Równania Lagrange'a II rodzaju

Transkrypt

1 Równana Lagange'a II ozau Ukłaane ównań ynamk a ukłau unktów mateanych newobonych et utunone ze wzgęu na koneczność uwzgęnana oatkowych waunków wynkaących z ównań węzów. Pocąga to za obą koneczność wowazena o ównań ynamk ł eakc. Stanową one oatkowe newaome, któe częto tuno et wyugować. Tunośc te można wyemnować, zechoząc o wółzęnych katezańkch o wółzęnych uogónonych. Wółzęne uogónone, to mnmana czba wółzęnych nezaeżnych o ebe, ouących w oób enoznaczny ołożene ukłau w zetzen. Naczęśce wółzęne uogónone zymuą otać zemezczeń. Mogą to być zaówno zemezczena nowe (tanacyne), ak kątowe (otacyne). Pof. Emun Wttbo

2 Pzykłaowym ukłaem z węzam może być owóne wahało matematyczne zetawone na onżzym yunku. Skłaa ę ono z wóch ma m m, ołączonych ętam o ługoścach. Powóne wahało matematyczne: a) wółzęne kątowe α,α oaz nowe x, y, x, y ; b) óżne ołożena wółzęne y may m zy te ame wółzęne x ; c) zykła nnych wółzęnych nezaeżnych (uogónonych) α, α Aby w enoznaczny oób oać ołożene owonego ukłau w zetzen, naeży oać tye wółzęnych, e ozatywany ukła ma ton woboy. Wółzęne te ownny chaakteyzować ę tym, że owone zmany ene wółzęne ne wływaą na zmany nnych. Wółzęne ełnaące te waunk ą właśne wółzęnym uogónonym. Pof. Emun Wttbo

3 W zyaku owónego wahała matematycznego wyóżnć 6 wółzęnych: α,α, x, y, x, y (y. a). Wółzęne te owązane ą ze obą za omocą 4 ównań węzów o otac: x y x y nα coα nα + coα + nα coα Lczba ton woboy owónego wahała matematycznego et węc ówna gze: czba wółzęnych, w czba ównań węzów. - w 4 -, Sośó 6 wyóżnonych wółzęnych naeży wybać we, któe mogą być wółzęnym uogónonym. Ne można zobć enak tego w owony oób. N. we wółzęne x, y ne mogą być wółzęnym uogónonym, gyż one ą zaeżne o ebe. Poobne et w zyaku wybou nektóych nnych a wółzęnych, n. ( α, x ), ( α, y ), ( x, y ). Równeż wółzęne x, x ne mogą być zyęte ako wółzęne uogónone, gyż ne ouą enoznaczne ołożena ukłau w zetzen (y. b). Da tych amych watośc wółzęnych x, x możwe ą wa óżne ołożena ukłau. Pof. Emun Wttbo

4 Natomat wółzęne kątowe α,α mogą być zyęte za wółzęne uogónone, gyż ne zaeżą one o ebe enoznaczne ouą ołożene ukłau w zetzen (y. b). Wółzęną α można zmenać owone, zy zachowanu te ame watośc kąta α owotne. Zatem, kąty α,α ą eynym możwym wółzęnym ośó wółzęnych α,α, x, y, x, y. Ne ą to enak eyne możwe wółzęne uogónone. Można znaeźć ezcze nne ay wółzęnych uogónonych, a eną z nch zetawono na y. c. Załóżmy, że ozatuemy zetzenny ukła unktów mateanych ma oganczena w otac węzów hoonomcznych, wutonnych eanych o ównanach f f,..., ) f ( x, y, z, x, y, z,..., x, y, z ) 0,,,..., w ( Z ównań tych można na ogół wyznaczyć w wółzęnych ako funkce 3-w ozotałych wółzęnych, któe ą o ebe nezaeżne, gze czba ton woboy ukłau unktów. Pof. Emun Wttbo

5 Załóżmy też, że ana et taka czba nezaeżnych aametów, ż każemu zboow watośc tych aametów oowaa enoznaczne ewne ołożene ukłau zgone z węzam, owotne, każemu ołożenu zgonemu z węzam, oowaa ewen zbó watośc tych nezaeżnych aametów. Paamety te mogą łużyć o ou ołożena ukłau. Nazywać e bęzemy wółzęnym uogónonym ukłau zgonym z węzam bęzemy e oznaczać zez,,,..., Położene ukłau może być wtey okeśone za omocą omen, (,,..., ), któe ą funkcam kaanym aametów (,,..., ) (,,...,, t), (,,..., ) Na otawe otatnego ównana, zemezczena zygotowane ełnaącym zaeżność δ (,,..., ) ą owonym wektoam δ δ co otyczy zaówno węzów keonomcznych, ak eonomcznych. Pof. Emun Wttbo

6 Poneważ ozatywany ukła znaue ę w uchu, wółzęne uogónone ą funkcam czau t, czy (t),,,..., Ponao, z uwag na to, że wółzęne uogónone ą z założena nezaeżne, ch zemezczena zygotowane δ (,,..., ) ą o ebe ówneż nezaeżne można e zymować owone. Można węc założyć, że wzytke zemezczena zygotowane, z wyątkem enego, n. δ, ą ówne zeo. Wówcza zemezczene zygotowane zymue otać δ δ. Wykozytuąc zaaę Aembeta a ukłau unktów mateanych o węzach hoonomcznych, wutonnych eanych w ukłaze necanym o otac otzymuemy ( P m ) δ 0 ( P m ) δ ( P m ) δ 0,,,...,. Pof. Emun Wttbo

7 Otatne ównane mu być ełnone a owonego δ (,,..., ). Aby to zachozło, wyażene zawate w nawae kwaatowym tego ównana mu być ówne zeo, czy ( P m ) 0 abo P m,,,...,. Równań tych można ułożyć tye, e et wółzęnych uogónonych, a węc tye, e ton woboy ma anazowany ukła. W otatnm ównanu o awe tone wytęue wyażene, któe tanow oowenk ły obcążaące ukła zgone ze wółzęną, oneważ otzymano e zy założenu, że zemezczene zygotowane δ było óżne o zea. Wyażene to nazywamy łą uogónoną oowaaącą -te wółzęne uogónone, któą efnuemy ako P. Pof. Emun Wttbo

8 W ceu obczena te ły uogónone częto użo wygoneze et obczene acy zygotowane wzytkch ł czynnych oównane e z acą zygotowaną neznanych ł uogónonych na ch zemezczenach zygotowanych δ. Otzymue ę wtey ównane δ L P δ δ Poneważ zemezczena zygotowane δ ą owone nezaeżne o ebe, atego, o zguowanu wyażeń zy δ, otzymue ę ównań, z któych można obczyć neznane ły uogónone (,,, ). Pof. Emun Wttbo

9 W ceu wyowazena ównań Lagange a II ozau uowonmy naew we tożamośc, któe wykozytamy óźne. Różnczkuąc wzgęem czau funkcę złożoną wyażaącą omeń wekto o otac (,,..,, t) (,,.., ) otzymuemy v +. t Różnczkuąc natęne tę funkcę wzgęem -te ękośc wółzęne uogónone uzykuemy ewzą tożamość (I) Pof. Emun Wttbo

10 Pof. Emun Wttbo Różnczkuąc z koe wzgęem czau funkcę, wytęuącą w ównanu δ δ uzykuemy: + t natomat óżnczkuąc funkcę t v + wzgęem wółzęne uogónone, otzymuemy + t ) ( Stą z oównana wzoów + t ) ( oaz + t oaz na otawe twezena o ochone mezane funkc weu zmennych otzymuemy ugą tożamość. (II)

11 Pof. Emun Wttbo Lewą tonę wzou m m m, na otawe ochone oczynu wóch funkc zekztałcamy w oób natęuący m m m, co o wykozytanu wóch tożamośc (I) oaz (II), ae m m m m m Wyażene m zetawa enegę knetyczną ukłau. Oznaczaąc ą zez E oaz wykozytuąc P, można zaać ównane E E m,,,,. Pzetawa ono ównana Lagange a II ozau, któe zauemy w otac E E,,...,,

12 Bazo częto ły wytęuące w ukłaach maą chaakte otencany V ub yyatywny D. Jeże łę uogónoną zetawmy w otac V P D (,,..., ), gze P neotencana neyyatywna część ły uogónone (ła czynna), to ównana Lagange a II ozau zymuą otać E E + D + V,,,..., gze: E enega knetyczna ukłau, D funkca yyac eneg ukłau (ękość ozazana eneg mechanczne), V enega otencana ukłau, ła uogónona (neotencana neyyatywna część ły czynne) załaąca w keunku -te wółzęne uogónone, -ta wółzęna uogónona, -ta ękość uogónona (zgona z -tą wółzęną uogónoną), czba ton woboy ukłau. Pof. Emun Wttbo

13 Sły uogónone ą to wekośc ełnaące ównane δ L δ,,,..., gze: δ L aca zygotowana ukłau, δ zeunęce zygotowane, zgone z -tą wółzęną uogónoną, - ta ła uogónona, zgona z -tą wółzęną uogónoną, czba ton woboy (wółzęnych uogónonych). Słę uogónoną możemy wyznaczyć z natęuące zaeżnośc Px + Py + Pz x y z ( ),,,..., gze: P P, P x, zuty ły załaące na -ty unkt, x, y, z wółzęne otokątne -tego unktu, -ta y z wółzęna uogónona, czba ton woboy ukłau, czba unktów ukłau. Pof. Emun Wttbo

14 Naotzą otać ównań Lagange a II ozau możemy oać o wowazenu funkc Lagange a, któa et óżncą eneg knetyczne otencane ukłau L (,, t ) E (,, t ) V ( ). Wówcza, gy ukła obcążony et tyko łam otencanym, otzymamy ównana Lagange a w otac L L,,,...,. Pof. Emun Wttbo