Dzień pierwszy- grupa młodsza

Transkrypt

1 Dzień pierwszy- grupa młodsza 1. Liczbę całkowitą nazywamy palindromem, jeśli pozostaje ona taka sama po zamianie kolejności cyfr, np lub Przyjmijmy, że liczby x oraz x są odpowiednio: trzycyfrowym oraz czterocyfrowym palindromem. Wyznacz wszystkie możliwe wartości x. 2.Wyznacznajwiększąliczbęntaką,żen 2 jestdzielnikiemliczby12!= Rozważmyłańcuchnsiódemekpostaci ,pomiędzyktórewstawiamyznaki+,abyotrzymać wyrażeniearytmetyczne.naprzykład =875możebyćwtensposóbotrzymane z ośmiu siódemek. Załóżmy, że dla pewnych n możliwe jest takie ustawienie znaków + pomiędzy n siódemkami, by otrzymać w wyniku powstającego w ten sposób działania liczbę Wykaż, że wszystkietakieliczbyndająresztę1zdzieleniaprzez9. 4.Sześciokątwpisanywokrągmabokidługościodpowiednio:22,22,20,22,22,20 wtejkolejności. Znajdź promień tego okręgu. 5. Aby wykonać pewne duże zlecenie firma zatrudniła 1000 pracowników. Każdy z nich wykonuje pracę w tym samym tempie i zgodnie z obliczeniami firmy 1000 ludzi to dokładnie tylu ilu potrzeba, by pracę skończyć w rok. Zanim wykonano 1/4 pracy wszyscy pracownicy byli na stanowiskach. Gdy 1/4 pracy została wykonana zwolniono 100 pracowników. Drugą ćwiartkę pracy wynonano zatem wolniej niż zakładał to plan produkcji. Mimo to, gdy skończono połowę pracy zwolniono kolejnych 100 pracowników, więc wykonanie kolejnej ćwiartki pracy zabrało jeszcze więcej czasu niż w przypadku poprzedniej, a opóźnienie wzrosło. Aby wyrobić się w czasie jednego roku(lub mniej) firma planuje zatrudnić dodatkowych pracowników do wykonania pozostałej 1/4 pracy. Ilu przynajmniej pracowników musi w tym celu zatrudnić?

2 Dzień pierwszy- grupa młodsza- rozwiązania 1. Jest jasne, że czterocyfrowy palindrom nie może być liczbą większą niż W przeciwnym razie x nie byłby liczbą trzycyfrową. Są jedynie dwa czterocyfrowe palindromy mniejsze niż 1141: 1001 oraz1111.zauważmyjednak,że =859.Natomiast =969.Zatemx=969. Wykazaliśmy jednocześnie, że jest to jedyna możliwa wartość x. 2.Liczba12!= Zatemnajwiększykwadratdzielącytęliczbęto Zatem szukanaliczbato =32 9 5= Zauważmy,żeniezależnieodnsumyuzyskiwaneprzezwstawianieznaków+,oilemajądaćwynik 7000, nie mogą zawierać żadnego składnika czterocyfrowego. Załóżmy zatem, że dla pewnego n mamy a składników równych 777, b składników równych 77, oraz c składników równych 7. Zatem 777 a+77 b+7 c=7000.liczbasiódemekwynosin,wtym3asiódemekpochodzącychod składników równych 777, 2b siódemek pochodzących od składników równych 77 oraz c siódemek pochodzących od składników równych 7. Stąd mamy następujący układ równań: 111a+11b+c= a+2b+c=n Stądodejmującstronamidostajemy:108a+9b=1000 n.skoroa,b,nsąliczbamicakowitymi, zaślewastronarównaniajestliczbąpodzielnąprzez9,totakże1000 nmusibyćpodzielneprzez 9.Dziejesiętotylkowtedy,gdyndajeresztę1zdzieleniaprzez9. 4.Załóżmy,żerozważanysześciokątmawierzchołkiABCDEFprzyczym AB = DE =20,zaś BC = CD = EF = FA =22.Zauważmy,żeczworokątyABCForazCDEFsąprzystającymi trapezamirównoramiennymi.istotnie,niechα= BDC.Skoro BC = AF toztwierdzeniao kątachwpisanychdostajemy,żemiaręαmajątakżekąty: BFC, BACoraz ACFi ABF. Zatem proste AB oraz CF są równoległe. Analogicznie wykazujemy, że proste CF oraz DE są równoległe. Zauważmy dalej, że CF jest średnicą okręgu, w który wpisany jest sześciokąt ABCDEF. Istotnie, trójkąty ACF oraz ECF są przystające, a na czworokkącie ACEF można opisać okrąg. ZatemsumamiarkątówCAForazCEFrównajest180.Kątytesąjednaktejsamejmiary,a zatemkażdyznichma90.zatemcftoistotnieśrednica.szukanypromieńjestzatemrówny 1 2 CF.Długośćtegoodcinkawyznaczamynatomiastkorzystającztw.Pitagorasa. 5.Pierwszączęśćpracyukończonowt 1 =1/4roku.Drugączęśćpracyukończonowt 2 =1000/900 t 1 czasu.trzeciączęśćpracywykonanowt 3 =1000/800 t 1 czasu.zdodatkowąilościąpracowników ostatniączęśćpracywykonanowt 4 roku.zatemt 1 +t 2 +t 3 +t 4 =1.Skoropracownicymają tesamotempo,tot 1 =1/4,zatempodstawiającdorównaniadostajemyt 4 =23/26.Zatem 1000/(1000+x) 23/26,gdziexjestpewnąliczbącałkowitą.Łatwosprawdzić,żenajmniejszą liczbą całkowitą spełniającą powyższą nierówność jest 766.

3 Dzień drugi- grupa młodsza 1.DlakażdegoncałkowitegododatniegookreślamywyrażenieS n wzorem: S n = ( 1) n 1 n. WyznaczwartośćwyrażeniaS 17 +S 33 +S Dane są dwa prostokąty o równych polach i o równych obwodach. Wykaż, że długości przekątnych obu prostokątów są takie same. 3.DanyjestokrągośrodkuSorazpunktDleżącynatymokręgu.CięciwaABprzecinaodcinekSD w punkcie C, różnym od punktu S. Wykaż, że AB > 2 CD. Wskazówka: nierówność trójkąta. 4.Czwórkaliczbcałkowitychdodatnicha,b,corazdmajątęwłasność,żeabcd=8!oraz: ab+a+b=524 bc+b+c=146. cd+c+d=104 Wyznacza d. 5. Grupa księgowych otrzymuje zadanie rozliczenia 1775 faktur. Każdy księgowy rozlicza(pracując w stałym tempie) 30 faktur na godzinę. Pod koniec pierwszej godziny pewna liczba księgowych zostaje przeniesiona do innego zadania. Pod koniec drugiej godziny pracy kolejna, tak samo liczna, grupa księgowych zostaje odłączona od grupy. Podobnie dzieje się po trzeciej godzinie pracy. Grupa kończy zadanie w 3 godziny i 10 minut. Jaką liczbę faktur rozliczono podczas pierwszych 90 minut pracy tego zespołu zakładając, że liczba faktur rozliczonych w tym czasie jest całkowita?

4 Dzień drugi- grupa młodsza- rozwiązania 1. Wykazujemy, na przykład przez indukcję, że: n/2, dla parzystychn S n = (n + 1)/2, dla nieparzystychn. ZatemS 17 =9,S 33 =17,zaśS 50 = 25.Zatemsumatychwyrażeńto1. 2.ZadaniepochodzizIetapuVIIOMG.Rozważmyprostokątobokacha,borazprzekątnejd.OznaczmyprzezS,Lodpowiedniopoleiobwódtegoprostokąta,czyliS=aborazL=2(a+b).Zauważmy, że ( ) 2 L d 2 =a 2 +b 2 =(a+b) 2 2ab= 2S. 2 Wobec tego długości przekątnych danych prostokątów są równe. 3. Zadanie pochodzi z III etapu IV OMG. Wykorzystując nierówność trójkąta ACS uzyskujemy: AC + CS > AS = DS = CD + CS. Zatem AC > CD. Analogicznie, wykorzystując nierówność trójkąta BCS, dowodzimy, że BC > CD. Dodając stronami dwie ostatnie nierówności otrzymujemy AB > 2 CD, co należało udowodnić. 4.Zauważmy,żeab+a+b=(a+1)(b+1) 1.Zatemukładrównańpodanywtreścizadaniamożna przekształcić do postaci: (a+1)(b+1)=525 (b+1)(c+1)=147. (c+1)(d+1)=105 Zauważmy,że147=49 3=7 2 3.Skorob+1>1jestliczbącałkowitą,atakżec+1jestliczbą całkowitą większą niż 1, to dostajemy trzy przypadki: b+1=3.wówczasc+1=49.tojestjednaksprzeczneztrzecimrównaniem,ponieważ105 nie jest podzielne przez 49. b+1=7.wówczasc+1=21,azatema=74,b=6,c=20,d=4.jednakżeiloczyntych liczbniejestrówny8!,ponieważajestpodzielnaprzez37. b+1=21.wówczasa=24,b=20,c=6,d=14.zatemabcd=(8 3) (4 5) (6) (2 7)=8!. Zatema d=10. Odpowiedź zatem wynosi Niech N oznacza liczbę księgowych w zespole początkowym, zaś R liczbę księgowych relegowanych w każdej godzinie do nowego zadania. Każdy księgowy rozlicza 30 faktur w ciągu godziny. Zatem przez pierwszą godzinę rozliczono 30N faktur. W drugiej godzinie rozliczono 30(N R) faktur.

5 W trzeciej godzinie rozliczono 30(N 2R) faktur. W ciągu 10 minut czwartej godziny rozliczono 30(N 3R) 1/6=5(N 3R)faktur.Łącznierozliczono1775faktur.Mamyzatemrówność: 30N+30(N R)+30(N 2R)+5(N 3R)= N 105R= N 21R=355. Rozważmyresztyzdzieleniatejrównościprzez21.Liczba19N 21Rdajeprzydzieleniuprzez21 takąsamąresztę,co19n.natomiast355dajeprzydzieleniuprzez21równieżresztę19.zatem mamyrówność19n=19(mod21).zatemndajeprzydzieleniuprzez21resztę1.zauważmy,że jeślin=1,tozgodniezrównością19n 21R=355liczbaRjestujemna,coniejestmożliwe. JeślinatomiastNjestwiększeniż22,awięcrówne21k+1,dlak>1,to19(21k+1) 21R=355. Stąd399k 21R=336,czyli19k R=16,azatemR=19k 16.WówczasjednakN 3R= 21k+1 3(19k 16)=49 36k,cojestmniejszeod0,dlak>1.Tenukładjestzatemtakże niemożliwy.pozostajezatemprzypadek,gdyn=22.wówczasr=3.zatemwciągu90minut posortowano30n+15(n R)=945faktur.

6 Dzień trzeci- grupa młodsza 1.Czyprostokątowymiarach90 91możnapodzielićnaprostokątyowymiarach9 10?Odpowiedź uzasadnij. 2.Danesądodatnieliczbycałkowiteaib.Wykaż,żejeśliliczbaa 2 jestpodzielnaprzezliczbęa+b, totakżeliczbab 2 jestpodzielnaprzezliczbąa+b. 3. Dla jakich liczb całkowitych dodatnich n liczba n 20 n jestkwadratemliczbycałkowitej? 4.DanyjesttrójkątrównobocznyABC.PunktMjesttakimpunktembokuAC,że MC =2 MA. PunktyKiLleżąnabokuBCtak,że BK = KL = LC.Wykaż,że: AKM+ ALM= Wykaż, że: =

7 Dzień trzeci- grupa młodsza- rozwiązania 1. Liga zadaniowa OMG(Seria II, 2012/2013). Tak, można. Wystarczy zauważyć, że z 9 prostokątów owymiarach10 9możnazłożyćprostokątowymiarach90 9,az10prostokątówowymiarach 9 10możnazłożyćprostokątowymiarach90 10.Zkoleiprostokąt90 91możnazłożyćz9 prostokątówowymiarach90 9ijednegoprostokątaowymiarach ZadaniezIIetapuVIOMG.Ponieważb 2 a 2 =(b a)(b+a),więcb 2 =(b a)(a+b)+a 2.Prawa stronaostatniejrównościjestpodzielnaprzezliczbęa+b,azatemliczbab 2 jesttakżepodzielna przezliczbęa+b. 3.Założmy,żedlapewnegonmamy n 20 n =k2.wówczaspoelementarnychprzekształceniachotrzymujemyn= 20k2 k 2 +1.Ponieważnjestliczbącałkowitą,toułamekpowyższymusibyćskracalny.Skoro k 2 orazk 2 +1sąwzględniepierwsze,tok 2 +1musibyćdzielnikiemliczby20.Tojestprawdąwtedy itylkowtedy,gdyk=0,1,2,3.odpowiadającewartościnsąrówne0,10,16,18.skoronmabyć liczbą dodatnią, to odpowiedzią jest trójka liczb: 10, 16, ZadaniezInternetowegoKołaMatematycznegoOMG.WybierzmynabokuABtakipunktN,że NB =2 NA.Ponieważ CL LB = AN NB,więcLN AC-ztwierdzeniaodwrotnegodotw.Talesa. Ponadto CM AM = CK BK,więcMK AB,astąd BNL=60 = KMC.Zatem ANL= AMK=120. Ponadto AN = AM oraz LN = KM.Oznaczato,żetrójkątyAMKiANLsąprzystające. Stąd AKM= ALN. WybierzmyteraznabokuACpunktPtaki,że AP =2 CP.NiechponadtopunktQbędzie punktemprzecięciaodcinkówmkiln.zauważmy,żeczworokątmqlp jestrombemokącie ostrymrównym60.ponieważprzekątnewrombiesądwusiecznymikątó,więc: AKM+ ALM= ALN+ ALM= QLM= Zadanie z Internetowego Koła Matematycznego OMG. Przekształcając prawą stronę, dostajemy kolejno: = ( ) = ( ) = ( ) =