RAPORT Z PRAKTYKI. Zastosowanie Sztucznych Sieci Neuronowych do wspomagania podejmowania decyzji kupna/sprzedaży na rynku Forex.

Transkrypt

1 Projekt współfinansowane przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach projektu Wiedza Techniczna Wzmocnienie znaczenia Politechniki Krakowskiej w kształceniu przedmiotów ścisłych i propagowaniu wiedzy technicznej w regionie RAPORT Z PRAKTYKI Temat realizowanego projektu: Zastosowanie Sztucznych Sieci Neuronowych do wspomagania podejmowania decyzji kupna/sprzedaży na rynku Forex. Opracował Adam Marszałek V rok Matematyki WFMiIS PK Opiekun naukowy dr inż. Michał Bereta Pracownik IMK PK Instytut Fizyki Politechniki Krakowskiej pok. F206a, ul. Podchorążych 1, Kraków tel.: w. 28, faks: wiedza@pk.edu.pl

2 Spis treści Spis rysunków Spis tablic Wstęp Rodzaje wykorzystanych Sieci Neuronowych Wielowarstwowa sieć perceptronowa - MultiLayer Perceptron (MLP) Sieć hybrydowa (SH) Sieć rekurencyjna przetwarzająca sygnały w czasie rzeczywistym - Real Time Recurrent Network (RTRN) Probabilistyczna sieć neuronowa - Probabilistic Neural Network (PNN) Analiza techniczna: Sygnały kupna/sprzedaży Średnia ruchoma - Moving Average (MA) Wskaźnik zbieżności/rozbieżności średnich ruchomych - Moving Average Convergence/Diverygence (MACD) Uzyskane wyniki Prognozowanie zmian odchyleń ceny od prostej średniej ruchomej Prognozowanie zmian wykładniczej średniej ruchomej Prognozowanie wartości linii MACDMain Podsumowanie Literatura Spis rysunków 1. Architektura sieci MLP Architektura sieci SH Architektura sieci RTRN Architektura sieci PNN okresowa wykładnicza średnia ruchoma i generowane przez nią sygnały Wskaźnik MACD(12,26,9) i generowane przez niego sygnały Prognozy zmian odchyleń ceny od SMA dla danych ze zbioru walidacyjnego Prognozy zmian EMA dla danych ze zbioru walidacyjnego Prognozy wskaźnika MACD dla danych ze zbioru walidacyjnego Spis tablic 1. Wyniki dla prognozy zmian odchyleń ceny od SMA Wyniki dla prognozy zmian EMA Wyniki dla prognozy wskaźnika MACD

3 1. Wstęp Obecnie, aby inwestować na rynkach kapitałowych wystarczy dysponować jedynie komputerem z dostępem do sieci Internet (oraz oczywiście pewnym kapitałem pieniężnym), co spowodowało, że do wspomagania inwestowania zaczęto wykorzystywać osiągnięcia naukowe z dziedziny metod Sztucznej Inteligencji (SI). W niniejszej pracy zajmiemy się jedną z metod SI, a mianowicie Sztucznymi Sieciami Neuronowymi (SSN), z pomocą których spróbujemy generować z wyprzedzeniem sygnały kupna/sprzedaży na rynku walutowym (Forex). Głównym celem pracy była implementacja oraz wytrenowanie wybranych rodzajów SSN, a następnie porównanie ich ze względu na poprawność generowanych sygnałów. Wszystkie Sztuczne Sieci Neuronowe zostały zaimplementowane w języku programowania C, natomiast systemy transakcyjne wykorzystane do sprawdzenia poprawności generowanych sygnałów zostały zaimplementowane w języku MQL 4 platformy transakcyjnej MetaTrader 4. Obliczenia zostały wykonane na klastrach Instytutu Modelowania Komputerowego Politechniki Krakowskiej. 2. Rodzaje wykorzystanych Sieci Neuronowych W niniejszym rozdziale przedstawimy pokrótce cztery typy Sztucznych Sieci Neuronowych oraz algorytmy wykorzystane do ich uczenia Wielowarstwowa sieć perceptronowa - MultiLayer Perceptron (MLP) Cechą charakterystyczną sieci jednokierunkowych wielowarstwowych jest występowanie, co najmniej jednej warstwy ukrytej neuronów, która pośredniczy w przekazywaniu sygnałów między węzłami wejściowymi, a warstwą wyjściową. Architektura: Sygnały wejściowe są podawane na pierwszą warstwę ukrytą neuronów, a te z kolei stanowią sygnały źródłowe dla kolejnej warstwy. W sieci tej występują połączenia pełne między warstwami. W szczególności w niektórych zastosowaniach pewne połączenia międzyneuronowe mogą nie wystąpić i mówi się wówczas o połączeniu częściowym, lokalnym. Zwykle połączenia dotyczą wtedy części warstwy poprzedniej, skupionej w określonym obszarze tworzącym pole recepcyjne danego neuronu. Neurony warstw ukrytych stanowią bardzo istotny element sieci, umożliwiający uwzględnienie związków między sygnałami, wynikającymi z zależności statystycznych wyższego rzędu (Rys. 1). Rysunek 1. Architektura sieci MLP. Uczenie: Uczenie perceptronu wielowarstwowego odbywa się zwykle z nauczycielem, a najpopularniejszą metodą uczenia jest algorytm wstecznej propagacji błędu. Algorytm wstecznej propagacji - BackPropagation (BP) określa strategię doboru wag w sieci wielowarstwowej przy wykorzystaniu gradientowych metod optymalizacji. Podczas procesu uczenia sieci dokonuje się prezentacji pewnej ilości zestawów uczących (tzn. wektorów wejściowych oraz odpowiadających im wektorów sygnałów wzorcowych (wyjściowych)). Uczenie polega na takim doborze wag neuronów by w efekcie końcowym błąd popełniany przez sieć był mniejszy od zadanego. Więcej na temat algorytmu w pozycji [1]. 3

4 2.2. Sieć hybrydowa (SH) Niniejszą sieć trudno jednoznacznie zaklasyfikować do znanych z książek typów sieci neuronowych. Została ona zaprojektowana według indywidualnego pomysłu autora jako próba połączenia sieci o radialnych funkcjach bazowych z siecią perceptronową. Ze względu na swoją budowę jest ona pewnym rozbudowaniem sieci radialnych, a uproszczeniem sieci realizujących uogólnioną regresję. Architektura: W sieci tej sygnały również przesyłane są od wejścia do wyjścia. Pierwsza warstwa ukryta zbudowana jest z neuronów o radialnej funkcji bazowej, które realizują funkcję zmieniającą się radialnie wokół wybranego centrum przyjmując wartości niezerowe tylko w otoczeniu tego centrum. Neurony te mają za zadanie odwzorować radialną przestrzeń wokół jednego zadanego punktu lub grupy punktów stanowiących klaster. Następnie sygnały z warstwy radialnej przesyłane są poprzez warstwę perceptronową do wyjścia sieci, co umożliwia zamodelowanie bardziej złożonej funkcji nieliniowej (Rys. 2). Rysunek 2. Architektura sieci SH. Uczenie: Sieci radialne należą do grupy sieci uczonych pod nadzorem, co pozwala na wykorzystania do uczenia naszej sieci algorytmu wstecznej propagacji błędu. Jednak podczas uczenia poza dobieranie odpowiednich wartości wag między neuronami, modyfikujemy także parametry neuronów radialnych: centrum i współczynnik wygładzenia Sieć rekurencyjna przetwarzająca sygnały w czasie rzeczywistym - Real Time Recurrent Network (RTRN) Sieci rekurencyjne różnią się od sieci jednokierunkowych występowaniem sprzężenia zwrotnego między warstwami wyjściowymi i wejściowymi. Architektura: Sieć RTRN jest siecią jednowarstwową o N wejściach i m neuronach ukrytych. Każdy z neuronów warstwy ukrytej posiada odpowiedni węzeł warstwy kontekstowej opóźnień. Wśród m neuronów warstwy ukrytej tylko M stanowi wyjście sieci, a pozostałe K=m-M są neuronami ukrytymi (Rys. 3). Uczenie: Do uczenia sieci RTRN zastosowano algorytm uczenia rekurencyjnego w czasie rzeczywistym (zwany RTRL - Real Time Recurrent Learning). Algorytm ten opracowany przez Williamsa i Zipsera, jest algorytmem gradientowym minimalizującym wartość błędu kwadratowego między wartościami żądanymi na wyjściu sieci, a wartościami aktualnymi wygenerowanymi przez sieć. Więcej na temat algorytmu w pozycji [2]. 4

5 Rysunek 3. Architektura sieci RTRN Probabilistyczna sieć neuronowa - Probabilistic Neural Network (PNN) Sieci probabilistyczne zwane również bayesowskimi są przede wszystkim klasyfikatorami. W rzeczywistości jest to algorytm statystyczny, który powstał kilkadziesiąt lat temu. Architektura: PNN reprezentuje metodę statystyczną tzw. dyskryminację jądrową, przestawioną w postaci czterech warstw: warstwa wejściowa, warstwa wzorców (warstwa ukryta - funkcje radialne), warstwa sumacyjna oraz warstwa wyjściowa zwracającej klasę do której wprowadzony przykład należy (Rys. 4). Rysunek 4. Architektura sieci PNN. Uczenie: Sieci probabilistyczne nie wymagają uczenia, a jedynie doboru na podstawie posiadanych danych odpowiednich wartości parametru wygładzania funkcji radialnych w warstwie ukrytej. W przypadku zaimplementowanej na potrzeby projektu PNN parametry te zostały dobrane za pomocą Prostego Algorytmu Genetycznego. 3. Analiza techniczna: Sygnały kupna/sprzedaży W tym rozdziale przedstawimy dwa podstawowe wskaźniki analizy technicznej oraz tradycyjne sygnały kupna/sprzedaży generowane za ich pomocą Średnia ruchoma - Moving Average (MA) Średnia ruchoma jest jednym z najbardziej podstawowych narzędzi analizy technicznej służącym do badania trendów. Jak wynika z nazwy powstaje on przez uśrednienie pewniej stałej grupy danych, co powoduje, że za każdym pojawieniem się nowych danych średnia ta przesuwa się do przodu. 5

6 Istnieje kilka rodzajów średnich ruchomych, różniących się przede wszystkim sposobem uśredniania danych. Poniżej przybliżymy nieco tylko dwie z nich. Prosta Średnia Ruchoma (SMA): gdzie: n - liczba okresów, C t - cena instrumentu w chwili t. SMA = n C t t=1 n. Wykładnicza Średnia Ruchoma (EMA): EMA = (CA gdzie: n - liczba okresów, CA aktualna cena instrumentu, EMA 1 - poprzednia wartość średniej. 2 n + 1 ) + (EMA 1 (1 2 n + 1 )), Jak wynika ze wzorów SMA jest więc zwykłą średnia arytmetyczna z n okresów. Natomiast EMA jest przykładem średniej ważonej w sposób wykładniczy z n okresów, dzięki czemu nadaje ona aktualnym danym coraz większą wagę. Dzięki prostocie wzorów średnie kroczące są wykorzystywane w budowie innych wskaźników analizy technicznej, jak i w wielu mechanicznych systemach transakcyjnych. Średnie ruchome również same generują sygnały kupna/sprzedaży. Sygnał kupna powstaje gdy cena instrumentu przebija średnią od dołu, natomiast sygnał sprzedaży gdy cena przebija średnią od góry (Rys.5). Rysunek okresowa wykładnicza średnia ruchoma i generowane przez nią sygnały Wskaźnik zbieżności/rozbieżności średnich ruchomych - Moving Average Convergence/Diverygence (MACD) Wskaźnik MACD został opracowany przez Geralda Appela. Zbudowany jest on z dwóch linii oscylujących wokół tzw. linii zero. Pierwsza linia (MACDMain) obrazuje różnice pomiędzy krótko- i długotermi- 6

7 nową średnią kroczącą (obie wykładnicze), linia ta na wykresie przedstawiana jest w postaci histogramu. Druga linia (MACDSignal) powstaje przez wygładzenie linii MACDMain za pomocą prostej średniej ruchomej. Wskaźnik ten również generuje sygnały kupna/sprzedaży. Sygnał kupna powstaje gdy linia MACD- Signal przecina linie MACDMain od góry oraz obie linie znajdują się poniżej zera. Natomiast sygnał sprzedaży gdy linia MACDSignal przecina linie MACDMain od dołu i obie linie znajdują się powyżej zera (Rys.6). Rysunek 6. Wskaźnik MACD(12,26,9) i generowane przez niego sygnały. 4. Uzyskane wyniki W niniejszym rozdziale zostaną przedstawione uzyskane wyniki dla poszczególnych typów sieci w zależności od rodzaju prognozowanych zmiennych. Dane wykorzystane do uczenia sieci neuronowych to dane o częstotliwości jednej godziny dotyczące pary walutowej USD/JPY z okresu od r. do r. Dane te zostały podzielone na dwa rozłączne zbiory: zbiór uczący zawierający dane z pierwszych 4000 świec godzinowych, zbiór walidacyjny zawierający dane z kolejnych 772 świec. Natomiast testowanie poprawności generowanych sygnałów za pomocą sieci wytrenowanych na tych danych zostały przeprowadzone na danych z października 2009r. Do tych celów zaimplementowano dwa systemy transakcyjne. System nr 1: W systemie tym transakcje są wykonywane w momencie pojawienia się sygnału, a zamykane tylko i wyłącznie w momencie pojawienia się sygnału przeciwnego, wtedy też automatycznie otwierana jest nowa transakcja w drugą stronę. Jak więc można zauważyć w tym systemie ważne jest aby po pojawieniu się jednego sygnału, pojawił się także w odpowiednim momencie sygnał przeciwny. Transakcje w systemie otwierane są na stałą wartość 1 lota, nie ma także poziomów Stop-Loss czy Take-Profit. System nr 2: Drugi system z kolei będzie już systemem przedstawiającym jakie moglibyśmy osiągnąć zyski korzystając z prognoz sieci. Transakcje otwieramy tak jak poprzednio gdy pojawi się sygnał wejścia w rynek. Natomiast zamykamy ją w dwóch przypadkach: gdy pojawi się sygnał przeciwny lub na ustalonym wcześniej poziomie Stop-Loss (tzn. jeśli kurs zmieni się o ustaloną wartość w przeciwnym kierunku niż nasza otwarta pozycja 7

8 to transakcja automatycznie jest zamykana). Na podstawie poziomu Stop-Loss ustalana jest wielkość zawieranej transakcji tak aby w przypadku zamknięciu na tym poziomie ewentualna strata nie przekraczała 5% naszego kapitału. Objaśnienia informacji zawartych w tablicach: AT - transakcje w systemach są zawierane na podstwaie sygnałów analizy technicznej opisanych w rozdziale 3, IP - transakcje w systemach są zawierane na podstawie sygnałów generowanych przy użyciu idealnych prognoz (tj. gdybyśmy znali dokładne wartości za 5 okresów), MLP - transakcje w systemach są zawierane na podstawie sygnałów generowanych przy użyciu prognoz otrzymanych z sieci MLP, SH - transakcje w systemach są zawierane na podstawie sygnałów generowanych przy użyciu prognoz otrzymanych z sieci SH, RTRN - transakcje w systemach są zawierane na podstawie sygnałów generowanych przy użyciu prognoz otrzymanych z sieci RTRN, PNN - transakcje w systemach są zawierane na podstawie sygnałów generowanych przy użyciu prognoz otrzymanych z sieci PNN, BSKU - błąd średniokwadratowy popełniany przez sieć na zbiorze uczącym, BSKW - błąd średniokwadratowy popełniany przez sieć na zbiorze walidacyjnym, dla sieci PNN jest to liczba błędnie sklasyfikowanych przykładów ze zbioru walidacyjnego, QU - miara zgodności kierunków prognoz dla zbioru uczącego, stosunek danych ze zbioru uczącego, dla których wartość prognozy jest prawidłowego znaku do wszystkich danych z tego zbioru, wyrażony w procentach, QW - miara zgodności kierunków prognoz dla zbioru walidacyjnego, stosunek danych ze zbioru walidacyjnego, dla których wartość prognozy jest prawidłowego znaku do wszystkich danych z tego zbioru, wyrażony w procentach, PS1 - poprawność generowanych sygnałów, stosunek transakcji zakończonych zyskiem do transakcji zakończonych stratą dokonanych przez system transakcyjny nr 1, wyrażony w procentach, w nawiasach stopa zwrotu z danego okresu, PS2 - poprawność generowanych sygnałów, stosunek transakcji zakończonych zyskiem do transakcji zakończonych stratą dokonanych przez system transakcyjny nr 2, wyrażony w procentach, w nawiasach stopa zwrotu z danego okresu Prognozowanie zmian odchyleń ceny od prostej średniej ruchomej W niniejszym podejściu prognozowaną zmienną będzie różnica pomiędzy odchyleniem ceny zamknięcia pary USD/JPY od 12-okresowej prostej średniej ruchomej za 5 okresów, a odchyleniem ceny od tej samej średniej w chwili obecnej. Wymiar sygnału wyjściowego wynosi 1. Dane wejściowe do wszystkich rodzajów sieci to odpowiednio przetworzone dane zawierające informacje o: cenach zamknięcia pary walutowej USD/JPY z pięciu okresów wstecz; cenach zamknięcia pary walutowej CHF/JPY z trzech okresów wstecz; wartościach wskaźnika MACD w chwili obecnej; wartościach 3,5,7,24,50-okresowych prostych średnich ruchomych w chwili obecnej; wartości wskaźnika Momentum w chwili obecnej. Wymiar sygnałów wejściowych wynosi 17. Sygnał kupna pojawia się gdy aktualna wartość odchylenia ceny zamknięcia pary USD/JPY jest ujemna, natomiast prognozowana zmiana odchyleń w kolejnych dwóch prognozach jest dodatnia. Odwrotnie dla sygnału sprzedaży, aktualna wartość odchylenia jest dodatnia, a prognozowana zmiana w kolejnych dwóch prognozach jest ujemna. Rysunku 7 przedstawione zostały prognozy sieci neuronowych dla fragmentu zbioru walidacyjnego. Natomiast Tablica 1 przedstawia szczegółowo uzyskane wyniki (oznaczenia na początku rozdziału 4). 8

9 9 Rysunek 7. Prognozy zmian odchyleń ceny od SMA dla danych ze zbioru walidacyjnego.

10 BSKU QU BSKW QW PS1 PS2 AT % ( 36, 38%) 39, 46% (17, 39%) IP % ( 78, 72%) 91, 18% (325, 96%) MLP % % 58.82% ( 50, 52%) 46, 15% (1, 99%) SH % % 47.37% ( 68, 11%) 63, 64% (8, 36%) RTRN % % 41.18% ( 61, 29%) 55, 56% (10, 09%) PNN % 53.85% ( 19, 46%) 54, 35% (7, 88%) Tablica 1. Wyniki dla prognozy zmian odchyleń ceny od SMA Prognozowanie zmian wykładniczej średniej ruchomej W kolejnym podejściu prognozowaną zmienną będzie różnica pomiędzy 12-okresową wykładniczą średnią ruchomą za 5 okresów a jej aktualną wartością dla pary USD/JPY. Wymiar sygnału wyjściowego wynosi 1. Dane wejściowe do wszystkich rodzajów sieci są takie same jak w poprzednim przypadku. Sygnał kupna pojawia się gdy róznica między aktualną watością 12-okresowej EMA a wartością tej średniej sprzed 5 okresów jest ujemna, natomiast prognozowana zmiana średniej w dwóch kolejnych prognozach jest dodatnia. Odwrotnie dla sygnału sprzedaży, róznica między aktualną watością 12-okresowej EMA a wartością tej średniej sprzed 5 okresów jest dodatnia, natomiast prognozowana zmiana średniej w dwóch kolejnych prognozach jest ujemna. Rysunek 8 przedstawia prognozy sieci neuronowych dla fragmentu zbioru walidacyjnego. Natomiast Tablica 2 przedstawia szczegółowo uzyskane wyniki (oznaczenia na początku rozdziału 4). BSKU QU BSKW QW PS1 PS2 AT % ( 23, 52%) 34, 15% ( 4, 38%) IP % (186, 01%) 100, 00% (477, 61%) MLP % % 26.09% ( 42, 83%) 38, 46% (1, 82%) SH % % 38.10% ( 34, 77%) 40, 00% ( 1, 53%) RTRN % % 14.29% ( 35, 31%) 12, 50% ( 25, 31%) PNN % 43.75% ( 28, 92%) 52, 38% (2, 74%) Tablica 2. Wyniki dla prognozy zmian EMA Prognozowanie wartości linii MACDMain W ostatnim podejściu prognozowaną zmienną będzie wartość linii MACDMain za 5 okresów wskaźnika MACD(12,26,9) dla pary USD/JPY. Wymiar sygnału wyjściowego wynosi 1. Dane wejściowe do wszystkich rodzajów sieci to odpowiednio przetworzone dane zawierające informacje o: cenach zamknięcia pary walutowej USD/JPY z pięciu okresów wstecz; wartościach wskaźnika MACD z trzech okresów wstecz; wartości wskaźnika RSI w chwili obecnej; wartościach wskaźnika ADX w chwili obecnej; wartościach 9,12,24-okresowych wykładniczych średnich ruchomych w chwili obecnej; wartości wskaźnika Momentum w chwili obecnej. Wymiar sygnałów wejściowych wynosi 19. Sygnał kupna pojawia się gdy w chwili obecnej wartość linii MACDMain jest mniejsza od wartości linii MACDSignal oraz różnica pomiędzy prognozowaną zmienną a aktualna wartościa linii MACDMain w kolejnych dwóch prognozach jest dodatnia. Odwrotnie dla sygnału sprzedaży, aktualna wartość lini MACDMain jest większa od wartości linii MACDSignal oraz różnica pomiędzy prognozowaną zmienną a aktualna wartościa linii MACDMain w kolejnych dwóch prognozach jesy ujemna. 10

11 11 Rysunek 8. Prognozy zmian EMA dla danych ze zbioru walidacyjnego.

12 12 Rysunek 9. Prognozy wskaźnika MACD dla danych ze zbioru walidacyjnego.

13 BSKU QU BSKW QW PS1 PS2 AT % (3, 60%) 35, 48% ( 9, 85%) IP % (143, 64%) 100, 00% (450, 30%) MLP % % 63.16% (24, 63%) 40, 00% ( 13, 35%) SH % % 68.00% (43, 60%) 50, 00% (7, 54%) RTRN % % 53.33% (13, 24%) 16, 67% ( 17, 97%) PNN % 57.89% (13, 09%) 50, 00% (16, 52%) Tablica 3. Wyniki dla prognozy wskaźnika MACD. Rysunek 9 przedstawia prognozy sieci neuronowych dla fragmentu zbioru walidacyjnego. Natomiast Tablica 3 przedstawia szczegółowo uzyskane wyniki (oznaczenia na początku rozdziału 4). 5. Podsumowanie Uzyskane wyniki nie pozwalają jednoznacznie stwierdzić czy wykorzystanie sieci neuronowych do generowania sygnałów kupna/sprzedaży pozwala na osiąganie ponadprzeciętnych zysków na giełdzie walutowej. Jednakże, w przypadku prognozowania wartości wskaźnika MACD, wykorzystanie prognoz z sieci SH oraz PNN pozwoliło na uzyskanie zadowalających wyników przez obydwa systemy transakcyjne. Patrząc również na możliwości jakie daje znajomość idealnych prognoz, szukanie ich nie jest bezpodstawne. A obecnie sztuczne sieci neuronowe są jednymi z najlepszych narzędzi do tego typu problemów. Porównując architektury sieci pod względem błędów popełnianych w trakcie procesu trenowania można stwierdzić że zachowują się one dość podobnie, natomiast patrząc na wyniki systemów transakcyjnych trudno powiedzieć które sieci są lepsze. Dla różnych typów danych, sieci zachowują się bardzo różnie. Jedyną siecią, która dość wyraźnie się wyróżnia jest sieć PNN, powodów tego może być kilka. Sieć ta przede wszystkim nie prognozuje dokładniej wartości zmiennej a jedynie klasyfikuje ją ze względu na znak. Po drugie sieć ta dzięki swej budowie została tak zaimplementowana, że w trakcie generowania prognozy korzysta ona z najbardziej aktualnych danych, natomiast pozostałe sieci wykorzystują informacje tylko z danych pokazywanych w trakcie uczenia. Należy również zwrócić uwagę, że posiadanie prognoz to nie wszystko, aby stworzyć dobry system transakcyjny potrzebne są jeszcze takie elementy jak na przykład dobra strategia zarządzanie kapitałem, poziomy Stop-Loss czy Take-Profit. Literatura [1] B. Kröse, P. van der Smagt - An introduction to Neural Network. [2] D. Mandic, J. Chambers - Recurrent Neural Networks for Prediction. [3] J. Murphy - Analiza techniczna rynków finansowych. [4] D. Witkowaska - Sztuczne sieci neuronowe i metody statystyczne. [5] E. Gately - Sieci Neuronowe. Prognozowanie finansowe i projektowanie systemów transakcyjnych. 13