Wymiar fraktalny sieci rzecznej uporz¹dkowanej metod¹ Hortona Strahlera i metod¹ Drwala

Transkrypt

1 Ewolucja Pojezierzy i Pobrze y Po³udniowoba³tyckich R. Go³êbiewski (red.), Katedra Geomorfologii i Geologii Czwartorzêdu UG, Gdañsk 2003 Wymiar fraktalny sieci rzecznej uporz¹dkowanej metod¹ Hortona Strahlera i metod¹ Drwala Joanna FAC BENEDA Uniwersytet Gdañski, Katedra Hydrologii ul. Dmowskiego 16a, Gdañsk geojfb@univ.gda.pl ABSTRAKT Wektorowy wymiar fraktalny nie musi byæ obarczony b³êdem, je eli przyjmie siê w postêpowaniu porz¹dkowania sieci inn¹ metodê hierarchizacji. Zaproponowana i sprawdzona wczeœniej na obszarach m³odej plejstoceñskiej akumulacji lodowcowej metoda Drwala uwzglêdnia cieki dzikie, które nie s¹ uwzglêdniane w metodzie Hortona Strahlera (tab.1, ryc.1, 2). Wartoœci obliczone metod¹ Drwala (dla zlewni upawy, S³upi i Brdy) mieszcz¹ siê w przedziale od 1 do 2 okreœlonym dla wymiaru fraktalnego sieci rzecznych. Uporz¹dkowanie sieci metod¹ Drwala wp³ywa na zmniejszenie wartoœci i (o 0,32-2,15 dla i 0,25 2,34 dla ) w stosunku do analogicznych wartoœci dla metody Hortona Strahlera i to niezale nie od skali (Ryc. 5). Zwraca uwagê fakt, i najwy- sze wartoœci i niezale nie od metody hierarchizacji uzyskano dla mapy w skali 1:50000 (ryc. 4). S OWA KLUCZOWE: hierarchizacja, wektorowy wymiar fraktalny, obszary m³odej plejstoceñskiej akumulacji lodowcowej POSTAWIENIE ZAGADNIENIA Rysunek geometryczny sieci rzecznej zlewni postrzegany jest jako fraktal z sobie w³aœciwym wymiarem (Mandelbrot 1983). Teoretyczny, w oderwaniu od warunków œrodowiska, wymiar fraktalny sieci rzecznej wynosi 2. Dla naturalnych sieci rzecznych wymiar ów oscyluje pomiêdzy 1,5 i 2 (La Barbera, Rosso 1989). Wyniki badañ wskazuj¹, e sieæ rzeczna w miarê osi¹gania stadium

2 28 Joanna Fac-Benda pe³nego rozwoju stopniowo zwiêksza³a swój wymiar fraktalny do wartoœci 2, st¹d osi¹gniêcie wartoœci D = 2oznacza ca³kowite wype³nienie zlewni. Wymiar fraktalny, jak wskazuje Magnuszewski (1993) mo na obliczyæ dwoma metodami. Jedna z nich (wektorowy wymiar fraktalny ) bazuje na wspó³czynniku bifurkacji i wspó³czynniku œredniej d³ugoœci cieków ( = log / log ) obliczonych metod¹ Hortona-Strahlera, druga (rastrowy wymiar fraktalny D r ) na d³ugoœci cieków i odcinku pomiarowym (N(r) = r (-Dr) ). Magnuszewski (1991) przyj¹³, e sieæ rzeczna jest fraktalem, gdy wyniki obu metod maj¹ podobn¹ wartoœæ. Autor zaznaczy³ mo liwoœæ zaistnienia b³êdu w obliczaniu wymiaru fraktalnego spowodowanego dok³adnoœci¹ obliczeñ liczby i d³ugoœci cieków w przypadku sieci strukturalnie nieregularnych, o poligenetycznej budowie. Przyk³adem takiej sieci jest sieæ systemów rzecznych plejstoceñskiej akumulacji lodowcowej, gdzie wspó³czesna sieæ wykorzystuje uformowany wczeœniej system drena u, ró ny od pluwialnego. Bajkiewicz Grabowska i Olszewski (2001) na podstawie analizy 21 zlewni z obszaru Polski uwa aj¹, e sieæ rzeczna nie jest poprawnie opisywana wektorowym wymiarem fraktalnym ( ) wskazuj¹c na wartoœci nie mieszcz¹ce siê w granicach 1 2. Poni sza praca ma na celu zasygnalizowanie, e wektorowy wymiar fraktalny nie musi byæ obarczony b³êdem, je eli przyjmie siê w postêpowaniu porz¹dkowania sieci inn¹ metodê hierarchizacji. METODY PRACY Uporz¹dkowanie tkanki hydrograficznej jest to okreœlenie stosunków nadrzêdnoœci i podrzêdnoœci pomiêdzy jej sk³adnikami, czyli jej zhierarchizowanie. W hydrologii szeroko stosowane s¹ hierarchizacje wed³ug zasad klasyfikacji o tak zwanym odwróconym porz¹dku numeracji. Od czasu wprowadzenia tych zasad przez Hortona (1945) opracowano ca³y szereg klasyfikacji (Chorley, Hagget 1972), z których ka da ma swoje zalety i wady. Jednoczeœnie brak jest uniwersalnej metody sprawdzaj¹cej siê w ka dych warunkach œrodowiska geograficznego. Œrodowisko terenów m³odej plejstoceñskiej akumulacji polodowcowej charakteryzuj¹ce siê poligenetyczn¹ sieci¹ hydrograficzn¹ by³o obszarem badañ nad organizacj¹ i wykszta³ceniem sieci (Drwal 1982), gdzie zadowalaj¹ce rezultaty da³a adaptacja metody Hortona Strahlera. Zosta³a ona opracowana przez Drwala (1982) dla centralnej czêœci Pojezierza Kaszubskiego, a potem sprawdzona równie dla du ego dorzecza pomorskiego (Drwal, Bogdanowicz 1986) oraz Wzniesienia Elbl¹skiego (Bogdanowicz 1993). Metoda Drwala (1982, 1995) jawi siê równie jako zmodyfikowana metoda Rzhanitsyna (1960). W poni szej pracy do analizy wybrano trzy zlewnie pojezierne: upawy (805 km 2 ) i S³upi (1450 km 2 ) z pó³nocnego sk³onu oraz Brdê (657 km 2 ) ze sk³onu po³udniowego. Do identyfikacji sieci zastosowano metodê interpretacji hydro-

3 Wymiar fraktalny sieci rzecznej uporz¹dkowanej graficznej, polegaj¹cej na analizie materia³u pod k¹tem wzajemnej relacji przestrzennej elementów hydrograficznych. Do uporz¹dkowania sieci przyjêto metodê Hortona Strahlera oraz metodê Drwala, której podstawowe za³o enia przedstawiono poni ej. Jako podk³ady pos³u y³y mapy topograficzne w skali 1: i 1: oraz mapy w skali 1: z Podzia³u Hydrograficznego Polski (Podzia³..., 1980) i w skali 1: z Atlasu Hydrologicznego Polski (Atlas..., 1987). Kolejne etapy pracy przeprowadzono stosuj¹c program MapInfo 7.0. HIERARCHIZACJA SIECI RZECZNEJ METOD DRWALA W powszechnie stosowanych klasyfikacjach ciekami pierwszego rzêdu s¹ wszystkie cieki Ÿródliskowe czyli zaczynaj¹ce siê wêz³em zewnêtrznym ( Ÿród³em ), a koñcz¹ce siê wêz³em wewnêtrznym, czyli w miejscu po³¹czenia siê z innym ciekiem. Ró nice rozpoczynaj¹ siê przy okreœlaniu cieków rzêdu wy szego ni pierwszy. Zasada postêpowania w hierarchizowaniu metod¹ klasyczn¹ (Hortona i Strahlera) mówi, e ciek rzêdu r+1 powstaje w wyniku po³¹czenia dwóch cieków rzêdu r. Tak wiêc z po³¹czenia siê dwóch cieków 1 rzêdu powstaje ciek 2 rzêdu, z po³¹czenia siê dwóch cieków 2 rzêdu powstaje ciek 3 rzêdu, z po³¹czenia siê dwóch cieków 3 rzêdu powstaje ciek 4 rzêdu itd. W tym postêpowaniu nie uwzglêdnia siê spotkania cieku ni szego rzêdu (czy ich dowolnej iloœci). Na obszarach m³odej plejstoceñskiej akumulacji polodowcowej zlewnie 1, 2 i 3 rzêdu (najczêœciej kojarzone z ciekami dzikimi ) obrazuj¹ odwodnienie pluwialne, nie odziedziczone po l¹dolodzie. Na poziomie rzêdów wy szych (od 4 wzwy ) zlewnie te pojawiaj¹ siê w postaci iloœci wody dalekiego kr¹ enia. Do analizy sieci tych terenów niezbêdne jest wiêc uwzglêdnianie owych cieków dzikich. Zaproponowana i sprawdzona wczeœniej na obszarach m³odej plejstoceñskiej akumulacji lodowcowej (Bogdanowicz 1993; Drwal 1982, 1995; Drwal, Bogdanowicz 1986) metoda Drwala uwzglêdnia cieki dzikie. I tak mówi ona, e przy okreœlaniu kolejnych coraz to wy szych rzêdów nale y stosowaæ dwie zasady postêpowania. Pierwsza zasada (I) nadrzêdna mówi, e ciek rzêdu r+1 powstaje z po³¹czenia dwóch cieków rzêdu r. Druga zasada (II) uzupe³niaj¹ca mówi, e ciek rzêdu r+1 mo e powstaæ równie wtedy, gdy ciek rzêdu r przyjmie tak¹ iloœæ cieków dzikich, która zrównowa y brak owego, drugiego cieku rzêdu r+1 (ryc. 1) (tab. 1). I tak przyk³adowo ciek rzêdu r+3 powstanie, gdy spotkaj¹ siê dwa cieki rzêdu r+2 (ryc. 1a), ale powstanie tak e gdy ciek rzêdu r+2 przyjmie dwa cieki rzêdu r+1 (ryc. 1b), co najmniej dwa cieki rzêdu r+1 tworz¹ bowiem ciek rzêdu r+2, lub gdy przyjmie jeden ciek rzêdu r+1 i cztery cieki rzêdu r (ryc. 1c), maksymalnie cztery cieki rzêdu r tworz¹ bowiem ciek rzêdu r+1, albo przyjmie osiem cieków rzêdu r (ryc. 1d).

4 30 Joanna Fac-Benda A B C D Tab. 1. Liczba alternatywnie przyjêtych cieków koniecznych do podwy szenia rzêdu i wype³nienia zlewni Rz¹d cieku 1 rz. 2rz. 3 rz. 4 rz. 5rz. 1 γ γ Ryc. 1. Przyk³ad hierarchizacji metod¹ Drwala Objaœnienia: 1- cieki rzêdu r; 2 cieki rzêdu r+1; 3 cieki rzêdu r+2; 4 cieki rzêdu r+3 3 γ γ γ Z jednoczesnego hierarchizowania tkanki wodnej wed³ug podanych powy- ej dwóch zasad - nadrzêdnej i uzupe³niaj¹cej, wynika potrzeba rozró nienia zlewni pe³nych i niepe³nych. Dobrze ilustruje to model podany przez Eaglesona (1978) (ryc. 2). Zlewnia rzêdu A 2 osi¹ga swój rz¹d ju (wed³ug zasady I), gdy po³¹cz¹ siê dwie zlewnie rzêdu A 1, co stanowi tylko po³owê wielkoœci jak¹ mo e mieæ zlewnia rzêdu A 2. Podobnie zlewnia rzêdu A 3, gdy po³¹cz¹ siê dwie zlewnie rzêdu A 2, co stanowi po³owê wielkoœci jak¹ mo e mieæ zlewnia A 3 itd. Wynika z tego, e drug¹ nie wykorzystan¹ dot¹d po³owê zlewni rzêdu A 2 mog¹ jeszcze zajmowaæ dodatkowe dwie zlewnie rzêdu A 1, zlewniê rzêdu A 3 dodatkowe dwie zlewnie rzêdu A 2 lub osiem zlewni rzêdu A 1 itd. Wykorzystanie w hierarchizowaniu tej mo liwoœci przez stosowanie II zasady powoduje, e zlewnie rzêdu A 2,A 3 itd. osi¹gaj¹ maksymalne mo liwe w danym rzêdzie wype³nienie. Tak wiêc zlewnia niepe³na jest to taka zlewnia, której rz¹d okreœlono w wyniku

5 Wymiar fraktalny sieci rzecznej uporz¹dkowanej Ryc. 2. Zlewnia pe³na i niepe³na przy hierarchizacji metod¹ Drwala Objaœnienia: 1, 2, 3, 4, 5 rzêdy cieków, A, A 1,A 2 itd. zlewnie cieków kolejnych rzêdów stosowania w hierarchizowaniu tylko zasady nadrzêdnej (I), a zlewnia pe³na jest taka zlewnia, której rz¹d okreœlono w wyniku stosowania w hierarchizowaniu tak e zasady uzupe³niaj¹cej (II) pozwalaj¹cej na uwzglêdnienie równie roli wszystkich cieków dzikich wystêpuj¹cych w zlewni. Nie zawsze jednak dochodzi do wype³nienia zlewni. Zdarza siê, e po przyjêciu kilku cieków dzikich recypient ³¹czy siê z równorzêdnym sobie innym ciekiem i w hierarchizowaniu trzeba powróciæ do zastosowania zasady I. W takiej sytuacji mamy równie do czynienia ze zlewni¹ niepe³n¹. WYMIAR FRAKTALNY A SKALA MAPY I METODA HIERARCHIZACJI Wymiar fraktalny jest wielkoœci¹ zale n¹ od przyjêtej skali obserwacji i im skala jest mniejsza tym wymiar fraktalny jest wiêkszy (Bajkiewicz Grabowska 2002; Bajkiewicz Grabowska, Olszewski 2001; La Barbera., Rosso 1989; Mandelbrot 1983; Nikora 1991). Wymiar fraktalny zlewni Brdy, upawy i S³upi ró ni siê w zale noœci od skali mapy, nie wykazuje jednak adnej tendencji i to zarówno dla sieci uporz¹dkowanej metod¹ Hortona Strahlera jak i metod¹ Drwala (ryc. 3). Ten brak tendencji wynika zapewne z tego, e treœæ hydrograficzna na mapie topograficznej przy przechodzeniu ze skali wiêkszej do mniejszej czêœciej jest generalizowana jakoœciowo, ni iloœciowo (Szaflarski 1965). Generalnie wartoœæ jest wy sza przy hierarchizacji metod¹ Drwala, ni metod¹ Horto-

6 32 Joanna Fac-Benda Wymiar fraktalny [ ] 2 1 1: : : : Hierarchizacja metod¹ Hortona-Strahlera Hierarchizacja metod¹ Drwala Ryc. 3. Wartoœæ wymiaru fraktalnego w odniesieniu do skali mapy i metody hierarchizacji na Strahlera (ryc. 3), co jest zrozumia³e zwa ywszy na uwzglêdnianie w metodzie Drwala cieków dzikich. Zestawienie obliczonych wartoœci ilustruje tabela 2. Tab. 2. Wartoœci, i dla sieci rzecznych zlewni Brdy, upawy i S³upi uporz¹dkowanych metod¹ Hortona-Strahlera i metod¹ Drwala upawa (Smo³dzino) A=805 km 2 S³upia (S³upsk) A=1450 km 2 Skala Hortona-Strahlera Drwala Hortona-Strahlera Drwala 1: ,47 3,08 1,33 3,17 2,73 1,15 4,05 3,27 1,18 3,4 2,08 1,67 1: ,3 5,37 0,99 3,77 3,03 1,2 4,87 2,83 1,52 3,24 2,08 1,61 1: ,22 3,64 1,12 2,94 2,59 1,13 3,67 2,39 1,49 3,04 1,95 1,67 1: ,71 2,99 1,20 3,28 2,13 1,57 3,87 2,14 1,78 3,55 1,89 1,99 Brda (Ciecholewy) A=657 km 2 Skala Hortona-Strahlera Drwala 1: ,21 2,67 1,45 2,94 2,07 1,46 1: ,29 3,99 1,21 3,14 2,27 1,38 1: ,72 2,17 1,68 2,86 1,85 1,69 1: ,53 2,52 1,37 2,65 1,9 1,51 Wartoœæ wymiaru fraktalnego w bezpoœredni sposób wynika z wartoœci wspó³czynnika bifurkacji ( ) i wspó³czynnika œredniej d³ugoœci cieków ( ).

7 Wymiar fraktalny sieci rzecznej uporz¹dkowanej Wspó³czynnik bifurkacji (R b ) i œredniej d³ugoœci cieków (R ) l : : : : R wg Hortona-Strahlera l R wg Drwala l R wg Hortona-Strahlera b R wg Drwala b Ryc. 4. Wspó³czynnik bifurkacji i wspó³czynnik œredniej d³ugoœci w odniesieniu do skali mapy i metody hierarchizacji Zwraca uwagê fakt, i najwy sze wartoœci i niezale nie od metody hierarchizacji uzyskano dla mapy w skali 1: (ryc. 4). Jest to w zbie noœci ze stwierdzeniem Drwala (1994), i treœæ hydrograficzna wymaga zastosowania jako podk³adu mapy w skali 1: lub map o skalach wiêkszych oraz z faktem, i Mapa Hydrograficzna Polski wykonana jest w³aœnie w skali 1: Uporz¹dkowanie sieci metod¹ Drwala wp³ywa na zmniejszenie wartoœci i (o 0,32 2,15 dla i 0,25 2,34 dla ) w stosunku do analogicznych wartoœci dla metody Hortona Strahlera i to niezale nie od skali (ryc. 5). Powszechnie stosowany w analizie sieciowej wspó³czynnik œredniej d³ugoœci cieków (Drwal, Bogdanowicz 1986; Eagleson 1978) pos³u y³ do wykreœlenia prostych empirycznych, które nastêpnie zestawiono z prost¹ teoretyczn¹ ( =2). Proste otrzymane proponowan¹ metod¹ przebiegaj¹ zdecydowanie bli ej prostej odniesienia. Mo na zatem s¹dziæ, e metoda hierarchizacji Drwala sprawdza siê w warunkach pojeziernych. Rycina 6 przedstawia te proste dla wybranej skali 1: dla obu hierarchizacji. PODSUMOWANIE Bajkiewicz Grabowska i Olszewski (2001) zwracaj¹ uwagê, e wektorowy wymiar fraktalny sieci uporz¹dkowanej metod¹ Hortona Strahlera opisuje sieæ wyidealizowan¹ i im bardziej rzeczywista sieæ ró ni siê od tego modelu, tym

8 34 Joanna Fac-Benda Dw=2 Wspó³czynnik bifurkacji (R ) b Dw= wspó³czynnik œredniej d³ugoœci cieków ( ) wg Hortona-Strahlera wg Drwala Ryc. 5. Wpó³czynnik bifurkacji ( ) i wspó³czynnik œredniej d³ugoœci cieków ( ) dla sieci rzecznej Brdy, upawy i S³upi Œrednia d³ugoœæ cieków upawa Brda S³upia rz¹d cieku R=2 l R wg Hortona-Strahlera l R wg Drwala l Ryc. 6. Teoretyczne i empiryczne proste dla wspó³czynników œredniej d³ugoœci cieków w ujêciu Hortona-Strahlera i Drwala dla skali 1: mniej wiarygodne s¹ wyniki. To z kolei upowa ni³o autorów do odrzucenia opisywania sieci wektorowym wymiarem fraktalnym. Tê rzeczywist¹ (z ciekami dzikimi ) sieæ doskonale opisuje jej uporz¹dkowanie metod¹ Drwala, a wartoœci

9 Wymiar fraktalny sieci rzecznej uporz¹dkowanej obliczone t¹ metod¹ mieszcz¹ siê w przedziale od 1 do 2 okreœlonym dla wymiaru fraktalnego sieci rzecznych. Z analizowanych zlewni najlepszym wykszta³ceniem i organizacj¹ sieci uporz¹dkowan¹ metod¹ Drwala wykazuje zlewnia S³upi ( =1,67 1,99 w zale noœci od skali). Nie mniej nale y pamiêtaæ, na co zwracali uwagê m.in. Drwal i Bogdanowicz (1986) oraz Rzhanitsyn (1960), i wartoœci wspó³czynników (wiêc równie wymiaru fraktalnego) zale ¹ nie tylko od przyjêtej metody hierarchizacji, ale tak e od warunków œrodowiska geograficznego zlewni. Reasumuj¹c, zaproponowana metoda uporz¹dkowania sieci sprawdza siê w warunkach m³odej plejstoceñskiej akumulacji lodowcowej. Dalsze badania dotycz¹ce opisu struktury zlewni poprzez uporz¹dkowanie sieci metod¹ Drwala powinny prowadziæ do rozszerzenia zarówno iloœci obiektów, jak i obszaru badañ na tereny o odmiennej morfogenezie. LITERATURA Atlas Hydrologiczny Polski, 1987, t. I, IMGW, Wyd. Geol., Warszawa. BAJKIEWICZ GRABOWSKA E., OLSZEWSKI R., 2001, Czy prawa Hortona poprawnie opisuj¹ fraktaln¹ strukturê sieci rzecznych?, Przegl. Geofiz., 46(3): BAJKIEWICZ-GRABOWSKA E., 2002, Obieg materii w systemach rzeczno-jeziornych, UW Wydz. Geogr. i Stud. Region., Warszawa: BOGDANOWICZ R., 1993, Struktura hydrograficzna decentrycznego systemu odwadniania Wzniesienia Elbl¹skiego, dysertacja doktorska, (maszynopis w katedrze Hydrologii UG). CHORLEY R. J., HAGGET P., 1972, Network analysis in geography, London. DRWAL J., 1982, Wykszta³cenie i organizacja sieci hydrograficznej jako podstawa oceny struktury odp³ywu na terenach m³odoglacjalnych, Zesz. Nauk. UG, Rozprawy i monografie, 33, Gdañsk. DRWAL J., 1994, Geograficzna interpretacja systemów hydrograficznych (w terenach m³odej plejstoceñskiej akumulacji polodowcowej), (maszynopis w Katedrze Hydrologii UG). DRWAL J., 1995, Wyznaczanie zlewni hortonowskich. W: Hydrologia. Przewodnik do æwiczeñ, A.T. Jankowski [red.], Skrypty UŒ, 508: DRWAL J., BOGDANOWICZ R., 1986, Stosowalnoœæ klasyfikacji hydrograficznych o tak zwanym odwróconym porz¹dku numeracji w analizie sieci rzecznej wybranej zlewni przymorza, Zesz. Nauk. Wydz. BGiO UG, 15: EAGLESON P.S., 1978, Hydrologia dynamiczna, PWN, Warszawa. LA BARBERA P., ROSSO R., 1989, On the fractal dimension of stream networks, Water Resour. Res., 56(4), HORTON R. E., 1945, Erosional development of streams and their drainage basins, Hydrophisical approach to quantitative morphology, Geol. Soc. Am. Bull., 56: MANDELBROT B. B., 1983, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, New York. MAGNUSZEWSKI A., 1993, Wymiar fraktalny wspó³czesnych sieci rzecznych, Przegl. Geofiz., 38(2):

10 36 Joanna Fac-Benda NIKORA W. I., 1991, Fractal structures of river plan forms, Water Resour. Res., 27 (6): Podzia³ hydrograficzny Polski, 1980, cz.ii, Mapa 1: , IMGW, Warszawa. RZHANITSYN N.A., 1960, Morfo³ogiczeskije i gidro³ogiczeskije zakonomiernosti strojenija recznoj seti, Gidromietieoro³ogiczieskoe Izdatie, Leningrad. SZAFLARSKI J., 1965, Zarys kartografii, PWN, Warszawa.