PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS

Transkrypt

1 PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS nr Taksonomia 29 ISSN Klasyfikaca i analiza danych teoria i zastosowania e-issn Beata Bieszk-Stolorz Uniwersytet Szczeciński beatus@wneiz.pl FUNKCJA SKUMULOWANEJ CZĘSTOŚCI I MODELE HAZARDU W OCENIE KONKURUJĄCYCH FORM WYJŚCIA Z BEZROBOCIA CUMULATIVE INCIDENCE FUNCTION AND HAZARDS MODELS IN THE ASSESSMENT OF ROUTES FOR UNEMPLOYMENT EXIT DOI: /pn JEL Classification: C41, J64 Streszczenie: W analizie czasu trwania bezrobocia reestrowanego występuą dane cenzurowane dwoakiego rodzau. Jeżeli zdarzeniem kończącym obserwacę est podęcie pracy, to obserwacami cenzurowanymi są przypadki wyreestrowania z pozostałych przyczyn (np. przeście na rentę lub emeryturę, wyazd za granicę, niezgłoszenie się w urzędzie) lub obserwace, które nie zakończyły się zdarzeniem przed końcem okresu badania. Poęcie podęcie pracy obemue różne formy wyścia z bezrobocia: podęcie zatrudnienia lub działalności gospodarcze, skorzystanie z subsydiowanych form zatrudnienia: prac interwencynych lub robót publicznych. Wszystkie te formy stanowią różne rodzae zdarzeń konkuruących. Celem artykułu est wykorzystanie funkci skumulowane częstości do oceny prawdopodobieństwa wyścia z bezrobocia oraz modeli hazardu do oceny intensywności tego wyścia dla różnych rodzaów ryzyk konkuruących. Zastosowane metody pozwoliły na ocenę wpływu innych niż praca przyczyn wyreestrowania z urzędu pracy. Słowa kluczowe: funkca skumulowane częstości CIF, model hazardu, ryzyka konkuruące, bezrobocie. Summary: The survival analysis of registered unemployment uses censored data of two kinds. If the final event of the observation is a obseeker s employment, then we can accept for censored observations the cases of leaving the register for other reasons (retirement due to old-age pension or permanent disability, a failure to report to the labour office) or the observations which had not finished with an event before the end of the study. Moreover, the very act of taking up income-generating work can take various forms: taking up a ob, setting up a business or taking advantage of subsidised ob programmes offered by local governments, such as intervention or public works. All of these forms are considered to be some form of competing risk. The purpose of the article is to use the cumulative incidence function (CIF) to evaluate the probability to leave unemployment and to use the hazards models to assess the intensity of leaving unemployment in reference to various types of the competing risk. Keywords: cumulative incidence function (CIF), hazard model, competing risks, unemployment.

2 22 Beata Bieszk-Stolorz 1. Wstęp Analiza trwania, nazywana często analizą przeżycia, obemue zbiór metod badaących procesy, w których interesuący est czas T, aki upłynie do wystąpienia pewnego zdarzenia. Obserwaci podlegaą wszystkie ednostki należące do pewne kohorty (pacenci, urządzenia, bezrobotni, firmy). Obserwue się czas trwania zawiska (procesu), aki upływa od zdarzenia początkowego (początek leczenia, uruchomienie urządzenia, utrata pracy, założenie firmy) do zaścia zdarzenia końcowego (śmierć pacenta, awaria urządzenia, wyście z bezrobocia, likwidaca firmy). Ponieważ okres obserwaci est ograniczony, zdarza się, że ednostki należące do badane kohorty mogą nie doznać zdarzenia końcowego przed ego końcem. Takie obserwace uznae się za cenzurowane prawostronnie. W badaniach za obserwace takie uznae się również sytuace, w których badana ednostka znika z pola widzenia lub występue zdarzenie kończące obserwacę, które wyklucza zaście zdarzenia właściwego [Pepe 1991], czyli zdarzenie konkuruące. Gooley i in. [1999] definiue ryzyko konkuruące ako zdarzenie, którego wystąpienie wyklucza lub fundamentalnie zmienia prawdopodobieństwo wystąpienia innego zdarzenia. Należy przy tym założyć, że zdarzenia występuą niezależnie od siebie [Crowder 1994, 1996, 1997]. Badana ednostka est narażona na różne rodzae ryzyka w tym samym czasie, ale przypuszcza się, że ewentualne zdarzenie wynika z tylko ednego z tych czynników, które nazywa się przyczyną niepowodzenia [Aly i in. 1994]. Jeżeli badamy śmiertelność pacentów w wyniku wykryte choroby, obserwaci może podlegać czas upływaący od momentu podęcia leczenia do momentu śmierci. Śmierć może nastąpić z powodu nawrotu choroby lub w czasie remisi (spowodowane skutkami leczenia). W zastosowaniach inżynierskich ryzyko konkuruące związane est z wpływem elementów składowych na cały system. Tuta awaria któregokolwiek ze składników powodue awarię systemu. Obserwue się czas, w którym system zawodzi, i który składnik spowodował awarię. W literaturze obok zdarzeń konkuruących bezwarunkowych (unconditional competing risks), rozważa się również warunkowe modele ryzyk konkuruących (conditional competing risks models). W przypadku pierwszego rodzau zdarzeń zakłada się ich niezależność. W przypadku tych drugich prawdopodobieństwa prześcia między stanami zależą nie tylko od zmiennych obaśniaących, ale również od czasu i typu pobytu we wcześnieszym stanie [Landmesser 28b]. Celem artykułu est wykorzystanie wybranych metod oceny ryzyk konkuruących bezwarunkowych: funkci skumulowane częstości CIF (Cumulative Incidence Function) do oceny prawdopodobieństwa wyścia z bezrobocia oraz modeli hazardu do oceny intensywności wychodzenia z bezrobocia dla różnych rodzaów ryzyk konkuruących. W badaniu wykorzystano dane indywidualne osób zareestrowanych w Powiatowym Urzędzie Pracy (PUP) w Szczecinie.

3 Funkca skumulowane częstości i modele hazardu w ocenie konkuruących form wyścia Metodyka badania W badaniu wykorzystano wybrane metody analizy trwania. Obserwaci podlega czas trwania ednostki w danym stanie, który est zmienną losową T. Podstawą tego typu analizy est funkca trwania (funkca przeżycia) zdefiniowana następuąco: S ( t) P( t > T ) = F( t) = 1, (1) gdzie: T est czasem trwania zawiska, a F(T) dystrybuantą rozkładu zmienne losowe T. Drugą funkcą stosowaną w analizie trwania est funkca hazardu. Opisue ona intensywność zaścia zdarzenia w momencie t pod warunkiem przetrwania do czasu t i est zdefiniowana następuąco [Kleinbaum, Klein 25]: ( ) ht ( < + ) P t T t t T t = lim. t t Natomiast funkca skumulowanego hazardu est sumą hazardu do czasu t i dla czasu dyskretnego określona est wzorem: H ( t) = h( t ) : t t W przypadku występowania różnych zdarzeń konkuruących stosue się funkcę skumulowane częstości występowania (Cumulative Incidence Function) oznaczoną ako CIF k (t). Jest to prawdopodobieństwo zaścia zdarzenia z powodu k przed czasem t. Funkca ta est zdefiniowana następuąco [Klein, Moeschberger 23, s. 52]: CIF k t ( t) = P( t T = k) = S( u) hk ( u) du S( u) dh k. t (2) (3),d =, (4) gdzie: H k (t) dla k = 1, 2, 3,, K est funkcą hazardu skumulowanego, S(t) funkcą przeżycia, δ = dla obserwaci cenzurowanych oraz δ = 1,, K dla obserwaci kończących się zdarzeniem typu k (ednym z K konkuruących). Estymatorem funkci skumulowanego hazardu H k (t) dla przyczyny k est estymator Nelsona-Aalena: dk Hˆ k ( t) =, n (5) : t t gdzie: t są momentami zachodzenia zdarzeń, d k est liczbą zdarzeń z powodu zaistnienia przyczyny k w momencie t, n est liczbą osób narażonych na ryzyko w czasie t.

4 24 Beata Bieszk-Stolorz Często stosowanym estymatorem funkci przeżycia S(t) est estymator Kaplana- -Meiera: d Sˆ ( t) = 1, (6) : t t n gdzie: d oznacza liczbę zdarzeń w momencie t, a n est liczbą osób narażonych na ryzyko w czasie t. Korzystaąc ze wzorów (5) i (6), funkcę skumulowane częstości występowania z powodu zaistnienia przyczyny k można oszacować ako [Marubini, Valsecchi 1995]: ( t) = d ˆ k k S t 1 ). (7) : t t n CIF ˆ( CIF k est skumulowanym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia typu k przed lub w czasie t [Bryant, Dignam 24]. Pozwala ono określić wzorce zaścia zdarzenia z powodu k oraz ocenić, w akim stopniu każdy powód przyczynia się do całkowite porażki 1. K Ponieważ dk = d, to prawdziwa est zależność: k = 1 K k = 1 CIF ˆ k ( t) = 1 Sˆ ( t) Jeżeli nie ma zdarzeń konkuruących, to zachodzi równość: CIF ˆ ( t) 1 S ˆ( t). (8) =. (9) W przypadku, gdy występuą zdarzenia konkuruące stosue się również rozwiązanie polegaące na uznaniu pozostałych zdarzeń kończących proces obserwaci za obserwace cenzurowane. Taki sposób rozumowania prowadzi do przeszacowania wartości funkci CIF [Sherif Bintu 24]. W przypadku różnych rodzaów ryzyk konkuruących (k 1) funkce hazardu opisue wzór [Klein, Moeschberger 23, s. 5]: h k ( t) = lim t ( T < t + t,δ = k T t) P t t dla k = 1, 2, 3,, K. (1) 1 Innym sposobem oceny ryzyka konkuruącego est zastosowanie wielomianowego modelu logitowego (ako model hazardu z czasem dyskretnym) i wyznaczenie szansy względne zaścia zdarzeń konkuruących [Landmesser 28a; Bieszk-Stolorz, Markowicz 212].

5 Funkca skumulowane częstości i modele hazardu w ocenie konkuruących form wyścia Estymatorem funkci hazardu h k (t) dla przyczyny k w momencie t est: ( t ) d k h ˆ k = n, (11) gdzie d k i n maą takie same znaczenie ak we wzorze (5). W przypadku, gdy k = 1 (brak zdarzeń konkuruących), estymator funkci hazardu przymue postać: ( t ) d h ˆ = n, (12) gdzie d i n maą takie same znaczenie ak we wzorze (6). Modele dane wzorami (11) i (12) nazywa się również modelami hazardu empirycznego. 3. Dane wykorzystane w badaniu i rodzae grup zdarzeń kończących proces obserwaci W badaniu wykorzystano anonimowe dane indywidualne osób bezrobotnych zareestrowanych w 213 roku w Powiatowym Urzędzie Pracy w Szczecinie i obserwowanych do końca 214 roku. Wyznaczono czas od momentu zareestrowania do momentu wyreestrowania z urzędu z określonego powodu. Liczne przyczyny wyreestrowania pogrupowano (tab. 1). Ponieważ tylko kilka z nich związanych est z podęciem pracy, pierwotnie w badaniu przyęto bardzie szczegółowy podział na siedem podgrup przyczyn wyreestrowania: praca, praca (urząd), działalność gospodarcza, odmowa, renta/emerytura/zasiłek, wyazd za granicę i pozostałe. Następnie, opieraąc się na pierwszych analizach, przyczyny podzielono na trzy grupy: praca w ogólnym sensie, odmowa i pozostałe. Tabela 1. Grupy przyczyn wyreestrowania z urzędu pracy Nazwa grupy Praca w ogólnym sensie Nazwa podgrupy Przyczyna wyreestrowania praca praca (urząd) działalność gospodarcza podęcie pracy lub innego zatrudnienia podęcie robót publicznych, prac interwencynych, praca w ramach utworzonego dodatkowego miesca pracy z tytułu udzielone pożyczki lub dofinansowania wynagrodzenia za zatrudnienie bezrobotnego 5+ podęcie pozarolnicze działalności gospodarcze, przyznanie ednorazowo środków na podęcie działalności gospodarcze, rozpoczęcie działalności gospodarcze ze środków PFRON Odmowa odmowa odmówienie przyęcia propozyci zatrudnienia lub inne pracy zarobkowe, wykonywania prac interwencynych, robót publicznych, udziału w szkoleniu, stażu, przygotowaniu zawodowym w miescu

6 26 Beata Bieszk-Stolorz Tabela 2, cd. Pozostałe renta, zasiłek, emerytura wyazd za granicę pozostałe pracy; niestawienie się w PUP w wyznaczonym terminie, nieprzedstawienie zaświadczenia o niezdolności do pracy wskutek choroby, odmówienie lub przerwanie udziału w działaniach w ramach Programu Aktywizaca i Integraca, brak gotowości do podęcia pracy przez okres co namnie 1 dni, wniosek bezrobotnego o wykreślenie z ewidenci nabycie prawa do emerytury, świadczenia rehabilitacynego, renty, pobieranie zasiłku stałego, podleganie ubezpieczeniu emerytalno- -rentowemu z tytułu stałe pracy ako domownik w gospodarstwie rolnym, pobieranie świadczenia pielęgnacynego, dodatku do zasiłku rodzinnego z tytułu samotnego wychowywania dziecka, pobieranie zasiłku dla opiekuna, przyznanie prawa do pobierania świadczenia/ zasiłku przedemerytalnego wyazd za granicę na okres co namnie 3 dni brak gotowości zmiana miesca zameldowania lub pobytu poza obszar działania PUP, niezdolność do pracy wskutek choroby lub przebywania w zamkniętym ośrodku odwykowym, rozpoczęcie szkolenia organizowanego przez inny podmiot niż PUP, zgon, powołanie do zasadnicze służby woskowe, podęcie nauki w szkole w systemie dziennym Tabela 2. Rodzae grup zdarzeń kończących proces obserwaci i odpowiadaące im obserwace cenzurowane Zdarzenie kończące proces obserwaci Obserwaca cenzurowana 1 2 Powód wyreestrowania Liczba Powód cenzurowania Liczba I rodza Dowolny powód Zdarzenie nie nastąpiło do końca 214 roku Praca 7 87 Praca 7 87 Praca (urząd) 929 Działalność gospodarcza 897 Odmowa Renta, zasiłek, emerytura 685 Wyazd za granicę 445 Pozostałe 494 II rodza Zdarzenie nie nastąpiło do końca 214 roku lub inny niż podęcie pracy powód wyreestrowania III rodza Zdarzenie nie nastąpiło do końca 214 roku 1 856

7 Funkca skumulowane częstości i modele hazardu w ocenie konkuruących form wyścia Praca w ogólnym sensie Odmowa Pozostałe IV rodza Zdarzenie nie nastąpiło do końca 214 roku Zastosowanie w badaniu modeli ryzyk konkuruących wiąże się z różnym zdefiniowaniem obserwaci cenzurowanych. Mogą to być bowiem obserwace, które nie zakończyły się akimkolwiek zdarzeniem przed upływem okresu obserwaci (w przeprowadzonym badaniu est to koniec 214 roku), lub obserwace, które zakończyły się zdarzeniem różnym od analizowanego. W przeprowadzonym badaniu analizowano cztery rodzae grup zdarzeń kończących proces obserwaci. Wynikaą one z przyętego wcześnie podziału przyczyn wyreestrowania. Odpowiadały im różne powody cenzurowania prawostronnego (tab. 2). 4. Analiza prawdopodobieństwa i intensywności wychodzenia z bezrobocia W pierwszym etapie badania wyznaczono funkcę skumulowane częstości dla czterech rodzaów grup zdarzeń kończących proces obserwaci. Na rys. 1a i 1b przedstawiono wartości estymatorów Kaplana-Meiera (KM) i funkci skumulowane częstości występowania (CIF) dla odpowiednio I i II rodzau grup zdarzeń. Dla I rodzau zdarzeniem kończącym est wyreestrowanie z dowolnego powodu, a dla II rodzau wyreestrowanie z powodu podęcia pracy. Wartości estymatora Kaplana-Meiera (rys. 1a) informuą o prawdopodobieństwie pozostania w reestrze urzędu po czasie t. Przykładowo po 6 miesiącach od momentu zareestrowania było ono równe,4. Korzystaąc z estymatora CIF (wzór (9)), można wyznaczyć prawdopodobieństwo wyreestrowania z urzędu (dowolna przyczyna) przed upływem czasu t. Przykładowo dla I rodzau przed upływem 6 miesięcy było ono równe,6. W przypadku II rodzau (rys. 1b) prawdopodobieństwo podęcia pracy przez bezrobotnego w ciągu pierwszych 6 miesięcy od zareestrowania było równe,3. Wynika z tego, że na prawdopodobieństwo wyreestrowania z urzędu duży wpływ mogły mieć inne przyczyny niż podęcie pracy. Aby zbadać ten wpływ (ryzyko konkuruące), korzystaąc ze wzoru (7) wyznaczono funkce CIF k (k = 1, 2,, 7) dla siedmiu przyczyn wyreestrowania z urzędu pracy (zawartych w tab. 1). Na rys. 2a przedstawiono cztery wybrane estymatory CIF k dla III rodzau: odmowa i praca ako osiągaące wartości zdecydowanie większe niż pozostałe oraz dwie inne przyczyny związane z podęciem pracy: praca (urząd) oraz podęcie działalności gospodarcze. Prawdopodobieństwa zaistnienia pozostałych powodów wyreestrowania: renta, zasiłek i emerytura, wyazd za granicę oraz

8 28 Beata Bieszk-Stolorz Prawdopodobieństwo 1,9,8,7,6,5,4,3,2,1 a I rodza (dowolny powód) CIF KM Prawdopodobieństwo 1,9,8,7,6,5,4,3,2,1 b II rodza (praca) CIF KM Rys. 1. Estymatory Kaplana-Meiera i CIF dla I i II rodzau grup zdarzeń kończących proces obserwaci a b Prawdopodobieństwo,45,4,35,3,25,2,15,1,5, III rodza Praca Praca (urząd) Działalność gospodarcza Odmowa Prawdopodobieństwo,5,45,4,35,3,25,2,15,1,5, IV rodza Praca (ogółem) Odmowa Pozostałe Rys. 2. Wartości estymatorów CIF k dla III i IV rodzau grup zdarzeń kończących proces obserwaci pozostałe nie przekroczyły wartości,5 i miały wpływ marginalny na ryzyko całkowite. Analiza wartości tych funkci wskazue, że po 4 miesiącu od zareestrowania prawdopodobieństwo wyreestrowania bezrobotnego przez urząd z powodu ogólnie poęte odmowy było większe od prawdopodobieństwa podęcia pracy. Dla osoby bezrobotne ważne est podęcie ogólnie poęte pracy. Dlatego dalsza analiza polegała na wyznaczeniu funkci CIF k (k = 1, 2, 3) dla trzech powodów wyreestrowań

9 Funkca skumulowane częstości i modele hazardu w ocenie konkuruących form wyścia (IV rodza). Przy takie klasyfikaci prawdopodobieństwo wyreestrowań z powodu podęcia akiekolwiek pracy było wyższe od prawdopodobieństwa odmowy, począwszy od drugiego miesiąca od momentu zareestrowania. Pozostałe powody miały wpływ marginalny (rys. 2a). Na rys. 3 przedstawiono konsekwence przyęcia II rodzau zdarzeń kończących obserwacę. Wartości tak wyznaczonego estymatora CIF (podęcie pracy, II rodza) są dużo większe od wartości estymatora CIF k (podęcie pracy, III rodza). Jak uż wspomniano wcześnie, przyęcie II rodzau prowadzi do przeszacowania wartości ryzyka konkuruącego. W przypadku przedstawione analizy est ono bardzo duże i w 24 miesiącu, kończącym obserwacę, prawdopodobieństwo wyścia do pracy dla II rodzau zdarzeń (,68) est większe aż o 84% od prawdopodobieństwa wyścia do pracy dla III rodzau zdarzeń (,37). Prawdopdobieństwo,7,6,5,4,3,2,1 Praca (II rodza) Praca (III rodza) Rys. 3. Wartości estymatorów CIF i CIF k dla zdarzenia praca (w ścisłym sensie) dla II i III rodzau grup zdarzeń kończących proces obserwaci Drugi etap badania polegał na ocenie ryzyk konkuruących z wykorzystaniem funkci hazardu, czyli na oszacowaniu intensywności wychodzenia z bezrobocia. W przypadku braku zdarzeń konkuruących (I i II rodza) skorzystano z estymatora (12). W sytuaci wyróżnienia zdarzeń konkuruących (III i IV rodza) zastosowano estymator (11). Wartości obu estymatorów dla zdarzenia praca w przypadku II i III rodzau grup zdarzeń są takie same, dlatego dalsza analiza dotyczyła zdarzeń I, III i IV rodzau. Na rys. 4a przedstawiono wykres funkci hazardu dla I i III rodzau grup zdarzeń kończących obserwacę, a na rysunku 4b dla I i IV rodzau. Intensywność wyreestrowań z dowolnego powodu (I rodza) gwałtownie malała w 1 i 2 miesiącu oraz po 19 miesiącu od zareestrowania. Jest ona zaznaczona czarną ciągła linią na obu rysunkach 4a i 4b. Na rys. 4a przedstawiono estymatory hazardu dla czterech zdarzeń kończących proces obserwaci: odmowa, praca, praca (urząd) i działalność gospodarcza (III rodza). Wartość estymatorów dla trzech pozostałych zdarzeń była

10 3 Beata Bieszk-Stolorz a b Hazard,22,2,18,16,14,12,1,8,6,4,2, I i III rodza Praca Praca (urząd) Działalność gospodarcza Odmowa Dowolny powód (I rodza) Hazard,22,2,18,16,14,12,1,8,6,4,2 I i IV rodza Praca (ogółem) Odmowa Pozostałe Dowolny powód (I rodza) Rys. 4. Wartości funkci hazardu dla I, III i IV rodzau zdarzeń kończących proces obserwaci bliska. Nawiększy wpływ na wielkość intensywności wyreestrowań z dowolnego powodu miały wyreestrowania z powodu odmowy, szczególnie w pierwszym miesiącu od zareestrowania. Na drugim miescu była praca, a praca organizowana przez urząd oraz podęcie działalności gospodarcze miały znaczenie racze marginalne. Na rys. 4b przedstawiono funkce hazardu dla IV rodzau zdarzeń. Intensywność wyreestrowań z powodu podęcia pracy (ogółem) est nieco większa niż w przypadku III rodzau, ale nadal nie przewyższa wartości hazardu dla przypadku odmowa. W przypadku pozostałych przyczyn zauważalny est skok intensywności w 7 i 8 miesiącu. Wpływ na to miała dość duża wartość funkci hazardu dla wyreestrowań z powodu przyznania renty, zasiłku lub emerytury (odpowiednio:,23 i,16). 5. Zakończenie Zastosowane w badaniu metody analizy trwania: funkca skumulowane częstości oraz model hazardu empirycznego, pozwoliły na ocenę wpływu innych niż praca przyczyn wyreestrowania z urzędu pracy. Przeprowadzona analiza wskazała na to, że odmowa była bardzo silnym powodem wyreestrowania osób bezrobotnych. Może to świadczyć o tym, że chęć podęcia zatrudnienia nie była główną przyczyną zareestrowania się bezrobotnego w urzędzie. Prawdopodobieństwo i intensywność wyreestrowania z powodu odmowy były większe niż w przypadku podęcia pracy

11 Funkca skumulowane częstości i modele hazardu w ocenie konkuruących form wyścia w zawężonym sensie (III rodza). Subsydiowane formy pracy miały znaczenie marginalne, co wynika z ograniczonych środków, akimi dysponue urząd. Miały one ednak wpływ na zwiększenie prawdopodobieństwa i intensywności podęcia pracy w sensie ogólnym (IV rodza). Literatura Aly E.A.A., Kochar S., McKeague E., 1994, Some tests for comparing cumulative incidence functions and cause-specific hazard rates, Journal of the American Statistical Association, vol. 89 (427), s Bieszk-Stolorz B., Markowicz I., 212, Wykorzystanie wielomianowego modelu logitowego do oceny szansy podęcia pracy przez bezrobotnych, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, nr 242, Taksonomia 19, s Bryant J., Dignam J.J., 24, Semiparametric models for cumulative incidence functions, Biometrics 6(1), s Crowder M., 1994, Identifiability crises in competing risks, International Statistical Review, vol. 62, no. 3, s Crowder M., 1996, On assessing independence of competing risks when failure times are discrete, Lifetime Data Analysis, 2(2), s Crowder M., 1997, A test for independence of competing risks with discrete failure Times, Lifetime Data Analysis, vol. 3 (3), s Gooley T.A., Leisenring W., Crowley J., Storer B.E., 1999, Estimation of failure probabilities in the presence of competing risks: new representations of old estimators, Statistics in Medicine, vol. 18 (6), s Klein J.P., Moeschberger M.L., 23, Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data. Second Edition, Springer-Verlag, New York. Kleinbaum D., Klein M., 25, Survival Analysis. A Self-Learning Text, Springer, New York. Landmesser J.M., 28a, Aktywność ekonomiczna ludności: klasyfikaca osób za pomocą wielomianowych modeli logitowych oraz e związek z modelami hazardu dla czasów trwania, Prace Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, nr 7 (127), Taksonomia 15, s Landmesser J.M., 28b, Modele ryzyka konkurencynego dla czasu trwania czynności, Prace Naukowe Akademii Ekonomiczne w Katowicach, s Marubini E., Valsecchi M., 1995, Analysing Survival Data from Clinical Trials and Observational Studies, John Wiley & Sons, New York. Pepe M.S., 1991, Inference for Events with Dependent Risks in Multiple Endpoint Studies, Journal of the American Statistical Association, vol. 86 (415), s Sherif Bintu N., 28, A Comparison of Kaplan-Meier and Cumulative Incidence Estimate in the Presence or Absence of Competing Risks in Breast Cancer Data, Master s Thesis, University of Pittsburgh.