Analiza niepewności pomiarów Przykłady

Transkrypt

1 Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Przykłady Dr hab. inż. Paweł Majda

2 Przykład szacowania niepewności pomiaru Przykład ten obrazuje szacowanie niepewności dla przypadku pośredniego pomiaru ze sprawdzeniem korelacji wielkości wejściowych. Wykorzystując metodę techniczną wykonano serię równoczesnych pomiarów napięcia U i natężenia I. W celu oceny nieznanej wartości rezystancji R badanego rezystora pomiary wykonano woltomierzem o zakresie 10 V i wskaźniku klasy 0, oraz amperomierzem o zakresie 3 A i wskaźniku klasy 0,. Otrzymano następujące wyniki: U=(9,1; 10,0; 8,9; 9,8; 9,) V oraz I=(,5;,6;,3;,7;,4) A. Wartości średnie wynoszą odpowiednio: Uˆ 1 n 1 Iˆ n 5 i1 5 i1 U i 9,4 V I i,5 A Rˆ Uˆ 9,4 3, 76 Iˆ, Szczecin; Paweł Majda

3 Przykład szacowania niepewności pomiaru Niepewności standardowe obliczone metodą A wynoszą: 1 1 u AU 1 n ( n 1) 5(5 1) 5 5 U i Uˆ U i 9,4 0, V i u AI 071 n ( n 1) 5(5 1) 5 I i Iˆ Ii,5 0, A i1 i1 i1 Niepewność wnoszoną do wyniku pomiaru rezystancji przez aparaturę pomiarową szacujemy metodą typu B. Zakładając, że błędy przyrządów, których wartości graniczne są określone wskaźnikami ich klas dokładności mają rozkład jednostajny to niepewność standardową typu B jest opisana zależnością: u B g g gdzie: kl 100% 3 Z czyli: gu klu Z 1 10 max U 0, 0, 0 V zatem: 0, u BU 0,01 uau 3 0, 1 gi kli Z 1 3 max I 0, 0, 006 A 0, u BI 0,003 uai 3 0,071 max pominąć jako nieistotne Szczecin; Paweł Majda 3

4 Przykład szacowania niepewności pomiaru Badamy korelację między zmiennymi wejściowymi. Estymator współczynnika korelacji obliczamy z zależności: r UI 5 U ˆ ˆ i U Ii I 5 5 U ˆ ˆ i U Ii I i1 i1 0,6 0,9 0,1 i1 Duża wartość współczynnika korelacji wskazuje na znaczną zależność między zmiennymi. Uwzględniamy zatem kowariancję w obliczeniach złożonej niepewności standardowej dla pomiaru rezystancji. 0,87 u cr R Uˆ ˆ Rˆ uau uai Iˆ Rˆ Uˆ Rˆ Iˆ u AU u AI r UI Rˆ Uˆ Iˆ u cr ,071 0,61 0,10,071 0,87 0, 0,4 0, U k 0,051 0,10 0, 10 R u cr Szczecin; Paweł Majda 4

5 Przykład szacowania niepewności pomiaru Ostateczny wynik pomiaru rezystancji wynosi: ˆR ; k= 3,76 0, 10 Sprawdzając, jaką wartość miałaby niepewność gdyby nie uwzględniono w obliczeniach kowariancji otrzymano: ˆR u cr U R 0, ,73 0, 7 3,76 0, 7 ; k= Wnioski: Zaniedbując kowariancję w powyższym zadaniu otrzymano zawyżoną ocenę niepewności pomiaru rezystancji Szczecin; Paweł Majda 5

6 Przykład szacowania niepewności pomiaru temperatury Wyznaczenie niepewności pomiaru temperatury płyty stalowej, którą mierzono dotykowym czujnikiem rezystancyjnym Pt100 podłączonym w układzie trójprzewodowym do karty akwizycji danych (DAQ). W budżetowaniu niepewności, dla uproszczenia pominięto wpływ stałej czasowej czujnika na wyniki szacowania niepewności. Podejście takie jest uzasadnione w przypadku rejestracji wolnozmiennych procesów. Metoda pomiarowa pomiary wykonano dotykowym czujnikiem rezystancyjnym Pt100 o zakresie pomiarowym -0 80oC. Za pośrednictwem karty zbierania danych mierzono rezystancję czujnika, która w zakresie 0 850oC jest opisana zależnością: R R0 1 A T B T skąd: T R0 A 4 R0 B R 4 R0 B R0 A R0 B Szczecin; Paweł Majda 6

7 Przykład szacowania niepewności pomiaru temperatury W przedstawionym powyżej przykładzie, najsłabszym ogniwem ze względu na udział wnoszony do niepewności pomiaru jest karta zbierania danych. Udział błędów pochodzących od stałych A i B oraz od dryftu karty pomiarowej jest stosunkowo niewielki, bo rozszerzona niepewność pomiaru temperatury obliczona z pominięciem tych składników zmalałaby z 0,54 do 0,53 o C. Dlatego w budżetowaniu niepewności można pominąć składowe niepewności dryftu karty oraz stałych A i B bez ryzyka istotnego niedoszacowania niepewności przedmiotowego pomiaru Szczecin; Paweł Majda 7

8 Szacowanie niepewności pomiaru metodą randomizacji czyli Monte Carlo Wg zaleceń przewodnika metoda taka jest akceptowalna Monte Carlo pętle randomizacyjne dla wyniku pomiaru przykładowej wielkości E=F/d Bez uwzględniania korelacji zmiennych Z uwzględnieniem korelacji zmiennych rand - losowa liczba z populacji o rozkładzie prostokątnym (lub innym przyjętym do szacowania) z przedziału od -1 do 1 Wyrazy wektorów skorelowanych wzajemnie ze sobą o znanym współczynniku korelacji. Elementy tych wektorów przyjmują wartości z przedziału od -1 do 1 W ogólnym przypadku w powyższych pętlach zamiast MPE trzeba zastosować niepewność rozszerzoną rozpatrywanych wielkości. Odchylenie standardowe z populacji randomizowanego wyniku pomiaru jest jego złożoną niepewnością. By otrzymać niepewność rozszerzoną należy Szczecin; Paweł Majda 8

9 Generowanie wektorów skorelowanych z użyciem dekompozycji Choleskiego 1. Zestawić pożądaną macierz współczynników korelacji rozpatrywanych zmiennych w tzw. macierzy korelacji Pearsona np: R 1 sym 0, 1 0,5 0,9 1 nxn; n. Dokonać dekompozycji Choleskiego macierzy R by pozyskać trójkątną macierz L R L T L 3. Obliczyć wektory skorelowane z użyciem macierzy L S Z L gdzie: S - macierz skorelowanych wartości zmiennych losowych, Z - macierz nieskorelowanych zmiennych losowych (o dowolnych rozkładach), L - trójkątna macierz dekompozycji Choleskiego Szczecin; Paweł Majda 9

10 Generowanie wektorów skorelowanych z użyciem dekompozycji Choleskiego Wizualizacja zmiennych wygenerowanych randomizacyjnie z użyciem dekompozycji Choleskiego dla danych wejściowych o rozkładzie normalnym Szczecin; Paweł Majda 10

11 Generowanie wektorów skorelowanych z użyciem dekompozycji Choleskiego Wizualizacja zmiennych wygenerowanych randomizacyjnie z użyciem dekompozycji Choleskiego dla danych wejściowych o rozkładzie prostokątnym Szczecin; Paweł Majda 11

12 Przykład szacowanie niepewności pomiaru metodą Monte Carlo porównanie obliczeń randomizacyjnych ze ścisłym rozwiązaniem Szczecin; Paweł Majda 1 Przykład obrazuje szacowanie niepewności złożonej (metodą ścisłą i Monte Carlo) wyniku pomiaru pośredniego wielkości E na podstawie znajomości wyników pomiaru wielkości wejściowych F i d. Zakłada się, że MPE danych wejściowych są znane: MPE(F)=±0, MPE()=± E F Złożona niepewność standardowa przy założeniu, że zmienne wejściowe są niezależne i mają rozkład prostokątny wyniosłaby: 9 1, 3 ) ( 3 ) ( 1 MPE F F MPE E u c Natomiast uwzględniając korelację z przyjętym a priori współczynnikiem korelacji r(f,)=0,9: 68 0, ), ( 3 ) ( 3 ) ( 1 3 ) ( 3 ) ( 1 F r MPE F MPE F MPE F F MPE E u r c

13 Porównanie wyników rozwiązania ścisłego i otrzymanego metodą Monte Carlo n liczba powtórzeń pętli randomizacyjnej Szczecin; Paweł Majda 13

14 Przykład szacowania niepewności pomiaru sztywności maszyn technologicznych z użyciem akcelerometrów Metody wyznaczania sztywności statycznej obrabiarek Instytut Technologii Mechanicznej ZUT w Szczecinie Szczecin; Paweł Majda 14

15 Przeliczanie sygnałów pomiarowych przyśpieszenia na przemieszczenia z użyciem szeregów harmonicznych Przyśpieszenie mierzone akcelerometrem Poszukiwany przebieg czasowy przemieszczenia obliczam z zależności: Szczecin; Paweł Majda 15

16 Błąd wyznaczania przemieszczenia ze wskazań akcelerometru Przemieszczenie estymowane ze wskazań akcelerometru 35C33 firmy PCB (100 mv/g) Przemieszczenie zmierzone czujnikiem pojemnościowym firmy LP z dokładnością <13 nm; k= w zakresie ±0,15 mm Wzbudnik elektromagnetyczny 16

17 Niepewność wyznaczania przemieszczeń po transformacji ruchu bryły idealnie sztywnej Zwiększanie liczby czujników zmniejsza niepewność wyznaczania wsp. uogólnionych Zwiększanie odległości CS od bryły pogarsza niepewność wyznaczania wsp. uogólnionych Szczecin; Paweł Majda 17

18 Niepewność wyznaczania współrzędnych uogólnionych (przemieszczeń) obrabiarki średniej wielkości Z Y X Przy założeniu, że przemieszczenia są wyznaczone z niepewnością 5mm Szczecin; Paweł Majda

19 Źródła niepewności pomiaru siły - przykład Lx=130;Ly=135; Lz=80 ± mm FZ = Fcos(g) F.S.=1000N Stała mostka = 1,49 ± % Liniowość=0,108%F.S. Histereza=0,11%F.S. Pełzanie = 0,071 %F.S./10K Błąd zera = 0,6%F.S. FY = Fcos(b) FX = Fcos(a) Zasilanie mostka = 5V Dokładność = 0,1% Błąd zera = 5mV Pełzanie = 0,01%/K Wzmacniacz Wzmocnienie = 1; ; 4; 8; 50; 100; 00; 400 Dokładność = 0,% Liniowość = 0,%F.S. Pełzanie = 30ppm/K Szczecin; Paweł Majda

20 Niepewność wyznaczania sztywności obrabiarki średniej wielkości - przykład F FZ FY k x, y, z F Przy założeniu, że zakres zmienności wszystkich niezależnych źródeł niepewności można scharakteryzować rozkładem prostokątnym dla k= otrzymano: Widok siłownika i siłomierza kx=19,0 ±, ky=3,1 ±,9 kz=30,1 ± 5,9 N m rxy= 0,6 ryz= 0,9 FX rzx= 0,6 Widok akcelerometrów na wrzecienniku obrabiarki Szczecin; Paweł Majda 0

21 Budżet niepewności w % źródło niepewności kx ky kz kx ky kz czujnik 1 wsp. pol. w osi X (pom. na kier. X) czujnik 1 wsp. pol. w osi Y czujnik 1 wsp. pol. w osi Z czujnik wsp. pol. w osi X (pom. na kier. X) czujnik wsp. pol. w osi Y czujnik wsp. pol. w osi Z czujnik 3 wsp. pol. w osi X czujnik 3 wsp. pol. w osi Y (pom. na kier. Y) czujnik 3 wsp. pol. w osi Z czujnik 4 wsp. pol. w osi X czujnik 4 wsp. pol. w osi Y (pom. na kier. Y) czujnik 4 wsp. pol. w osi Z czujnik 5 wsp. pol. w osi X czujnik 5 wsp. pol. w osi Y czujnik 5 wsp. pol. w osi Z (pom. na kier. Z) czujnik 6 wsp. pol. w osi X czujnik 6 wsp. pol. w osi Y czujnik 6 wsp. pol. w osi Z (pom. na kier. Z) orientacja siłownika względem osi X orientacja siłownika względem osi Y orientacja siłownika względem osi Z dokładność wyznaczania przemieszczeń stała charakterystyczna siłomierza liniowość siłomierza histereza siłomierza stabilność zasilania siłomierza DAQ siłomierza wzmocnienie siłomierza liniowość wzmacniacza siłomierza Szczecin; Paweł Majda 1

22 6- akcelerometrów, niepewność pozycji akcelerometrów i siłownika ± mm kx=19,0 ±, ky=3,1 ±,9 kz=30,1 ± 5,9 k= 9- akcelerometrów, niepewność pozycji akcelerometrów i siłownika ±1 mm kx=19,0 ± 1,5 ky=3,1 ± 1,6 kz=30,1 ± 4,4 k= Szczecin; Paweł Majda

23 Przykład szacowania powtarzalności wyznaczania częstotliwościowej funkcji przejścia metodą Monte Carlo Obliczenia uśredniano dla n wektorów wejściowych i wyjściowych. Liczbę n dobierano tak by eliminować wektory zaniżające koherencję i powtarzalność. Polegało to na eliminacji z zarejestrowanych wektorów tych, które były nietypowe - test s Szczecin; Paweł Majda 3

24 Przykład szacowania powtarzalności wyznaczania częstotliwościowej funkcji przejścia Uderzenie - X wrzeciennik Odpowiedź - X narzędzie Szczecin; Paweł Majda 4

25 Przykład szacowania powtarzalności wyznaczania częstotliwościowej funkcji przejścia Uderzenie - Y wrzeciennik Odpowiedź - Tilt Y narzędzie Szczecin; Paweł Majda 5

26 Dziękuję za uwagę Szczecin; Paweł Majda 6