Wymagania kl. 1. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń: przedstawia liczbę naturalną w postaci iloczynu liczb pierwszych i nieparzystej

Transkrypt

1 Wymagania kl. 1 Zakres podstawowy i rozszerzony Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia 1. LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb naturalnych podaje dzielniki danej liczby naturalnej definicja liczby parzystej przedstawia liczbę naturalną w postaci iloczynu liczb pierwszych i nieparzystej oblicza NWD i NWW dwóch liczb naturalnych rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb, np. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n + n jest parzysta znajdowanie NWD i NWW twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Liczby całkowite. definicja liczby całkowitej Liczby wymierne definicja liczby wymiernej rozpoznaje liczby całkowite i liczby wymierne wśród podanych liczb oś liczbowa podaje przykłady liczb całkowitych i wymiernych kolejność wykonywania działań odczytuje z osi liczbowej współrzędną danego punktu i odwrotnie: zaznacza punkt o podanej współrzędnej na osi liczbowej wykonuje działania na liczbach wymiernych 3. Liczby definicja liczby niewymiernej niewymierne konstruowanie odcinków wskazuje liczb liczby niewymierne wśród podanych o długościach niewymiernych konstruuje odcinki o długościach niewymiernych zaznacza na osi liczbowej punkt odpowiadający liczbie niewymiernej wykazuje, dobierając odpowiednio przykłady, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie musi być liczbą niewymierną dowodzi niewymierności liczby 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej postać dziesiętna liczby rzeczywistej metoda przedstawiania ułamków zwykłych w postaci dziesiętnej metoda przedstawiania ułamków dziesiętnych w postaci ułamków zwykłych dowodzi niewymierności innych liczb, np. 3, 3 1 wskazuje liczby wymierne oraz niewymierne wśród liczb podanych w postaci dziesiętnej wyznacza rozwinięcie dziesiętne ułamków zwykłych zamienia skończone rozwinięcia dziesiętne na ułamki zwykłe przedstawia ułamki dziesiętne okresowe w postaci ułamków zwykłych

2 5. Pierwiastek z definicja pierwiastka kwadratowego z liczby liczby nieujemnej nieujemnej oblicza wartość pierwiastka drugiego i trzeciego stopnia z liczby nieujemnej definicja pierwiastka trzeciego stopnia z oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej liczby nieujemnej wyłącza czynnik przed znak pierwiastka definicja pierwiastka dowolnego stopnia z włącza czynnik pod znak pierwiastka liczby nieujemnej wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki, stosując prawa działań na działania na pierwiastkach pierwiastkach 6. Pierwiastek definicja pierwiastka trzeciego stopnia z nieparzystego liczby rzeczywistej oblicza wartość pierwiastka trzeciego stopnia z liczby rzeczywistej stopnia z liczby definicja pierwiastka nieparzystego stopnia z oblicza wartość pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej rzeczywistej liczby rzeczywistej wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb działania na pierwiastkach rzeczywistych, stosując prawa działań na pierwiastkach 7. Potęga o definicja potęgi o wykładniku naturalnym wykładniku całkowitym definicja potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym oblicza wartość potęgi liczby o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym twierdzenia o działaniach na potęgach stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do obliczania wartości wyrażeń stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do upraszczania wyrażeń algebraicznych 8. Notacja definicja notacji wykładniczej wykładnicza sposób zapisywania małych zapisuje i odczytuje liczbę w notacji wykładniczej i dużych liczb w notacji wykładniczej wykonuje działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej 9. Przybliżenia reguła zaokrąglania przybliżanie z nadmiarem zaokrągla liczbę z podaną dokładnością i z niedomiarem oblicza błąd przybliżenia danej liczby oraz ocenia, czy jest to przybliżenie z nadmiarem, czy z błąd przybliżenia niedomiarem szacuje wyniki działań 10. Procenty pojęcie procentu pojęcie punktu procentowego oblicza procent danej liczby interpretuje pojęcia procentu i punktu procentowego oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent zmniejsza i zwiększa liczbę o dany procent stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych dotyczących płac, podatków, rozliczeń bankowych. JĘZYK MATEMATYKI

3 1. Zbiory sposoby opisywania zbiorów zbiory skończone i nieskończone posługuje się pojęciami: zbiór, podzbiór, zbiór pusty, zbiór skończony, zbiór nieskończony zbiór pusty wymienia elementy danego zbioru oraz elementy do niego nienależące definicja podzbioru opisuje słownie i symbolicznie dany zbiór relacja zawierania zbiorów określa relację zawierania zbiorów zapis symboliczny zbioru. Działania na iloczyn zbiorów zbiorach suma zbiorów posługuje się pojęciami: iloczyn, suma oraz różnica zbiorów różnica zbiorów wyznacza iloczyn, sumę oraz różnicę danych zbiorów dopełnienie zbioru przedstawia na diagramie zbiór, który jest wynikiem działań na trzech dowolnych zbiorach wyznacza dopełnienie zbioru formułuje i uzasadnia hipotezy dotyczące praw działań na zbiorach 3. Przedziały określenie przedziałów: otwartego, domkniętego, lewostronnie domkniętego, prawostronnie domkniętego, nieograniczonego rozróżnia pojęcia: przedział otwarty, domknięty, lewostronnie domknięty, prawostronnie domknięty, nieograniczony zapis symboliczny przedziałów zapisuje przedział i zaznacza go na osi liczbowej odczytuje i zapisuje symbolicznie przedział zaznaczony na osi liczbowej wyznacza przedział opisany podanymi nierównościami wymienia liczby należące do przedziału spełniające zadane warunki 4. Działania na przedziałach 5. Rozwiązywanie nierówności 6. Wzory skróconego mnożenia iloczyn, suma, różnica przedziałów wyznacza iloczyn, sumę i różnicę przedziałów oraz zaznacza je na osi liczbowej wyznacza iloczyn, sumę i różnicę różnych zbiorów liczbowych oraz zapisuje je symbolicznie nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem nierówności nierówności równoważne rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą zapisuje zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału stosuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym wzory skróconego mnożenia (a b)² oraz a² b² stosuje odpowiedni wzór skróconego mnożenia do wyznaczenia kwadratu sumy lub różnicy oraz różnicy wzory skróconego mnożenia kwadratów (a b)³ oraz a³ b³ przekształca wyrażenie algebraiczne z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania działań na liczbach postaci a b c wyprowadza wzory skróconego mnożenia usuwa niewymierność z mianownika ułamka 3

4 7. Zastosowanie zastosowanie przekształceń algebraicznych przekształceń do przekształcania równoważnego równań i stosuje przekształcenia algebraiczne do przekształcenia równoważnego równań oraz nierówności algebraicznych nierówności usuwa niewymierność z mianownika ułamka usuwanie niewymierności z mianownika 8. Wartość definicja wartości bezwzględnej bezwzględna interpretacja geometryczna wartości oblicza wartość bezwzględną danej liczby bezwzględnej upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną rozwiązuje, stosując interpretację geometryczną, elementarne równania i nierówności z wartością bezwzględną 9. Własności własności wartości bezwzględnej wartości stosuje podstawowe własności wartości bezwzględnej bezwzględnej korzystając z własności wartości bezwzględnej, rozwiązuje proste równania i nierówności z wartością bezwzględną korzystając z własności wartości bezwzględnej, upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną 10. Równania metody rozwiązywania równań i nierówności i nierówności z wartością bezwzględną rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, stosując interpretację geometryczną z wartością bezwzględną rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, stosując definicję oraz własności wartości bezwzględnej 11. Błąd określenie błędu bezwzględnego bezwzględny i błąd i błędu względnego przybliżenia rozróżnia pojęcia: błąd bezwzględny, błąd względny przybliżenia względny oblicza błąd bezwzględny oraz błąd względny przybliżenia liczby 3. FUNKCJA LINIOWA 1. Sposoby opisu definicja funkcji funkcji sposoby opisywania funkcji definicja miejsca zerowego. Wykres funkcji liniowej definicja funkcji liniowej wykres funkcji liniowej interpretacja geometryczna współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej pojęcia: pęk prostych, środek pęku stosuje pojęcia: funkcja, argument, dziedzina, wartość funkcji, wykres funkcji, miejsce zerowe funkcji rozpoznaje wśród danych przyporządkowań te, które opisują funkcje podaje przykłady funkcji opisuje funkcję różnymi sposobami rozpoznaje funkcję liniową, mając dany jej wzór oraz szkicuje jej wykres interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej i wskazuje wśród danych wzorów funkcji liniowych te, których wykresy są równoległe podaje własności funkcji liniowej danej wzorem wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia zadane warunki, np. jest równoległy do wykresu danej funkcji liniowej 4

5 3. Własności funkcji własności funkcji liniowej liniowej wyznacza miejsce zerowe i określa monotoniczność funkcji liniowej danej wzorem wyznacza współrzędne punktów, w których wykres funkcji liniowej przecina osie układu współrzędnych oraz podaje, w których ćwiartkach układu znajduje się wykres wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja ma określone własności 4. Równanie prostej równanie kierunkowe prostej na płaszczyźnie równanie ogólne prostej podaje równanie kierunkowe i ogólne prostej zamienia równanie ogólne prostej, która nie jest równoległa do osi OY, na równanie w postaci kierunkowej wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty rysuje prostą opisaną równaniem ogólnym wyznacza wartości parametru, dla których prosta spełnia określone warunki 5. Współczynnik współczynnik kierunkowy prostej kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty oblicza współczynnik kierunkowy prostej, mając dane współrzędne dwóch punktów należących do tej interpretacja geometryczna współczynnika prostej kierunkowego szkicuje prostą, wykorzystując interpretację współczynnika kierunkowego odczytuje wartość współczynnika kierunkowego, mając dany wykres; w przypadku wykresu zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnym podaje wartość prędkości wyprowadza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty 6. Warunek warunek prostopadłości prostych prostopadłości o równaniach kierunkowych podaje warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych prostych wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej prostej wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt wyznacza wartości parametru, dla których proste są prostopadłe uzasadnia warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych 7. Układy równań metody algebraiczne rozwiązywania układów liniowych równań liniowych rozwiązuje układ równań metodą podstawiania i przeciwnych współczynników definicja układu równań oznaczonego, sprzecznego, nieoznaczonego określa typ układu równań (czy dany układ równań jest układem oznaczonym, nieoznaczanym, czy sprzecznym) układa i rozwiązuje układ równań do zadania z treścią rozwiązuje układ trzech równań z trzema niewiadomymi 8. Interpretacja interpretacja geometryczna układu geometryczna oznaczonego, sprzecznego i nieoznaczonego interpretuje geometrycznie układ równań układu równań rozwiązuje układ równań metodą graficzną liniowych wykorzystuje związek między liczbą rozwiązań układu równań a położeniem prostych rozwiązuje układ równań z parametrem oraz określa jego typ w zależności od wartości parametru rozwiązuje graficznie układ równań z wartością bezwzględną 5

6 9. Układy interpretacja geometryczna nierówności z nierówności dwiema niewiadomymi interpretuje geometrycznie nierówności z dwiema niewiadomymi oraz pojęcie półpłaszczyzny otwartej liniowych pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej i domkniętej ilustracja geometryczna układu nierówności zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi zapisuje układ nierówności opisujący zbiór punktów przedstawionych w układzie współrzędnych rozwiązuje graficznie układ kilku nierówności z dwiema niewiadomymi wyznacza w układzie współrzędnych iloczyn, sumę i różnicę zbiorów punktów opisanych nierównościami liniowymi z dwiema niewiadomymi 10. Funkcja liniowa tworzenie modelu matematycznego zastosowania opisującego przedstawione zagadnienie praktyczne przeprowadza analizę zadania z treścią, a następnie zapisuje odpowiednie równanie, nierówność liniową lub wzór funkcji liniowej rozwiązuje ułożone przez siebie równanie, nierówność lub analizuje własności funkcji liniowej przeprowadza analizę wyniku i podaje odpowiedź 4. FUNKCJE 1. Dziedzina i dziedzina funkcji opisanej wzorem miejsca zerowe definicja miejsca zerowego funkcji wyznacza dziedzinę funkcji opisanej wzorem funkcji wyznacza miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem. Szkicowanie wykres funkcji wykresu funkcji szkicuje wykres funkcji określonej nieskomplikowanym wzorem szkicuje wykres funkcji przedziałami liniowej 3. Monotoniczność definicje: funkcji rosnącej, malejącej i stałej funkcji pojęcie monotoniczności funkcji stosuje pojęcie funkcji monotonicznej (rosnącej, malejącej, stałej, niemalejącej, nierosnącej) definicje: funkcji nierosnącej na podstawie wykresu funkcji określa jej monotoniczność i niemalejącej rysuje wykres funkcji o zadanych kryteriach monotoniczności pojęcie funkcji przedziałami monotonicznej bada na podstawie definicji monotoniczność funkcji określonej wzorem 4. Odczytywanie zbiór wartości funkcji własności funkcji interpretacja geometryczna miejsca zerowego stosuje pojęcia: zbiór wartości funkcji, największa i najmniejsza wartość funkcji z wykresu funkcji odczytuje z wykresu funkcji jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe; argumenty, dla których funkcja największa i najmniejsza wartość funkcji przyjmuje wartości ujemne; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie; przedziały znak wartości funkcji monotoniczności funkcji, najmniejszą i największą wartość funkcji 5. Przesuwanie metoda otrzymywania wykresów funkcji wykresu wzdłuż osi OY y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) q dla q > 0 rysuje wykresy funkcji: y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) q dla q 0 6. Przesuwanie metoda otrzymywania wykresów funkcji wykresu wzdłuż osi OX y = f(x p) dla p 0 oraz y = f(x + p) dla p 0 rysuje wykresy funkcji: y = f(x p) dla p > 0 oraz y = f(x + p) dla p > 0 6

7 7. Wektory w pojęcie wektora układzie wektor przeciwny do danego posługuje się pojęciem wektora i wektora przeciwnego współrzędnych współrzędne wektora i ich interpretacja oblicza współrzędne wektora geometryczna wyznacza współrzędne początku lub końca wektora, mając dane współrzędne wektora i współrzędne jednego z punktów znajduje obraz figury w przesunięciu o dany wektor 8. Przesuwanie metoda otrzymywania wykresu funkcji y = wykresu f(x p) + q szkicuje wykres funkcji y = f(x p) + q o wektor zapisuje wzór funkcji otrzymanej w wyniku danego przesunięcia 9. Przekształcanie metoda otrzymywania wykresu funkcji y = wykresu przez f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) symetrię względem osi układu współrzędnych metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f( x) szkicuje wykresy funkcji y = f( x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) 10. Inne przekształcenia wykresu 11. Funkcje zastosowania metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x) i y = f( x ) i y = f( x ) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonania kilku operacji funkcje w sytuacjach praktycznych rozpoznaje zależność funkcyjną umieszczoną w kontekście praktycznym, określa dziedzinę oraz zbiór wartości takiej funkcji przedstawia zależności opisane w zadaniach z treścią w postaci wzoru lub wykresu 5. FUNKCJA KWADRATOWA 1. Wykres funkcji wykres i własności funkcji f(x) = ax f(x) = ax, gdzie a 0. Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor metoda otrzymywania wykresów funkcji: f ( x) ax q, f ( x) ax p, f ( x) ax p q własności funkcji: f ( x) ax q, ax p, f ( x) ax p q f ( x) współrzędne wierzchołka paraboli szkicuje wykres funkcji f(x) = ax podaje własności funkcji f(x) = ax stosuje własności funkcji f(x) = ax do rozwiązywania zadań szkicuje wykresy funkcji: f ( x) ax q, f ( x) a x p własności stosuje własności funkcji: f ( x) ax q, f ( x) a x p zadań, f x) ax p q ( i podaje ich, f x) ax p q ( do rozwiązywania 7

8 3. Postać postać ogólna funkcji kwadratowej kanoniczna postać kanoniczna funkcji kwadratowej podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej i postać ogólna trójmian kwadratowy oblicza współrzędne wierzchołka paraboli funkcji kwadratowej współrzędne wierzchołka paraboli przekształca postać ogólną funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej (z zastosowaniem uzupełniania rysowanie wykresu funkcji kwadratowej do kwadratu lub wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli) i szkicuje jej wykres postaci f ( x) ax bx c przekształca postać kanoniczną funkcji kwadratowej do postaci ogólnej wyznacza wzór ogólny funkcji kwadratowej mając dane współrzędne wierzchołka i innego punktu jej wyróżnik trójmianu kwadratowego wykresu wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli 4. Równania metoda rozwiązywania równań przez rozkład kwadratowe na czynniki stosuje wzory skróconego mnożenia oraz zasadę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias do zależność między znakiem wyróżnika a przedstawienia wyrażenia w postaci iloczynu liczbą rozwiązań równania kwadratowego rozwiązuje równanie kwadratowe przez rozkład na czynniki wzory na pierwiastki równania rozwiązuje równania kwadratowe, korzystając z poznanych wzorów kwadratowego interpretuje geometrycznie rozwiązania równania kwadratowego interpretacja geometryczna rozwiązań równania kwadratowego stosuje poznane wzory przy szkicowaniu wykresu funkcji kwadratowej 5. Postać definicja postaci iloczynowej funkcji iloczynowa funkcji kwadratowej definiuje postać iloczynową funkcji kwadratowej i warunek jej istnienia kwadratowej twierdzenie o postaci iloczynowej funkcji zapisuje funkcję kwadratową w postaci iloczynowej kwadratowej odczytuje wartości pierwiastków trójmianu podanego w postaci iloczynowej przekształca postać iloczynową funkcji kwadratowej do postaci ogólnej wykorzystuje postać iloczynową funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań 6. Równania rozwiązywanie równań metodą podstawiania sprowadzalne do rozpoznaje równania, które można sprowadzić do równań kwadratowych równań kwadratowych wprowadza niewiadomą pomocniczą, podaje odpowiednie założenia i rozwiązuje równanie kwadratowe z niewiadomą pomocniczą podaje rozwiązanie równania pierwotnego 7. Nierówności metoda rozwiązywania nierówności kwadratowe kwadratowych rozumie związek między rozwiązaniem nierówności kwadratowej a znakiem wartości odpowiedniego trójmianu kwadratowego rozwiązuje nierówność kwadratową wyznacza na osi liczbowej iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązań kilku nierówności kwadratowych 8. Układy równań sposoby rozwiązywania układów równań drugiego stopnia rozwiązuje algebraicznie i graficznie układy równań, z których co najmniej jedno jest równaniem paraboli stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej zaznacza w układzie współrzędnych obszar opisany układem nierówności 8

9 9. Wzory Viète a wzory Viète a określenie znaku pierwiastków równania kwadratowego bez ich wyznaczania stosuje wzory Viète a do wyznaczania sumy oraz iloczynu pierwiastków równania kwadratowego (o ile istnieją) określa znaki pierwiastków równania kwadratowego, wykorzystując wzory Viète a stosuje wzory Viète a do obliczania wartości wyrażeń zawierających sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego wyprowadza wzory Viète a 10. Równania rozwiązywanie równań kwadratowe z i nierówności kwadratowych przeprowadza analizę zadań z parametrem parametrem z parametrem zapisuje założenia, aby zachodziły warunki podane w treści zadania wyznacza te wartości parametru, dla których są spełnione warunki zadania 11. Funkcja najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowa kwadratowej stosuje pojęcie najmniejszej i największej wartości funkcji zastosowania w przedziale domkniętym wyznacza wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym stosuje własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych 6. PLANIMETRIA 1. Miary kątów w klasyfikacja trójkątów trójkącie twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie klasyfikuje trójkąty ze względu na miary ich kątów stosuje twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta do rozwiązywania zadań przeprowadza dowód twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie. Trójkąty definicja trójkątów przystających przystające cechy przystawania trójkątów podaje definicję trójkątów przystających oraz cechy przystawania trójkątów nierówność trójkąta wskazuje trójkąty przystające stosuje nierówność trójkąta do rozwiązywania zadań 3. Trójkąty podobne definicja wielokątów podobnych cechy podobieństwa trójkątów podaje cechy podobieństwa trójkątów skala podobieństwa sprawdza, czy dane trójkąty są podobne oblicza długości boków trójkąta podobnego do danego w danej skali układa odpowiednią proporcję, aby wyznaczyć długości brakujących boków trójkątów podobnych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania zadań 4. Wielokąty zależność między polami podobne i obwodami wielokątów podobnych a skalą rozumie pojęcie figur podobnych podobieństwa oblicza długości boków w wielokątach podobnych wykorzystuje zależności między polami i obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań 5. Twierdzenie twierdzenie Talesa Talesa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa podaje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa wykorzystuje twierdzenie Talesa do rozwiązywania zadań wykorzystuje twierdzenie Talesa do podziału odcinka w podanym stosunku przeprowadza dowód twierdzenia Talesa 9

10 6.Trójkąty twierdzenie Pitagorasa prostokątne i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa podaje twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa oraz wzory na długość przekątnej kwadratu i długość wysokości trójkąta równobocznego wzory na długość przekątnej kwadratu i stosuje twierdzenie Pitagorasa do rozwiązywania zadań długość wysokości trójkąta równobocznego korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyprowadza zależności ogólne, np. dotyczące długości przekątnej kwadratu i wysokości trójkąta równobocznego 7. Funkcje definicje funkcji trygonometrycznych kąta trygonometryczne ostrego podaje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º 30º, 45º, 60º wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych danego trójkąta prostokątnego wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w bardziej złożonych sytuacjach 8. Trygonometria odczytywanie wartości funkcji zastosowania trygonometrycznych kątów w tablicach odczytuje wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta w tablicach lub wartości kąta na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych odczytywanie miary kąta, dla którego dana jest wartość funkcji trygonometrycznej stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań praktycznych 9. Rozwiązywanie rozwiązywanie trójkątów prostokątnych trójkątów prostokątnych rozwiązuje trójkąty prostokątne 10. Związki między funkcjami trygonometrycznym i podstawowe tożsamości trygonometryczne wzory na: sin(90º α), cos(90º α), tg(90º α), ctg(90º α) 11. Pole trójkąta wzory na pole trójkąta 1 1 ( P ah, P absin γ, wzór Herona) wzór na pole trójkąta równobocznego 1. Pole czworokąta wzory na pole równoległoboku, rombu, trapezu 7. GEOMERTRIA ANALITYCZNA 1. Odległość między punktami w wzór na odległość między punktami w układzie współrzędnych układzie współrzędnych. Środek odcinka wzór na współrzędne środka odcinka podaje związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna z nich stosuje poznane związki do upraszczania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne uzasadnia związki między funkcjami trygonometrycznymi podaje różne wzory na pole trójkąta oblicza pole trójkąta, dobierając odpowiedni wzór do sytuacji wykorzystuje umiejętność wyznaczania pól trójkątów do obliczania pól innych wielokątów podaje wzory na pole równoległoboku, rombu, trapezu wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania pól czworokątów oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych wyznacza współrzędne środka odcinka, mając dane współrzędne jego końców oblicza obwód wielokąta, mając dane współrzędne jego wierzchołków stosuje wzór na odległość między punktami do rozwiązywania zadań dotyczących równoległoboków 10

11 .Odległość punktu wzór na odległość punktu od prostej od prostej współczynnik kierunkowy prostej oblicza odległość punktu od prostej oblicza odległość między prostymi równoległymi stosuje wzór na odległość punktu od prostej w zadaniach z geometrii analitycznej stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym a kątem nachylenia prostej do osi OX wyznacza kąt między prostymi wyprowadza wzór na odległość punktu od prostej 3. Okrąg w układzie równanie okręgu współrzędnych sprawdza, czy punkt należy do danego okręgu wyznacza środek i promień okręgu, mając jego równanie opisuje równaniem okrąg o danym środku i przechodzący przez dany punkt sprawdza, czy dane równanie jest równaniem okręgu wyznacza wartość parametru tak, aby równanie opisywało okrąg stosuje równanie okręgu w zadaniach 4. Wzajemne okręgi styczne, przecinające się położenie dwóch okręgów i rozłączne określa wzajemne położenie dwóch okręgów, obliczając odległości ich środków oraz na podstawie rysunku dobiera tak wartość parametru, aby dane okręgi były styczne 5. Wzajemne styczna do okręgu położenie okręgu i prostej sieczna okręgu określa wzajemne położenie okręgu i prostej, porównując odległość jego środka od prostej z długością promienia okręgu korzysta z własności stycznej do okręgu wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu 6. Układy równań sposoby rozwiązywania układów równań drugiego stopnia drugiego stopnia rozwiązuje algebraicznie i graficznie układy równań, z których co najmniej jedno jest drugiego stopnia stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej 7. Koło w układzie nierówność opisująca koło współrzędnych sprawdza, czy dany punkt należy do danego koła opisuje w układzie współrzędnych koło podaje geometryczną interpretację rozwiązania układu nierówności stopnia drugiego opisuje układem nierówności przedstawiony podzbiór płaszczyzny zaznacza w układzie współrzędnych zbiory spełniające określone warunki 11

12 8. Działania na pojęcie wektora swobodnego i zaczepionego wektorach dodawanie i odejmowanie wektorów wykonuje działania na wektorach mnożenie wektora przez liczbę sprawdza, czy wektory mają ten sam kierunek i zwrot interpretacja geometryczna działań na wektorach stosuje działania na wektorach i ich interpretację geometryczną w zadaniach długość wektora pojęcie wektora zerowego i jednostkowego 9. Wektory zastosowanie działań na wektorach zastosowania stosuje działania na wektorach do badania współliniowości punktów stosuje działania na wektorach do podziału odcinka stosuje wektory do rozwiązywania zadań wykorzystuje działania na wektorach do dowodzenia twierdzeń 10. Jednokładność definicja jednokładności pojęcie figur jednokładnych konstruuje figury jednokładne twierdzenie o podobieństwie figur wyznacza współrzędne punktów w danej jednokładności stosuje własności jednokładności w zadaniach 11. Symetria osiowa definicja symetrii osiowej figury osiowosymetryczne wskazuje figury osiowosymetryczne symetria osiowa w układzie współrzędnych wyznacza współrzędne punktów w symetrii względem danej prostej stosuje własności symetrii osiowej w zadaniach 1. Symetria definicja symetrii środkowej środkowa figury środkowo symetryczne wskazuje figury środkowosymetryczne symetria środkowa w układzie wyznacza współrzędne punktów w symetrii względem danego punktu współrzędnych stosuje własności symetrii środkowej w zadaniach 1