ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI, ZGODNY Z PODSTAWĄ PROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ PRZEZ MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ DNIA 23 XII 2008 R.

Transkrypt

1 ROZŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYI, ZGODNY Z ODSTAWĄ ROGRAMOWĄ OGŁOSZONĄ RZEZ MINISTRA EDUACJI NARODOWEJ DNIA XII 008 R. rzedstawione poniżej treści obejmujące zakres rozszerzony wyróżnione są pogrubioną czcionką. LASA I ZARES ODSTAWOWY 4 y tygodniowo 5 tygodni = 40 ZARES ROZSZERZONY 5 tygodniowo 5 tygodni = 75 Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia oziom. LICZBY RZECZYWISTE 9. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej cechy podzielności liczb naturalnych definicja liczby parzystej i nieparzystej rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze znajdowanie NWD i NWW twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych podaje dzielniki danej liczby naturalnej przedstawia liczbę naturalną w postaci iloczynu liczb pierwszych oblicza NWD i NWW dwóch liczb naturalnych przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb, np. Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n + n jest parzysta R D W

2 oziom. Liczby całkowite. Liczby wymierne. Liczby niewymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej 5. ierwiastek z liczby nieujemnej definicja liczby całkowitej definicja liczby wymiernej oś liczbowa kolejność wykonywania działań definicja liczby niewymiernej konstruowanie odcinków o długościach niewymiernych postać dziesiętna liczby rzeczywistej metoda przedstawiania ułamków zwykłych w postaci dziesiętnej metoda przedstawiania ułamków dziesiętnych w postaci ułamków zwykłych definicja pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej definicja pierwiastka trzeciego stopnia z liczby nieujemnej definicja pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej działania na pierwiastkach rozpoznaje liczby całkowite i liczby wymierne wśród podanych liczb podaje przykłady liczb całkowitych i wymiernych odczytuje z osi liczbowej współrzędną danego punktu i odwrotnie: zaznacza punkt o podanej współrzędnej na osi liczbowej wykonuje działania na liczbach wymiernych wskazuje liczb liczby niewymierne wśród podanych konstruuje odcinki o długościach niewymiernych zaznacza na osi liczbowej punkt odpowiadający liczbie niewymiernej wykazuje, dobierając odpowiednio przykłady, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie musi być liczbą niewymierną dowodzi niewymierności liczby dowodzi niewymierności innych liczb, np., wskazuje liczby wymierne oraz niewymierne wśród liczb podanych w postaci dziesiętnej wyznacza rozwinięcie dziesiętne ułamków zwykłych zamienia skończone rozwinięcia dziesiętne na ułamki zwykłe przedstawia ułamki dziesiętne okresowe w postaci ułamków zwykłych oblicza wartość pierwiastka drugiego i trzeciego stopnia z liczby nieujemnej oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej wyłącza czynnik przed znak pierwiastka włącza czynnik pod znak pierwiastka R W

3 oziom 6. ierwiastek nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej 7. otęga o wykładniku całkowitym definicja pierwiastka trzeciego stopnia z liczby rzeczywistej definicja pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej działania na pierwiastkach definicja potęgi o wykładniku naturalnym definicja potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym twierdzenia o działaniach na potęgach 8. Notacja wykładnicza definicja notacji wykładniczej sposób zapisywania małych i dużych liczb w notacji wykładniczej działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej 9. rzybliżenia reguła zaokrąglania przybliżanie z nadmiarem i z niedomiarem błąd przybliżenia 0. rocenty pojęcie procentu pojęcie punktu procentowego wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki, stosując prawa działań na pierwiastkach oblicza wartość pierwiastka trzeciego stopnia z liczby rzeczywistej oblicza wartość pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb rzeczywistych, stosując prawa działań na pierwiastkach oblicza wartość potęgi liczby o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do obliczania wartości wyrażeń stosuje twierdzenia o działaniach na potęgach do upraszczania wyrażeń algebraicznych zapisuje i odczytuje liczbę w notacji wykładniczej wykonuje działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej zaokrągla liczbę z podaną dokładnością oblicza błąd przybliżenia danej liczby oraz ocenia, czy jest to przybliżenie z nadmiarem, czy z niedomiarem szacuje wyniki działań oblicza procent danej liczby interpretuje pojęcia procentu i punktu procentowego oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent zmniejsza i zwiększa liczbę o dany procent

4 oziom. owtórzenie wiadomości. raca klasowa i jej omówienie stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych dotyczących płac, podatków, rozliczeń bankowych. JĘZY MATEMATYI 8. Zbiory sposoby opisywania zbiorów zbiory skończone i nieskończone zbiór pusty definicja podzbioru relacja zawierania zbiorów zapis symboliczny zbioru. Działania na zbiorach iloczyn zbiorów suma zbiorów różnica zbiorów dopełnienie zbioru. rzedziały określenie przedziałów: otwartego, domkniętego, lewostronnie domkniętego, prawostronnie domkniętego, nieograniczonego zapis symboliczny przedziałów posługuje się pojęciami: zbiór, podzbiór, zbiór pusty, zbiór skończony, zbiór nieskończony wymienia elementy danego zbioru oraz elementy do niego nienależące opisuje słownie i symbolicznie dany zbiór określa relację zawierania zbiorów posługuje się pojęciami: iloczyn, suma oraz różnica zbiorów wyznacza iloczyn, sumę oraz różnicę danych zbiorów przedstawia na diagramie zbiór, który jest wynikiem działań na trzech dowolnych zbiorach wyznacza dopełnienie zbioru formułuje i uzasadnia hipotezy dotyczące praw działań na zbiorach rozróżnia pojęcia: przedział otwarty, domknięty, lewostronnie domknięty, prawostronnie domknięty, nieograniczony zapisuje przedział i zaznacza go na osi liczbowej odczytuje i zapisuje symbolicznie przedział zaznaczony na osi liczbowej wyznacza przedział opisany podanymi nierównościami wymienia liczby należące do przedziału spełniające zadane warunki D R W 4

5 oziom 4. Działania na przedziałach 5. Rozwiązywani e nierówności 6. Wzory skróconego mnożenia 7. Zastosowanie przekształceń algebraicznych 8. Wartość bezwzględna iloczyn, suma, różnica przedziałów nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nierówności równoważne wzory skróconego mnożenia (a ± b)² oraz a² b² wzory skróconego mnożenia (a ± b)³ oraz a³ ± b³ zastosowanie przekształceń algebraicznych do przekształcania równoważnego równań i nierówności usuwanie niewymierności z mianownika definicja wartości bezwzględnej interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej wyznacza iloczyn, sumę i różnicę przedziałów oraz zaznacza je na osi liczbowej wyznacza iloczyn, sumę i różnicę różnych zbiorów liczbowych oraz zapisuje je symbolicznie sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem nierówności rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą zapisuje zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału stosuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym stosuje odpowiedni wzór skróconego mnożenia do wyznaczenia kwadratu sumy lub różnicy oraz różnicy kwadratów przekształca wyrażenie algebraiczne z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania działań na liczbach postaci a + b c wyprowadza wzory skróconego mnożenia usuwa niewymierność z mianownika ułamka stosuje przekształcenia algebraiczne do przekształcenia równoważnego równań oraz nierówności usuwa niewymierność z mianownika ułamka oblicza wartość bezwzględną danej liczby upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną rozwiązuje, stosując interpretację geometryczną, elementarne równania i nierówności z wartością bezwzględną R R R D 5

6 oziom 9. Własności wartości bezwzględnej własności wartości bezwzględnej stosuje podstawowe własności wartości bezwzględnej korzystając z własności wartości bezwzględnej, rozwiązuje proste równania i nierówności z wartością bezwzględną korzystając z własności wartości bezwzględnej, upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną 0. Równania i nierówności z wartością bezwzględną metody rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, stosując interpretację geometryczną rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, stosując definicję oraz własności wartości bezwzględnej R 4. Błąd bezwzględny i błąd względny. owtórzenie wiadomości. raca klasowa i jej omówienie określenie błędu bezwzględnego i błędu względnego przybliżenia rozróżnia pojęcia: błąd bezwzględny, błąd względny przybliżenia oblicza błąd bezwzględny oraz błąd względny przybliżenia liczby 4. FUNCJA LINIOWA 8. Sposoby opisu funkcji definicja funkcji sposoby opisywania funkcji definicja miejsca zerowego stosuje pojęcia: funkcja, argument, dziedzina, wartość funkcji, wykres funkcji, miejsce zerowe funkcji rozpoznaje wśród danych przyporządkowań te, które opisują funkcje podaje przykłady funkcji opisuje funkcję różnymi sposobami R R R 6

7 oziom. Wykres funkcji liniowej. Własności funkcji liniowej 4. Równanie prostej na płaszczyźnie definicja funkcji liniowej wykres funkcji liniowej rozpoznaje funkcję liniową, mając interpretacja geometryczna współczynników dany jej wzór oraz szkicuje jej wykres występujących we wzorze funkcji liniowej interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji pojęcia: pęk prostych, środek pęku liniowej i wskazuje wśród danych wzorów funkcji liniowych te, których wykresy są równoległe podaje własności funkcji liniowej danej wzorem wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia zadane warunki, np. jest równoległy do wykresu danej funkcji liniowej własności funkcji liniowej wyznacza miejsce zerowe i określa monotoniczność funkcji liniowej danej wzorem wyznacza współrzędne punktów, w których wykres funkcji liniowej przecina osie układu współrzędnych oraz podaje, w których ćwiartkach układu znajduje się wykres wyznacza wartości parametrów, dla których funkcja ma określone własności równanie kierunkowe prostej podaje równanie kierunkowe i równanie ogólne prostej ogólne prostej zamienia równanie ogólne prostej, która nie jest równoległa do osi OY, na równanie w postaci kierunkowej wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty rysuje prostą opisaną równaniem ogólnym 5. Współczynnik kierunkowy prostej współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty interpretacja geometryczna współczynnika kierunkowego oblicza współczynnik kierunkowy prostej, mając dane współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej szkicuje prostą, wykorzystując interpretację współczynnika kierunkowego odczytuje wartość współczynnika kierunkowego, mając dany wykres; w przypadku wykresu R 7

8 oziom zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnym podaje wartość prędkości wyprowadza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty D 6. Warunek prostopadłości prostych 7. Układy równań liniowych 8. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych 9. Układy nierówności liniowych warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej prostej metody algebraiczne rozwiązywania układów równań liniowych definicja układu równań oznaczonego, sprzecznego, nieoznaczonego interpretacja geometryczna układu oznaczonego, sprzecznego i nieoznaczonego interpretacja geometryczna nierówności z dwiema niewiadomymi pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej ilustracja geometryczna układu nierówności podaje warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt wyznacza wartości parametru, dla których proste są prostopadłe uzasadnia warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych rozwiązuje układ równań metodą podstawiania i przeciwnych wsp. określa typ układu równań (czy dany układ równań jest układem oznaczonym, nieoznaczanym, czy sprzecznym) układa i rozwiązuje układ równań do zadania z treścią rozwiązuje układ trzech równań z trzema niewiadomymi rozwiązuje układ równań metodą graficzną wykorzystuje związek między liczbą rozwiązań układu równań a położeniem prostych rozwiązuje układ równań z parametrem oraz określa jego typ w zależności od jego wartości rozwiązuje graficznie układ równań z wartością bezwzgl. interpretuje geometrycznie nierówności z dwiema niewiadomymi oraz pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają D R W D 8

9 oziom 0. Funkcja liniowa zastosowania. owtórzenie wiadomości. raca klasowa i jej omówienie tworzenie modelu matematycznego opisującego przedstawione zagadnienie praktyczne układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi zapisuje układ nierówności opisujący zbiór punktów przedstawionych w układzie współrzędnych rozwiązuje graficznie układ kilku nierówności z dwiema niewiadomymi wyznacza w układzie współrzędnych iloczyn, sumę i różnicę zbiorów punktów opisanych nierównościami liniowymi z dwiema niewiadomymi przeprowadza analizę zadania z treścią, a następnie zapisuje odpowiednie równanie, nierówność liniową lub wzór funkcji liniowej rozwiązuje ułożone przez siebie równanie, nierówność lub analizuje własności funkcji liniowej przeprowadza analizę wyniku i podaje odpowiedź 4. FUNCJE 0 4. Dziedzina i miejsca zerowe funkcji. Szkicowanie wykresu funkcji. Monotoniczno ść funkcji dziedzina funkcji opisanej wzorem wyznacza dziedzinę funkcji definicja miejsca zerowego opisanej wzorem funkcji wyznacza miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem wykres funkcji szkicuje wykres funkcji określonej nieskomplikowanym wzorem szkicuje wykres funkcji przedziałami liniowej definicje: funkcji rosnącej, malejącej i stałej stosuje pojęcie funkcji pojęcie monotoniczności monotonicznej (rosnącej, funkcji malejącej, stałej, niemalejącej, definicje: funkcji nierosnącej nierosnącej) i niemalejącej na podstawie wykresu funkcji pojęcie funkcji przedziałami określa jej monotoniczność monotonicznej 9 D R 4

10 oziom 4. Odczytywanie własności funkcji z wykresu 5. rzesuwanie wykresu wzdłuż osi OY 6. rzesuwanie wykresu wzdłuż osi OX 7. Wektory w układzie współrzędnyc h 8. rzesuwanie wykresu o wektor 9. rzekształcani e wykresu przez symetrię względem osi układu współrzędnych rysuje wykres funkcji o zadanych kryteriach monotoniczności bada na podstawie definicji monotoniczność funkcji określonej wzorem zbiór wartości funkcji interpretacja geometryczna stosuje pojęcia: zbiór wartości miejsca zerowego funkcji funkcji, największa i najmniejsza największa i najmniejsza wartość funkcji wartość funkcji odczytuje z wykresu funkcji jej znak wartości funkcji dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie; przedziały monotoniczności funkcji, najmniejszą i największą wartość funkcji metoda otrzymywania wykresów funkcji rysuje wykresy funkcji: y = f(x) + q dla q > 0 y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) oraz y = f(x) q dla q > 0 q dla q > 0 metoda otrzymywania wykresów funkcji rysuje wykresy funkcji: y = f(x y = f(x p) dla p > 0 p) dla p > 0 oraz oraz y = f(x + p) dla p > 0 y = f(x + p) dla p > 0 pojęcie wektora wektor przeciwny do posługuje się pojęciem wektora i danego wektora przeciwnego współrzędne wektora i ich oblicza współrzędne wektora interpretacja wyznacza współrzędne geometryczna początku lub końca wektora, mając dane współrzędne wektora i współrzędne jednego z punktów znajduje obraz figury w przesunięciu o dany wektor metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x p) + q metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x) metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f( x) szkicuje wykres funkcji y = f(x p) + q zapisuje wzór funkcji otrzymanej w wyniku danego przesunięcia szkicuje wykresy funkcji y = f(x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f( x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) D D R R R R 0

11 oziom 0. Inne przekształceni a wykresu. Funkcje zastosowania. owtórzenie wiadomości. raca klasowa i jej omówienie metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x) i y = f( x ) funkcje w sytuacjach praktycznych na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x) i y = f( x ) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonania kilku operacji rozpoznaje zależność funkcyjną umieszczoną w kontekście praktycznym, określa dziedzinę oraz zbiór wartości takiej funkcji przedstawia zależności opisane w zadaniach z treścią w postaci wzoru lub wykresu 5. FUNCJA WADRATOWA 9. Wykres funkcji f(x) = ax. rzesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor. ostać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej wykres i własności funkcji f(x) = ax, gdzie a 0 metoda otrzymywania wykresów funkcji: f ( x) = ax + q, f ( x) = a ( x p), ( x p) q f ( x) = a + własności funkcji: f ( x) = ax + q, f ( x) = a ( x p), ( x p) q f ( x) = a + współrzędne wierzchołka paraboli postać ogólna funkcji kwadratowej postać kanoniczna funkcji kwadratowej trójmian kwadratowy współrzędne wierzchołka paraboli rysowanie wykresu funkcji kwadratowej postaci szkicuje wykres funkcji f(x) = ax podaje własności funkcji f(x) = ax stosuje własności funkcji f(x) = ax do rozwiązywania zadań szkicuje wykresy funkcji: f ( x) = ax + q, f ( x) = a ( x p), ( x p) q f ( x) = a + i podaje ich własności stosuje własności funkcji: f ( x) = ax + q, f ( x) = a ( x p), ( x p) q f ( x) = a + do rozwiązywania zadań podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej oblicza współrzędne wierzchołka paraboli przekształca postać ogólną funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej (z zastosowaniem uzupełniania do kwadratu lub R 4

12 oziom 4. Równania kwadratowe 5. ostać iloczynowa funkcji kwadratowej 6. Równania sprowadzalne do równań kwadrat. f ( x) = ax + bx + c wyróżnik trójmianu kwadratowego metoda rozwiązywania równań przez rozkład na czynniki zależność między znakiem wyróżnika a liczbą rozwiązań równania kwadratowego wzory na pierwiastki równania kwadratowego interpretacja geometryczna rozwiązań równania kwadratowego definicja postaci iloczynowej funkcji kwadratowej twierdzenie o postaci iloczynowej funkcji kwadratowej rozwiązywanie równań metodą podstawiania wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli) i szkicuje jej wykres przekształca postać kanoniczną funkcji kwadratowej do postaci ogólnej wyznacza wzór ogólny funkcji kwadratowej mając dane współrzędne wierzchołka i innego punktu jej wykresu wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli stosuje wzory skróconego mnożenia oraz zasadę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias do przedstawienia wyrażenia w postaci iloczynu rozwiązuje równanie kwadratowe przez rozkład na czynniki rozwiązuje równania kwadratowe, korzystając z poznanych wzorów interpretuje geometrycznie rozwiązania równania kwadratowego stosuje poznane wzory przy szkicowaniu wykresu funkcji kwadratowej definiuje postać iloczynową funkcji kwadratowej i warunek jej istnienia zapisuje funkcję kwadratową w postaci iloczynowej odczytuje wartości pierwiastków trójmianu podanego w postaci iloczynowej przekształca postać iloczynową funkcji kwadratowej do postaci ogólnej wykorzystuje postać iloczynową funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań rozpoznaje równania, które można sprowadzić do równań kwadratowych wprowadza niewiadomą pomocniczą, podaje odpowiednie założenia i rozwiązuje równanie kwadratowe z niewiadomą pomocniczą R R R

13 oziom 7. Nierówności kwadratowe 8. Układy równań 9. Wzory Viète a 0. Równania kwadratowe z parametrem. Funkcja kwadratowa zastosowania metoda rozwiązywania nierówności kwadratowych sposoby rozwiązywania układów równań drugiego stopnia wzory Viète a określenie znaku pierwiastków równania kwadratowego bez ich wyznaczania rozwiązywanie równań i nierówności kwadratowych z parametrem najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym podaje rozwiązanie równania pierwotnego rozumie związek między rozwiązaniem nierówności kwadratowej a znakiem wartości odpowiedniego trójmianu kwadratowego rozwiązuje nierówność kwadratową wyznacza na osi liczbowej iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązań kilku nierówności kwadratowych rozwiązuje algebraicznie i graficznie układy równań, z których co najmniej jedno jest równaniem paraboli stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej zaznacza w układzie współrzędnych obszar opisany układem nierówności stosuje wzory Viète a do wyznaczania sumy oraz iloczynu pierwiastków równania kwadratowego (o ile istnieją) określa znaki pierwiastków równania kwadratowego, wykorzystując wzory Viète a stosuje wzory Viète a do obliczania wartości wyrażeń zawierających sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego wyprowadza wzory Viète a przeprowadza analizę zadań z parametrem zapisuje założenia, aby zachodziły warunki podane w treści zadania wyznacza te wartości parametru, dla których są spełnione warunki zadania stosuje pojęcie najmniejszej i największej wartości funkcji wyznacza wartość najmniejszą i największą funkcji kwadratowej D W W D D 4 4

14 oziom. owtórzenie wiadomości. raca klasowa i jej omówienie w przedziale domkniętym stosuje własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych 6. LANIMETRIA 8 8. Miary kątów w trójkącie. Trójkąty przystające. Trójkąty podobne 4. Wielokąty podobne 5.Twierdzenie Talesa Rozszerzenie poziomu podstawoweg o klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie definicja trójkątów przystających cechy przystawania trójkątów nierówność trójkąta definicja wielokątów podobnych cechy podobieństwa trójkątów skala podobieństwa zależność między polami i obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa twierdzenie Talesa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa klasyfikuje trójkąty ze względu na miary ich kątów stosuje twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta do rozwiązywania zadań przeprowadza dowód twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie podaje definicję trójkątów przystających oraz cechy przystawania trójkątów stosuje nierówność trójkąta do rozwiązywania zadań podaje cechy podobieństwa tr. sprawdza, czy dane tr. są pod. oblicza długości boków trójkąta pod. do danego w danej skali układa odpowiednią proporcję, aby wyznaczyć długości braku - jących boków trójkątów pod. wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania zad. rozumie pojęcie figur podobnych oblicza długości boków w wielokątach podobnych wykorzystuje zależności między polami i obwodami wielokątów podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań podaje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa wykorzystuje twierdzenie Talesa do rozwiązywania zadań wykorzystuje twierdzenie Talesa do podziału odcinka w podanym stosunku 4 R D R R W R D 4 4

15 oziom 6.Trójkąty prostokątne 7. Funkcje trygonometryc zne kąta ostrego 8. Trygonometria zastosowania twierdzenie itagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia itagorasa wzory na długość przekątnej kwadratu i długość wysokości trójkąta równobocznego definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego wartości funkcji trygonometrycznych kątów 0º, 45º, 60º odczytywanie wartości funkcji trygonometrycznych kątów w tablicach odczytywanie miary kąta, dla którego dana jest wartość funkcji trygonometrycznej przeprowadza dowód twierdzenia Talesa podaje twierdzenie itagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia itagorasa oraz wzory na długość przekątnej kwadratu i długość wysokości trójkąta równobocznego stosuje twierdzenie itagorasa do rozwiązywania zadań korzystając z twierdzenia itagorasa, wyprowadza zależności ogólne, np. dotyczące długości przekątnej kwadratu i wysokości trójkąta równobocznego podaje definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym podaje wartości funkcji trygonometrycznych kątów 0º, 45º, 60º wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych danego trójkąta prostokątnego wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych w bardziej złożonych sytuacjach odczytuje wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta w tablicach lub wartości kąta na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych stosuje funkcje trygonometryczne do rozwiązywania zadań praktycznych D W 9. Rozwiązywani e trójkątów prostokątnych rozwiązywanie trójkątów prostokątnych rozwiązuje trójkąty prostokątne D 0. Związki między funkcjami trygonometryc znymi podstawowe tożsamości trygonometryczne wzory na: sin(90º α), cos(90º α), tg(90º α), ctg(90º α) podaje związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, gdy 5

16 oziom dana jest jedna z nich stosuje poznane związki do upraszczania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne uzasadnia związki między funkcjami trygonometrycznymi. ole trójkąta wzory na pole trójkąta γ( = ah, = ab sin, wzór Herona) wzór na pole trójkąta równobocznego podaje różne wzory na pole trójkąta oblicza pole trójkąta, dobierając odpowiedni wzór do sytuacji wykorzystuje umiejętność wyznaczania pól trójkątów do obliczania pól innych wielokątów. ole czworokąta wzory na pole równoległoboku, rombu, trapezu podaje wzory na pole równoległoboku, rombu, trapezu wykorzystuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania pól czworokątów D. owtórzenie wiadomości 4. raca klasowa i jej omówienie 4 7. GEOMERTRIA ANALITYCZNA 5 8 Równanie prostej na płaszczyźnie wzory prostych wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej); bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych; wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt; oblicza współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych; - 6

17 oziom Nierówności liniowe z dwiema niewiadomym i nierówności liniowe układy nierówności interpretuje geometrycznie nierówności z dwiema niewiadomymi oraz pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej; zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi; zapisuje układ nierówności opisujący zbiór punktów przedstawionych w układzie współrzędnych; rozwiązuje graficznie układ kilku nierówności z dwiema niewiadomymi.. Odległość między punktami w układzie współrzędnych. Środek odcinka.odległość punktu od prostej. Okrąg w układzie współrzędnych wzór na odległość między punktami w układzie współrzędnych oblicza odległość punktów w układzie współrzędnych wzór na współrzędne środka odcinka wyznacza współrzędne środka odcinka, mając dane współrzędne jego końców oblicza obwód wielokąta, mając dane współrzędne jego wierzchołków stosuje wzór na odległość między punktami do rozwiązywania zadań dotyczących równoległoboków wzór na odległość punktu od prostej oblicza odległość punktu od współczynnik kierunkowy prostej prostej oblicza odległość między prostymi równoległymi stosuje wzór na odległość punktu od prostej w zadaniach z geometrii analitycznej stosuje związek między współczynnikiem kierunkowym a kątem nachylenia prostej do osi OX wyznacza kąt między prostymi wyprowadza wzór na odległość punktu od prostej równanie okręgu sprawdza, czy punkt należy do danego okręgu wyznacza środek i promień okręgu, mając jego równanie W 7

18 oziom 4. Wzajemne położenie dwóch okręgów 5. Wzajemne położenie okręgu i prostej 6. Układy równań drugiego stopnia 7. oło w układzie współłzędnych 8. Działania na wektorach opisuje równaniem okrąg o danym środku i przechodzący przez dany punkt sprawdza, czy dane równanie jest równaniem okręgu wyznacza wartość parametru tak, aby równanie opisywało okrąg stosuje równanie okręgu w zadaniach okręgi styczne, przecinające się i rozłączne określa wzajemne położenie dwóch okręgów, obliczając odległości ich środków oraz na podstawie rysunku dobiera tak wartość parametru, aby dane okręgi były styczne styczna do okręgu sieczna okręgu określa wzajemne położenie okręgu i prostej, porównując odległość jego środka od prostej z długością promienia okręgu korzysta z własności stycznej do okręgu wyznacza punkty wspólne prostej i okręgu sposoby rozwiązywania układów równań drugiego rozwiązuje algebraicznie i stopnia graficznie układy równań, z których co najmniej jedno jest drugiego stopnia stosuje układy równań drugiego stopnia do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej nierówność opisująca koło sprawdza, czy dany punkt należy do danego koła opisuje w układzie współrzędnych koło podaje geometryczną interpretację rozwiązania układu nierówności stopnia drugiego opisuje układem nierówności przedstawiony podzbiór płaszczyzny zaznacza w układzie współrzędnych zbiory spełniające określone warunki pojęcie wektora swobodnego i zaczepionego wykonuje działania na wekt. dodawanie i odejmowanie sprawdza, czy wektory mają ten wektorów sam kierunek i zwrot R R R R 8

19 oziom 9. Wektory zastosowania 0. Jednokładność. Symetria osiowa. Symetria środkowa. owtórzenie wiadomości 4. raca klasowa i jej omówienie mnożenie wektora przez liczbę interpretacja geometryczna działań na wektorach długość wektora pojęcie wektora zerowego i jednostkowego zastosowanie działań na wektorach definicja jednokładności pojęcie figur jednokładnych twierdzenie o podobieństwie figur definicja symetrii osiowej figury osiowosymetryczne symetria osiowa w układzie współrzędnych definicja symetrii środkowej figury środkowo symetryczne symetria środkowa w układzie współrzędnych Godziny do dyspozycji nauczyciela stosuje działania na wektorach i ich interpretację geometryczną w zadaniach stosuje działania na wektorach do badania współliniowości punktów stosuje działania na wektorach do podziału odcinka stosuje wektory do rozwiązywania zadań wykorzystuje działania na wektorach do dowodzenia twierdzeń konstruuje figury jednokładne wyznacza współrzędne punktów w danej jednokładności stosuje własności jednokładności w zadaniach wskazuje figury osiowosymetryczne wyznacza współrzędne punktów w symetrii względem danej prostej stosuje własności symetrii osiowej w zadaniach wskazuje figury środkowosymetryczne wyznacza współrzędne punktów w symetrii względem danego punktu stosuje własności symetrii środkowej w zadaniach W R R R R 4 0 Razem

20 WYMAGANIA EDUACYJNE Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny szkolne odnoszą się do osiągnięć uczniów wskazanych w podstawie programowej kształcenia ogólnego i przyjętych celów programowych z uwzględnieniem możliwości intelektualnych wychowanków. Ogólne kryteria ocen z matematyki: Ocena celująca Ocenę tę otrzymuje uczeń, którego wiedza znacznie wykracza poza obowiązujący program nauczania, a ponadto: twórczo rozwija własne uzdolnienia i zainteresowania, uczestniczy w zajęciach pozalekcyjnych, proponuje nietypowe i nowatorskie sposoby rozwiązywania problemów, bierze udział i osiąga sukcesy w konkursach i olimpiadach matematycznych. Ocena bardzo dobra Ocenę tę otrzymuje uczeń, który opanował pełen zakres wiadomości przewidziany programem nauczania oraz potrafi: sprawnie rachować, samodzielnie rozwiązywać zadania, wykazać się znajomością i twierdzeń oraz umiejętnością ich zastosowania w zadaniach, posługiwać się poprawnym językiem matematycznym, samodzielnie zdobywać wiedzę, przeprowadzać rozmaite rozumowania dedukcyjne, stosować zdobytą wiedzę w sytuacjach nowych. Ocena dobra Ocenę tę otrzymuje uczeń, który opanował wiadomości i umiejętności przewidziane podstawą programową oraz wybrane elementy programu nauczania oraz potrafi: samodzielnie rozwiązać typowe zadania, wykazać się znajomością i rozumieniem poznanych pojęć, twierdzeń i algorytmów, 0

21 posługiwać się językiem matematycznym, który może zawierać jedynie nieliczne błędy i potknięcia, sprawnie rachować, przeprowadzać proste rozumowania dedukcyjne, Ocena dostateczna Ocenę tę otrzymuje uczeń, który opanował wiadomości i umiejętności przewidziane podstawą programową, co pozwala mu na: wykazanie się znajomością i rozumieniem podstawowych pojęć i algorytmów, stosowanie poznanych wzorów i twierdzeń w rozwiązywaniu typowych ćwiczeń i zadań, wykonywanie prostych obliczeń i przekształceń matematycznych. Ocena dopuszczająca Ocenę tę otrzymuje uczeń, który opanował wiadomości i umiejętności przewidziane podstawą programową, ma braki w opanowaniu minimum programowego, lecz braki te nie przekreślają możliwości opanowania przez ucznia podstawowej wiedzy matematycznej w dalszym toku nauki. onadto: samodzielnie lub z niewielką pomocą nauczyciela wykonuje ćwiczenia i zadania o niewielkim stopniu trudności, wykazuje się znajomością i rozumieniem najprostszych pojęć i algorytmów, operować najprostszymi obiektami abstrakcyjnymi ( liczbami, zbiorami, zmiennymi). Ocena niedostateczna Ocenę tę otrzymuje uczeń, który nie opanował podstawowych wiadomości i umiejętności przewidzianych programem nauczania, ma braki w opanowaniu minimum programowego i braki te uniemożliwiają mu opanowanie podstawowej wiedzy matematycznej w dalszym toku nauki. onadto: nie radzi sobie ze zrozumieniem najprostszych pojęć, algorytmów i twierdzeń, popełnia rażące błędy w rachunkach, nie potrafi wykonać najprostszych ćwiczeń i zadań nawet przy pomocy nauczyciela, nie wykazuje najmniejszych chęci współpracy w celu uzupełnienia braków i nabycia podstawowej wiedzy i umiejętności.

22 rzedstawiamy poniżej szczegółowe wymagania w zakresie podstawowym i rozszerzonym na poszczególne oceny szkolne. Wymagania z zakresu rozszerzonego wyróżnione są pogrubioną czcionką. Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (), podstawowe (), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione poziomy odpowiadają w przybliżeniu ocenom szkolnym. Nauczyciel, określając te poziomy, powinien zatem sprecyzować, czy opanowania pewnych czynności lub wiedzy będzie wymagał na ocenę dopuszczającą (), dostateczną (), dobrą (4), bardzo dobrą (5) lub celującą (6). Wymagania konieczne () dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania podstawowe () zawierają wymagania z poziomu () wzbogacone o typowe problemy o niewielkim stopniu trudności. Wymagania rozszerzające (R), zawierające wymagania z poziomów () i (), dotyczą zagadnień bardziej złożonych i nieco trudniejszych. Wymagania dopełniające (D), zawierające wymagania z poziomów (), () i (R), dotyczą zagadnień problemowych, trudniejszych, wymagających umiejętności przetwarzania przyswojonych informacji. Wymagania wykraczające (W) dotyczą zagadnień trudnych, oryginalnych, wykraczających poza obowiązkowy program nauczania. oniżej przedstawiony został podział na poszczególne oceny szkolne: ocena dopuszczająca wymagania na poziomie () ocena dostateczna wymagania na poziomie () i () ocena dobra wymagania na poziomie (), () i (R) ocena bardzo dobra wymagania na poziomie (), (), (R) i (D) ocena celująca wymagania na poziomie (), (), (R), (D) i (W)

23 lasa pierwsza. LICZBY RZECZYWISTE oziom () lub () Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje liczbę do odpowiedniego zbioru liczb rozkłada liczby naturalne na czynniki pierwsze stosuje cechy podzielności liczb rozróżnia liczby pierwsze i liczby złożone znajduje największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb porównuje liczby wymierne podaje przykład liczby wymiernej zawartej między dwiema danymi liczbami oraz przykłady liczb niewymiernych zaznacza na osi liczbowej daną liczbę wymierną przedstawia liczby wymierne w różnych postaciach wyznacza przybliżenia dziesiętne danej liczby rzeczywistej z zadaną dokładnością (również przy użyciu kalkulatora) oraz określa, czy dane przybliżenie jest przybliżeniem z nadmiarem, czy z niedomiarem wykonuje proste działania w zbiorach liczb: całkowitych, wymiernych i rzeczywistych oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia z liczby nieujemnej oraz wartość pierwiastka nieparzystego stopnia z liczby rzeczywistej wyłącza czynnik przed znak pierwiastka włącza czynnik pod znak pierwiastka wykonuje działania na pierwiastkach tego samego stopnia, stosując odpowiednie twierdzenia usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu a przekształca i oblicza wartości wyrażeń zawierających pierwiastki kwadratowe, stosując wzory skróconego mnożenia wykonuje proste działania na potęgach o wykładnikach całkowitych

24 przedstawia liczbę w notacji wykładniczej oblicza procent danej liczby oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent posługuje się procentami w rozwiązywaniu prostych zadań praktycznych odczytuje prawidłowo informacje przedstawione na diagramach wykonuje działania na wyrażeniach algebraicznych (w tym: stosuje wzory skróconego mnożenia dotyczące drugiej potęgi) oziom (R) lub (D) Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub bardzo dobrą, jeśli opanował poziomy () i () oraz dodatkowo: stosuje ogólny zapis liczb naturalnych: parzystych, nieparzystych, podzielnych przez itp. wykorzystuje dzielenie z resztą do przedstawienia liczby naturalnej w postaci a k + r konstruuje odcinki o długościach niewymiernych usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu bdca± wykonuje działania łączne na liczbach rzeczywistych zamienia ułamek dziesiętny okresowy na ułamek zwykły porównuje pierwiastki bez użycia kalkulatora wykonuje działania łączne na potęgach o wykładnikach całkowitych wyprowadza i stosuje wzory skróconego mnożenia ( b) a ±, a ± b oblicza, o ile procent jedna liczba jest większa (mniejsza) od drugiej rozwiązuje złożone zadania tekstowe, wykorzystując obliczenia procentowe ocenia dokładność zastosowanego przybliżenia oziom (W) Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poziomów () (D) oraz: przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb dowodzi niewymierności niektórych liczb, np., uzasadnia prawa działań na potęgach o wykładnikach naturalnych (całkowitych) przeprowadza dowód nie wprost rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące liczb rzeczywistych 4

25 . JĘZY MATEMATYI oziom () lub () Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: posługuje się pojęciami: zbiór, podzbiór, zbiór skończony, zbiór nieskończony opisuje symbolicznie dane zbiory wyznacza iloczyn, sumę oraz różnicę danych zbiorów zaznacza na osi liczbowej przedziały liczbowe wyznacza iloczyn, sumę i różnicę przedziałów liczbowych rozwiązuje proste nierówności liniowe zaznacza na osi liczbowej zbiór rozwiązań nierówności liniowej zapisuje zbiory w postaci przedziałów liczbowych, np. A = { x R : x 4 x < } = 4,) oblicza wartość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretację geometryczną wartości bezwzględnej liczby do rozwiązywania elementarnych równań i nierówności typu x = a, x < a wyznacza błąd bezwzględny oraz błąd względny przybliżenia stosuje interpretację geometryczną wartości bezwzględnej liczby do rozwiązywania równań i nierówności typu x =, x + 4 oziom (R) lub (D) Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub bardzo dobrą, jeśli opanował poziomy () i () oraz dodatkowo: zaznacza na osi liczbowej zbiory liczb spełniających układ nierówności liniowych z jedną niewiadomą wykonuje złożone działania na przedziałach liczbowych rozwiązuje nierówności liniowe przekształca wyrażenia algebraiczne, korzystając z własności wartości bezwzględnej wyznacza przedziały liczbowe określone za pomocą wartości bezwzględnej wykorzystuje własności wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną oziom (W) Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poziomów () (D) oraz: 5

26 formułuje i uzasadnia hipotezy dotyczące praw działań na zbiorach stosuje interpretację geometryczną wartości bezwzględnej do przedstawienia w układzie współrzędnych zbiorów opisanych kilkoma warunkami uzasadnia własności wartości bezwzględnej rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące zbiorów i własności wartości bezwzględnej. FUNCJA LINIOWA oziom () lub () Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru lub wykresu podaje przykłady funkcji liniowych opisujących sytuacje z życia codziennego rysuje wykres funkcji liniowej danej wzorem oblicza wartość funkcji liniowej dla danego argumentu i odwrotnie wyznacza miejsce zerowe funkcji liniowej interpretuje współczynniki ze wzoru funkcji liniowej rozpoznaje funkcję liniową na podstawie wzoru lub wykresu podaje przykłady funkcji liniowych opisujących sytuacje z życia codziennego rysuje wykres funkcji liniowej danej wzorem oblicza wartość funkcji liniowej dla danego argumentu i odwrotnie wyznacza algebraicznie oraz odczytuje z wykresu funkcji liniowej zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne) odczytuje z wykresu funkcji liniowej jej własności: dziedzinę, zbiór wartości, miejsce zerowe, monotoniczność wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dane dwa punkty wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykresem jest dana prosta wyznacza współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji liniowej z osiami układu współrzędnych sprawdza algebraicznie i graficznie, czy dany punkt należy do wykresu funkcji liniowej przekształca równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej i odwrotnie sprawdza, czy dane trzy punkty są współliniowe stosuje warunek równoległości i prostopadłości prostych wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dany punkt i jest 6

27 równoległy do wykresu danej funkcji liniowej wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez dany punkt i jest prostopadły do wykresu danej funkcji liniowej rozstrzyga, czy dany układ dwóch równań liniowych jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą podstawiania i metodą przeciwnych współczynników określa liczbę rozwiązań układu równań liniowych, korzystając z jego interpretacji geometrycznej rozwiązuje graficznie układy nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi oziom (R) lub (D) Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub bardzo dobrą, jeśli opanował poziomy () i () oraz dodatkowo: sprawdza, dla jakich wartości parametru funkcja liniowa jest rosnąca, malejąca, stała rysuje wykres funkcji przedziałami liniowej i omawia jej własności oblicza pole figury ograniczonej wykresami funkcji liniowych oraz osiami układu współrzędnych uzasadnia na podstawie definicji monotoniczność funkcji liniowej sprawdza, dla jakich wartości parametru dwie proste są równoległe, prostopadłe znajduje współrzędne wierzchołków wielokąta, gdy dane są równania prostych zawierających jego boki rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi opisuje za pomocą układu nierówności liniowych zbiór punktów przedstawionych w układzie współrzędnych rozwiązuje algebraicznie układ trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi oziom (W) Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poziomów () (D) oraz: określa własności funkcji liniowej w zależności od wartości parametrów występujących w jej wzorze wykorzystuje własności funkcji liniowej w zadaniach dotyczących wielokątów w układzie współrzędnych rozwiązuje graficznie układ równań, w którym występuje wartość bezwzględna 7

28 rozwiązuje układy równań liniowych z parametrem rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji liniowej 4. FUNCJE oziom () lub () Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: rozpoznaje przyporządkowania będące funkcjami określa funkcję różnymi sposobami (wzorem, tabelą, wykresem, opisem słownym) poprawnie stosuje pojęcia związane z pojęciem funkcji: dziedzina, zbiór wartości, argument, wartość i wykres funkcji odczytuje z wykresu dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, najmniejszą i największą wartość funkcji wyznacza dziedzinę funkcji określonej tabelką lub opisem słownym wyznacza dziedzinę funkcji danej wzorem, wymagającym jednego założenia oblicza miejsca zerowe funkcji danej wzorem (w prostych przykładach) oblicza wartość funkcji dla różnych argumentów na podstawie wzoru funkcji oblicza argument odpowiadający podanej wartości funkcji sprawdza algebraicznie położenie punktu o danych współrzędnych względem wykresu funkcji danej wzorem wyznacza współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji danej wzorem z osiami układu współrzędnych rysuje w prostych przypadkach wykres funkcji danej wzorem sporządza wykresy funkcji: y f ( x p) =, y = f ( x) + q, y = f x p) + q y = f( x) na podstawie danego wykresu funkcji y = f (x) sporządza wykresy funkcji: f ( x) y = f ( x) y =, y = f ( x ) 8 (,,, mając dany wykres funkcji odczytuje z wykresu wartość funkcji dla danego argumentu oraz argument dla danej wartości funkcji na podstawie wykresu funkcji określa argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne określa na podstawie wykresu przedziały monotoniczności funkcji wskazuje wykresy funkcji rosnących, malejących i stałych wśród różnych wykresów

29 stosuje funkcje i ich własności w prostych sytuacjach praktycznych oziom (R) lub (D) Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub bardzo dobrą, jeśli opanował poziomy () i () oraz dodatkowo: rozpoznaje i opisuje zależności funkcyjne w otaczającej nas rzeczywistości przedstawia daną funkcję na różne sposoby określa dziedzinę oraz wyznacza miejsca zerowe funkcji danej wzorem, który wymaga kilku założeń na podstawie definicji bada monotoniczność funkcji danej wzorem na podstawie wykresu funkcji określa liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od wartości parametru m na podstawie wykresu funkcji odczytuje zbiory rozwiązań nierówności: f ( x) > m, f ( x) < m, f ( x) m, f ( x) m dla ustalonej wartości parametru m odczytuje z wykresów funkcji rozwiązania równań i nierówności typu: f(x) = g(x), f(x)<g(x), f(x)>g(x) szkicuje wykres funkcji spełniającej podane warunki szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonania kilku operacji, mając dany wykres funkcji y = f ( x) oziom (W) Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poziomów () (D) oraz: x uzasadnia, że funkcja f ( x) = nie jest monotoniczna w swojej dziedzinie wykorzystuje inne własności funkcji (np. parzystość) rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji 5. FUNCJA WADRATOWA oziom () lub () Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: rysuje wykres funkcji f ( x) = ax i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy do wykresu danej funkcji kwadratowej rysuje wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy do wykresu danej funkcji kwadratowej rysuje wykres funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej i podaje jej własności 9

30 ustala wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej na podstawie informacji o przesunięciach wykresu przekształca wzór funkcji kwadratowej z postaci kanonicznej do postaci ogólnej i odwrotnie oblicza współrzędne wierzchołka paraboli znajduje brakujące współczynniki funkcji kwadratowej, znając współrzędne punktów należących do jej wykresu rozwiązuje równania kwadratowe niepełne metodą rozkładu na czynniki oraz stosując wzory skróconego mnożenia wyznacza algebraicznie współrzędne punktów przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych określa liczbę pierwiastków równania kwadratowego w zależności od znaku wyróżnika rozwiązuje równania kwadratowe, stosując wzory na pierwiastki sprowadza funkcję kwadratową do postaci iloczynowej, o ile można ją w tej postaci zapisać odczytuje miejsca zerowe funkcji kwadratowej z jej postaci iloczynowej rozwiązuje nierówności kwadratowe wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w podanym przedziale stosuje wzory Viète a do wyznaczania sumy i iloczynu pierwiastków równania kwadratowego oraz do określania znaków pierwiastków trójmianu kwadratowego bez wyznaczania ich wartości, przy czym sprawdza najpierw ich istnienie rysuje wykres funkcji y = f(x), gdy dany jest wykres funkcji kwadratowej y = f(x) rozwiązuje proste równania i nierówności kwadratowe z parametrem oziom (R) lub (D) Uczeń otrzymuje ocenę dobrą lub bardzo dobrą, jeśli opanował poziomy () i () oraz dodatkowo: na podstawie wykresu określa liczbę rozwiązań równania f(x) = m w zależności od parametru m, gdzie y = f(x) jest funkcją kwadratową rozwiązuje równania dwukwadratowe oraz inne równania sprowadzalne do 0

31 równań kwadratowych przez podstawienie niewiadomej pomocniczej rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do wyznaczania wartości najmniejszej i największej funkcji kwadratowej rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań lub nierówności kwadratowych znajduje iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązań nierówności kwadratowych stosuje wzory Viète a do obliczania wartości wyrażeń zawierających sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego, np. + rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe z parametrem o wyższym stopniu trudności x x oziom (W) Uczeń otrzymuje ocenę celującą, jeśli opanował wiedzę i umiejętności z poziomów () (D) oraz: przekształca na ogólnych danych wzór funkcji kwadratowej z postaci ogólnej do postaci kanonicznej wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli wyprowadza wzory na pierwiastki równania kwadratowego zaznacza w układzie współrzędnych obszar opisany układem nierówności wyprowadza wzory Viète a rozwiązuje zadania o znacznym stopniu trudności dotyczące funkcji kwadratowej 6. LANIMETRIA oziom () lub () Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie sprawdza, czy z trzech odcinków o danych długościach można zbudować trójkąt uzasadnia przystawanie trójkątów, wykorzystując cechy przystawania wykorzystuje cechy przystawania trójkątów do rozwiązywania prostych zadań uzasadnia podobieństwo trójkątów, wykorzystując cechy podobieństwa zapisuje proporcje boków w trójkątach podobnych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania elementarnych zadań sprawdza, czy dane figury są podobne oblicza długości boków figur podobnych