Równania Lagrange'a II rodzaju

Transkrypt

1 Równana Lagange'a II ozau Ukłaane ównań ynamk la ukłau unktów matealnych newobonych et utunone ze wzglęu na koneczność uwzglęnana oatkowych waunków wynkaących z ównań węzów. Pocąga to za obą koneczność wowazena o ównań ynamk ł eakc. Stanową one oatkowe newaome, któe częto tuno et wyugować. Tunośc te można wyelmnować, zechoząc o wółzęnych katezańkch o wółzęnych uogólnonych. Wółzęne uogólnone, to mnmalna lczba wółzęnych nezależnych o ebe, ouących w oób enoznaczny ołożene ukłau w zetzen. Naczęśce wółzęne uogólnone zymuą otać zemezczeń. Mogą to być zaówno zemezczena lnowe (tanlacyne), ak kątowe (otacyne). Pof. Emun Wttbo

2 Pzykłaowym ukłaem z węzam może być owóne wahało matematyczne zetawone na onżzym yunku. Skłaa ę ono z wóch ma m m, ołączonych ętam o ługoścach l l. Powóne wahało matematyczne: a) wółzęne kątowe α,α oaz lnowe x, y, x, y ; b) óżne ołożena wółzęne y may m zy te ame wółzęne x ; c) zykła nnych wółzęnych nezależnych (uogólnonych) α, α Aby w enoznaczny oób oać ołożene owolnego ukłau w zetzen, należy oać tyle wółzęnych, le ozatywany ukła ma ton woboy. Wółzęne te ownny chaakteyzować ę tym, że owolne zmany ene wółzęne ne wływaą na zmany nnych. Wółzęne ełnaące te waunk ą właśne wółzęnym uogólnonym. Pof. Emun Wttbo

3 W zyaku owónego wahała matematycznego wyóżnć 6 wółzęnych: α,α, x, y, x, y (y. a). Wółzęne te owązane ą ze obą za omocą 4 ównań węzów o otac: x y x y l nα l l coα l nα + l coα + l nα coα Lczba ton woboy owónego wahała matematycznego (ukła łak) et węc ówna - w 4 -, gze: lczba unktów (ma), w lczba ównań węzów. Sośó 6 wyóżnonych wółzęnych należy zatem wybać we, któe mogą być wółzęnym uogólnonym. Ne można zobć enak tego w owolny oób. N. we wółzęne x, y ne mogą być wółzęnym uogólnonym, gyż ą one zależne o ebe. Poobne et w zyaku wybou nektóych nnych a wółzęnych, n. ( α, x ), ( α, y ), ( x, y ). Równeż wółzęne x, x ne mogą być zyęte ako wółzęne uogólnone, gyż ne ouą enoznaczne ołożena ukłau w zetzen (y. b). Dla tych amych watośc wółzęnych x, x możlwe ą wa óżne ołożena ukłau. Pof. Emun Wttbo

4 Natomat wółzęne kątowe α,α mogą być zyęte za wółzęne uogólnone, gyż ne zależą one o ebe enoznaczne ouą ołożene ukłau w zetzen (y. b). Wółzęną α można zmenać owolne, zy zachowanu te ame watośc kąta α owotne. Zatem, kąty α,α ą enym z możlwych wółzęnych ośó wółzęnych α,α, x, y, x, y. Ne ą to enak eyne możlwe wółzęne uogólnone. Można znaleźć ezcze nne ay wółzęnych uogólnonych, a eną z nch zetawono na y. c. Pof. Emun Wttbo

5 Załóżmy, że ozatuemy zetzenny ukła złożony z unktów matealnych, któy ma oganczena w otac węzów holonomcznych, wutonnych ealnych o ównanach f f,..., ) f ( x, y, z, x, y, z,..., x, y, z ) 0,,,..., w ( Z ównań tych można na ogół wyznaczyć w wółzęnych ako funkce 3-w ozotałych wółzęnych, któe ą o ebe nezależne, gze lczba ton woboy ukłau unktów. Załóżmy też, że ana et taka lczba nezależnych aametów, ż każemu zboow watośc tych aametów oowaa enoznaczne ewne ołożene ukłau zgone z węzam, owotne, każemu ołożenu zgonemu z węzam, oowaa ewen zbó watośc tych nezależnych aametów. Paamety te mogą łużyć o ou ołożena ukłau. Nazywać e bęzemy wółzęnym uogólnonym ukłau zgonym z węzam bęzemy oznaczać,,,..., Pof. Emun Wttbo

6 Położene ukłau może być wtey okeślone za omocą omen, (,,..., ), któe ą funkcam kalanym aametów (,,..., ) (,,...,, t), (,,..., ) Na otawe otatnego ównana, zemezczena zygotowane ełnaącym zależność (,,..., ) ą owolnym wektoam, (,,..., ) co otyczy zaówno węzów kleonomcznych, ak eonomcznych. Poneważ ozatywany ukła znaue ę w uchu, wółzęne uogólnone ą funkcam czau t, czyl (t),,,..., Ponao, z uwag na to, że wółzęne uogólnone ą z założena nezależne, ch zemezczena zygotowane (,,..., ) ą o ebe ówneż nezależne. Pof. Emun Wttbo

7 Pof. Emun Wttbo Pzemezczena zygotowane można zymować owolne. Można węc założyć, że wzytke one, z wyątkem enego, n., ą ówne zeo. Wówcza zemezczene zygotowane zymue otać. Wykozytuąc zaaę Alembeta la ukłau unktów matealnych o węzach holonomcznych, wutonnych ealnych w ukłaze necalnym w otac 0 ) ( m P otzymuemy 0 ) ( ) ( m P m P,,,...,.

8 Otatne ównane mu być ełnone la owolnego (,,..., ). Aby to zachozło, wyażene zawate w nawae kwaatowym tego ównana mu być ówne zeo, czyl ( P m ) 0,,,..., albo m P,,,...,. Równań tych można ułożyć tyle, le et wółzęnych uogólnonych, a węc tyle, le ton woboy ma analzowany ukła. W otatnm ównanu o awe tone wytęue wyażene, któe tanow oowenk ły obcążaące ukła zgone ze wółzęną, oneważ otzymano e zy założenu, że zemezczene zygotowane było óżne o zea. Wyażene to nazywamy łą uogólnoną oowaaącą -te wółzęne uogólnone. Pof. Emun Wttbo

9 Pof. Emun Wttbo Słę uogólnoną efnuemy ako P W celu oblczena -te ły uogólnone częto użo wygoneze et oblczene acy zygotowane wzytkch ł czynnych oównane e z acą zygotowaną neznanych ł uogólnonych na ch zemezczenach zygotowanych. Otzymue ę wtey ównane P L Poneważ zemezczena zygotowane ą owolne nezależne o ebe, latego o zguowanu wyażeń zy otzymue ę ównań, z któych można okelć neznane ły uogólnone (,,, ).

10 DWIE TOŻSAMOŚCI W celu wyowazena ównań Lagange a II ozau uowonmy naew we tożamośc.. Różnczkuąc wzglęem czau funkcę złożoną wyażaącą omeń wekto o otac (,,..,, t) (,,.., ) otzymuemy v + t. Różnczkuąc natęne tę funkcę wzglęem -te ękośc wółzęne uogólnone uzykuemy ewzą tożamość (I) Pof. Emun Wttbo

11 Pof. Emun Wttbo. Różnczkuąc z kole wzglęem czau funkcę, wytęuącą w ównanu, uzykuemy: + l l l t (A) natomat óżnczkuąc funkcę t v + wzglęem wółzęne uogólnone, otzymuemy + l l l t ) ( (B) Stą z oównana wzoów (A) oaz (B), a także na otawe twezena o ochone mezane funkc welu zmennych otzymuemy ugą tożamość. (II)

12 Pof. Emun Wttbo Wacaąc o zaay Alembeta, lewą tonę wzou P m,,,,...,, na otawe ochone loczynu wóch funkc, zekztałcamy w oób natęuący m m m, co o wykozytanu wóch tożamośc (I) oaz (II), ae m m m m m Wyażene m zetawa enegę knetyczną ukłau. Oznaczaąc ą zez E otzymane ównane można zaać E E m,,,,. Pzetawa ono ównana Lagange a II ozau, któe otateczne zauemy w otac E E,,...,,

13 Częto ły wytęuące w ukłaach maą chaakte otencalny V lub yyacyny D. Jeżel łę uogólnoną zetawmy w otac V P D (,,..., ), gze P neotencalna neyyatywna część ły uogólnone (ła czynna), to ównana Lagange a II ozau zymuą otać E E + D + V,,,..., gze: E enega knetyczna ukłau, D funkca yyac eneg ukłau (ękość ozazana eneg mechanczne), V enega otencalna ukłau, ła uogólnona (neotencalna neyyacyna część ły czynne) załaąca w keunku -te wółzęne uogólnone, -ta wółzęna uogólnona, -ta ękość uogólnona (zgona z -tą wółzęną uogólnoną), lczba ton woboy ukłau. Pof. Emun Wttbo

14 Sły uogólnone, o czym była mowa wcześne, ą welkoścam ełnaącym ównane L,,,..., gze: L aca zygotowana ukłau, zeunęce zygotowane, zgone z -tą wółzęną uogólnoną, - ta ła uogólnona, zgona z -tą wółzęną uogólnoną, lczba ton woboy (wółzęnych uogólnonych). Słę uogólnoną możemy wyznaczyć z natęuące zależnośc Px + Py + Pz x y z ( ),,,..., gze: x,, y z wółzęne otokątne -tego unktu, P x Py, Pz, zuty ły załaące na -ty unkt na oe ukłau otokątnego, -ta wółzęna uogólnona, lczba ton woboy ukłau, lczba unktów ukłau. Pof. Emun Wttbo

15 Naotzą otać ównań Lagange a II ozau możemy oać o wowazenu funkc Lagange a. Fumkca Lagange a et óżncą eneg knetyczne otencalne ukłau. L (,, t ) E (,, t ) V ( ) Wówcza, gy ukła obcążony et tylko łam otencalnym, otzymamy ównana Lagange a II ozau w otac L L,,,...,. Pof. Emun Wttbo