TC1 Grundlagen der Theoretischen Chemie

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TC1 Grundlagen der Theoretischen Chemie"

Natalia Czajkowska
5 lat temu
Przeglądów:

1 TC1 Grundlagen der Theoretischen Chemie Irene Burghardt Praktikumsbetreuung: Robert Binder Madhava Niraghatam Wjatscheslaw Popp Vorlesung: Di 10h-12h, Fr 9h-10h Übungen: Fr 10h-11h Web site: 1

2 Drehimpuls L 2 = h 2 l(l + 1) z Hydrogen Levels L = z hm l y x Re view : Quantum numbers of the hydrogenic atom z v L = v r v r y v x Angular momentum quantum number : l = 0,1, 2, 3,..n - 1 is related to the length L of the angular momentum of the electron as it moves around nucleus Magnetic quantum number : ml = l, l 1, l 2,..., l r is related to the length of the projection of L on to r an arbitrary vector (e ). z 2

3 Quantenmechanischer Drehimpuls: Vektorprodukt mit Operatoren ˆl = ˆr ˆp = ŷˆp z ẑ ˆp y ẑ ˆp x ˆxˆp z ˆxˆp y ŷˆp x = i h ŷ z ẑ y ẑ x ˆx z ˆx y ŷ x = ˆlx ˆly ˆlz ˆl ist ein Vektor mit Operatorkomponenten ˆl x, ˆl y, ˆl z Betragsquadrat des quantenmechanischen Drehimpuls-Operators: ˆl2 = ˆl2 x + ˆl 2 y + ˆl 2 z 3

4 Drehimpuls-Operator in Polarkoordinaten kartesische Komponenten in Polarkoordinaten: ˆl = ˆlx ˆly ˆlz = ( h i )(sinφ( θ + cotθcosφ( φ ) ( h i )(cosφ( θ cotθsinφ( φ ) ( h i )( φ ) Betragsquadrat in Polarkoordinaten: ˆl2 = ˆl 2 x + ˆl 2 y + ˆl 2 z = h 2 ( 1 sinθ θ sinθ θ + 1 sin 2 θ 2 ) φ 2 4

5 2D Testsystem: Quantenteilchen auf einem Ring Lösung der Schrödingergleichung: ˆl 2 z 2I Φ m l (φ) = E ml Φ ml (φ) ˆl z = h i d dφ I = mr 2 wobei: Φ ml (φ) = 1 2π e im lφ E ml = h2 m 2 l 2I m l = 0, ±1, ±2,... Die Funktionen Φ ml (φ) sind ebenfalls Eigenfunktionen des Operators ˆl z : ˆl z Φ ml (φ) = hm l Φ ml (φ) 5

6 Quantenteilchen auf einem Ring: Eigenfunktionen 6

7 3D Testsystem: Quantenteilchen auf einer Kugel Lösung der Schrödingergleichung: ˆl2 ( 2I Y lm l (θ, φ) = E l Y lml (θ, φ) ˆl2 = h 2 1 sinθ θ sinθ θ + 1 sin 2 θ 2 ) φ 2 wobei: Y lml (θ, φ) = Θ lml (θ)φ ml (φ) E l = h2 l(l + 1) 2I mit den Quantenzahlen: l = 0, 1, 2,... m l = 0, ±1, ±2,... Die Funktionen Φ ml (φ) sind wie oben die Eigenfunktionen von ˆl z : ˆlz Φ ml (φ) = hm l Φ ml (φ) 7

8 Kugelflächenfunktionen (Spherical Harmonics) Eigenwerte: E = h2 l(l + 1) 2I Entartung bzgl. m l = l,... + l 8

9 Kugelflächenfunktionen (Spherical Harmonics) 9

10 Drehimpulsquantisierung Eigenwertgleichung für das Betragsquadrat: ˆl 2 Y lm = h 2 l(l + 1)Y lm Eigenwertgleichung für die z-komponente: ˆlz Y lm = hmy lm Y lm sind die Kugelflächenfunktionen Drehimpulsquantenzahl l = 1, 2,... magnetische Quantenzahl m = l,..., l Y lm sind keine Eigenfunktionen von ˆl x und ˆl y 10

11 Eigenfunktionen und Eigenwerte Komponenten ˆl x, ˆl y, ˆl z kommutieren nicht, z.b.: [ˆl x, ˆl y ] = i hˆl z D.h. die Komponenten haben keine gemeinsamen Eigenfunktionen Daher können nicht alle Drehimpulskomponenten gleichzeitig mit beliebiger Genauigkeit bestimmt werden (Unschärferelation) ˆl x, ˆl y, ˆl z kommutieren jedoch einzeln mit dem Betragsquadrat ˆl 2 Es können eine der kartesischen Komponenten sowie das Betragsquadrat festgelegt werden: z.b. (ˆl z, ˆl 2 ) oder (ˆl x, ˆl 2 ) 11

12 Unschärferelation Wenn zwei Operatoren keine gemeinsamen Eigenfunktionen haben, kommutieren sie nicht, d.h. ihre Wirkung auf die Wellenfunktion hängt von der Reihenfolge ab: [Â, ˆB] = Â ˆB ˆBÂ 0 Für diesen Fall lässt sich zeigen: δa δb 1 2 C wobei δa = A 2 A 2 = Standardabweichung und Ĉ = [Â, ˆB]/i Spezialfall: Ort/Impuls können nicht gleichzeitig festgelegt werden: δx δp 1 2 h 12

13 Kommutatorrelationen Drehimpulskomponenten [ˆl x, ˆl y ] = [(ŷ ˆp z ẑ ˆp y ), (ẑ ˆp x ˆxˆp z )] = [ŷ ˆp z, ẑ ˆp x ] [ŷ ˆp z, ˆxˆp z ] [ẑ ˆp y, ẑ ˆp x ] + [ẑ ˆp y, ˆxˆp z ] = ŷ[ˆp z, ẑ]ˆp x ˆxˆp y [ẑ, ˆp z ] = i h( ŷ ˆp x + ˆxˆp y ) = i hˆl z Kommutator mit dem Betragsquadrat: [ˆl 2, ˆl z ] = [ˆl 2 x + ˆl 2 y + ˆl 2 z, ˆl z ] = 0 13

14 Drehimpulsquantisierung Betrag und z-komponente des Drehimpulses können gleichzeitig gemessen werden x, y-komponenten sind unscharf 14

Podobne dokumenty

Pobranie makr firmy Rittal oraz wstawianie do projektu systemu EPLAN electric P8

Pobranie makr firmy Rittal oraz wstawianie do projektu systemu EPLAN electric P8 Zgodność od wersji 1.8 Copyright 2007 EPLAN Software & Service GmbH & Co. KG. Die EPLAN Software & Service GmbH & Co. KG