematics. Emphasis was placed on the operation of any breakthrough invention and its appearance. Inspiration for this topic was discussions carried out by the author's with the students of the University of Economics in Katowice.

28 Wiktor Esmont Janusz Łyko Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu WPŁYW POŁOŻENIA SZKOŁY NA WYNIKI EDUKACYJNE UCZNIÓW * Wprowadzenie Główne zmiany organizacyne w polskim szkolnictwie po 989 r. sprowadzaą się do wprowadzenia trzystopniowego nauczania oraz odeścia na etapie szkół ponadgimnazalnych od szkolnictwa zawodowego na rzecz nauczania w liceach ogólnokształcących. Zmianie uległy także wzorce i stereotypy dotyczące miesca zamieszkania. Rosnące bezrobocie oraz rozwó rynku nieruchomości spowodowały coraz częstsze migrace ludności. Migrace te wpłynęły także na proces edukaci młodego pokolenia. Przemieszczaąc się wraz z rodzicami dzieci zaczęły coraz częście zmieniać swoe środowisko szkolne. W związku z tym istotną rolę zaczął odgrywać problem lokalizaci różnego poziomu szkół. Przy te okazi rodzi się pytanie o ocenę poszczególnych placówek w połączeniu z ich lokalizacą. Główna cześć pracy opiera się na zastosowaniu modelu efektywności nauczania, który został opisany przez M. Aitkina i N. Longforda w artykule Statistical Modelling Issues in School Effectiveness Studies. Przedstawiono tam kilka modeli służących do badania efektywności kształcenia w amerykańskich szkołach za pomocą różnicy punktów pomiędzy wynikami egzaminów osiąganymi przez uczniów kończących szkołę a ilorazem inteligenci IQ, mierzonym przed rozpoczęciem nauki w dane szkole. Celem prezentowanego artykułu est analiza przyrostu wiedzy uczniów w zależności od miesca ukończenia gimnazum oraz liceum. W tym celu wykorzystano model z losowymi efektami rozpatrywany ako model nr 5 przez M. Aitkina i N. Longforda. * Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach -, ako proekt badawczy nr N N

29 WPŁYW POŁOŻENIA SZKOŁY NA WYNIKI EDUKACYJNE UCZNIÓW 9 Dane, które wykorzystano w części empiryczne, dotyczą uczniów, którzy egzamin maturalny zdawali w r. Prześledzono ich wyniki w nauce, począwszy od szkoły podstawowe przez gimnazum, kończąc na egzaminie maturalnym. Wyniki badań z edne strony mogą być wskazówką dotyczącą lokalizaci szkół, a z drugie wspomagać decyze o zmianie miesca zamieszkania.. Edukacyna wartość dodana w modelu Aitkina-Longforda W dalsze części pracy będą stosowane następuące oznaczenia: x i liczba punktów weściowych uzyskanych przez i tego ucznia, którego miesce kończenia szkoły (gimnazum lub liceum) est opisane indeksem, y i liczba punktów wyściowych uzyskanych przez i tego ucznia, którego miesce kończenia szkoły (gimnazum lub liceum) est opisane indeksem, n liczba uczniów w -te kategorii, k liczba analizowanych kategorii (k = 4), n liczba wszystkich uczniów, tzn. n = n + + n k, liczba indeksuąca kategorie {,,3,4}, x, y średni wynik odpowiednio weściowy oraz wyściowy na poziomie -te kategorii. Dane wykorzystywane w artykule są nazywane niezbilansowanymi danymi panelowymi. Model, który zastosowano to model z czynnikami losowymi. W ekonomii model ten zawdzięcza popularność dzięki artykułowi Balestry i Nerlove a [966] mówiącym o popycie na gaz ziemny. Model ten ma postać: y i = α + βx i + ξ + e i. () W tym przypadku zakłada się że : e i est zmienną losową o rozkładzie N (,σ ), ξ est zmienną losową o rozkładzie N(, σ I ), zmienne losowe e i dla różnych szkół i dla różnych uczniów są nieskorelowane, zmienna losowa ξ est nieskorelowana z e i (tzn. E(ξ i, e i ) = ). Z powyższych założeń wynika, że: var( y ) = var( ξ + e ) = E( ξ + e ) E ( ξ + e i i = i i I E( ξ + ξ e + e ) = σ + σ, i i ) ()

30 Wiktor Esmont, Janusz Łyko 3, (3). (4) Współczynniki tak określonego modelu szacue się metodą nawiększe wiarygodności, np. Aitkin i Longford [986], lub uogólnioną metodą namnieszych kwadratów, wspomnianą przez Baltaga (5). Estymatory parametrów α oraz β maą postać: y V X X V X T T ) ( = β α ) ), (5) gdzie:, oraz V est macierzą kowarianci wektora y. Zgodnie z założeniami modelu macierz ta est postaci:, gdzie:. ) ( )) ),( cov(( ), cov( I p i p i p i p i e e e e E e e y y σ ξ ξ ξ ξ ξ = = + + = ), ( σ σ σ ρ + = = I I y i y p cor = n k k k T x x x X,,,,,,,,,,,,,,, K K K K K K [ ] n k k k n T y y y y y,,,,,...,,..., = Ω Ω Ω = k V K M O M M L L n n I I I I I I I I I = Ω σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ K M O M M L K

31 WPŁYW POŁOŻENIA SZKOŁY NA WYNIKI EDUKACYJNE UCZNIÓW 3 Po uproszczeniach wzoru (5) otrzymue się * : = + + = = = = = = = = = = = k k n i i k k k n i i k k k y w x x x y y y w w x x x w x w x w ) )( ( ) ( β α ) ) (6) = = = = + + = k n i xx i k xy n i i A x x A x x y y * * ) ( ) )( ( ˆβ, (7) gdzie: oraz, (8) oraz = = = k k w y w y * / (9) oraz. () = = + + = k n i xx i I A x x * ) ( ˆ) var( σ σ β () Zestawienie szkół odbywa się za pomocą porównania wartości oczekiwane zmienne ξ (wzór ()). Zmienna ta mówi, o ile od uśrednionego wyniku całe populaci odchyla się uśredniony wynik -te szkoły. Na rysunku przerywaną linią został oznaczony uśredniony wynik -te szkoły, zaś ciągła linia przedstawia uśredniony wynik całe populaci (czynnik e i odpowiada za odchylenie od * Zastosowanie w pracach Aitkina i Longforda [986]. * * ) ( x x w A k xx = = ) )( ( * * * y y x x w A k xy = = = = = k k w x w x * / ) /( I n n w σ σ σ + =

32 3 Wiktor Esmont, Janusz Łyko uśrednianego wyniku na poziomie -te szkoły). Jeżeli wartość ξ est dodatnia, to można powiedzieć, że -ta szkoła poczyniła postęp w stosunku do uśrednionego wyniku całe populaci, eśli zaś est uemna, to szkoła ta uzyskała wynik niższy niż uśredniony wynik badane populaci. Rys.. Schemat przedstawiaący ideę pomiaru przyrostu wiedzy modelem Aitkina-Longforda Źródło: [Skrondal, Rabe-Hesketh, 8]. Chcąc oszacowywać wartość zmienne losowe ξ (nie est ona znana), wykorzystue się twierdzenie o błędzie średniokwadratowym, według Jakubowskiego i Sztencela [4]. W związku z tym, że wariance σ oraz σ I są znane przed oszacowaniem modelu, można tę informacę wykorzystać ako informacę a priori. Więce na temat można przeczytać w pracy [Esmont, 9], gdzie w szczegółach est opisany cały algorytm estymaci, w tym również komponentów warianci σ i σ I. Wyznaczymy rozkład warunkowe zmienne losowe ξ pod warunkiem y (podeście Bayesowskie). Ze wzoru () średnia na poziomie -te szkoły wyraża się wzorem: y = α + βx + ξ + e. () Przy poczynionych założeniach, ma rozkład normalny N( α + βx, σ I + σ / n ). Ten rozkład można traktować ako rozkład a priori, a ponieważ ξ est zmienną losową z rozkładu N(, σ I ), więc rozkład warunkowy E( ξ y ) też będzie rozkładem normalnym. Znany est fakt z rachunku prawdopodobieństwa, że eżeli X ~ N ( μ, σ ) i X ~ N( μ, σ ) oraz ρ, = cor(x,x ), to rozkład warunkowy X /X ma postać: y

33 WPŁYW POŁOŻENIA SZKOŁY NA WYNIKI EDUKACYJNE UCZNIÓW 33 σ N μ. (3) + ρ, ( X μ ), σ ( ρ, ) σ Stąd uwzględniaąc to, że ρ ' = cor( ξ, y ) = σ I /( σ I σ I + σ / n ), otrzymue się, iż E ξ y ) ma rozkład normalny: N ρ' lub w innym zapisie: gdzie: * n w = N( ρn /( ρ). ( I σ I σ + σ / n * ( y ( y' α βx I ), σ ( ρ' ) ˆ * ˆ α βx ), n ( ρ) σ / n ), (4) Przy porównaniu szkół wykorzystue się wartość średnią z rozkładu warunkowego zadanego wzorem (4). Stąd efektywność nauczania, czyli edukacyna wartość dodana ma postać: e I = ˆ ρn * ( y ˆ α ˆ βx ). (5) W celu sprawdzenia, czy uzyskane efekty losowe są istotne użyto testu Breuscha-Pagana [Baltagi, 5; Hasio, 999]. Jest to test mnożników Lagrange a, w którym hipotezy są następuące: H : σ I =, i alternatywna: σ I. Statystyka testowa ma postać: k k n ' n i e = = i= LM = ~ χ () k k n, (6) n ( ) ' n i e = = i= gdzie e i są to reszty otrzymane w wyniku zastosowania metody MNK do wszystkich danych, niezależnie od szkół. Powyższy wzór mówi, że statystyka testowa LM przy założeniu hipotezy zerowe ma asymptotyczny rozkład chikwadrat z ednym stopniem swobody. Hipotezę zerową odrzuca się, eżeli wartość statystyki LM należy do prawostronnego obszaru krytycznego.

34 34 Wiktor Esmont, Janusz Łyko. Opis danych i uzyskane wyniki Analizowane dane opisuą wyniki edukacyne uczniów kończących polskie licea w r. W każdym z poniższych typów zdawanych egzaminów przyęto tę samą konwencę odnośnie skalowania danych. Zarówno punkty gimnazalne, ak i maturalne zostały przeskalowane do poziomu, tzn. wynik danego ucznia, gimnazalny i maturalny, podzielono przez maksymalną liczbę punktów możliwych do zdobycia oraz pomnożono przez. Pozwala to na łatwą interpretace otrzymanych wyników. Bez trudu można zauważyć, czy uczeń polepszył, czy pogorszył swó wynik (%). Dane, akie przeanalizowano, reprezentuą cztery kategorie możliwych miesc kończenia szkoły gimnazalne lub licealne: wieś oznaczono przez, miasto do. tys. mieszkańców oznaczono przez, miasto od do tys. mieszkańców oznaczono przez 3, miasto powyże tys. mieszkańców oznaczono przez 4. W tabeli zaprezentowano średnie wyniki w zależności od opisanych różnych kategorii możliwości kończenia szkoły. Warto podkreślić, że występowanie liceów na wsi est rzadkością, aczkolwiek w każdym woewództwie takie licea się znaduą. Z tego powodu ta kategoria uczniów est zdecydowanie namnie licznie reprezentowana. Średnie wyniki różnych typów egzaminów przedstawione dla uczniów zdaących maturę w liceum w r. Charakterystyki uczniów w momencie kończenia gimnazum Charakterystyki uczniów w momencie kończenia liceum Tabela Kategoria liczba średnia średnia średnia liczba średnia średnia średnia średnia uczniów P G-H G-MP uczniów G-H G-MP M-P M-M ,46 75,37 6, ,79 5,8 55,9 55, , 74,5 59,89 4 7,98 57,66 6,9 63, ,6 75,4 6, ,54 6,85 63,65 67, , 77,56 65, , 66, 65,4 7,3 Razem ,6 75,79 6, ,79 6,39 63,6 67,5 Nota: średnia P średni wynik testu szóstoklasisty, średnia G-H średni wynik części humanistyczne egzaminu gimnazalnego, średnia G-MP średni wynik części matematyczno-przyrodnicze egzaminu gimnazalnego, średnia M-P średni wynik egzaminu maturalnego z ęzyka polskiego (część podstawowa), średnia M-M średni wynik egzaminu maturalnego z matematyki (część podstawowa). Źródło: [Centralna Komisa Egzaminacyna, ].

35 WPŁYW POŁOŻENIA SZKOŁY NA WYNIKI EDUKACYJNE UCZNIÓW 35 Analizowano dwa typy modeli. Pierwszy dotyczył przyrostu wiedzy humanistyczne obliczone na podstawie odpowiednich części humanistycznych to znaczy wiedzy w gimnazum na podstawie testu szóstoklasisty oraz części humanistyczne egzaminu gimnazalnego. Analogicznie obliczono przyrost wiedzy dla przedmiotów ścisłych, tym razem obliczaąc w odpowiednich miescach względem przedmiotów ścisłych. W wyniku tych obserwaci otrzymano cztery modele zaprezentowane w tabeli. Warianca zmienne losowe określaące przyrost wiedzy poedynczych uczniów est znacząco większa od warianci opisuące rozproszenie międzyszkolne. Jest to powodem wzięcia do analizy tylko czterech obiektów. Zauważalny est również znacząco szybszy wzrost wiedzy dla przedmiotów ścisłych (współczynniki beta). Oszacowane wartości testu LM I wskazuą na to, że σ est statystycznie istotny na poziomie istotności,. Zasadne est więc stosowanie modelu efektów losowych (związanych z σ I ). Podstawowe charakterystyki statystyczne modelu efektów losowych Tabela część humanistyczna Gimnazum część ścisła część humanistyczna Liceum część ścisła Warianca σ 6,536 8,85 73,8484,683 σ I Warianca,34,3965,545,336 Współczynnik beta, ,957,57588,75493 Współczynnik alfa 34, ,43 9, ,58478 LM p-value <, <, <, <, Źródło: Obliczenia własne za pomocą programu Excel oraz R-proect. Podsumowanie Rysunki oraz 3 przedstawiaą efektywność nauczania w zależności od miesca położenia szkoły kończące dany etap edukaci. Nie ma tuta natomiast znaczenia, gdzie uczeń pobierał naukę we wcześnieszych etapach kształcenia. Interpretaca wyników przedstawionych na rysunku nie est trudna. Lokalizaca gimnazum na terenie wieskim nie wpływa negatywnie na wyniki uczniów. Co więce, uczniowie takich placówek sumarycznie osiągaą lepsze wyniki niż ich rówieśnicy pobieraący naukę w większych ośrodkach. Można to tłumaczyć tym, że ewentualne braki w doborze wykwalifikowane kadry dydaktyczne są rekompensowane mnieszym negatywnym oddziaływaniem środowiska. Zakładaąc nawet, że w ośrodkach wieskich selekca zawodowa est ogra-

36 36 Wikt tor Esm mont, Janusz Łyko niczona, samo przygotowanie nauczyciela na tym etapie kształcenia nie odgrywa kluczowe roli. Podobnie eśli chodzi o dostęp do bibliotek czy innych ośrodków kultury, np. teatru, filharmonii. Rek kompensowane est to więk kszym zaangażo- waniem dzieci w proc ces nauczania. Negatywne wzo orce, takie ak choćby zastę- powanie czytania lekt tur przez czytanie ich skróconych opracowań, nie oddziału- ą tak silnie na to środowisko. Oprócz tego wydae się, że sam proces wychowawczy w ośro odkach wieskich est zdecydowanie łatwieszy. Nie słyszy się np., ak w przypadku większych ośrodków, o sporach uczniów i ich rodziców z nauczycielami. Na tym etap pie kształcenia samo zaangażowanie ucznia, eg go pilnośćć i zdyscyplinowanie est w stanie zrównoważyć gorszą infrastrukturę edukacyną. Rys.. Edukacyna wartość dodana obliczona dla gimnazów Źródło: Na podstawie wyników z tabeli. Do zdecydowanie innych wniosków prowadzi analiza wyników przedsta- wionych na rysunku 3. Widać wyraźnie, że osiągnięcia edukacyne uczn niów li- ceów ogólnokształcących zlokalizowanych na wsi istotnie odst taą ą od osiągnięć ich rówieśników pobieraących naukęę w większych ośrodkach. Wniosku tego nie zmienia ewentualne uwzględnienie niewielkie liczby takich placówek w po- równaniu z liczbą wsz zystkich liceów w Polsce. Obra az sytuaci pozostae bowiem taki sam po połączeniu pierwszych dwóch z rozpatrywanych kategorii lokaliza- ci, czyli tworzy się wspólna grupa ośrodków mnieszych niż dwudziestoty- sięczne. Wyraźnie gorsze na tym etapie wyniki edukacyne mnieszych ośrod- ków dowodzą słuszności poglądóww dotyczących m.in. likwidaci zamiescowych ośrodków dydaktycznych wyżs szych uczelni. Wraz ze wzrostem szczebla eduka-

37 WPŁY YW POŁ ŁOŻENIA SZKOŁY NA WYNIKI EDUK KACYJNE UCZNIÓW 37 ci wzr rasta równieżż konieczność zap ewnienia odpowiednie kad dry dydaktyczne i całego zaplecza edukacynego. Takie możliwości stwarzaą na razie edynie duże ośrodki mieskie. Rys. 3. Edukacyna wartość dodana obliczona dla liceów Źródło: Na podstawie wyników z tabeli. Literatura Aitkin M., Longford N. (986): Statistical Modelling Issu ues in School Effectiveness Stu- dies. Journal of the Royal Statistical Society, Vol. 49, No., s Balestra P., Nerlove M. (966): Pooling Cross Section and Time Series Data in the Esti- mation of a Dynamic Model: The Demand for Natu ural Gas. Econometrica, Vo ol. 34, No. 3, s Baltagi B. (5): Econometric Analysis of Panel Data. John Wiley & Sons, New York. Centralna Komisa Egza aminacyna (). Esmont W. (9): Efektywność nauczaniaa we wrocławskich liceach. Didactics of Ma- thematics 5-6 (9-), Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Wrocław 9 9, s Hasio C. (999): Analysis of Panel Data. Cambridge Univ versity Press, Cambridge. Jakubowski J.., Sztencel R. (4): Wst tęp do teorii praw wdopodobieństwa. Scrip pt, War r- szawa. Skrondal A., Rab be-hesketh S. (8): Multilevel and Longitudinal Modeling Using Sta- ta. Stata Press Publ lication StataCorp LP, College Station, Texas.