Języki Modelowania i Symulacji 2018 Arytmetyka zmiennoprzecinkowa w standardzie IEEE Wykład 3
|
|
- Martyna Smolińska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Języki Modelowania i Symulacji 2018 Arytmetyka zmiennoprzecinkowa w standardzie IEEE Wykład 3 dr inż. Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki Wydział ETI, Politechnika Gdańska
2 Języki Modelowania i Symulacji dr inż. Marcin Ciołek Katedra Systemów Automatyki Konsultacje: wtorek 11:15-13 Pokój: ETI EA marcin.ciolek@pg.edu.pl e-wizytówka:
3 O czym będziemy mówili 1. Przypomnienie wiadomości 2. Liczby zmiennoprzecinkowe: standard IEEE 754 liczby znormalizowane, zdenormalizowane niedomiar, przepełnienie wartości specjalne NaN, Inf działania na liczbach zmiennoprzecinkowych 3. Przykłady nieoczekiwanych wyników obliczeń 4. Uwarunkowanie zadania wielomian Wilkinsona macierz Hilberta 5. Podsumowanie
4 Literatura Dokumentacja MATLABa, Moler, Cleve. "Floating Points" MATLAB News and Notes. Fall, [ Moler, Cleve. Numerical Computing with MATLAB. Natick, MA: The MathWorks, Inc., 2004.
5 O czym będziemy mówili 1. Przypomnienie wiadomości 2. Liczby zmiennoprzecinkowe: standard IEEE 754 liczby znormalizowane, zdenormalizowane niedomiar, przepełnienie wartości specjalne NaN, Inf działania na liczbach zmiennoprzecinkowych 3. Przykłady nieoczekiwanych wyników obliczeń 4. Uwarunkowanie zadania wielomian Wilkinsona macierz Hilberta 5. Podsumowanie
6 What You Get Is Not What You Expect W pakiecie MATLAB prawie wszystkie operacje matematyczne wykonywane są w artytmetyce zmiennoprzecinkowej z podwójną precyzją zgodnie z standardem IEEE 754. Ponieważ liczby reprezentowane są w komputerach ze skończoną precyzją, czasem obliczenia dają matemtycznie nieoczkiwane wyniki. Pamiętajmy, że te wyniki nie są spowodowane błędami w pakiecie MATLAB. skończona precyzja błędy zaokrągleń utrata precyzji kolejność wykonywania działań nierównomierna odległość pomiędzy liczbami przepełnienie niedomiar?
7 Przypomnienie Reprezentacja liczby w układzie dziesiętnym = Reprezentacja liczby w układzie binarnym = ( ) 2 = Uwaga! liczba 0.1 ma nieskończone rozwinięcie w układzie binarnym Zaokrąglenie do 30 miejsca po przecinku 0.1 = ( )
8 Standard IEEE 754 Postać zmiennopozycyjna liczby x 0 w układzie dwójkowym (sc 1 c p f 1 f t ) 2 s 0(+), 1( ) znak m [1,2) mantysa c wykładnik (cecha) b dodatnie przesunięcie(ang. bias) x = ( 1) s m 2 c m = 1 + f = 1 + f j 2 j = (1. f 1 f 2 f 3 ) 2 f j {0, 1} j=1 Przykład pojedyncza precyzja: cecha 8 bitów dla b = 127 zakres wykładników od <-126,127> podwójna precyzja: cecha 11 bitów dla b = 1023 zakres wykładników od <-1022,1023> Zapamiętaj Wyróżniamy dwa rodzaje liczb zmiennoprzecinkowych: 32-bitowe (pojedynczej precyzji - ang. single precision) 64-bitowe (podwójnej precyzji - ang. double precision)
9 Standard IEEE 754 Obliczyć wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej pojedynczej precyzji: Kod binarny dzielimy na poszczególne pola zawierające kolejno znak, cechę oraz bity ułamkowe mantysy Przykład s cecha bity ułamkowe mantysy s = 0 liczba jest dodatnia c = (BIAS = 127) = = 6 m = (U1) = x = ( 1) s m 2 c m = 1 + f = 1 + f j 2 j = (1. f 1 f 2 f 3 ) 2 f j {0, 1} j=1 Obliczamy wartość liczby x = ( 1) = 100
10 Standard IEEE 754 Standard IEEE 754 definiuje dwa zasadnicze formaty reprezentacji zmiennoprzecinkowej liczb rzeczywistych oraz określa reguły wykonywania działań arytmetycznych Precyzja Standard IEEE 754 Pojedyncza Podwójna Liczba bitów wykładnika 8 11 Liczba bitów mantysy Zapamiętaj Liczby pojedynczej precyzji IEEE 754 oferują precyzję 7 cyfr dziesiętnych. Zatem nadają się one do bardzo prostych rachunków. Przesunięcie (bias) Orientacyjny zakres Orientacyjna precyzja Liczby podwójnej precyzji IEEE 754 oferują precyzję cyfr dziesiętnych. Zatem nadają się do dokładnych obliczeń naukowych i inżynierskich. MATLAB wykorzystuje podwójną precyzję w arytmetyce zmiennoprzecinkowej ε = =
11 Standard IEEE 754 Obliczyć wartość największej liczby zmiennoprzecinkowej pojedynczej/podwójnej precyzji Pojedyncza precyzja Największa cecha c = wartość specjalna c = (BIAS=127) c = = 127 Największa mantysa m = (U1) m = (2 24 1) / 2 23 Obliczamy wartość największej liczby x = (2 24 1) / Podwójna precyzja Największa cecha c = (BIAS=1023) c = =1023 Największa mantysa m = (U1) m = (2 53 1) / 2 52 Obliczamy wartość największej liczby x = (2 53 1) /
12 Standard IEEE 754-wartości specjalne W formacie IEEE 754 nie można zapisać wartości 0, ponieważ mantysa ma domyślną część całkowitą równą 1 Wartość zdenormalizowana liczba otzymana gdy wszystkie bity cechy mają wartość 0, lecz mantysa zawiera bity o wartościach 1. W takim przypadku mantysa nie posiada domyślnej części całkowitej 1 Wartość specjalna: 0 c = (BIAS=127) m = (U1) x = m = 0 Najmniejsza liczba pojedyncza precyzja m = 2-23 x = = x = ±1, podwójna precyzja m = 2-52 x = = x = ±4, Zapamiętaj Wartości zdenormalizowane pozwalają przedstawiać bardzo małe liczby zmiennoprzecinkowe, które bez tej opcji zostałyby zaokrąglone do 0. Zwiększa to precyzję wykonywanych operacji zmiennoprzecinkowych i jest cechą bardzo pożądaną.
13 Standard IEEE 754: NaN i Inf Wartosći specjalne (NaN - Not a Number Nie Liczba, Inf - Infinity) propagują się w obliczeniach zgodnie z poniższymi regułami działanie wynik działanie wynik 1+NaN NaN Inf Inf NaN NaN+NaN NaN Inf+Inf Inf NaN NaN NaN Inf Inf Inf 1>NaN 0 Inf>1 1 1==NaN 0 Inf<0 0 NaN==NaN 0 Inf ( Inf) Inf NaN NaN 1 Inf/Inf NaN NaN NaN 0 Inf==Inf 1 2 NaN 1 Inf<Inf 1 Standard IEEE 754 pozwala reprezentować dodatnią i ujemną nieskończoność, jest to zależne od pola znaku. Cecha posiada wszystkie bity ustawione na 1, a bity mantysy są wyzerowane. Standard IEEE 754 definiuje dwie specjalne wartości, które nie reprezentują liczb tzw. ciche - QNaN (ang. Quiet NaN) lub głośne SNaN (ang. Signaling NaN). W obu przypadkach cecha zawiera same 1. Jeśli najstarszy bit ułamkowy mantysy jest ustawiony na 1/0, to kod reprezentuje cichą/głośną nieliczbę.
14 Przepełnienie i Niedomiar Rozważmy system dwójkowy, w którym zarówno na cechę, jak i na mantysę, przeznaczono po dwa bity (p = 2; t = 2). Przyjmijmy b = 1, dzięki czemu 1 c b 2 Niech x > 0 i x = m 2 c b gdzie 1 m < 2 m {(1.00) 2, (1.01) 2, (1.10) 2, (1.11) 2 } = {1, 1.25, 1.5, 1.75} 2 c b {0.5, 1, 2, 4} x {0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 5, 6, 7} Co powiesz o rozkładzie liczb?
15 Przykład: eps Funkcja eps podaje odległość do najbliższej kolejnej liczby zmiennoprzecinkowej Pojedyncza precyzja eps(single(1)) >> e-07 eps(single(10)) >> e-07 eps(single(100)) >> e-06 eps(single(1000)) >> e-05 eps(single(10000)) >> 9.765e eps(single(10^10)) >> 1024 eps(single(10^14)) >> eps(single(10^16)) >> e+09 eps(single(10^18)) >> e+10 eps(single(10^20)) >> e+12 Podwójna precyzja eps(1) >> e-16 eps(10) >> e-15 eps(100) >> e-14 eps(1000) >> e-13 eps(10000) >> e eps(10^10) >> e-06 eps(10^14) >> eps(10^16) >> 2 eps(10^18) >> 128 eps(10^20) >> ^ ^20 =? Zapamiętaj Stosowanie podwójnej precyzji zwiększa dokładność prowadzonych obliczeń 15
16 Przykład: eps 16
17 Przepełnienie i Niedomiar Zjawisko przepełnienia powstaje, gdy dla liczby x, c > c max, wtedy liczba x jest reprezentowana przez specjalną wartość, nieskończoność ze znakiem ± Zjawisko niedomiaru powstaje, gdy dla liczby x, c < c min, wtedy liczba x jest reprezentowana przez zero
18 Przepełnienie i Niedomiar Obliczanie normy euklidesowej wektora x = [x 1,, x n ] R n x 2 = x x n 2 Jeśli x = [x 1 x 2 ] to zjawisko przepełnienia wystąpi, gdy x 1 = i x 2 = 1. Rozwiązaniem problemu może być wstępna normalizacja danych tak, by wszystkie elementy wektora nie były większe od 1. Niech M = max{ x i : i = 1,, n} x 2 = x x n 2 = M x 1 M x n M 2
19 Reprezentacja zmiennopozycyjna Liczby zapisane przy użyciu takiej sekwencji bitów (sc 1 c p f 1 f t ) 2 należą do zbioru liczb maszynowych Ψ. Są to jedyne dokładnie zapisywalne w komputerze liczby rzeczywiste, pozostałe będą musiały zostać wyrażone z wykorzystaniem liczb maszynowych. Niech x > 0 i x = m 2 p gdzie 1 m < 2 x = (1. f 1 f 2 ) 2 2 p Zaokrąglenie w dół x = (1. f 1 f 2 f t ) 2 2 p Zaokrąglenie w górę x + = [ 1. f 1 f 2 f t t ] 2 p x + x = 2 p t
20 Reprezentacja zmiennopozycyjna Niech fl(x) oznacza liczbę maszynową najbliższą względem x błąd względny zaokrąglenia x fl x x 2 t ε = 2 t precyzja arytmetyki fl x = x 1 + δ, gdzie δ ε δ = fl x x x
21 Reprezentacja zmiennopozycyjna Wyniki działań arytmetycznych w komputerze spełniają związki: Niech liczby x, y Ψ, a symbol {+,,, } fl x y = x y 1 + δ, przy czym δ ε Niech liczby x, y Ψ, a symbol {+,,, } fl fl x fl y = x 1 + δ 1 y 1 + δ δ 3, δ i ε
22 Reprezentacja zmiennopozycyjna Niech liczby x, y, z Ψ fl x y + z = x fl y + z 1 + δ 1 = δ 1 ε x y + z 1 + δ δ 2 = δ 2 ε x y + z 1 + δ 1 + δ 2 + δ 1 δ 2 x y + z 1 + δ 1 + δ 2 = x y + z 1 + δ 3 δ 3 2ε Dlaczego usunięto iloczyn δ 1 δ 2?
23 O czym będziemy mówili 1. Przypomnienie wiadomości 2. Liczby zmiennoprzecinkowe: standard IEEE 754 liczby znormalizowane, zdenormalizowane niedomiar, przepełnienie wartości specjalne NaN, Inf działania na liczbach zmiennoprzecinkowych 3. Przykłady nieoczekiwanych wyników obliczeń 4. Uwarunkowanie zadania wielomian Wilkinsona macierz Hilberta 5. Podsumowanie
24 What You Get Is Not What You Expect Liczba dziesiętna 4/3 nie jest dokładnie reprezentowana jako liczba binarna Przykład 1 e = 1 3*(4/3 1) e = e-16 Podobnie, 0.1 nie jest dokładnie reprezentowane jako liczba binarna Przykład 2 e = 10*(7.1 7) 1 e = e-15 Ciekawostka e = 0:0.1:1 e = 0; e = e + 0.1?
25 What You Get Is Not What You Expect Arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest łączna i nie jest też rozdzielna x + y + z x + y + z zyz xyz x y + z xy + xz Kolejność wykonywania operacji ma znaczenie w obliczeniach i wpływa na końcowy wynik Przykład 3 b = 1e e 16; c = 1e 16 1e ;? b == c ans = logical 0
26 What You Get Is Not What You Expect Istnieją luki pomiędzy liczbami zmiennoprzecinkowymi. Gdy liczby stają się duże, luki stają się zauważalne Przykład 4 (2^53 + 1) - 2^53 ans = 0? Przykład 5 2^ ^73 ans = 0 Przykład 6 2^73-2^ ans =
27 What You Get Is Not What You Expect Ponieważ liczba pi nie jest dokładnie liczbą π Przykład 7 sin(pi) ans = e-16?
28 Catastrophic Cancellation Załóżmy że chcemy dodać lub odjąć dwie dodatnie liczby zmiennoprzecinkowe x 1, x 2, x 1 x 2 x 1 = m 1 2 c 1 x 2 = m 2 2 c 2 x 1 ±x 2 = (m 1 ± m 2 2 c 2 c 1 )2 c 1? W szczególnym przypadku, jeśli c 1 c 2 jest większe niż t (liczba cyfr mantysy), to po denormalizacji mantysa będzie miała wartość 0, a liczba o mniejszym wykładniku nie wpłynie na wynik dodawania bądź odejmowania Gdy wykonywane są odejmowania z niemal równymi liczbami, czasami może wystąpić nieoczekiwane zmniejszenie liczby cyfr znaczących. Jest to spowodowane utratą precyzji, która sprawia, że różnica pomiędzy liczbami staje się nieistotna
29 Catastrophic Cancellation Jako przykład sytuacji utraty cyfr znaczących rozważmy odejmowanie dwóch bliskich liczb x = y = x y = Jeśli te obliczenia byłyby wykonane na komputerze dziesiętnym z pięciocyfrowymi mantystami, to mielibyśmy następujące zaokrąglenia fl(x) = fl(y) = fl(x) fl(y) = Czy otrzymany błąd względny jest duży czy mały? δ x y fl x fl y x y =
30 Catastrophic Cancellation Nie możemy dzielić przez zero Przykład 1 1/(sqrt(1e ) 1) ans = Inf? Nieoczekiwane zachowanie algorytmu Przykład 2 x = (sqrt(1e ) 1) if x > 0... else... end Inne Utrata własności macierzy (symetria, dodatnio określoność, odwracalność) Rekurencyjnie liczone wielkości (np. wariancja) mogą zacząć przyjmować ujemne wartości, podczas gdy powinny być zawsze dodatnie
31 Catastrophic Cancellation Ile miejsc zerowych będzie miała funkcja y(x) dla bardzo małych zmian argumentu x? Przykład 2 y x = (x 1) 4 y x = (x 1) 4 = x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 1
32 Catastrophic Cancellation Ile miejsc zerowych będzie miała funkcja y(x) dla bardzo małych zmian argumentu x? Przykład 2 y x = (x 1) 4 y x = (x 1) 4 = x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 1
33 Catastrophic Cancellation Rozważmy ciąg liczb rzeczywistych określony wzorem rekurencyjnym Przykład 3 x n + 1 = 13 3 x n 4 x n 1, 3 x 0 = 1, x(1) = 1 3, n 1 Łatwo pokazać, że n x(n) = 1 3
34 Catastrophic Cancellation Rozważmy ciąg liczb rzeczywistych określony wzorem rekurencyjnym Przykład 3 x n + 1 = 13 3 x n 4 x n 1, 3 x 0 = 1, x(1) = 1 3, n 1 Łatwo pokazać, że x(n) = 1 3 n n x1(n) x2(n) , , , , , , , , , , , , , , , , ,08E-05 5,08E ,69E-05 1,69E ,64E-06 5,65E ,88E-06 1,88E ,26E-07 6,27E ,06E-07 2,09E ,64E-08 6,97E ,99E-08 2,32E-08 n x1(n) x2(n) 17-2,05E-07 7,74E ,48E-07 2,58E ,40E-06 8,60E ,36E-05 2,87E ,44E-05 9,56E , ,19E , ,06E , ,54E , ,18E , ,93E , ,31E , ,37E , ,46E ,2731 4,86E ,0923 1,62E ,369 5,40E ,477 1,80E-16
35 Catastrophic Cancellation Powinniśmy unikać ryzykownego odejmowania bliskich sobie liczb y x = x dla małych x odejmowanie bliskich sobie liczb spowoduje zmniejszenie liczby cyfr znaczących, rozwiązanie: y x = x x x = x 2 x
36 Algebra liniowa Błędy zaookrągleń, błędy odejmowania niemal równych liczb oraz inne cechy arytemetyki zmiennoprzecinkowej łączą się, dając czasem zaskakaujące wyniki obliczeń przy rozwiązywaniu problemów algebry liniowej MATLAB ostrzega jeżeli dana macierz A jest źle uwarunkowana, co oznacza że system, opisany układem równań liniowych Ax = b, może być czuły na małe zaburzenia Przykład 1 A = diag([2 eps]); b = [2; eps]; y = A\b; Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = e-16. A = eps y = A 1 b b = 2 eps Zapamiętaj Wskaźnik uwarunkowania determinuje w znacznej mierze przebieg rozwiązania danego zadania niezależnie od użytej w tym celu metody
37 O czym będziemy mówili 1. Przypomnienie wiadomości 2. Liczby zmiennoprzecinkowe: standard IEEE 754 liczby znormalizowane, zdenormalizowane niedomiar, przepełnienie wartości specjalne NaN, Inf działania na liczbach zmiennoprzecinkowych 3. Przykłady nieoczekiwanych wyników obliczeń 4. Uwarunkowanie zadania wielomian Wilkinsona macierz Hilberta 5. Podsumowanie
38 Złe uwarunkowanie zadania Jeśli niewielkie względne zmiany danych zadania powodują duże względne zmiany jego rozwiązania, to takie zadanie nazywamy źle uwarunkowanym Wielkości charakteryzujące wpływ zaburzeń danych na odkształcenia rozwiązania nazywamy wskaźnikami uwarunkowania zadania Wskaźnik uwarunkowania determinuje w znacznej mierze przebieg rozwiązania danego zadania niezależnie od użytej w tym celu metody?
39 Wskaźnik uwarunkowania funkcji Zadanie polega na obliczeniu wartości funkcji f(x) w punkcie x Pytanie: Jak małe zaburzenie wartości x wpływa na f (x)? f x + h f(x) hf (x) Wielkość względna zaburzenia wartości funkcji jest równa f x + h f(x) f(x) hf x f x = xf x f x h x Wskaźnik uwarunkowania wynosi xf x f x
40 Wielomian Wilkinsona Wielomian Wilkinsona jest specyficznym wielomianem, użyty przez Jamesa H. Wilkinsona w 1963 roku, jako ilustracyja stopnia trudności problemu poszukiwania miejsc zerowych wielomianu: położenie pierwiastków wielomianu może być bardzo czułe na małe zmiany współczynnikow wielomianu 20 f x = k=1 x k = x 1 x 2 x 20 g x = sgn f x log(1 + f(x) ) sign(x) 1 element x jest > 0 0 element x jest == 0-1 element x jest < 0
41 Wielomian Wilkinsona a i f x = a 1 x 20 + a 2 x a 20 x + a 21 wartość a i wartość a 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a funkcja poly znajduje współczynniki wielomianu r = [1 2 20] pierwiastki wielomianu a = poly(r) współczynniki wielomianu funkcja roots znajduje pierwiastki wielomianu a = [a 1 ; a 2 ; ; a 21 ] współczynniki wielomianu r = roots(a) pierwiastki wielomianu funkcja polyval oblicza wartość wielomianu y = polyval(a,x), x może być wektorem funkcja conv mnoży wielomiany u = [1 1]; współczynniki wielomianu u v = [1 2]; współczynniki wielomianu v w = conv(u, v) w = [1 3 2] współczynniki wielomianu w
42 Wielomian Wilkinsona Jak zmieni się położenie pierwiastków wielomianu jeżeli zwiększymy wartość współczynnika a 1 = 1 przy x 20 o 2 23? Nowa wartość współczynnika to a 1 = Czy taka mała zmiana spowoduje proporcjonalne zmiany przy rozkładzie miejsc zerowych??
43 Wielomian Wilkinsona k nowe położenie pierwiastków i i k nowe położenie pierwiastków i i i i i i i i i i przed zmianą po zmianie f 20 = 0 f 20 = 1.245e + 19 zplane zero-pole plot zplane(z, p) [z wektor zer, p wektor biegunów] zplane(r,[]) r = [1 2 20]
44 Wielomian Wilkinsona W przypadku wielomianu Wilkinsona oraz h x = f x + tc x nowy wielomian c x = x 20 t = 2 23 h x = (t + a 1 )x 20 + a 2 x a 20 x + a 21 Dla pojedynczych pierwiastków, x j, zmiana położenia pierwiastka kontrolowana jest przez pochodną t dx j dt = t c(x j) f (x j ) duża wartość (bezwzględna) pochodnej sugeruje, że pierwiastek x j będzie bardzo czuły na małe zmiany w t Pochodna dana jest wzorem factorial(x) y = factorial(19); %silnia y = 19! dla x j = 20: t dx 20 j dt = t x j = t 2020 ς k j x j x k 19! dla x j = 1: t dx j dt = t 1 ς k j x j x k = t 1 19! = = 9.8e 25 niestabilny stabilny
45 Uwarunkowanie Sprawdzamy uwarunkowanie funkcji nieliniowej. Problem polega na znalezieniu miejsc zerowych wielomianu 13-tego stopnia (x + 2)(x 2 1) x 11 = 0 Kod MATLABa x = -2.01:0.01:1.5; y = zz(x); plot(x,y,'k','linewidth',1.1) axis([ ]) xlabel('$x$','interpreter','latex','fontsize',12) ylabel('$y(x)$','interpreter','latex','fontsize',12) function z=zz(x) z = (x+2).*(x.^2-1).^6-(3e-6).*x.^11; end
46 Uwarunkowanie Do znalezienia miejsc zerowych wielomianu w okolicy punktu x0 możemy użyć funkcji fzero (x + 2)(x 2 1) x 11 = 0 x = fzero(fun,x0) a1 = fzero('zz',1.02) a1 = a2 = fzero('zz',-2) a2 = -2 a3 = fzero('zz',1) a3 = hold on plot(a1,0,'ro',a2,0,'ro',a3,0,' ro','markersize',9);
47 Uwarunkowanie Przybliżamy przedział funkcji [ 1.1, 0.9] axis axis([xmin xmax ymin ymax]) axis([ ^-4]) Badana funkcja nie ma miejsc zerowych w tym przedziale
48 Uwarunkowanie Jak wyznaczyć współczynniki wielomianu? (x + 2)(x 2 1) x 11 = 0 Jeżeli posiadamy w pakiecie MATLAB odpowiednią bibliotekę do wykonywania działań na symbolach możemy użyć funkcji syms i expand Aby zadeklarować niewiadomą x używamy polecenia syms x Następnie wydajemy polecenie, aby MATLAB doprowadził wielomian do postaci, gdzie będą widoczne wszystkie współczynniki expand(fun(x)) wynikiem tej operacji jest wielomian o postaci a 1 x a 13 x + a 14 = 0
49 Uwarunkowanie Jak wpłynęła na rozkład miejsc zerowych zmiana współczynnika przy x 13 z 1 na ? x 13 + (x + 2)(x 2 1) x 11 = 0 przed zmianą po zmianie
50 Macierz Hilberta Wskaźnik uwarunkowania macierzy A v A = A A 1 2 A = A ij cond v = cond(a), v > 0 rcond = 1/cond c = rcond(a), c < 0,1) Duża wartość wskaźnika v A świadczy o złym uwarunkowaniu macierzy Macierz Hilberta jest klasycznym przykładem macierzy źle uwarunkowej hilb A = hilb(4); %macierz Hilberta 4x4 v = cond(a); v = 1.55e + 04 A = A ij = 1 i + j 1, i, j = 1,, n (3) (3) (3) (6) (6) 0.14
51 Macierz Hilberta Macierz odwrotna do macierzy Hilberta powinna zawierać liczby całkowite A 1 = A 1 = (9) 239. (9) 139. (9) 119. (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 139. (9) (9) (9) (9) Główną przyczyną są błędy zaokrągleń na etapie definiowania macierzy Hilberta, a nie na etapie odwracania macierzy invhilb dokładna postać dla n<15 odwrotna macierz Hilberta nxn A = invhilb(n); Różnice stają się wyraźniejsze wraz ze wzrostem rozmiaru macierzy
52 Układ równań liniowych Rozważmy następujący układ równań ቊ 10x 1 + x 2 = 11 3x x 2 = 3.3 Rozwiązanie jest oczywiste x 1 = x 2 = 1? Rozwiązanie uzyskane w MATLAB'ie, ponieważ A(2,2) 0.3 A = [10 1; 3 0.3] b = [11 3.3]' x = A 1 b x = [1 16 ] v = cond(a) v = inf d = det(a) 0 d 5.55e 16 A = [10 1; 3 0.3] b = [11 3.3]' x = A\b x = [NaN NaN]
53 Układ równań liniowych Przykład równania źle uwarunkowanego x x 1 x 2 x 3 = Rozwiązanie uzyskane w MATLAB'ie Rozwiązanie >> b = ; >> A = [1 0 0; ; ];? >> wsk1 = cond(a) >> ans = e+008 >> wsk2 = norm(a)*norm(inv(a)) >> ans = e+008 >> x = inv A b >> ans = [1 0 1] >> x = A\b >> ans = [1 0 1]
54 O czym będziemy mówili 1. Przypomnienie wiadomości 2. Liczby zmiennoprzecinkowe: standard IEEE 754 liczby znormalizowane, zdenormalizowane niedomiar, przepełnienie wartości specjalne NaN, Inf działania na liczbach zmiennoprzecinkowych 3. Przykłady nieoczekiwanych wyników obliczeń 4. Uwarunkowanie zadania wielomian Wilkinsona macierz Hilberta 5. Podsumowanie
55 Co muszę zapmiętać 1) Reprezentacja liczb zmiennoprzecinkowych w standardzie IEEE 754 2) Problemy wynikające ze skończonej precyzji 3) Zadania źle uwarunkowane, wskaźniki uwarunkowania? Poznane funkcje roots fzero poly axis polyval syms conv expand factorial cond hilb rcond invhilb zplane sign
56 Zadania domowe 1) Omów problemy pojawiające się przy wykonywaniu operacji na liczbach zmiennoprzecinkowych, podaj własne przykłady 2) Omów problem złego uwarunkowania na przykładzie wielomianu Wilkinsona 3) Omów problem złego uwarunkowania macierzy na przykładzie macierzy Hilberta?
57 Języki Modelowania i Symulacji Dziękuję za uwagę
Liczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowoKod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci
Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoReprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej
Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne
Bardziej szczegółowoEMN. dr Wojtek Palubicki
EMN dr Wojtek Palubicki Zadanie 1 Wyznacz wszystkie dodatnie liczby zmiennopozycyjne (w systemie binarnym) dla znormalizowanej mantysy 3-bitowej z przedziału [0.5, 1.0] oraz cechy z zakresu 1 c 3. Rounding
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoZwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej :
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa a procesory cyfrowe Prawa algebry stosują się wyłącznie do arytmetyki o nieograniczonej precyzji x=x+1 dla x będącego liczbą całkowitą jest zgodne z algebrą, dopóki nie przekroczymy
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania.
Ćwiczenia nr 1 Postać zmiennoprzecinkowa liczby Niech będzie dana liczba x R Mówimy, że x jest liczbą zmiennoprzecinkową jeżeli x = S M B E, gdzie: B N, B 2 (ustalona podstawa systemu liczbowego); S {
Bardziej szczegółowoDr inż. Grażyna KRUPIŃSKA. D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI
Dr inż. Grażyna KRUPIŃSKA Grazyna.Krupinska@fis.agh.edu.pl D-10 pokój 227 WYKŁAD 2 WSTĘP DO INFORMATYKI Ćwiczenia i laboratorium 2 Kolokwia zaliczeniowe - 1 termin - poniedziałek, 29 stycznia 2018 11:30
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowoDokładność obliczeń numerycznych
Dokładność obliczeń numerycznych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 MOTYWACJA Komputer czasami produkuje nieoczekiwane wyniki >> 10*(1-0.9)-1 # powinno być 0 ans = -2.2204e-016 >>
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoArytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa
Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Michał Rudowicz 171047 Łukasz Sidorkiewicz 170991 Piotr Lemański 171009 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska 26 października 2011 Spis Treści 1 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?
METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoDodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze
Dodatek do Wykładu 01: Kodowanie liczb w komputerze [materiał ze strony: http://sigma.wsb-nlu.edu.pl/~szyszkin/] Wszelkie dane zapamiętywane przetwarzane przez komputery muszą być odpowiednio zakodowane.
Bardziej szczegółowoBŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO
BŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Dlaczego modelujemy... systematyczne rozwiązywanie problemów, eksperymentalna eksploracja wielu rozwiązań, dostarczanie abstrakcyjnych
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc
Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia (zaoczne) Rok akademicki 2007/2008 Wykład nr 5 (3.04.2008) Rok akademicki 2007/2008,
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoZapis liczb binarnych ze znakiem
Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Metalurgia, I rok. Wykład 3 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Metalurgia, I rok Wykład 3 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 1948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych. Met.Numer. wykład 2 1
METODY NUMERYCZNE Wykład. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać liczbę
Bardziej szczegółowoZestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1
Zestaw 3. - Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 Zapis znak - moduł (ZM) Zapis liczb w systemie Znak - moduł Znak liczby o n bitach zależy od najstarszego bitu b n 1 (tzn. cyfry o najwyższej pozycji): b
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć. Bartek Wilczyński 29.
Obliczenia Naukowe O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć Bartek Wilczyński bartek@mimuw.edu.pl 29. lutego 2016 Plan semestru Arytmetyka komputerów, wektory, macierze i operacje na nich
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoReprezentacja symboli w komputerze. Liczby całkowite i zmiennoprzecinkowe. Programowanie Proceduralne 1
Reprezentacja symboli w komputerze. Liczby całkowite i zmiennoprzecinkowe. Programowanie Proceduralne 1 Bity i kody binarne Bit (binary digit) najmniejsza ilość informacji {0, 1}, wysokie/niskie napięcie
Bardziej szczegółowoArytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoLICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE
LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia
Bardziej szczegółowoZapis zmiennopozycyjny, arytmetyka, błędy numeryczne
Zapis zmiennopozycyjny, arytmetyka, błędy numeryczne Plan wykładu: 1. zapis zmiennopozycyjny 2. arytmetyka zmiennopozycyjna 3. reprezentacja liczb w standardzie IEEE754 4. błędy w obliczeniach numerycznych
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoMikroinformatyka. Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387
Mikroinformatyka Koprocesory arytmetyczne 8087, 80187, 80287, i387 Koprocesor arytmetyczny 100 razy szybsze obliczenia numeryczne na liczbach zmiennoprzecinkowych. Obliczenia prowadzone równolegle z procesorem
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoNaturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Bardziej szczegółowoPodstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych
1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie
Bardziej szczegółowoStan wysoki (H) i stan niski (L)
PODSTAWY Przez układy cyfrowe rozumiemy układy, w których w każdej chwili występują tylko dwa (zwykle) możliwe stany, np. tranzystor, jako element układu cyfrowego, może być albo w stanie nasycenia, albo
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoBardzo łatwa lista powtórkowa
Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT- 12 stycznia 2008 Terminy egzaminów Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach: egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13 15, C-13/1.31 egzamin
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
2. Arytmetyka komputerowa Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Maciej Trzebiński Mikołaj Biel
Bardziej szczegółowoPracownia komputerowa. Dariusz Wardecki, wyk. VI
Pracownia komputerowa Dariusz Wardecki, wyk. VI Powtórzenie Ile wynoszą poniższe liczby w systemie dwójkowym/ dziesiętnym? 1001101 =? 77! 63 =? 111111! Arytmetyka w reprezentacji bezznakowej Mnożenie liczb
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Wykład 2. Reprezentacja liczb w komputerze
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoPozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Plan wykładu nr 4. Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Reprezentacja liczb
Metody numeryczne II. Reprezentacja liczb Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Reprezentacja liczb Reprezentacja stałopozycyjna
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA KOMPUTERÓW Liczby zmiennoprzecinkowe
ARCHITEKTURA KOMPUTERÓW 17.11.2010 Liczby zmiennoprzecinkowe Sprawa bardzo podobna jak w systemie dziesiętnym po przecinku mamy kolejno 10-tki do ujemnych potęg, a w systemie binarnym mamy 2-ki w ujemnych
Bardziej szczegółowoPrefiksy binarne. kibibit (Kibit) mebibit (Mibit) gibibit (Gibit) tebibit (Tibit) pebibit (Pibit) exbibit (Eibit) zebibit (Zibit) yobibit (Yibit)
Podstawy Informatyki Wykład 2 Reprezentacja liczb w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie prawdopodobnych
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab
LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem
Bardziej szczegółowoSystem liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.
2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja
Bardziej szczegółowoKod U2 Opracował: Andrzej Nowak
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim
Bardziej szczegółowoKodowanie informacji. Kody liczbowe
Wykład 2 2-1 Kodowanie informacji PoniewaŜ komputer jest urządzeniem zbudowanym z układów cyfrowych, informacja przetwarzana przez niego musi być reprezentowana przy pomocy dwóch stanów - wysokiego i niskiego,
Bardziej szczegółowoW wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.
W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład V
Pracownia Komputerowa wykład V dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny system
Bardziej szczegółowoKod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych.
Kod uzupełnień do dwóch jest najczęściej stosowanym systemem zapisu liczb ujemnych wśród systemów binarnych. Jeśli bit znaku przyjmie wartość 0 to liczba jest dodatnia lub posiada wartość 0. Jeśli bit
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Zagadnienia wstępne Uwarunkowanie P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Sposoby reprezentacji liczb całkowitych i rzeczywistych patrz wykład z Teoretycznych Podstaw
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Wykład nr 4 ( ) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc
Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia stacjonarne I stopnia Rok akademicki 008/009 Wykład nr 4 (8.04.009) Informatyka, studia stacjonarne I stopnia
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Wykład jest przygotowany dla IV semestru kierunku Elektronika i Telekomunikacja. Studia I stopnia Dr inż. Małgorzata Langer Architektura komputerów Prezentacja multimedialna współfinansowana przez Unię
Bardziej szczegółowoZagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste
Zagadnienia na egzamin poprawkowy z matematyki - klasa I 1. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne Liczby niewymierne Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Pierwiastek
Bardziej szczegółowoZagadnienia - równania nieliniowe
Zagadnienia - równania nieliniowe Sformułowanie zadania poszukiwania pierwiastków. Przedział izolacji. Twierdzenia o istnieniu pierwiastków. Warunki zatrzymywania algorytmów. Metoda połowienia: założenia,
Bardziej szczegółowoRODZAJE INFORMACJI. Informacje analogowe. Informacje cyfrowe. U(t) U(t) Umax. Umax. R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości. Umax.
RODZAJE INFORMACJI Informacje analogowe U(t) Umax Umax 0 0 R=(0,Umax) nieskończony zbiór możliwych wartości WE MASZYNA ANALOGOWA WY Informacje cyfrowe U(t) Umaxq Umax R=(U, 2U, 3U, 4U) # # MASZYNA # CYFROWA
Bardziej szczegółowoArytmetyka komputerów
Arytmetyka komputerów Wersja: 5 z drobnymi modyfikacjami! Wojciech Myszka 2012-11-09 09:23:41 +0100 Część I Liczby binarne i arytmetyka komputerów Arytmetyka komputerów Zapis liczb dwójkowy. Każda z liczb
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowo4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 1 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoPułapki liczb zmiennoprzecinkowych. Adam Sawicki asawicki.info
Pułapki liczb zmiennoprzecinkowych Adam Sawicki asawicki.info 24.09.2016 Agenda Liczby zmiennoprzecinkowe Budowa Typy możliwości i ograniczenia Typy w językach programowania Pułapki Zakres Precyzja Nieskooczone
Bardziej szczegółowoDane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna
Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe
1 Wstęp do informatyki- wykład 1 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy Grębosz,
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów.
Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Prezentacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt. Innowacyjna dydaktyka
Bardziej szczegółowoARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH
ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Wykład 4 Reprezentacja liczb Janusz Szwabiński Plan wykładu: Zamiast motywacji Reprezentacja liczb całkowitych Reprezentacja liczb rzeczywistych Dokładność w obliczeniach komputerowych
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład IV
Pracownia Komputerowa wykład IV dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada/pk16 1 Reprezentacje liczb i znaków! Liczby:! Reprezentacja naturalna nieujemne liczby całkowite naturalny
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Reprezentacja liczb całkowitych. Standard IEEE 754. dr inż. Jarosław Forenc
Rok akademicki 18/19, Wykład nr 4 /63 Plan wykładu nr 4 Informatyka 1 Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 18/19 Wykład
Bardziej szczegółowo