Wymagania edukacyjne

Transkrypt

1 Wymagania edukacyjne RZEDMIOT: Matematyka-zakres rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne (na ocenę dopuszczający); wymagania podstawowe (na ocenę dostateczny); R wymagania rozszerzające (na ocenę dobry); D wymagania dopełniające (na ocenę bardzo dobry); W wymagania wykraczające (na ocenę celujący) Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia LICZBY RZECZYWISTE 1. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej cechy podzielności liczb naturalnych definicja liczby parzystej i nieparzystej rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze znajdowanie NWD i NWW twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych podaje dzielniki danej liczby naturalnej przedstawia liczbę naturalną w postaci iloczynu liczb pierwszych oblicza NWD i NWW dwóch liczb naturalnych przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb, np. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n 2 + n jest parzysta R D W

2 2. Liczby całkowite. Liczby wymierne definicja liczby całkowitej definicja liczby wymiernej oś liczbowa kolejność wykonywania działań 3. Liczby niewymierne definicja liczby niewymiernej konstruowanie odcinków o długościach niewymiernych 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej postać dziesiętna liczby rzeczywistej metoda przedstawiania ułamków zwykłych w postaci dziesiętnej metoda przedstawiania ułamków dziesiętnych w postaci ułamków zwykłych rozpoznaje liczby całkowite i liczby wymierne wśród podanych liczb podaje przykłady liczb całkowitych i wymiernych odczytuje z osi liczbowej współrzędną danego punktu i odwrotnie: zaznacza punkt o podanej współrzędnej na osi liczbowej wykonuje działania na liczbach wymiernych wskazuje liczb liczby niewymierne wśród podanych konstruuje odcinki o długościach niewymiernych zaznacza na osi liczbowej punkt odpowiadający liczbie niewymiernej wykazuje, dobierając odpowiednio przykłady, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie musi być liczbą niewymierną dowodzi niewymierności liczby 2 dowodzi niewymierności innych liczb, np. 3, 3 1 wskazuje liczby wymierne oraz niewymierne wśród liczb podanych w postaci dziesiętnej wyznacza rozwinięcie dziesiętne ułamków zwykłych zamienia skończone rozwinięcia dziesiętne na ułamki zwykłe przedstawia ułamki dziesiętne okresowe w postaci ułamków zwykłych R W

3 5. ierwiastek z liczby nieujemnej 6. ierwiastek nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej 7. otęga o wykładniku całkowitym definicja pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej definicja pierwiastka trzeciego stopnia z liczby nieujemnej definicja pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej działania na pierwiastkach definicja pierwiastka trzeciego stopnia z liczby rzeczywistej definicja pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej działania na pierwiastkach definicja potęgi o wykładniku naturalnym definicja potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym twierdzenia o działaniach na potęgach 8. Notacja wykładnicza definicja notacji wykładniczej sposób zapisywania małych i dużych liczb w notacji wykładniczej działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej oblicza wartość pierwiastka drugiego i trzeciego stopnia z liczby nieujemnej oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej wyłącza czynnik przed znak pierwiastka włącza czynnik pod znak pierwiastka wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki, stosując prawa działań na pierwiastkach oblicza wartość pierwiastka trzeciego stopnia z liczby rzeczywistej oblicza wartość pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb rzeczywistych, stosując prawa działań na pierwiastkach oblicza wartość potęgi liczby o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do obliczania wartości wyrażeń stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do upraszczania wyrażeń algebraicznych zapisuje i odczytuje liczbę w notacji wykładniczej wykonuje działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej

4 9. rzybliżenia reguła zaokrąglania przybliżanie z nadmiarem i z niedomiarem błąd przybliżenia 10. rocenty pojęcie procentu pojęcie punktu procentowego 11. owtórzenie wiadomości 12. raca klasowa i jej omówienie JĘZY MATEMATYI 1. Zbiory sposoby opisywania zbiorów zbiory skończone i nieskończone zbiór pusty definicja podzbioru relacja zawierania zbiorów zapis symboliczny zbioru zaokrągla liczbę z podaną dokładnością oblicza błąd przybliżenia danej liczby oraz ocenia, czy jest to przybliżenie z nadmiarem, czy z niedomiarem szacuje wyniki działań oblicza procent danej liczby interpretuje pojęcia procentu i punktu procentowego oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent zmniejsza i zwiększa liczbę o dany procent stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych dotyczących płac, podatków, rozliczeń bankowych posługuje się pojęciami: zbiór, podzbiór, zbiór pusty, zbiór skończony, zbiór nieskończony wymienia elementy danego zbioru oraz elementy do niego nienależące opisuje słownie i symbolicznie dany zbiór określa relację zawierania zbiorów D

5 2. Działania na zbiorach iloczyn zbiorów suma zbiorów różnica zbiorów dopełnienie zbioru 3. rzedziały określenie przedziałów: otwartego, domkniętego, lewostronnie domkniętego, prawostronnie domkniętego, nieograniczonego zapis symboliczny przedziałów posługuje się pojęciami: iloczyn, suma oraz różnica zbiorów wyznacza iloczyn, sumę oraz różnicę danych zbiorów przedstawia na diagramie zbiór, który jest wynikiem działań na trzech dowolnych zbiorach wyznacza dopełnienie zbioru formułuje i uzasadnia hipotezy dotyczące praw działań na zbiorach rozróżnia pojęcia: przedział otwarty, domknięty, lewostronnie domknięty, prawostronnie domknięty, nieograniczony zapisuje przedział i zaznacza go na osi liczbowej odczytuje i zapisuje symbolicznie przedział zaznaczony na osi liczbowej wyznacza przedział opisany podanymi nierównościami wymienia liczby należące do przedziału spełniające zadane warunki 4. Działania na przedziałach iloczyn, suma, różnica przedziałów wyznacza iloczyn, sumę i różnicę przedziałów oraz zaznacza je na osi liczbowej wyznacza iloczyn, sumę i różnicę różnych zbiorów liczbowych oraz zapisuje je symbolicznie R W

6 5. Rozwiązywanie nierówności 6. Wzory skróconego mnożenia 7. Zastosowanie przekształceń algebraicznych nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nierówności równoważne wzory skróconego mnożenia (a b)² oraz a² b² wzory skróconego mnożenia (a b)³ oraz a³ b³ zastosowanie przekształceń algebraicznych do przekształcania równoważnego równań i nierówności usuwanie niewymierności z mianownika 8. Wartość bezwzględna definicja wartości bezwzględnej interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem nierówności rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą zapisuje zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału stosuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym stosuje odpowiedni wzór skróconego mnożenia do wyznaczenia kwadratu sumy lub różnicy oraz różnicy kwadratów przekształca wyrażenie algebraiczne z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania działań na a b liczbach postaci wyprowadza wzory skróconego mnożenia usuwa niewymierność z mianownika ułamka c stosuje przekształcenia algebraiczne do przekształcenia równoważnego równań oraz nierówności usuwa niewymierność z mianownika ułamka oblicza wartość bezwzględną danej liczby upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną rozwiązuje, stosując interpretację geometryczną, elementarne równania i nierówności z wartością bezwzględną R R R D

7 9. Własności wartości bezwzględnej 10. Równania i nierówności z wartością bezwzględną 11. Błąd bezwzględny i błąd względny własności wartości bezwzględnej stosuje podstawowe własności wartości bezwzględnej korzystając z własności wartości bezwzględnej, rozwiązuje proste równania i nierówności z wartością bezwzględną korzystając z własności wartości bezwzględnej, upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną metody rozwiązywania równań i nierówności z wartością rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, stosując bezwzględną interpretację geometryczną rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, stosując definicję oraz własności wartości bezwzględnej określenie błędu bezwzględnego i błędu względnego przybliżenia rozróżnia pojęcia: błąd bezwzględny, błąd względny przybliżenia oblicza błąd bezwzględny oraz błąd względny przybliżenia liczby 12. owtórzenie wiadomości 13. raca klasowa i jej omówienie FUNCJA LINIOWA 1. Sposoby opisu funkcji definicja funkcji sposoby opisywania funkcji definicja miejsca zerowego stosuje pojęcia: funkcja, argument, dziedzina, wartość funkcji, wykres funkcji, miejsce zerowe funkcji rozpoznaje wśród danych przyporządkowań te, które opisują funkcje podaje przykłady funkcji opisuje funkcję różnymi sposobami R R R R

8 2. Wykres funkcji liniowej definicja funkcji liniowej wykres funkcji liniowej rozpoznaje funkcję liniową, mając dany jej wzór oraz szkicuje jej interpretacja geometryczna wykres współczynników występujących we wzorze funkcji liniowej interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej i wskazuje wśród danych wzorów funkcji liniowych te, pojęcia: pęk prostych, środek pęku których wykresy są równoległe podaje własności funkcji liniowej danej wzorem wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia zadane warunki, np. jest równoległy do wykresu danej funkcji liniowej 3. Własności funkcji liniowej własności funkcji liniowej wyznacza miejsce zerowe i określa monotoniczność funkcji liniowej danej wzorem wyznacza współrzędne punktów, w których wykres funkcji liniowej przecina osie układu współrzędnych oraz podaje, w których ćwiartkach układu znajduje się wykres wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja ma określone własności 4. Równanie prostej na równanie kierunkowe prostej płaszczyźnie równanie ogólne prostej podaje równanie kierunkowe i ogólne prostej zamienia równanie ogólne prostej, która nie jest równoległa do osi OY, na równanie w postaci kierunkowej wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty rysuje prostą opisaną równaniem ogólnym wyznacza wartości parametru, dla których prosta spełnia określone warunki

9 5. Współczynnik kierunkowy prostej 6. Warunek prostopadłości prostych 7. Układy równań liniowych współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty interpretacja geometryczna współczynnika kierunkowego warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej prostej metody algebraiczne rozwiązywania układów równań liniowych definicja układu równań oznaczonego, sprzecznego, nieoznaczonego oblicza współczynnik kierunkowy prostej, mając dane współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej szkicuje prostą, wykorzystując interpretację współczynnika kierunkowego odczytuje wartość współczynnika kierunkowego, mając dany wykres; w przypadku wykresu zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnym podaje wartość prędkości wyprowadza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty podaje warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt wyznacza wartości parametru, dla których proste są prostopadłe uzasadnia warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych rozwiązuje układ równań metodą podstawiania i przeciwnych współczynników określa typ układu równań (czy dany układ równań jest układem oznaczonym, nieoznaczanym, czy sprzecznym) układa i rozwiązuje układ równań do zadania z treścią rozwiązuje układ trzech równań z trzema niewiadomymi R D D

10 8. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych 9. Układy nierówności liniowych 10. Funkcja liniowa zastosowania interpretacja geometryczna układu oznaczonego, sprzecznego i nieoznaczonego interpretacja geometryczna nierówności z dwiema niewiadomymi pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej ilustracja geometryczna układu nierówności tworzenie modelu matematycznego opisującego przedstawione zagadnienie praktyczne interpretuje geometrycznie układ równań rozwiązuje układ równań metodą graficzną wykorzystuje związek między liczbą rozwiązań układu równań a położeniem prostych rozwiązuje układ równań z parametrem oraz określa jego typ w zależności od wartości parametru rozwiązuje graficznie układ równań z wartością bezwzględną interpretuje geometrycznie nierówności z dwiema niewiadomymi oraz pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi zapisuje układ nierówności opisujący zbiór punktów przedstawionych w układzie współrzędnych rozwiązuje graficznie układ kilku nierówności z dwiema niewiadomymi wyznacza w układzie współrzędnych iloczyn, sumę i różnicę zbiorów punktów opisanych nierównościami liniowymi z dwiema niewiadomymi przeprowadza analizę zadania z treścią, a następnie zapisuje odpowiednie równanie, nierówność liniową lub wzór funkcji liniowej rozwiązuje ułożone przez siebie równanie, nierówność lub analizuje własności funkcji liniowej przeprowadza analizę wyniku i podaje odpowiedź R W D D

11 11. owtórzenie wiadomości 12. raca klasowa i jej omówienie FUNCJE 1. Dziedzina i miejsca zerowe funkcji 2. Szkicowanie wykresu funkcji dziedzina funkcji opisanej wzorem definicja miejsca zerowego funkcji wyznacza dziedzinę funkcji opisanej wzorem wyznacza miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem wykres funkcji szkicuje wykres funkcji określonej nieskomplikowanym wzorem szkicuje wykres funkcji przedziałami liniowej 3. Monotoniczność funkcji definicje: funkcji rosnącej, malejącej i stałej pojęcie monotoniczności funkcji definicje: funkcji nierosnącej i niemalejącej pojęcie funkcji przedziałami monotonicznej 4. Odczytywanie własności funkcji z wykresu zbiór wartości funkcji interpretacja geometryczna miejsca zerowego funkcji największa i najmniejsza wartość funkcji znak wartości funkcji stosuje pojęcie funkcji monotonicznej (rosnącej, malejącej, stałej, niemalejącej, nierosnącej) na podstawie wykresu funkcji określa jej monotoniczność rysuje wykres funkcji o zadanych kryteriach monotoniczności bada na podstawie definicji monotoniczność funkcji określonej wzorem stosuje pojęcia: zbiór wartości funkcji, największa i najmniejsza wartość funkcji odczytuje z wykresu funkcji jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie; przedziały monotoniczności funkcji, najmniejszą i największą wartość funkcji R D D

12 5. rzesuwanie wykresu wzdłuż osi OY 6. rzesuwanie wykresu wzdłuż osi OX 7. Wektory w układzie współrzędnych 8. rzesuwanie wykresu o wektor 9. rzekształcanie wykresu przez symetrię względem osi układu współrzędnych 10. Inne przekształcenia wykresu metoda otrzymywania wykresów funkcji y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) q dla q > 0 metoda otrzymywania wykresów funkcji y = f(x p) dla p 0 oraz y = f(x + p) dla p 0 pojęcie wektora wektor przeciwny do danego współrzędne wektora i ich interpretacja geometryczna metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x p) + q metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x) metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f( x) metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x) i y = f( x ) rysuje wykresy funkcji: y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) q dla q 0 rysuje wykresy funkcji: y = f(x p) dla p > 0 oraz y = f(x + p) dla p > 0 posługuje się pojęciem wektora i wektora przeciwnego oblicza współrzędne wektora wyznacza współrzędne początku lub końca wektora, mając dane współrzędne wektora i współrzędne jednego z punktów znajduje obraz figury w przesunięciu o dany wektor szkicuje wykres funkcji y = f(x p) + q zapisuje wzór funkcji otrzymanej w wyniku danego przesunięcia szkicuje wykresy funkcji y = f(x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f( x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x) i y = f( x ) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonania kilku operacji R R R R

13 11. Funkcje zastosowania 12. owtórzenie wiadomości 13. raca klasowa i jej omówienie FUNCJA WADRATOWA 1. Wykres funkcji f(x) = ax 2 wykres i własności funkcji f(x) = ax 2, gdzie a 0 2. rzesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax 2 o wektor funkcje w sytuacjach praktycznych rozpoznaje zależność funkcyjną umieszczoną w kontekście praktycznym, określa dziedzinę oraz zbiór wartości takiej funkcji przedstawia zależności opisane w zadaniach z treścią w postaci wzoru lub wykresu metoda otrzymywania wykresów 2 funkcji: f ( x) ax q, f ( x) a f ( x) a 2 x p, 2 x p q 2 własności funkcji: f ( x) ax q, f ( x) a f ( x) a 2 x p, 2 x p q współrzędne wierzchołka paraboli szkicuje wykres funkcji f(x) = ax 2 podaje własności funkcji f(x) = ax 2 stosuje własności funkcji f(x) = ax 2 do rozwiązywania zadań szkicuje wykresy funkcji: f ( x) 2 ax q, f ( x) a x p 2 x p q f ( x) a i podaje ich własności 2 stosuje własności funkcji: f ( x) ax q, 2 x p q 2, 2 f ( x) ax p, f ( x) a do rozwiązywania zadań R

14 3. ostać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej postać ogólna funkcji kwadratowej postać kanoniczna funkcji kwadratowej trójmian kwadratowy współrzędne wierzchołka paraboli rysowanie wykresu funkcji kwadratowej postaci f ( x) ax 2 bx c wyróżnik trójmianu kwadratowego podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej oblicza współrzędne wierzchołka paraboli przekształca postać ogólną funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej (z zastosowaniem uzupełniania do kwadratu lub wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli) i szkicuje jej wykres przekształca postać kanoniczną funkcji kwadratowej do postaci ogólnej wyznacza wzór ogólny funkcji kwadratowej mając dane współrzędne wierzchołka i innego punktu jej wykresu wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli 4. Równania kwadratowe metoda rozwiązywania równań przez rozkład na czynniki zależność między znakiem wyróżnika a liczbą rozwiązań równania kwadratowego wzory na pierwiastki równania kwadratowego interpretacja geometryczna rozwiązań równania kwadratowego stosuje wzory skróconego mnożenia oraz zasadę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias do przedstawienia wyrażenia w postaci iloczynu rozwiązuje równanie kwadratowe przez rozkład na czynniki rozwiązuje równania kwadratowe, korzystając z poznanych wzorów interpretuje geometrycznie rozwiązania równania kwadratowego stosuje poznane wzory przy szkicowaniu wykresu funkcji kwadratowej R R

15 5. ostać iloczynowa funkcji kwadratowej 6. Równania sprowadzalne do równań kwadratowych definicja postaci iloczynowej funkcji kwadratowej twierdzenie o postaci iloczynowej funkcji kwadratowej rozwiązywanie równań metodą podstawiania 7. Nierówności kwadratowe metoda rozwiązywania nierówności kwadratowych definiuje postać iloczynową funkcji kwadratowej i warunek jej istnienia zapisuje funkcję kwadratową w postaci iloczynowej odczytuje wartości pierwiastków trójmianu podanego w postaci iloczynowej przekształca postać iloczynową funkcji kwadratowej do postaci ogólnej wykorzystuje postać iloczynową funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań rozpoznaje równania, które można sprowadzić do równań kwadratowych wprowadza niewiadomą pomocniczą, podaje odpowiednie założenia i rozwiązuje równanie kwadratowe z niewiadomą pomocniczą podaje rozwiązanie równania pierwotnego rozumie związek między rozwiązaniem nierówności kwadratowej a znakiem wartości odpowiedniego trójmianu kwadratowego rozwiązuje nierówność kwadratową wyznacza na osi liczbowej iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązań kilku nierówności kwadratowych R

16 8. Układy równań sposoby rozwiązywania układów równań drugiego stopnia 9. Wzory Viète a wzory Viète a określenie znaku pierwiastków równania kwadratowego bez ich wyznaczania 10. Równania kwadratowe z parametrem 11. Funkcja kwadratowa zastosowania rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym rozwiązuje algebraicznie i graficznie układy równań, z których co najmniej jedno jest równaniem paraboli stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej zaznacza w układzie współrzędnych obszar opisany układem nierówności stosuje wzory Viète a do wyznaczania sumy oraz iloczynu pierwiastków równania kwadratowego (o ile istnieją) określa znaki pierwiastków równania kwadratowego, wykorzystując wzory Viète a stosuje wzory Viète a do obliczania wartości wyrażeń zawierających sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego wyprowadza wzory Viète a przeprowadza analizę zadań z parametrem zapisuje założenia, aby zachodziły warunki podane w treści zadania wyznacza te wartości parametru, dla których są spełnione warunki zadania stosuje pojęcie najmniejszej i największej wartości funkcji wyznacza wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym stosuje własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych D W W D D

17 12. owtórzenie wiadomości 13. raca klasowa i jej omówienie LANIMETRIA 1. Miary kątów w trójkącie klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie 2. Trójkąty przystające definicja trójkątów przystających cechy przystawania trójkątów nierówność trójkąta 3. Trójkąty podobne definicja wielokątów podobnych cechy podobieństwa trójkątów skala podobieństwa 4. Wielokąty podobne zależność między polami i obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa klasyfikuje trójkąty ze względu na miary ich kątów stosuje twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta do rozwiązywania zadań przeprowadza dowód twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie podaje definicję trójkątów przystających oraz cechy przystawania trójkątów wskazuje trójkąty przystające stosuje nierówność trójkąta do rozwiązywania zadań podaje cechy podobieństwa trójkątów sprawdza, czy dane trójkąty są podobne oblicza długości boków trójkąta podobnego do danego w danej skali układa odpowiednią proporcję, aby wyznaczyć długości brakujących boków trójkątów podobnych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania zadań rozumie pojęcie figur podobnych oblicza długości boków w wielokątach podobnych wykorzystuje zależności między polami i obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań R D R R W R D

18 5. Twierdzenie Talesa twierdzenie Talesa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa 6.Trójkąty prostokątne twierdzenie itagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia itagorasa wzory na długość przekątnej kwadratu i długość wysokości trójkąta równobocznego 7. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego 8. Trygonometria zastosowania definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º odczytywanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów w tablicach odczytywanie miary kąta, dla którego dana jest wartość funkcji trygonometrycznej podaje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa wykorzystuje twierdzenie Talesa do rozwiązywania zadań wykorzystuje twierdzenie Talesa do podziału odcinka w podanym stosunku przeprowadza dowód twierdzenia Talesa podaje twierdzenie itagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia itagorasa oraz wzory na długość przekątnej kwadratu i długość wysokości trójkąta równobocznego stosuje twierdzenie itagorasa do rozwiązywania zadań korzystając z twierdzenia itagorasa, wyprowadza zależności ogólne, np. dotyczące długości przekątnej kwadratu i wysokości trójkąta równobocznego podaje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30º, 45º, 60º wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych danego trójkąta prostokątnego wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w bardziej złożonych sytuacjach odczytuje wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta w tablicach lub wartości kąta na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań praktycznych D W

19 9. Rozwiązywanie trójkątów rozwiązywanie trójkątów prostokątnych prostokątnych rozwiązuje trójkąty prostokątne D 10. Związki między funkcjami podstawowe tożsamości trygonometrycznymi trygonometryczne podaje związki między funkcjami trygonometrycznymi tego wzory na: sin(90º α), samego kąta cos(90º α), tg(90º α), ctg(90º α) wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy dana jest jedna z nich stosuje poznane związki do upraszczania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne uzasadnia związki między funkcjami trygonometrycznymi 11. ole trójkąta wzory na pole trójkąta 1 1 podaje różne wzory na pole trójkąta ( ah, ab sin 2 2 γ, wzór oblicza pole trójkąta, dobierając odpowiedni wzór do sytuacji Herona) wykorzystuje umiejętność wyznaczania pól trójkątów do wzór na pole trójkąta równobocznego obliczania pól innych wielokątów 12. ole czworokąta wzory na pole równoległoboku, rombu, trapezu podaje wzory na pole równoległoboku, rombu, trapezu wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania pól czworokątów D 13. owtórzenie wiadomości 14. raca klasowa i jej omówienie

20 GEOMERTRIA ANALITYCZNA 1. Odległość między punktami w układzie współrzędnych. Środek odcinka 2.Odległość punktu od prostej 3. Okrąg w układzie współrzędnych wzór na odległość między punktami w układzie współrzędnych wzór na współrzędne środka odcinka wzór na odległość punktu od prostej współczynnik kierunkowy prostej oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych wyznacza współrzędne środka odcinka, mając dane współrzędne jego końców oblicza obwód wielokąta, mając dane współrzędne jego wierzchołków stosuje wzór na odległość między punktami do rozwiązywania zadań dotyczących równoległoboków oblicza odległość punktu od prostej oblicza odległość między prostymi równoległymi stosuje wzór na odległość punktu od prostej w zadaniach z geometrii analitycznej stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym a kątem nachylenia prostej do osi OX wyznacza kąt między prostymi wyprowadza wzór na odległość punktu od prostej równanie okręgu sprawdza, czy punkt należy do danego okręgu wyznacza środek i promień okręgu, mając jego równanie opisuje równaniem okrąg o danym środku i przechodzący przez dany punkt sprawdza, czy dane równanie jest równaniem okręgu wyznacza wartość parametru tak, aby równanie opisywało okrąg stosuje równanie okręgu w zadaniach W

21 4. Wzajemne położenie dwóch okręgów 5. Wzajemne położenie okręgu i prostej 6. Układy równań drugiego stopnia 7. oło w układzie współrzędnych okręgi styczne, przecinające się i rozłączne styczna do okręgu sieczna okręgu określa wzajemne położenie dwóch okręgów, obliczając odległości ich środków oraz na podstawie rysunku dobiera tak wartość parametru, aby dane okręgi były styczne określa wzajemne położenie okręgu i prostej, porównując odległość jego środka od prostej z długością promienia okręgu korzysta z własności stycznej do okręgu wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu sposoby rozwiązywania układów równań drugiego stopnia rozwiązuje algebraicznie i graficznie układy równań, z których co najmniej jedno jest drugiego stopnia stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej nierówność opisująca koło sprawdza, czy dany punkt należy do danego koła opisuje w układzie współrzędnych koło podaje geometryczną interpretację rozwiązania układu nierówności stopnia drugiego opisuje układem nierówności przedstawiony podzbiór płaszczyzny zaznacza w układzie współrzędnych zbiory spełniające określone warunki R R R R

22 8. Działania na wektorach pojęcie wektora swobodnego i zaczepionego wykonuje działania na wektorach dodawanie i odejmowanie sprawdza, czy wektory mają ten sam kierunek i zwrot wektorów stosuje działania na wektorach i ich interpretację geometryczną mnożenie wektora przez liczbę w zadaniach interpretacja geometryczna działań na wektorach długość wektora pojęcie wektora zerowego i jednostkowego 9. Wektory zastosowania zastosowanie działań na wektorach stosuje działania na wektorach do badania współliniowości punktów stosuje działania na wektorach do podziału odcinka stosuje wektory do rozwiązywania zadań wykorzystuje działania na wektorach do dowodzenia twierdzeń 10. Jednokładność definicja jednokładności pojęcie figur jednokładnych konstruuje figury jednokładne twierdzenie o podobieństwie figur wyznacza współrzędne punktów w danej jednokładności stosuje własności jednokładności w zadaniach 11. Symetria osiowa definicja symetrii osiowej figury osiowosymetryczne wskazuje figury osiowosymetryczne symetria osiowa w układzie wyznacza współrzędne punktów w symetrii względem danej współrzędnych prostej stosuje własności symetrii osiowej w zadaniach 12. Symetria środkowa definicja symetrii środkowej figury środkowo symetryczne wskazuje figury środkowosymetryczne symetria środkowa w układzie wyznacza współrzędne punktów w symetrii względem danego współrzędnych punktu stosuje własności symetrii środkowej w zadaniach W R R R R

23 13. owtórzenie wiadomości 14. raca klasowa i jej omówienie Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielomianu 2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów definicja jednomianu, dwumianu, wielomianu pojęcie stopnia jednomianu i stopnia wielomianu pojęcie współczynników wielomianu i wyrazu wolnego pojęcie wielomianu zerowego dodawanie wielomianów odejmowanie wielomianów stopień sumy i różnicy wielomianów rozróżnia wielomian, określa jego stopień i podaje wartości jego współczynników zapisuje wielomian określonego stopnia o danych współczynnikach zapisuje wielomian w sposób uporządkowany oblicza wartość wielomianu dla danego argumentu sprawdza, czy dany punkt należy do wykresu danego wielomianu wyznacza współczynniki wielomianu, mając dane warunki wyznacza sumę wielomianów wyznacza różnicę wielomianów określa stopień sumy i różnicy wielomianów szkicuje wykres wielomianu będącego sumą jednomianów stopnia pierwszego i drugiego

24 3. Mnożenie wielomianów mnożenie wielomianów stopień iloczynu wielomianów porównywanie wielomianów wielomian dwóch (trzech) zmiennych 4. Rozkład wielomianu na czynniki (1) rozkład wielomianu na czynniki: wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki zastosowanie wzorów skróconego mnożenia: kwadratu sumy i różnicy oraz wzoru na różnicę kwadratów twierdzenie o rozkładzie wielomianu na czynniki określa stopień iloczynu wielomianów bez wykonywania mnożenia wyznacza iloczyn danych wielomianów podaje współczynnik przy najwyższej potędze oraz wyraz wolny iloczynu wielomianów bez wykonywania mnożenia wielomianów oblicza wartość wielomianu dwóch (trzech) zmiennych dla danych argumentów stosuje wielomian do opisania pola powierzchni prostopadłościanu i określa jego dziedzinę porównuje wielomiany dane w postaci iloczynu innych wielomianów stosuje wielomiany wielu zmiennych w zadaniach różnych typów wyłącza wskazany czynnik przed nawias stosuje wzory na kwadrat sumy i różnicy oraz wzór na różnicę kwadratów do rozkładu wielomianu na czynniki zapisuje wielomian w postaci iloczynu czynników możliwie najniższego stopnia stosuje rozkład wielomianu na czynniki w zadaniach różnych typów R R R D

25 5. Rozkład wielomianu na czynniki (2) zastosowanie wzorów skróconego mnożenia: sumy i różnicy sześcianów metoda grupowania wyrazów 6. Równania wielomianowe pojęcie pierwiastka wielomianu równanie wielomianowe 7. Dzielenie wielomianów algorytm dzielenia wielomianów podzielność wielomianów twierdzenie o rozkładzie wielomianu stosuje metodę grupowania wyrazów i wyłączania wspólnego czynnika przed nawias do rozkładu wielomianów na czynniki stosuje wzory na sumę i różnicę sześcianów do rozkładu wielomianu na czynniki rozkłada dany wielomian na czynniki, stosując metodę podaną w przykładzie rozwiązuje równania wielomianowe wyznacza punkty przecięcia się wykresu wielomianu i prostej podaje przykład wielomianu, znając jego stopień i pierwiastki dzieli wielomian przez dwumian x a zapisuje wielomian w postaci w( x) p( x) q( x) r sprawdza poprawność wykonanego dzielenia dzieli wielomian przez inny wielomian i zapisuje go w postaci w( x) p( x) q( x) r( x) 8. Równość wielomianów wielomiany równe wyznacza wartości parametrów tak, aby wielomiany były równe R D D D D

26 9. Twierdzenie Bézouta twierdzenie o reszcie twierdzenie Bézouta dzielenie wielomianu przez wielomian stopnia drugiego 10. ierwiastki całkowite i pierwiastki wymierne wielomianu twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu sprawdza podzielność wielomianu przez dwumian x a bez wykonywania dzielenia wyznacza resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian x a sprawdza, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu i wyznacza pozostałe pierwiastki wyznacza wartość parametru tak, aby wielomian był podzielny przez dany dwumian sprawdza podzielność wielomianu przez wielomian (x p)(x q) bez wykonywania dzielenia wyznacza resztę z dzielenia wielomianu, mając określone warunki przeprowadza dowód twierdzenia Bézouta określa, które liczby mogą być pierwiastkami całkowitymi wielomianu określa, które liczby mogą być pierwiastkami wymiernymi wielomianu rozwiązuje równania wielomianowe z wykorzystaniem twierdzeń o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu stosuje twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu w zadaniach różnych typów przeprowadza dowody twierdzeń o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu W W

27 11. ierwiastki wielokrotne definicja pierwiastka k-krotnego twierdzenie o liczbie pierwiastków wielomianu stopnia n 12. Wykres wielomianu pojęcie wykresu wielomianu (wykres wielomianu stopnia pierwszego, wykres wielomianu stopnia drugiego powtórzenie) znak wielomianu w przedziale a ; zmiana znaku wielomianu wyznacza pierwiastki wielomianu i podaje ich krotność, mając dany wielomian w postaci iloczynowej bada, czy wielomian ma inne pierwiastki oraz określa ich krotność, znając stopień wielomianu i jego pierwiastek rozwiązuje równanie wielomianowe, mając dany jego jeden pierwiastek i znając jego krotność podaje przykłady wielomianów, znając ich stopień oraz pierwiastki i ich krotność rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące pierwiastków wielokrotnych szkicuje wykresy wielomianów stopnia pierwszego i drugiego szkicuje wykres wielomianu, mając daną jego postać iloczynową dobiera wzór wielomianu do szkicu wykresu podaje wzór wielomianu, mając dany współczynnik przy najwyższej potędze oraz szkic wykresu szkicuje wykres danego wielomianu, wyznaczając jego pierwiastki

28 13. Nierówności wielomianowe Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia wartości dodatnie i ujemne funkcji nierówności wielomianowe siatka znaków wielomianu rozwiązuje nierówności wielomianowe, korzystając ze szkicu wykresu rozwiązuje nierówności wielomianowe, wykorzystując postać iloczynową wielomianu (dowolną metodą: szkicując wykres lub tworząc siatkę znaków) rozwiązuje nierówność wielomianową, gdy dany jest wzór ogólny wielomianu stosuje nierówności wielomianowe do wyznaczenia dziedziny funkcji zapisanej za pomocą pierwiastka wykonuje działania na zbiorach określonych nierównościami wielomianowymi stosuje nierówności wielomianowe w zadaniach z parametrem 14. Wielomiany zastosowania zastosowanie wielomianów do rozwiązywania zadań tekstowych opisuje wielomianem zależności dane w zadaniu i wyznacza jego dziedzinę rozwiązuje zadania tekstowe 15. owtórzenie wiadomości 16. raca klasowa i jej omówienie FUNCJE WYMIERNE

29 1. roporcjonalność odwrotna 2. Wykres funkcji f ( x) a x określenie proporcjonalności odwrotnej wielkości odwrotnie proporcjonalne współczynnik proporcjonalności hiperbola wykres funkcji a f ( x), gdzie a 0 x asymptoty poziome i pionowe wykresu funkcji a własności funkcji f ( x), gdzie x a 0 wyznacza współczynnik proporcjonalności wskazuje wielkości odwrotnie proporcjonalne podaje wzór proporcjonalności odwrotnej, znając współrzędne punktu należącego do wykresu rozwiązuje zadania tekstowe, stosując proporcjonalność odwrotną a szkicuje wykres funkcji f ( x), gdzie a 0 i podaje jej x własności (dziedzinę, zbiór wartości, przedziały monotoniczności) wyznacza asymptoty wykresu powyższej funkcji a szkicuje wykres funkcji f ( x), gdzie a 0, w podanym x zbiorze a wyznacza współczynnik a tak, aby funkcja f ( x) spełniała x podane warunki R

30 3. rzesunięcie wykresu a funkcji f ( x) o wektor x przesunięcie wykresu funkcji a f ( x) o wektor p, q x osie symetrii hiperboli środek symetrii hiperboli 4. Funkcja homograficzna określenie funkcji homograficznej wykres funkcji homograficznej postać kanoniczna funkcji homograficznej asymptoty wykresu funkcji homograficznej a przesuwa wykres funkcji f ( x) o dany wektor, podaje wzór i x określa własności otrzymanej funkcji wyznacza dziedzinę i podaje równania asymptot wykresu funkcji a określonej wzorem f ( x) q x p podaje współrzędne wektora, o jaki należy przesunąć wykres a funkcji y f (x), aby otrzymać wykres funkcji g( x) q x p wyznacza wzór funkcji spełniającej podane warunki wyznacza równania osi symetrii oraz współrzędne środka symetrii hiperboli opisanej danym równaniem rozwiązuje zadania, stosując własności hiperboli przekształca wzór funkcji homograficznej do postaci kanonicznej szkicuje wykresy funkcji homograficznych i określa ich własności wyznacza równania asymptot wykresu funkcji homograficznej rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące funkcji homograficznej R R W R W

31 5. rzekształcenia wykresu funkcji 6. Mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych metody szkicowania wykresu funkcji y f (x) i y f ( x ) mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych dziedzina iloczynu i ilorazu wyrażeń wymiernych szkicuje wykres funkcji y f (x), gdzie y f (x) jest funkcją homograficzną i opisuje jej własności szkicuje wykres funkcji y f ( x ), gdzie y f (x) jest funkcją homograficzną i opisuje jej własności szkicuje wykres funkcji y f ( x ), gdzie y f (x) jest funkcją homograficzną i opisuje jej własności wyznacza dziedzinę iloczynu oraz ilorazu wyrażeń wymiernych mnoży wyrażenia wymierne dzieli wyrażenia wymierne 7. Dodawanie i odejmowanie dodawanie i odejmowanie wyrażeń wyrażeń wymiernych wymiernych wyznacza dziedzinę sumy i różnicy wyrażeń wymiernych dziedzina sumy i różnicy wyrażeń dodaje i odejmuje wyrażenia wymierne wymiernych przekształca wzory, stosując działania na wyrażeniach wymiernych 8. Równania wymierne równania wymierne rozwiązuje równania wymierne i podaje odpowiednie założenia stosuje równania wymierne w zadaniach różnych typów R R R R R

32 9. Nierówności wymierne znak ilorazu a znak iloczynu nierówności wymierne 10. Funkcje wymierne funkcja wymierna dziedzina funkcji wymiernej równość funkcji 11. Równania i nierówności z wartością bezwzględną 12. Wyrażenia wymierne zastosowania 13. owtórzenie wiadomości 14. raca klasowa i jej omówienie FUNCJE TRYGONOMETRYCZNE równania i nierówności z wartością bezwzględną zastosowanie wyrażeń wymiernych do rozwiązywania zadań tekstowych s zastosowanie zależności t v odczytuje z danego wykresu zbiór rozwiązań nierówności wymiernej rozwiązuje nierówności wymierne i podaje odpowiednie założenia stosuje nierówności wymierne do porównywania wartości funkcji homograficznych rozwiązuje graficznie nierówności wymierne rozwiązuje układy nierówności wymiernych określa dziedzinę i miejsce zerowe funkcji wymiernej danej wzorem podaje wzór funkcji wymiernej spełniającej określone warunki rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące funkcji wymiernej stosuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności wymiernych zaznacza w układzie współrzędnych zbiory punktów spełniających zadane warunki wykorzystuje wyrażenia wymierne do rozwiązywania zadań tekstowych wykorzystuje wielkości odwrotnie proporcjonalne do rozwiązywania zadań tekstowych dotyczących szybkości R D

33 1. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta kąt w układzie współrzędnych funkcje trygonometryczne dowolnego kąta znaki funkcji trygonometrycznych wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów zaznacza kąt w układzie współrzędnych wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dane są współrzędne punktu leżącego na jego końcowym ramieniu określa znaki funkcji trygonometrycznych danego kąta określa, w której ćwiartce układu współrzędnych leży końcowe ramię kąta, mając dane wartości funkcji trygonometrycznych oblicza wartości funkcji trygonometrycznych szczególnych kątów, np.: 90, 120, 135, 225 wykorzystuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań 2. ąt obrotu dodatni i ujemny kierunek obrotu wartości funkcji trygonometrycznych kąta k 360, gdzie k C, 0 ; Miara łukowa kąta miara łukowa kąta zamiana miary stopniowej kąta na miarę łukową i odwrotnie 4. Funkcje okresowe funkcja okresowa okres podstawowy funkcji trygonometrycznych zaznacza w układzie współrzędnych kąt o danej mierze wyznacza kąt, mając dany punkt należący do jego końcowego ramienia bada, czy punkt należy do końcowego ramienia danego kąta oblicza wartości funkcji trygonometrycznych kątów, mając daną ich miarę stopniową wyznacza kąt, mając daną wartość jego jednej funkcji trygonometrycznej zamienia miarę stopniową na łukową i odwrotnie oblicza wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów, mając daną ich miarę łukową odczytuje okres podstawowy funkcji na podstawie jej wykresu szkicuje wykres funkcji okresowej stosuje okresowość funkcji do wyznaczania jej wartości

34 5. Wykresy funkcji sinus i cosinus 6. Wykresy funkcji tangens i cotangens 7. rzesunięcie wykresu funkcji o wektor 8. rzekształcenia wykresu funkcji (1) wykresy funkcji sinus i cosinus środki symetrii wykresu funkcji sinus osie symetrii wykresu funkcji sinus osie symetrii wykresu funkcji cosinus parzystość funkcji wykresy funkcji tangens i cotangens środki symetrii wykresów funkcji tangens i cotangens metoda otrzymywania wykresu funkcji y f ( x p) r metoda szkicowania wykresu funkcji y af (x), gdzie y f (x) jest funkcją trygonometryczną szkicuje wykresy funkcji sinus i cosinus w danym przedziale określa własności funkcji sinus i cosinus w danym przedziale wykorzystuje własności funkcji sinus i cosinus do obliczenia wartości tej funkcji dla danego kąta rozwiązuje równania typu sin x a i cos x a sprawdza parzystość funkcji szkicuje wykresy funkcji tangens i cotangens w danym przedziale wykorzystuje własności funkcji tangens i cotangens do obliczenia wartości tych funkcji dla danego kąta rozwiązuje równania typu tg x a, ctg x a szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych y f ( x p) r i określa ich własności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując symetrię względem osi układu współrzędnych oraz symetrię względem początku układu współrzędnych szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące efektem wykonania kilku operacji szkicuje wykresy funkcji y af (x), gdzie y f (x) jest funkcją trygonometryczną i określa ich własności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące efektem wykonania kilku operacji oraz określa ich własności D W

35 9. rzekształcenia wykresu funkcji (2) 10. rzekształcenia wykresu funkcji (3) 11. Tożsamości trygonometryczne 12. Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów metoda szkicowania wykresu funkcji y f (ax), gdzie y f (x) jest funkcją trygonometryczną metoda szkicowania wykresów funkcji y f (x) oraz y f x, gdzie y f x jest funkcją trygonometryczną podstawowe tożsamości trygonometryczne metoda uzasadniania tożsamości trygonometrycznych funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów szkicuje wykresy funkcji y f (ax), gdzie y f (x) jest funkcją trygonometryczną i określa ich własności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące efektem wykonania kilku operacji oraz określa ich własności szkicuje wykresy funkcji f (x) y f x, gdzie x y oraz y f jest funkcją trygonometryczną i określa ich własności szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych będące efektem wykonania kilku operacji oraz określa ich własności stosuje wykresy funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania równań stosuje tożsamości trygonometryczne w prostych sytuacjach dowodzi tożsamości trygonometryczne, podając odpowiednie założenia oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dana jest jedna z nich wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów z zastosowaniem wzorów na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów stosuje wzory na funkcje trygonometryczne kąta podwojonego stosuje poznane wzory do przekształcania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne, w tym również do uzasadniania tożsamości trygonometrycznych

36 13. Wzory redukcyjne wzory redukcyjne π π zapisuje dany kąt w postaci k, gdzie 0; 2 2 lub k 90, gdzie ( 0; 90) wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów z zastosowaniem wzorów redukcyjnych wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych danych kątów z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych 14. Równania metody rozwiązywania równań trygonometryczne trygonometrycznych rozwiązuje równania trygonometryczne D wzory na sumę i różnicę sinusów i stosuje wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów cosinusów 15. Nierówności metody rozwiązywania trygonometryczne nierówności trygonometrycznych rozwiązuje nierówności trygonometryczne D 16. owtórzenie wiadomości 17. raca klasowa i jej omówienie CIĄGI 1. ojęcie ciągu pojęcie ciągu wykres ciągu wyznacza kolejne wyrazy ciągu, gdy danych jest kilka jego wyraz ciągu początkowych wyrazów szkicuje wykres ciągu 2. Sposoby określania ciągu sposoby określania ciągu wyznacza wzór ogólny ciągu, mając danych kilka jego początkowych wyrazów wyznacza początkowe wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym wyznacza, które wyrazy ciągu przyjmują daną wartość wyznacza wzór ogólny ciągu spełniającego podane warunki

37 3. Ciągi monotoniczne (1) definicja ciągu rosnącego, malejącego, stałego, niemalejącego i nierosnącego 4. Ciągi określone rekurencyjnie podaje przykłady ciągów monotonicznych, których wyrazy spełniają dane warunki uzasadnia, że dany ciąg nie jest monotoniczny, mając dane jego kolejne wyrazy wyznacza wyraz an 1 ciągu określonego wzorem ogólnym bada monotoniczność ciągu, korzystając z definicji wyznacza wartość parametru tak, aby ciąg był ciągiem monotonicznym dowodzi monotoniczności ciągów określonych wzorami postaci: b ca d oraz b, gdzie a ) jest ciągiem n n 2 n a n monotonicznym, zaś c, d R określenie rekurencyjne ciągu wyznacza początkowe wyrazy ciągu określonego rekurencyjnie wyznacza wzór rekurencyjny ciągu, mając dany wzór ogólny rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, związane ze wzorem rekurencyjnym ciągu wyznacza wzór ogólny ciągu, będący wynikiem wykonania działań na danych ciągach bada monotoniczność sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące monotoniczności ciągu 5. Ciągi monotoniczne (2) suma, różnica, iloczyn i iloraz ciągów ( n R W R R W

38 6. Ciąg arytmetyczny (1) określenie ciągu arytmetycznego i jego różnicy wzór ogólny ciągu arytmetycznego monotoniczność ciągu arytmetycznego pojęcie średniej arytmetycznej 7. Ciąg arytmetyczny (2) stosowanie własności ciągu arytmetycznego do rozwiązywania zadań 8. Suma początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego 9. Ciąg geometryczny (1) określenie ciągu geometrycznego i jego ilorazu wzór ogólny ciągu geometrycznego podaje przykłady ciągów arytmetycznych wyznacza wyrazy ciągu arytmetycznego, mając dany pierwszy wyraz i różnicę wyznacza wzór ogólny ciągu arytmetycznego, mając dane dowolne dwa jego wyrazy stosuje średnią arytmetyczną do wyznaczania wyrazów ciągu arytmetycznego określa monotoniczność ciągu arytmetycznego sprawdza, czy dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym wyznacza wartości zmiennych tak, aby wraz z podanymi wartościami tworzyły ciąg arytmetyczny stosuje własności ciągu arytmetycznego do rozwiązywania zadań oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego stosuje własności ciągu arytmetycznego do rozwiązywania zadań tekstowych rozwiązuje równania z zastosowaniem wzoru na sumę wyrazów ciągu arytmetycznego podaje przykłady ciągów geometrycznych wyznacza wyrazy ciągu geometrycznego, mając dany pierwszy wyraz i iloraz wyznacza wzór ogólny ciągu geometrycznego, mając dane dowolne dwa jego wyrazy sprawdza, czy dany ciąg jest ciągiem geometrycznym

39 10. Ciąg geometryczny (2) monotoniczność ciągu geometrycznego pojęcie średniej geometrycznej 11. Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego 12. Ciągi arytmetyczne i ciągi geometryczne zadania wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego 13. rocent składany procent składany kapitalizacja, okres kapitalizacji stopa procentowa: nominalna i efektywna 14. Granica ciągu określenie granicy ciągu pojęcia: ciąg zbieżny, granica właściwa ciągu, prawie wszystkie wyrazy ciągu, ciąg stały twierdzenia o granicy ciągu n an q, gdy q 1 ;1 oraz ciągu 1 an k n, gdy k > 0 określa monotoniczność ciągu geometrycznego stosuje średnią geometryczną do rozwiązywania zadań wyznacza wartości zmiennych tak, aby wraz z podanymi wartościami tworzyły ciąg geometryczny oblicza sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego w zadaniach stosuje własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego do rozwiązywania zadań oblicza wysokość kapitału przy różnym okresie kapitalizacji oblicza oprocentowanie lokaty określa okres oszczędzania rozwiązuje zadania związane z kredytami bada na podstawie wykresu, czy dany ciąg ma granicę i w przypadku ciągu zbieżnego podaje jego granicę bada, ile wyrazów danego ciągu jest oddalonych od danej liczby o podaną wartość n 1 podaje granicę ciągu an q, gdy q 1 ;1 oraz ciągu an k n, gdy k > 0