WYZNACZENIE NAPRÊ EÑ MONTA OWYCH DLA PO CZEÑ SKURCZOWYCH W STANACH PRZEJŒCIOWYCH **

Transkrypt

1 MECHANICS Vol. 4 No MECHANICS Vol. 4 No WYZNACZENIE NAPRÊ EÑ MONTA OWYCH DLA PO CZEÑ SKURCZOWYCH W STANACH PRZEJŒCIOWYCH ** Krzysztof MICHALCZYK * STRESZCZENIE W pracy przedstawiono metodê obliczeñ po³¹czeñ skurczowych bazuj¹ca na bilansie cieplnym. Wykazano, e w pewnych warunkach naprê enia w trakcie monta u znacznie przewy szaj¹ naprê enia w po³¹czeniu po zmontowaniu. Zaproponowana metoda obliczeñ z du ¹ dok³adnoœci¹ okreœla wartoœæ tych naprê eñ. Poprawnoœæ rozwa- añ zweryfikowano analiz¹ numeryczn¹. S³owa kluczowe: po³¹czenia skurczowe, bilans cieplny, naprê enia termiczne ASSEMBLING STRESSES FOR CONTRACT PRESS-FIT IN TRANSITION CONDITIONS In this paper the method of calculating contract press-fit, based on thermal balance was presented. It was indicated that in certain conditions, stresses during assembling contract press-fit are much higher than after mounting. Proposed calculation method determines, with high accuracy the maximum value of these stresses. Correctness of presented method was verified by numerical analysis. Keywords: contract press-fit connection, thermal balance, thermal stresses 1. WSTÊP Obliczenia wytrzyma³oœciowe po³¹czeñ skurczowych prowadzi siê zwykle przy za³o eniu ustalonego jednorodnego pola temperatur w warunkach koñcowych, po powrocie do znamionowej temperatury pracy po³¹czenia. W rzeczywistoœci, w trakcie monta u wystêpuje w obu elementach niestacjonarne, gradientowe pole temperatur, powoduj¹ce powstanie naprê eñ termicznych w ka dym z elementów, rzutuj¹ce na ich wzajemn¹ wspó³pracê. Oprócz zjawisk zwi¹zanych z gradientem pola temperatur, w pewnym momencie wystêpuje stan quasi-ustalony, charakteryzuj¹cy siê w przybli eniu wyrównaniem temperatur obu cia³ na poziomie wy szym ni temperatura pracy ustalonej. W szczególnoœci wykazaæ wówczas mo na, e przy odpowiedniej kombinacji materia- ³ów czopa i piasty oraz ich stosunków wymiarowych, ciœnienie miêdzy nimi osi¹gnie wy sz¹ wartoœæ, ni okreœla to tradycyjna metoda obliczeniowa tego typu po³¹czeñ. W przypadku po³¹czeñ silnie obci¹ onych, w których zak³ada siê, e naprê enia po zmontowaniu bliskie s¹ granicy plastycznoœci, w trakcie monta u mo e dojœæ do miejscowego uplastycznienia materia³u, a w rezultacie czêœciowej relaksacji naprê eñ i zmniejszenia obci¹ alnoœci z³¹cza b¹dÿ te pêkniêcia dla materia³ów kruchych. Za przyk³ad do analizy wybrano po³¹czenie skurczowe eliwnej piasty ze stalowym czopem (rys. 1) ze wzglêdu na to, e œredni wspó³czynnik rozszerzalnoœci liniowej dla eliwa jest prawie dwukrotnie ni szy ni dla stali. Dane materia³owe: Modu³ Younga: E 1 =, MPa, E = MPa. Liczba Poissona: ν 1 = 0,3, ν = 0,5. Wspó³czynnik przewodzenia ciep³a: λ 1 = 0,04 W/(mm K), λ = 0,05 W/(mm K). Ciep³o w³aœciwe: c 1 = 480 J/(kg K), c = 540 J/(kg K). Gêstoœæ: ρ 1 = 7830 kg/m 3, ρ = 750 kg/m 3. Wspó³czynnik rozszerzalnoœci liniowej: α 1 = K 1, α = K 1. Temperatura pocz¹tkowa piasty: T 0 = 673 K, temperatura pocz¹tkowa czopa: T 10 = 93 K.. NAPRÊ ENIA W PO CZENIU W STANIE USTALONYM (METODA TRADYCYJNA) Obliczenie wspó³czynników wydr¹ enia: Rys. 1. Szkic po³¹czenia: b mm; d w mm; d s mm; D mm d d ; s x = =. D w 1 x ds * Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie, Zak³ad Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn ** Pracê zrealizowano w ramach dzia³alnoœci statutowej nr

2 Krzysztof MICHALCZYK WYZNACZENIE NAPRÊ EÑ MONTA OWYCH DLA PO CZEÑ SKURCZOWYCH... Ciœnienie po z³¹czeniu elementów wyniesie [1] gdzie: Wnom ( Rz1+ Rz) + ( α1δt1 αδt) d p s = k ( 1 ν 1 k r +ν s + ) E1 E 1+ x1 k1 =, 1 x 1 1+ x k =. 1 x Dla uproszczenia przyjmujemy, e powierzchnie styku s¹ idealnie g³adkie Rz1 = Rz = 0μm. Zak³adamy równie, e w pierwszej chwili monta u œrednice styku obu elementów s¹ sobie równe a wiêc wcisk nominalny W nom = 0 mm. Wcisk pochodz¹cy od zmian temperatur wyniesie: ( αδ 1 T1 αδ T)r s = 0,684 mm. Podstawiaj¹c powy sze dane do (1) otrzymamy p = 6,615 MPa. Z teorii Lamego wiadomo, e najwiêksze naprê enia radialne wyst¹pi¹ na powierzchniach styku, natomiast najwiêksze naprê enia obwodowe na wewnêtrznych powierzchniach pierœcieni, zatem: naprê enia radialne: σ r1 = σ r = p = 6,615 MPa () naprê enia obwodowe: σ ϕ1 = p(1 + k1) = 147,846 MPa (3) σ ϕ = p k = 80,096 MPa (4) naprê enia zredukowane wed³ug hipotezy Hubera-Misesa-Hencky ego dla wewnêtrznej powierzchni piasty [3] 1 σ red = ( σr σ ϕ) + ( σϕ σ z ) + ( σz σ r ) (5) σ red = 94,31 MPa. (1) 3. MAKSYMALNE NAPRÊ ENIA MONTA OWE DLA PRZYPADKU POMIJALNIE MA EJ UTRATY CIEP A DO OTOCZENIA, DO CZASU WYRÓWNANIA SIÊ TEMPERATUR OBU CIA W warunkach rzeczywistych równoczeœnie zachodzi zjawisko wyrównywania temperatur obu cia³ i utrata ciep³a do otoczenia. Szczególnie niekorzystnym przypadkiem jest sytuacja, w której wyrównywanie temperatur obu cia³ zachodzi przy pomijalnych stratach ciep³a do otoczenia. Wówczas bilans energetyczny uk³adu zapisaæ mo na w postaci: ( ) Tmc Tmc= Tk mc 1 1+ mc, T k gdzie: Tmc = + T m c mc 11+ mc m1 =ρ 1Ab 1 ; m =ρab, ( s w ) ( s ) A1 =π r r ; A =π R r. St¹d: T = 437 K = 164 C, k Δ T1 = Tk T10 = = 144 K, o Δ T = Tk T0 = = 36 K., Swobodna zmiana œrednicy styku d s (tj. taka, która wyst¹pi³aby pod wp³ywem zmian temperatur obu cia³ przy braku ich wzajemnego, mechanicznego oddzia³ywania) dla czopa i piasty pod wp³ywem powy szych zmian temperatury wynios³aby ( αδ 1 T1 αδ T)r s = 0,8856 mm. St¹d: p = 34,460 MPa, naprê enia radialne σ r1 = σ r = p = 34, 460 MPa, naprê enia obwodowe: σ ϕ1 = p(1 + k1) = 191, 453 MPa, σ ϕ = p k = 36,657 MPa, naprê enia zredukowane wed³ug hipotezy Hubera Misesa Hencky ego dla wewnêtrznej powierzchni piasty σ red = 381,06 MPa. 06

3 MECHANICS Vol. 4 No Jak widaæ z wymienionych wartoœci, naprê enia w elementach ³¹czonych w trakcie monta u, przy za³o eniu, e pomijalnie ma³a jest wymiana ciep³a uk³adu z otoczeniem do momentu wyrównania temperatur pomiêdzy czopem i piast¹, s¹ o oko³o 30% wy sze ni po zmontowaniu. Poniewa proponowany tok obliczeñ stanowi oszacowanie od góry naprê eñ w okresie przejœciowym (ze wzglêdu na pominiêcie strat ciep³a do otoczenia), a ponadto zastosowany aparat teorii Lamego nie pozwala na uwzglêdnienie naprê eñ termicznych pochodz¹cych od gradientowego pola temperatur, weryfikacjê powy szej zale noœci przeprowadzimy metod¹ elementów skoñczonych. 4. ANALIZA METOD ELEMENTÓW SKOÑCZONYCH Przed przyst¹pieniem do analizy za³o ono, e monta po³¹czenia przebiega w pomieszczeniu zamkniêtym, czynnikiem ch³odz¹cym jest powietrze o temperaturze 0 o C. Dla takich warunków mo na przyj¹æ orientacyjnie wartoœæ wspó³czynnika wnikania ciep³a α = 0 W/(m K). wnik Ze wzglêdu na skrócenie czasu obliczeñ zanalizowano jedn¹ czwart¹ po³¹czenia, uzupe³nion¹ o odpowiednie warunki brzegowe (symetria) (rys. ). Analiza po³¹czenia zosta³a przeprowadzona dwuetapowo. W pierwszym etapie zasymulowano warunki monta u i program wygenerowa³ rozk³ad temperatur w elementach jako funkcjê czasu. Drugi etap stanowi³ szereg analiz statycznych naprê eñ, powsta³ych na skutek gradientów temperatur i ró nicy w wartoœciach wspó³czynników rozszerzalnoœci liniowej. W analizie termicznej za warunki pocz¹tkowe przyjêto temperatury czopa i piasty ( kolejno 0 o C i 400 o C), natomiast obci¹ eniem by³a konwekcja na zewnêtrznych powierzchniach piasty i czopa. D³ugoœæ czasu trwania analizy termicznej dobrano wstêpnie na 1800 s, a wartoœæ œredniego kroku czasowego na 0 s. Wyniki analizy zapisano w osobnym pliku. Nastêpnie przeprowadzono drug¹ analizê, trwaj¹c¹ 600 s o œrednim kroku czasowym 5 s. Ostatnia analiza trwa³a 00 s, a kroki czasowe skrócono do s, gdy w tym okresie naprê enia powinny zmieniaæ siê najszybciej. Najwy sza, jednorodna temperatura w ca³ym uk³adzie wyst¹pi³a oko³o 74 sekundy procesu och³adzania i wynios³a, z dok³adnoœci¹ do 1 K, oko³o T k = 15 o C, co widaæ na wykresie konturowym (rys. 3). W drugim etapie analizy numerycznej zbadano stan naprê eñ zredukowanych (HMH) dla wybranych kroków czasowych. Celem weryfikacji poprawnoœci wyników zbudowano nowy model rozwa anego po³¹czenia o siatce elementów skoñczonych dwukrotnie gêstszej w kierunku promieniowym. Model ten przedstawiono na rysunku 4. Rys.. Siatka elementów skoñczonych na modelu po³¹czenia (siatka A) 07

4 Krzysztof MICHALCZYK WYZNACZENIE NAPRÊ EÑ MONTA OWYCH DLA PO CZEÑ SKURCZOWYCH... Rys. 3. Rozk³ad temperatur w ³¹czonych elementach po czasie t = 73,63 s, temperatura maksymalna: T max =15,474 o C, temperatura minimalna: T min =151,51 o C Rys. 4. Zagêszczona siatka elementów skoñczonych na modelu po³¹czenia (siatka B) 08

5 MECHANICS Vol. 4 No Naprê enia HMH maksymalne naprê enia [MPa] czas [s] siatka A siatka B Rys. 5. Naprê enia maksymalne zredukowane w funkcji czasu Na modelu tym przeprowadzono analogiczne analizy. Naprê enia zredukowane maksymalne w funkcji czasu dla obydwu modeli przedstawiono na rysunku 5. Na wykresie lini¹ ci¹g³¹ oznaczono wyniki analiz dla modelu o zagêszczonej siatce, a lini¹ przerywan¹ wyniki z analiz modelu pierwotnego. Rozbie noœci w wartoœciach naprê eñ poza pierwszymi kilku sekundami s¹ prawie niezauwa alne, co potwierdza poprawnoœæ wykonania modeli. Ró nice wystêpuj¹ce na samym pocz¹tku spowodowane s¹ gwa³townymi zmianami temperatur na gruboœci elementów, a wiêc du- ymi gradientami. W pierwszych sekundach rzeczywiste zmiany rozk³adów temperatur zale ¹ od takich czynników, jak chropowatoœæ powierzchni, luzu œrednicowego, odchy³ki walcowoœci i prêdkoœci nasuwania piasty na czop. W rzeczywistoœci zagadnienie nieustalonej wymiany ciep³a na styku dwóch elementów jest bardzo z³o one. W niniejszej pracy zagadnienia te zostan¹ pominiête i bêd¹ przedmiotem dalszych badañ. Teza postawiona na pocz¹tku pracy, i dla odpowiedniej kombinacji materia³ów, w trakcie monta u po³¹czenia wciskowego metod¹ skurczow¹ wyst¹pi¹ wy sze naprê enia ni w po³¹czeniu ju zmontowanym, zosta³a potwierdzona. Co wiêcej, okaza³o siê, e zaproponowana analityczna metoda obliczeñ sprawdzaj¹cych stan naprê eñ daje wyniki bardzo zbli one do wyników symulacji. Jak widaæ na rysunku 6, maksymalne naprê enia zredukowane wyst¹pi³y na wewnêtrznej powierzchni piasty i osi¹gnê- ³y wartoœæ σ red = 384,17 MPa. Naprê enia te s¹ wy sze o ponad 30% od obliczonych w punkcie pierwszym i prawie identyczne ( ró nica 0,8% ) z obliczonymi w punkcie drugim. Rys. 6. Rozk³ad naprê eñ zredukowanych HMH w po³¹czeniu po czasie 53,63 s 09

6 Krzysztof MICHALCZYK WYZNACZENIE NAPRÊ EÑ MONTA OWYCH DLA PO CZEÑ SKURCZOWYCH... Rys. 7. Rozk³ad naprê eñ zredukowanych HMH, dla temperatury wynosz¹cej 0 o C w ca³ym po³¹czeniu Na rysunku 7 przedstawiono rozk³ad naprê eñ zredukowanych w po³¹czeniu po ca³kowitym ostygniêciu elementów do 0 o C. Powy szy wykres konturowy pokazuje, e nawet po zmontowaniu naprê enia zredukowane mog¹ osi¹gn¹æ wy- sze wartoœci, ni wynika to z równania (1). Ró nica ta spowodowana jest wystêpowaniem tarcia pomiêdzy ³¹czonymi elementami. 5. PODSUMOWANIE Projektowanie po³¹czeñ wciskowych obecnie opiera siê na teorii cylindrów gruboœciennych. Wzory wynikaj¹ce z tej teorii i bêd¹ce rozwi¹zaniem zagadnienia Lamego pozwalaj¹ znaleÿæ, przy zachowaniu pewnych upraszczaj¹cych za³o eñ, rozk³ady naprê eñ pochodz¹cych od zadanego ciœnienia na powierzchniach cylindrów. W praktyce in ynierskiej jednak nie wszystkie za³o enia poczynione przez Lamego mog¹ byæ spe³nione. W przypadku po³¹czeñ wt³aczanych niespe³nione s¹ za³o enia o niezmiennie pierœcieniowym przekroju czopa i piasty i pomijalnie ma³ych naprê eniach osiowych. Wynika to z faktu, i w trakcie wt³aczania wystêpuj¹ du e naprê enia poosiowe, a rozk³ad odkszta³ceñ promieniowych na d³ugoœci po³¹czenia równie ulega zmianie. W przypadku po³¹czeñ skurczowych lub rozprê nych i du ych stosunków d³ugoœci do œrednicy po³¹czenia, naprê enia poosiowe (w piaœcie rozrywaj¹ce, a w czopie œciskaj¹ce) równie mog¹ osi¹gaæ znacz¹ce wartoœci, z uwagi na wystêpowanie tarcia. W niniejszej pracy udowodniono, e w pewnych przypadkach stosowanie standardowych metod obliczeniowych dla po³¹czeñ skurczowych przyniesie wyniki obarczone du ym b³êdem. Co wiêcej, b³¹d ten nie zwiêkszy zapasu bezpieczeñstwa, lecz go zmniejszy. Zwa ywszy na fakt, e w przedstawionym w artykule przyk³adzie naprê enia zredukowane w trakcie monta u okaza³y siê wy sze od naprê eñ w stanie ustalonym, uzasadnione jest w pewnych przypadkach obliczanie bilansu cieplnego uk³adu, na podstawie którego mo - na oszacowaæ od góry (z pominiêciem strat ciep³a do otoczenia) maksymalne naprê enia powstaj¹ce w ³¹czonych elementach. Szczególnie dotyczy to po³¹czeñ skurczowych b¹dÿ rozprê nych silnie obci¹ onych. Literatura [1] Ryœ J.: Podstawy konstrukcji maszyn. Kraków, Wyd. Polit. Krak. 1999, ISBN [] Walczak J.: Wytrzyma³oœæ materia³ów oraz podstawy teorii sprê- ystoœci i plastycznoœci, t.. Warszawa, PWN 1971 [3] Lisowski A., Siemieniec A.: Wytrzyma³oœæ materia³ów przyk³ady obliczeñ zadania. Warszawa-Kraków, PWN 1975 [4] Krukowski A., Tutaj J.: Po³¹czenia odkszta³ceniowe. Warszawa, PWN 1987, ISBN X [5] Pietrzyk W.: Po³¹czenia w konstrukcji maszyn. Poznañ, Wydawnictwo Politechniki Poznañskiej 1985 [6] Ma³y Poradnik Mechanika, t. 1. Warszawa, WNT 1984, ISBN [7] PN-75/H-8404 [8] Œroda P., Pacyna J.: Analiza naprê eñ w koszulkach walców oporowych walcowni blach. Hutnik Wiadomoœci Hutnicze,