Płyty i powłoki. Literatura: R.Bąk, T.Burczyński, Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego. WNT, Warszawa 2001

Transkrypt

1 Płt i połoi Littu: R.Bą T.Buczńsi Wtzłość tiłó z lti ujęci oputogo. WNT Wsz 00

2 Płt i połoi. Złożi toii zgii. Sił ętz i pężi pęci. Rói óogi ltu Pzłd.5. Pzłd.5. Pzłd.6. Pzłd.7. Pzłd.7. Pzłd.8.. Rói óżiczo poizci ugiętj płt.5 Zgdii zgo dl płt.6 Płt oło osioostcz.7 Błoo toi poło osioostczc.8 Zgięcio toi ciij połoi lcoj.9 tod ltó sończoc płt i poło

3 . Złożi toii zgii płt ciic Ciło ogiczo do óolgłi płszczzi iędz tói odlgłość (z guością) jst zczi ijsz iż d pozostł i pzosząc ociążi postopdł do tc płszczz z się płtą cią o óoij guości. Pzji ż osi spółzędc i lżą pozioj śodoj płszczźi płt pzcodzącj pzz śod jj guości oś z jst sio dół (s..). Ociążi pzpdjąc jdostę poizci płt ośl fucj q(). Złożi toii zgii płt W toii zgii płt ciic o óoij guości pzjuj się stępując złożi: l. Płtę cią oż ttoć jo zió oddziloc płszczzi postopdłi do osi z st tó i oddziłują sii ciczi. Ozcz to ż pężi ol s z dool puci płt ó jst zu.

4 . Kżd put śodoj płszczz płt dozj łączi pziszczi iuu osi z zgo ugięci tó jst zczi ijsz iż guość. Słdo pziszczń iuu osi i są poijli ł. Ozcz to ż płszczz śodo i odsztłc się zględ osi i po odsztłciu płt toz się poizci ugięt.. Odci postopdł do płszczz śodoj pozostj po od-sztłciu płt post i ol do poizci ugiętj.. Płt jst o z tiłu liioospężstgo.

5 . Sił ętz i pężi płci Wodęi z płt płszczzi postopdłi do osi oz lt o ic d d (s..). ziłją igo ot gąc i sęcjąc odosząc się do jdosti długości liii śodoj odpoidigo pzoju. Ids pz otc są idtcz z idsi pz ołc pzz i pężic olc σ σ od zgii i stczc τ τ. od sęci sti płt o guości d z odlgłj o z od st śodoj. Podto lt płt dziłją sił popzcz T i T odosząc się do jdosti długości liii śodoj odpoidigo pzoju tó ołują pężi stcz τ z τ z. Złożi pisz jst j idć słusz tlo td id τ z τ z ięct i T oż poiąć ozżic. Czi się t toii płt ciic co uożlii piszj oljości ośli słdoc σ σ τ τ. płsigo stu pężi pującgo td doolj sti płt. Nstępi ośl się τ z oz τ z zlżości od T oz T ozstując do tgo clu zó Żusigo. Spzczość t pooduj ż oziązi ct pzliżo.

6 Npisz ziązi gotcz oz fizcz dl doolj st płt u u ε (.) ε γ oz E E σ ( ε ) ε σ ( ε ) ε (.) τ τ Gγ E γ ( )

7 ( ) u E u E u E τ τ σ σ Po stiiu zlżości (.) do (.) otz (.)

8 W foułc (.) zi pziszczi u i pzz fucję ( ) opisującą poizcię ugiętą płt po jj odsztłciu. N suu. pozo pzój odsztłcoj płt płszczzą postopdłą do osi. Pioo odci pziszcz się o dół i oc się o ąt ugięci ϑ zjując położi `` ol do poizci ugiętj płt pz cz tgϑ. Pziszczi putu odlgłgo o z od st śodoj płt iuu osi oż j idć z suu oliczć stępująco u ztgϑ z (.) jo ż pz dodtic z i ϑ jst oo sio pzcii stosuu do osi.

9 Alogiczi zjdzi pziszczi (.5) Po uzględiiu zlżości (.) i (.5) zoz (.) otz (.6) (.7) (.8) z Ez σ Ez σ ( ) Ez Ez τ τ

10 ot óożą ułd ltc sił ętzc dziłjącc jdą ścię ltu płt pozgo s.. i ośloc pzz pężi σ σ τ. Wui óogi ją stępującą postć d d d σ daz A A A σ daz τ daz σ z d dz σ z d dz τ z d dz (.9)

11 Po stiiu zlżości (.6) (.7) (.8) do (.9) i sóciu d d tó i podlgją cłoiu otz (.0) dz z E dz z E dz z E I Nitudo zużć ż cł stępując żic (.0) jst ot złdości postoąt o podsti l i soości (.)

12 Wpodzi podto pojęci sztości zgii płt zdfiio stępująco Sztość zgii płt E EI ( ) (.) Po uzględiiu zlżości (.) i (.) (.0) otz ot żo pzz ( ) ot zgijąc i sęcjąc płci ν (.) ( ) (.) ν (.5)

13 . Rói óogi ltu płt. Pz pzjściu z putu o spółzędc do putu o spółzędc d d płt fucj () () () () dozją ośloc pzostó. N suu. pozo lt płt o ic d d oz sił zętz q( ) i ętz dziłją-c poszczgólc ścic tó utzują go óodz. Tozą o pzstz ułd sił óolgłc do osi z dl tógo oż pisć tz ui óogi.

14 Su zutó szstic sił oś z jst ó zu T d T T dd T d T T d d q d d 0 Po otciu isó uposzcziu i podziliu pzz dd otz: T T q (.6) Su otó szstic sił zględ postj óolgłj do osi pojącj się z dolą ędzią idoczj ści ltu płt (s..) jst ó zu d d Td T T dd d d d dd qdd 0 dd Tdd Po uposzcziu i poiięciu łc ższgo zędu uzsuj T (.7) Z dugigo ói otó otzuj T (.8)

15 . Rói óżiczo poizci ugiętj płt Po podziu zlżości (.7) i (.8) do (.6) otz q Wzi ot zlżości (.9) pzz () zgodi z foułi (.) (.) i (.5) ( ) q stąd po podziliu pzz i oziięciu q Osttczi po uposzcziu i zii zó ói óżiczo poizci ugiętj płt z ói Zofii Gi uzsuj stępującą postć (.0) oż j zpisć óiż foi sócoj q czli (.) q q Rói Zofii Gi

16 .5 Zgdii zgo dl płt To oziązi płt słd się z stępującc oljc tpó.. Zlzii fucji () tó spłi ói (.0) czli (.) oz ui zgo. Wui zgo Jżli płt jst podpt soodi p. zdłuż osi (s..5) to dl 0 0 i 0. Wpdzi jszcz 0 l ot sęcją-c dziłjąc zdłuż ędzi płt oż zstąpić sttczi ó-ożą dodtoą ozłożoą siłą popzczą dziłjącą podpoz.

17 0 ( ) czli T T T Jżli płt jst utidzo p. zdłuż osi (s..6) to dl 0 0 i. Ośli z pzz stii ( ) do zlżości (.) (.) i (.5). Sił popzcz T i T uzlżi od () stijąc do zlżości (.7) i (.8) ziązi (.) (.) i (.5) (.) oz logiczi (.) Sił popzcz płci

18 . Wzczi pężń zlżości od sił ętzc. Z poói fouł (.6) (.7) (.8) z zlżościi (.) (.) (.5) pz uzględiiu ziązó (.) (.) i-j ą stępując zo Npężi od zgii i sęci płci σ z I z σ I z τ τ z I (.) (.5) (.6) Npężi σ σ τ τ są liioi fucji spółzędj z i osiągją tości sl stc sjc płt (s..7).

19 Słdo pioo pężń stczc tż ó i pężi stcz płszczzc postopdłc do osi z zcz z zou Żusigo (.5) t j dl li o pzoju postoąt Npężi od ścii płci τ z τ z T S I (.7) τ z τ z T S I (.8) gdzi S z ot sttcz odciętj części pzoju postoątgo o podsti l i soości zględ osi lu. Npężi τ z i τ z są dtoi fucji spółzędj z i osiągją tości sl sti śodoj płt (s..7).

20 . Oc tzłości płt podsti tości slc pężń tó oszą σ ± W (.9) gdzi: σ τ ± ± I W τ z W W 6 T (.0) (.) (.) (.) T τ z (.) Roziązi płt jst pzłd uposzczogo oziązi pzstzgo zdi toii spężstości pziszczic.

21 Pzłd. Płt liptcz o guości i otuz oślo ói: 0 utidzo zgu pzosi óoii ozłożo ociążi q (s..8). Oślić ot gąc płci jśli stł spężst tiłu z tógo jst o oszą E. Fucji () ędzi poszuić stępującj postci: C ( ) gdzi C - iz tość stł.

22 Olicz odpoidi pocod ( ) sti j do ói (.0) i licz C czli stąd 8 6 C C C C C C C C q C C C 8 8 q C

23 Fucj opisując poizcię ugiętą płt pzi stępującą osttczą foę jj pocod oszą Wui zgo tó gją dl putó lżącc otuz są j idć spłio. ot gąc licz stępująco czli po stiiu () 8 ) ( q C C q 8

24 Pzłd. Płt postoąt o ic i guości podpt soodi oodzi pzosi óoii ozłożo ociążi q (s..9). Zlźć ói poizci ugiętj ( ) jśli stł spężst tiłu z tógo zostł o o oszą E.

25 Rzdo uzsuj się oziązi płt foi ziętj. Często poszuuj się fucji () foi isończogo szgu. W pzpdu szgo zdi usi ć 0 otuz. Podto uszą się zoć otuz ot gąc. Pociąg to z soą oiczość zoi się pocodc i dl 0 i tż 0 i. Ti ui zgo spłi podój isończo szg tgootcz tógo słdii są siusi gdzi A -tości stł. o zlzii stłc A zlżc od l... i l... zstosuj ói (.0). Olicz odpoidi pocod () i po podstiiu ic do ói (.0) otzuj si si ) ( A si si si si si si q A A A

26 Po zpisiu lj sto foi jdj su ói uzsuj stępującą postć po dlszc oczistc uposzczic W clu ozłożi pj sto tgo ói podój szg tgootcz stosuj zą z tti zlżość gdzi l 5... W pzpdu szgo zdi oż pisć Po poożiu pzz t sppo jdi oż ói óżiczo poizci ugiętj płt pisć stępującj foi gdzi l 5...; l 5... si si q A si si q A ( ) ( ) si czli si ψ ψ si i si q si si 6 si si A q A

27 oż j po oczistc pzsztłcic dopodzić do osttczj stępującj postci Wui oicz i dosttcz tgo su izlżc od sii słdió ł ó zu jst to żd słdi ł ó zu sąd Wsti A (tó się zują dl pzstc i ) do poszui-go ( ) i uzsuj osttcz oziązi zdi 0 si si 6 q A 0 6 q A 6 6 q A ( ) 6 si si 6 q

28 .6 Płt oło cii osioostcz Płtę ołoą ociążoą osioostczi (s..0) oż oziązć stosuoo łto. Zóo oi ociążi zętz q j i spoodo i ugięci oz sił ętz są fucji jdj zij - poii

29 Płszczz śodo płt stj się po jj odsztłciu poizcią osioostczą o óiu (). W pzjęt ułdzi spół-zędc lcoc ϕ z iędz ugięci () ąt ugięci ϑ() zcodzi lcj d ϑ d (.5) N ifiitzl lt płt (s..) dził pzoju pz-codząc pzz jj oś oodo ot gąc t ( płszczźi stii oi i oż stępoć i sił popzcz i ot sęcjąc).

30 W pzoju postopdł do poii dził toist poiio ot gąc oz óolgł do osi z sił popzcz T. Jżli poiąć dziłi sił T to sti o guości dz od-lgłj o z od płszczz śodoj płt puj płsi osioostcz st pężi. Ośljąc go pężi głó σ (poiio) oz σ t (oodo) j óiż odpoidjąc i odsztłci ε ε t są fucji dóc zic i z W clu zlzii zlżości ε i ε t od ąt ugięci J ozż di ol do płszczz śodoj płt odlgł od osi o i d pzd i po ic ooci spoodo odsztłci (s..).

31 Odlgł o zcafb od płszczz śodoj put A i B pziścił się położi A' i B' co spoodoło stępując odsztłci ε i ε t (.6) N podsti uogóliogo p Hoo' oż oślić zlżość σ i σ t od ąt ugięci ϑ (.7) (.8) ( ) ( ) ( ) z z AA z d d d z z d AB AA BB ϑ ϑ ε ϑ ϑ ϑ ϑ ε ( ) d d Ez E t ϑ ϑ ε ε σ ( ) d d Ez E t t ϑ ϑ ε ε σ

32 Wzoując się ozżic pzpodzoc p.. (zo (.9)) oż pisć stępując lcj iędz i σ oz t i σ t dϕ dϕ σ zdz d d σ zdz Po stiiu do tc óń zlżości (.7) i (.8) scłoiu i uzględiiu zou (.) i (.) otzuj ot gąc t żo pzz ąt ugięci ϑ ot gąc płci ołoj dϑ d ϑ (.9) t ϑ dϑ d (.0) Pz zii spółzędj o d ot gąc oz sił popzcz T pzosą odpoidio o d oz dt (s..). l odęiogo z płt sgtu tó pozostj óodz pod dziłi ociążi zętzgo q() oz sił ętzc () t () i T() oż pisć d ui óogi.

33 Su zutó szstic sił oś z jst ó zu ( T dt )( ) dϕ Tdϕ qdϕd 0 stąd q ( T) d d (.) Su otó szstic sił zględ osi lżącj płszczźi śodoj stczj do oęgu o poiiu jst ó zu ( d )( d) dϕ dϕ qddϕ ddϕ ( T dt )( d) dϕd 0 dϕ dϕ (dϕ pz t i z uposzczi t si d t d ) d t Po upoządoiu i odzuciu łc ższgo zędu otzuj się stępując ói d d ( ) T t (.)

34 Jśli sti zlżości (.) i (.) do (.5) otz ói óżiczo z zględu ąt ugięci ϑ d ϑ d dϑ ϑ d T (.) lu postci dzij ztj Rói óżiczo ątó ugięci płci ołoj i jgo cł d d d d ( ϑ) T (.) Sił popzcz oż ć oślo z ói (.) lu co jst często łtijsz z uu óogi śodoj części płt o poiiu.

35 Kąt ugięci ϑ zcz się pzz duot cłoi ói óżiczogo (.7) i liczi stłc cłoi C C z uó zgoc C ( Td) ϑ C d (.5) Npężi płci ołoj Po podziu żi (.5) do (.5) scłoiu i uzględiiu uó zgoc otzuj się ói poizci ugiętj (). Zjąc ϑ zcz się z zlżości (.9) i (.0) ot gąc i t.npężi oż toist liczć z odpoidio dptoc zoó (.) (5) i (.7) σ z I z dl z ± σ 6 (.6) σ z I z t t t dl z ± σ t 6 t (.7) gdzi τ z TS dl z 0 τ z I S z T (.8)

36 Pzłd. l soodi podptj zgu płt ołoj o poiiu i guości pzoszącj óoii ozłożo ociążi q (s..) -zczć:. Rói otó gącc () t () i soć ic s.. sl pężi duo dług ipotz slc pężń stczc.. Rói poizci ugiętj płt () oz slą tość ugięci. Z ói óogi śodoj części płt licz siłę popzczą T T q 0 T q

37 Po stiiu T do ói (.7) i scłoiu otz C ϑ C q 6 Z uó zgoc i ż dl 0 ϑ 0 oz dl 0 czli d 0. Poiż ąt ϑ dl 0 ośi iogiczi d usi ć ó zu to jst to ożli tlo óczs gd C 0. Ntoist C licz z ói C q 6 q 6 C 0 stąd q ϑ 6 C q 6 ięc

38 Po stiiu ϑ do zlżości (.9) i (.0) otz ói otó gącc podsti tóc suj s. Npężi duo ędzi iło jięszą tość śodo puci dolj poizci płt (0 ).Olicz j stępująco ( )( ) ( ) 6 6 q q z ( ) q q q d t t σ σ σ σ σ σ σ σ

39 Po stiiu ϑ do żi (.5) i scłoiu otz ói poizci ugiętj płt Stłą cłoi C licz z uu zgogo: dl 0 stąd Po stiiu C ói poizci ugiętj płt uzs stępującą postć Ugięci osiąg tość slą dl 0 i osi C q C q C q 5 6 q

40 .7 Błoo toi poło osioostczc Jśli płszczz śodo sti się poizcią płt zii się połoę. Zji się połoi osioostczi o tij łj óoij guości ż zcoują się j ło czli i podlgją zgiiu. Pzji ż pzoszą o osioostcz ociążi jczęścij ciśii (s..). W dool puci po-łoi puj płsi st pężi oślo do pężii głói σ pzoju płszczzą połudioą oz σ pz-oju poizcią stożoą o tozącj olj do poizci śodoj. Od pężi są ozłożo óoii guości połoi. Poii ziz ozpt puci połoi płszczźi połudioj oz płszczźi do ij postopdłj oszą odpoidio ρ i ρ.

41 Wodęi lt połoi o ic ds i ds (s..5). Pozostj o óodz pod dziłi ciśii p oz sił ętzc ziązc z pężii σ i σ. Su zutó tc sil olą do połoi ozż puci jst ó zu ds ds pds ds σ ds si σ ds si ρ ρ Po uzględiiu ż 0 si ds ds i si ds ds

42 poiż są to sius łc ątó ięc po oczistc uposzczic otz ói Lplc Rói Lplc σ σ ρ ρ p (.9) Zi oo di iido σ σ i oż j ło zczć lż sozstć dodtoo z ói óogi odciętj części połoi (s..6). Su zutó sił zętzc oz sił ętzc dziłjącc ścic połoi i ziązc z pężi σ oś stii jst ó zu

43 Rói óogi odciętj części połoi stąd σ cosα p Q 0 p Q σ cosα (.50) gdzi: Q cięż odciętj części połoi z z jj ztością p. ciczą/? - dciśii dziłjąc połoę pozioi płszczz jj odcięci. Jśli zioiu zjduj się cicz o ciężz łści γ pzcięci połoi stąpiło głęoości g to p osi p p 0 gγ (.5) gdzi p o dciśii poizci soodj cicz.

44 Pzłd. W zioiu ulist o śdic i guości ścii (s..7) zjduj się iżi gz o dciśiiu p. Wzczć pężi σ σ. W ozż pzpdu ρ ρ ięc σ σ σ. oż j zczć z ói (.) σ p σ σ σ p stąd (.5)

45 Pzłd.5 W lczu o śdic i guości ścii (s..8) zjduj się iżi gz o dciśiiu p. Oliczć pężi σ i σ. W ozż pzpdu postć σ p σ p ρ 0 ρ i ói pziją stąd σ σ p p (.5)

46 .8 Zgięcio toi ciij połoi lcoj W pzciiństi do toii łooj toii zgięcioj uzględi się sztość połoi zgii. Złożi tj toii i to oziązi są logicz do pzjętc toii zgii płt ciic. Rozż szczgól l ż i często spot ptc pzpd połoi lcoj. Jj sztłt opisuj poiń poizci śodoj i guość toist osioostcz ociążi fucj q() s..9 (ciśii zętz oż spoodoć uttę sttczości u).

47 Roziązi połoi lcoj podzi do ói óżiczogo z zględu fucję () tó opisuj pziszczi poiio putu poizci śodoj - s..0.

48 N lt cięt do odlgłi o d płszczzi postopdłi do osi połoi oz do toząci ąt d α płszczzi pzcodząci pzz tę oś dziłją: ociążi q() sił ol zdłuż N i oodo N t () sił popzcz T () oz ot gąc () t () - s... Alogiczi do płt sił ętz pzpdją jdostę długości oślogo pzoju. ds

49 Rozżć ędzi óogę ułdu sił zętzc i ętzc dziłjącc lt połoi (s..). Z uu zutó sił oś (czli iu tozącj poizci śodoj) i żdn 0. Ozcz to ż jśli i słdoc sił zętzc o iuu to N cost i oślją ociążi zętz pzłożo ońcc połoi. N podsti uu zutó sil iu poiio oż ustlić stępującą zlżość dα Ntd q ds ( ) dsd ( T dt ) ds T 0 dt d N t q ( ) (.5) W podziu uzględioo ż. si d α d α ds

50 Ntoist z uu otó zględ postj stczj do liii śodoj lżącj płszczźi olj do osi i zlżość t j dl li zgij d d T (.55) Ttując lt cięt do płszczzi toząci ąt d zdłuż cłj połoi podoi j odęioą z płt o sztości E ( ) lę pzoju tój dził ot gąc (pzpdjąc jdostę szoości li) oż sfoułoć stępując ói d d (.56) Z fouł (.56) i (.55) iją zlżości d d T d d (.57)

51 Poiż odsztłci oodo sti śodoj ltu ε t ( ) dα dα dα oślić siłę oodoą N t ięc ozstjąc z p Hoo oż N t σ t Eε E (.58) Po duot zóżiczoiu zlżości (.56) zględ i z-stosoiu zoó (.5) (.55) oz (.50) otzuj się ó-i óżiczo z zględu pziszczi poiio po-izci śodoj połoi () Rói pziszczi poiiogo połoi lcoj i jgo cł d d β q (.59) gdzi β ( ) E (.60)

52 Cł ogól ói (.59) jst suą cłi ogólj ói jdo-odgo pz q 0 i cłi szczgólj ói ijdoodgo pz q 0 β β ( ) ( C cos β C cos β) ( C cos β C cos β) (.6) gdzi: C C C C -stł cłoi tó lż zczć z uó zgoc. Npężi połoc lcoj Zjąc () zcz się sił ętz z zoó (.57) i (.58) pz uzględiiu ż d t d (.6) stępi olicz pężi. Sił ol ołują pężi ol óoii ozłożo guości t j poło ł łoą N Nt ( σ ) ( σ t ) (.6) Sił popzcz ołuj pężi stcz o ozłdzi policz guości tógo tość sl dl z 0 osi (.6) ( τ ) T z ot gąc ołują pężi ol o liio ozłdzi guości tóc tości sl dl 6 6 z ± 6 t ( σ ) ± ( σ ) g t ± ± g oszą (.65)

53 Pzłd.6 W długij uz o poiiu i guości ścii z szt ołiz puj stł dciśii - q (z i z zotu ociążi stosuu do zotu osi z) - s... Nsoć s () i () oz. oliczć slą tość otu i ołgo i pężi (σ ) g.

54 Nitudo spdzić ż cł szczgól ói (.59) oc q cost postć q q t β E (.66) ięc cłę ogólą oż zpisć stępująco β β ( ) ( C cos β C cos β) ( C cos β C cos β) q β (.67) Pz zięszjąc się () poio zizć do tości stłj ijącj z łooj toii poło tczs pisz słdi zięsz się iogiczi. usi zt ć C C 0. l O d 0 i 0 co uożlii liczi C i C d C C q β q E Roziązi uzsuj osttczi foę q E [ ] β ( ) ( cos β si β)

55 ot gąc śl zlżości (.) osi β ( ) β ( cos β si β) q ( ) q E β ( cos β si β) Ws () i z () pozo s... Widć ż () szo zi z zost ięc pł zgii lol ct. Wtości sl i (σ) g stępują dl 0 i oszą z q ( σ ) ( ) q q 8 g ( )

56 .9 tod ltó sończoc dl płt i poło.9. tod ltó sończoc dl płt Ugięci płt o dool sztłci jst oślo ói (po. (.0)) (.68) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ω q Rói to lż uzupłić odpoidii ui zgoi ΩΓ. Tpo ui zgo pzdstioo p..5.

57 Zjąc ugięci ( ) oż oliczć odsztłci i pężi płci. St pężi płci jst oślo pzz sił ętz. Wpodź ciz oluo uogólioc pężń i odsztłcń ciz oluo uogólioc pężń i odsztłcń (.69) (.70) gdzi: κ κ - fucj ziz χ - fucj ziczi. ( ) { } ( ) ( ) ( ) σ ( ) { } ( ) ( ) ( ) χ κ κ ε

58 Ziązi fizcz są tz oślo stępująco { σ} [ ]{ ε} (.7) gdzi ciz spężstości postć [ ] E ( ) ( ) / (.7)

59 Zstosoi tod ltó sończoc do zczi ugięć płt () polg pisz tpi podzil duiogo oszu Ω lt sończo Ω'... N. Podoi j pzpdu duioc zgdiń zgoc toii spężstości pz dstzcji płt oż stosoć lt tójąt lu postoąt (s..).

60 Rói (.68) jst spłio lci sposó pzliżo. Cł żo oślo lci sończo Ω postć (.7) gdzi ( ) jst fucją gi. Ω dd q 0 Sfoułoi sł dl płt. Cłując żi (.7) pzz części otzuj sfoułoi sł dl płt (.7) gdzi i są osiusi iuoi olj do zgu. ( ) ( ) 0 Γ Γ Ω ds ds dd q

61 Wto zużć co jst tpo dl sfoułoi słgo ż zlżości (.7) zostł oiżo gi ziąz z óżiczolością ugięci (). Pocod fucji gi zględ spół-zędc i zii pocod zględ lolc spół-zędc: olj i stczj s (.75) Kozstjąc z zlżości (.75) oż cłi zgo sfoułoiu sł (.7) pzsztłcić do postci (.76) s s Γ Γ ds s ds T s gdzi: (.77) Cłując pzz części dugi słdi dugij cłc (.76) otzuj (.78) gdzi jst cją ędącą ilt sił popzczj T i otu sęcjącgo s zgu. ( ) ( ) s T T T Γ ds V s T V s

62 W sfoułoiu sł (.7) stępując dugi pocod ugięć i fucj itpolcj poi ć t do gicc sąsi-dującc ltó osiągąć ciągłość ugięć i ic piszc pocodc. Pzjując jo pt ęzło ąt ootó ϑ i ϑ oż usić spłii tgo uu putc ęzłoc. Pzjij stępującą poscję ugięć płt lci sończo A ( ) Δ Ψ ( ) [ Ψ ] { Δ } j j j (.79) gdzi Δ j j l... są uogólioi pziszczii ęzłoi tó -t ęźl są zstio ciz oluoą { Δ } ϑ ϑ (.80) Ψ j j l... są fucji itpolcji zstioi dl żdgo - tgo ęzł ciz iszoą [ Ψ ] zijącą tz lt.

63 Elt płto postoąt W pzpdu ltu postoątgo licz ęzłó osi A i licz ptó opisującc lt osi toist dl ltu tójątgo A i 9. l ltu postoątgo (s..5) fucję poscją ugięć pzjuj postci iloiu o ptc ( ) c c c0 c c c c c c 5 6 c 7 c 8 c 9 (.8)

64 Elt płto tójąt W pzpdu ltu tójątgo (s..6) iloi 9 ptó ( ) c c c c c c c ( ) c c (.8) Współczii c i i l... iloió są ośl z uó zgodości pziszczń uogólioc (.80) putc ęzłoc... A.

65 Fucj itpolcj dl ltu płtogo postoątgo Fucj itpolcj dl ltu postoątgo oż pzdstić postci [ Ψ ] [( ξξ )( ηη )( ξξ ηη ξ η ) ξ η ( ξξ ) ( ξξ )( ηη ) ( ξξ )( ηη ) ( ηη )] (.8) gdzi s ξ η s są zioi spółzędi loli lci sończo.

66 Fucj itpolcj dl ltu płtogo tójątgo W pzpdu ltu tójątgo fucj itpolcj pzjują postć (.8) gdzi [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ Ψ L L L L L c L L L L L c L L L L L L L L L L L L L L L L L L L c A c L

67 Po podstiiu zlżości (.78) do (.7) ijsc (.76) otzuj dl Ψ i (.85) gdzi lt ciz sztości ltu sończogo płt ją postć (.86) toist lt ciz sil ęzłoc żją się stępująco (.87) (.88) [ ]{ } { } { } Q f K Δ dd K j i i i j i ij Ω Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ Ω Ψ dd q f i i Γ Ψ Ψ ds V Q i i i Elt ciz sztości ltu sończogo płt

68 Zjąc tości ęzło ugięć oż tz oliczć odsztłci (.89) gdzi ciz gotcz postć (.90) Npężi olicz stępująco (.9) { } [ ] { } B Δ ε [ ] [ ] [ ] [ ] Ψ Ψ Ψ B { } [ ]{ } [ ][ ] { } B Δ ε σ

69 ciz sztości ltu płtogo ciz sztości [K } i czli dl ltu postoątgo i 9 9 dl ltu tójątgo płt. ciz t oż ć pzdstio tż ij postci iż (.86) T [ K ] [ B ] [ ][ B ] Ω dd [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] [ K ] (.9) pz cz T [ K ] [ B] [ ][ B] l Ω l dd (.9)

70 .9. tod ltó sończoc dl poło Kostucj połoo łączą soi st tczo i płto. ltgo do liz poło z poocą tod ltó sończoc oż zstosoć płsi lt sończo tó łączą soi cc ltu płsigo toii spężstości i ltu płtogo. Pz dstzcji połoi oż zt stosoć podoi j pzpdu tcz i płt lt postoąt i tójąt (s..7).

71 Rozż dl pzłdu lt tójąt (s..8). Jst to lt 8 pto poiż żd ęźl ltu 6 ptó { Δ } [ u ϑ ϑ ϑ ] T z dl (.9) i pisz spółzęd u i opisują pziszczi -tgo ęzł płszczźi ltu i oślją st tczo. Nstęp tz spółzęd ϑ ϑ oślją tpo dl płt st zgięcio. ϑ z Ostti spółzęd opisując dodto oót zostł podzo poiż poizci połoi jst zzio i lt i lżą jdj płszczźi.

72 Pziszczi liio ltu połoogo są poso stępująco (.95) gdzi ciz fucji itpolcjc o ic 6 postć (.96) [ ] { } Δ Φ ) ( ) ( ) ( z z z u [ ] Φ [ ] [ ] [ ] Ψ Ψ Φ plt tcz Podciz i są fucji itpolcji dl ltu tczogo i płtogo. [ ] tcz Ψ [ ] plt Ψ

73 ciz odsztłcń i pężń są dl połoi złożi odpoidic ciz dl tcz i płt (.97) gdzi: - guość tcz N N N -sił pzojo. {} {} {} χ κ κ γ ε ε ε ε ε plt tcz { } { } { } plt tcz N N N σ σ σ

74 ciz sztości ltu połoogo ciz sztości ltu połoogo stępującą stutuę T [ K ] [ B] [ ][ B] l Ω l dd [ K ] tcz l [ K ] 0 plt l K 0 0 zst l (.98) zst K l Elt ciz sztości iuu ϑ z zostł ozczo jo. Ftczi poii o ć ó zu. Z putu idzi uczgo uiąć osoliości ułdu óń t lt ciz sztości jst óż od z l łścii do i-zcz sposó pł ii oliczń. Pzjuj się go zl postci K zst l λe A 05λE A dl dl l l gdzi: λ < 00 -guość. A - pol połoogo ltu sończogo.