Wstęp do kosmologii. T.Lesiak. Coś czego nie znamy, robi nie wiadomo co Arthur Eddington

Transkrypt

1 Wstęp do kosmologii T.Lesiak Coś czego nie znamy, robi nie wiadomo co Arthur Eddington I m astounded by people who want to `know the Universe when it s hard enough to find your way around Chinatown Woody Allen Boska komedia, Dante Aligheri (1321r.)

2 Co to jest kosmologia Nauka o narodzinach, życiu i śmierci Wszechświata. Grecki kosmos to ład, porządek a zarazem świat. Termin kosmos wprowadził Alexander von Humboldt (XIXw). dla bytu pojmowanego jako całość przyrody; w fizyce przyjął się Wszechświat. Wielka Encyklopedia Powszechna PWN (2005r): Wszechświat, zwany też Kosmosem, to układ wszystkich obiektów astronomicznych, materii rozproszonej i pól fizycznych, wraz z czasoprzestrzenią, którą wypełniają. Encyklopedia Nauki i Techniki (2001r.): Wszechświat jest zbiorem wszystkich istniejących obiektów materialnych, czyli obiektów podległych prawom fizyki, niosących pewien rodzaj energii i mogących oddziaływać między sobą. John, D. Barrow: Wszechświat to wszystko co istniało, istnieje i będzie istniało także to co mogłoby istnieć. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 2

3 Co to jest kosmologia Dzisiejsza kosmologia jest zbudowana na prawach fizyki, ale jeszcze lat temu tak nie było Ograniczenia kosmologii: eksperymentalnie można sięgać tylko wstecz w czasie; Wszechświat jest (z definicji) jeden, nie ma zbioru Wszechświatów czy fizyka jest w stanie podjąć się opisu Wszechświata? Lemaitre: T.Lesiak Wstęp do kosmologii 3

4 Meandry kosmologii Od zawsze, aż do początku XX w., uważano, że Wszechświat jest statyczny. Czy Wszechświat miał początek (judaizm, chrześcijaństwo ) czy też jest wieczny (buddyzm, hinduizm )? Czy fizyka na Ziemi jest taka sama w całym Wszechświecie? Arystoteles uważał za oczywiste, że fizyka nieba różni się od fizyki zjawisk ziemskich; dopiero Galileusz odrzucił to rozróżnienie. Newton: oddziaływaniem kształtującym postać Wszechświata jest grawitacja. Krytyka rev. Bentleya: skoro grawitacja zawsze przyciągająca to dowolne zbiorowisko gwiazd powinno w sposób naturalny skupić się w jednym punkcie (przyciągają się one wzajemnie). T.Lesiak Wstęp do kosmologii 4

5 Model Wszechświata Newtona: Meandry kosmologii Gwiazdy są rozmieszczone z grubsza równomiernie (jak w węzłach sieci krystalicznej) w nieskończonej przestrzeni. można udowodnić, że z prawa powszechnego ciążenia wynika wówczas, iż siły przyciągania działające na dowolną gwiazdę ze strony wszystkich pozostałych znoszą się wzajemnie (mimo iż, te siły są nieskończone!!!) i taki układ pozostaje statyczny. Model Newtona fałszywy z dwóch powodów: Taki układ gwiazd jest niestabilny; każde dowolnie małe zaburzenie niszczy jego równowagę chwiejną; wystarczy minimalnie naruszyć symetrię np. podnieść trochę masę niektórych gwiazd i cała struktura się załamie; wokół cięższych gwiazd powstaną zgęstki materii, które będą rosnąć. Newton: Aby Słońce i gwiazdy nie zaczęły na siebie wpadać pod wpływem grawitacji, konieczny jest bezustanny cud Dziś wiemy że opis w ramach prawa grawitacji Newtona nie jest poprawny dostarcza go Ogólna Teoria Względności (OTW). T.Lesiak Wstęp do kosmologii 5

6 Meandry kosmologii paradoks Olbersa Jako pierwszy sformułował go Kepler w 1610r. Słynne sformułowanie Heinricha Olbersa w 1823r.: If there really are suns in all of infinite space, their number must be infinite, and thus the whole sky should appear as bright as the sun. For every line that I can imagine drawn from our eyes will necessary encounter some fixed star, and consequently, every point of the sky should send us stellar light Dlaczego nocne niebo jest czarne? (poza światłem nielicznych bliskich źródeł) jedyna obserwacja kosmologiczna przed Hubble m. Wszechświat statyczny, nieskończony powinno być nocą nieskończenie jasno: Rozwiązanie Keplera: Wszechświat jest skończony -T.Lesiak ale wtedy nieuchronnie pojawiał się paradoks Wstęp brzegu kosmologii 6

7 Meandry kosmologii paradoks Olbersa Zał.: gwiazdy rozmieszczone równomiernie w przestrzeni; ich gęstość n; każda gwiazda świeci z jednakową mocą L. Podzielmy Wszechświat na koncentryczne warstwy kuliste o grubości r i promieniu wewnętrznym r. Dla r << r warstwy są cienkie tzn. wszystkie zawarte w pojedynczej warstwie gwiazdy znajdują się w jednakowej od nas odległości r. Pojedyncza gwiazda, odległa od nas o r wypromieniowuje na jednostkę powierzchni Ziemi (np. na lustro teleskopu) moc: Objętość warstwy i zawiera ona gwiazd obserwator na Ziemi (teleskop widzący całą sferę niebieską) zarejestruje od naszej warstwy promieniowanie o mocy brak zależności od odległości każda warstwa daje taką samą moc, a jest ich nieskończenie wiele!!! T.Lesiak Wstęp do kosmologii 7

8 Paradoks Olbersa: próby jego rozwiązania Jean Philippe Cheseaux 1774r.: niebo jest ciemne bo chmury pyłu międzygwiazdowego zasłaniają dalekie gwiazdy i odbijają ich światło. ALE: obłok pyłu nigdy nie może odbijać całości padającego na niego promieniowania. Jego część musi być pochłaniana. chmura w końcu nagrzewa się i osiąga stan równowagi termodynamicznej, emituje tyle samo energii ile pochłania, chmura sama staje się źródłem światła zamiast gwiazd. Lord Kelvin 1901r. przed nim E.A.Poe, 1848r. poemat Eureka nieznany dla astronomów): The only mode, therefore, in which we could comprehend the voids wchich our telescopes find in innumerable directions, would be by supposing the distance of the invisible background so immense that no ray from it yet has been able to reach us at all (Poe wiedział już, że obserwacja dalekich gwiazd = patrzeniu w przeszłość i założył implicite, że gwiazdy zaczęły świecić w skończonej chwili w przeszłości). niebo jest ciemne gdyż: Wszechświat wprawdzie jest statyczny ale NIE JEST nieskończenie T.Lesiak stary (gwiazdy mogły istnieć jedynie Wstęp od do pewnego kosmologii początkowego czasu) 8

9 Paradoks Olbersa: próby jego rozwiązania JeżeliWszechświat zaistniał nagle np. Y mld lat świetlnych temu? Wówczas dociera do nas światło jedynie od gwiazd odległych o mniej niż Y mld lat świetlnych i niebo będzie ciemne; w miarę upływu czasu będziemy widzieć coraz to nowe gwiazdy i niebo będzie jaśnieć. Są jeszcze dodatkowe dwa powody: 1) czas życia każdej gwiazdy jest skończony. 2) ekspansja wszechświata przyspiesza. Trzy ogólne sposoby rozwiązania paradoksu Olbersa: 1. Skończoność przestrzeni (Kepler) 2. Skończoność czasu (Poe-Kelwin) 3. Ekspansja a nie statyczność (wtedy pojawia się przesunięcie ku czerwieni, które obniża częstotliwość (energię) promieniowania, uniemożliwia obserwacje (optyczne) odległych obiektów (Hubble) Współczesna kosmologia relatywistyczna akcentuje zwłaszcza 2) i 3), z dopuszczeniem opcji 1) T.Lesiak Wstęp do kosmologii 9

10 Paradoks Olbersa: próby jego rozwiązania usuwa paradoks Olbersa za cenę jeszcze trudniejszego pytania: dlaczego Wszechświat powstał Y mld lat temu??? Nieskończonego Wszechświata nie da się opisać za pomocą grawitacji w ujęciu Newtona. W XIX wieku zaczęto uważać, że Wszechświata nie da się opisać metodami fizyki (mechaniki klasycznej, która wtedy dominowała). dziś wiemy że do opisu trzeba stosować OTW, w dodatku same gwiazdy mają skończony czas życia, a Wszechświat się rozszerza. Lew Landau: Cosmologists are aften in error, but never in doubt. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 10

11 Przestrzeń u Newtona Przestrzeń jest absolutna, stanowi tło dla zdarzeń (może istnieć bez nich), jest taka sama dla wszystkich obserwatorów. Czas jest także absolutny, taki sam dla wszystkich obserwatorów. W takiej absolutnej czasoprzestrzeni można umieścić obiekty materialne i pozwolić im się poruszać. Obecność obiektów nie wywiera żadnego wpływu na przestrzeń. Ruch swobodny trajektorią jest linia prosta. Trajektorie takich ruchów ukazuje siatka prostokątna. ALE w przyrodzie wiele obiektów porusza się po torach zakrzywionych (choćby planety i komety) koncepcja sił działających na odległość. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 11

12 Przestrzeń u Einsteina Czasoprzestrzeń jest elastyczna i pozostaje płaska jedynie przy całkowitym braku obecności materii. Obecność tej ostatniej powoduje deformacje czasoprzestrzeni. Powoduje to zarazem, iż ruchy swobodne odbywają się po zakrzywionych trajektoriach. Siła (grawitacji) przestaje być czynnikiem działającym na odległość. Staje się ona lokalną manifestacją zakrzywienia czasoprzestrzeni T.Lesiak Wstęp do kosmologii 12

13 Główne idee Ogólnej Teorii Względności (OTW) Grawitacja to nie siła ale własność czasoprzestrzeni: manifestacja jej zakrzywienia Masa = centrum siły grawitacji ruch swobodny w płaskiej przestrzeni A B A ruch w płaskiej przestrzeni pod wpływem siły grawitacji B A B ruch swobodny w zakrzywionej przestrzeni T.Lesiak Efekt ten sam: ciała Wstęp A do i kosmologii B zbliżają się do siebie!!! 13

14 Główne idee OTW zakrzywienie lub zagięcie przestrzeni powoduje pojawienie się siły. Siły nie istnieją naprawdę, są jedynie konsekwencją geometrii. Analogia: pseudo-siły w nie inercjalnych układach odniesienia. Masywne ciała zakrzywiają otaczającą czasoprzestrzeń. Ciała poruszają się w zakrzywionej czasoprzestrzeni po najkrótszych drogach (liniach geodezyjnych). Najkrótsza droga nie jest prosta, jeśli sama czasoprzestrzeń jest zakrzywiona. Materia mówi przestrzeni jak się ma zakrzywiać Przestrzeń mówi materii jak się ma poruszać. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 14

15 Główne idee OTW Zasada równoważności (ZR): ruchy pod wpływem grawitacji oraz odpowiednio dobranego, jednostajnego przyspieszenia są sobie równoważne. ZR dotyczy w szczególności obiektu znajdującego się w stanie spadku swobodnego. Obiekt = osoba w skrzyni (bez okien). Wysyła ona promień lasera, na przeciwległą ściankę skrzyni. Pada on na ścianę dokładnie na tym samym poziomie Położenie skrzyni w chwili emisji światła W chwili gdy światło pada na ścianę To samo zjawisko widziane z zewnątrz (zakładając iż taki obserwator zewnętrzny może widzieć przez ściany): Zgodnie z ZR, aby światło osiągnęło przeciwległą ścianę w dobrym, poziomym punkcie dla obserwatora wewnątrz skrzyni, musi ono poruszać się po zakrzywionej trajektorii. Światło (pozbawione masy) musi, tak jak ciała masywne, znajdować się w stanie spadku swobodnego. Światło reaguje na grawitację w taki sam sposób jak czynią to inne ciała obdarzone T.Lesiak masą: musi poruszać się po zakrzywionej Wstęp do trajektorii kosmologiiw polu grawitacyjnym. 15

16 Główne idee OTW T.Lesiak Wstęp do kosmologii 16

17 Ogólna Teoria Względności (OTW) Równania Einsteina: opisują relację między geometrią i energią-materią: G - tensor Einsteina (opisuje krzywiznę czasoprzestrzeni) - tensor energii-pędu T Równania OTW fundamentem modeli kosmologicznych. Podobnie jak w elektromagnetyzmie ruch masywnego ciała emisja fal grawitacyjnych (osobny wykład). Wszystkie układy odniesienia (nie tylko inercjalne STW) są równoprawne. Czasoprzestrzeń to arena równie dynamiczna jak to co się na niej dzieje. Ważne: grawitacja w OTW przenosi się z prędkością światła, a nie nieskończenie szybko jak u Newtona. Inne konsekwencje OTW, czarne dziury, soczewki i fale grawitacyjne, tunele czasoprzestrzenne (osobne wykłady). Mankament OTW: jest to teoria klasyczna, brak jej syntezy z mechaniką kwantową. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 17

18 Cztery Postulaty Standardowego Modelu Kosmologicznego (SMK) czyli Zasada Kosmologiczna W każdym punkcie Wszechświata obowiązują te same lokalne prawa fizyki. Najprostsze założenie: brzytwa Ockhama. Opis Wszechświata opiera się na aktualnych teoriach fizycznych. Kluczową rolę odgrywa tu OTW, która rządzi dynamiką jego ewolucji. Jednocześnie coraz wyraźniejsza konieczność używania do opisu Wszechświata termodynamiki oraz fizyki mikroświata (atomowej, jądrowej oraz fizyki cząstek elementarnych). Fizyczna czasoprzestrzeń ma 4 wymiary (3 przestrzenne i 1 czasowy) Ehrenfest: w przestrzeni o innej liczbie wymiarów nie mogłyby istnieć atomy. Zasada Kopernikańska (ZK): Ziemia ma typowe położenie we Wszechświecie; jego obraz powstały na podstawie obserwacji z Ziemi jest typowy. ZK = jednorodność i izotropia przestrzeni Wszechświata w dużych skalach. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 18

19 Jednorodność i izotropia Wszechświata Zasada Kopernikańska = jednorodność i izotropia przestrzeni Wszechświata w dużych skalach. Im większe obszary przestrzeni rozpatrujemy, tym mniejsze są niejednorodności czy odchylenia od izotropowości. Twierdzenie Noether zachowanie pędu i energii Samopodobieństwo (fraktalność Wszechświata; cdn.) Do czterech postulatów Zasady Kosmologicznej dodaje się często piąty: PRAWO HUBBLE A T.Lesiak Wstęp do kosmologii 19

20 Prawo Hubble a 1924r.: mgławice to inne galaktyki, takie jak Droga Mleczna rozmiar obserwowanego Wszechświata rośnie 100 mld razy. Wcześniejsze spekulacje m.in. Kanta: galaktyki to inne wszechświaty wyspowe 1929r.: Galaktyki oddalają się od nas z prędkością (v) proporcjonalną do ich odległości (d) Wykres bardziej współczesny: Wykres Hubble a: T.Lesiak Wstęp do kosmologii 20

21 Prawo Hubble a H stała Hubble a H 0 wartość stałej Hubble a w chwili obecnej Dokładność pomiaru H 0 < 20% [v] = km/s [d] =Mpc Parsek: 1pc = 3.26 ly Jak mierzymy v i d Sama obserwacja ekspansji Hubble a w zasadzie usuwa paradoks Olbersa. Najdalsze galaktyki oddalają się na tyle szybko, że ich światło nigdy do nas nie dotrze. Wszechświat miał początek (osobliwość) jest ograniczony w czasie. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 21

22 Mały przerywnik Hubble brak wiary w ekspansję Wszechświata: wielkie prędkości ucieczki odległych galaktyk są pozorne. Nie da się wykryć żadnych efektów ekspansji, choćby współczynnika ucieczki. Dostępne dane w dalszym ciągu przemawiają za modelem wszechświata statycznego, a nie wszechświata gwałtownie ekspandującego T.Lesiak Wstęp do kosmologii 22

23 Powtórka: efekt Dopplera Pomiar prędkości = pomiar przesunięcia ku czerwieni linii widmowych galaktyk (redshift). oparty o efekt Dopplera zastosowany dla fal świetlnych. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 23

24 Przesunięcie ku czerwieni (redshift) obs długość fali z kosmosu mierzona na Ziemi; 0 długość fali dla źródła w spoczynku (LAB); 0 = em długość fali w chwili jej emisji. Redshift mówi jak bardzo przestrzeń uległa rozciągnięciu wskutek ekspansji. Np. Widmo atomu wodoru, linia Lymana 0 = nm; Obserwacje dla z=10 (2004r.) dają obs = nm. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 24

25 Ekspansja Hubble a Ważne: długość fali rośnie bezpośrednio wskutek ekspansji Wszechświata (cosmological redshift) i jest do ilości ekspansji T.Lesiak Wstęp do kosmologii proporcjonalna. 25

26 Przesunięcie ku czerwieni (redshift) Ekspansja Hubble a = ekspansja czasoprzestrzeni. Świat Nauki, X. 2009r. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 26

27 Pomiar odległości świece standardowe Przez każdą ze sfer przechodzi tyle samo światła. Jasność obserwowana = (Jasność absolutna) / (4 R 2 ) stąd odległość (dokładniej d L (z) luminosity distance). Świeca standardowa: obiekt o znanej, stałej dla wszystkich jemu podobnych, jasności np. cefeida, supernowa typu 1A. Kosmiczna drabina odległości: jej pierwszy stopień: metoda paralaksy T.Lesiak Wstęp do kosmologii 27

28 Pomiar odległości metoda paralaksy Pomiar przemieszczenia gwiazdy na niebie, spowodowany ruchem orbitalnym Ziemi. Jedyna bezpośrednia metoda wyznaczania odległości. Nie wymaga ona znajomości struktury ani jasności gwiazdy, ani także obecności innej materii [p] 1 sekunda łuku = 1/3600 stopnia 1 parsec[pc] -odległość odpowiadająca paralaksie 1 sekundy łuku 1 pc = 3.26 ly Obecny zasięg metody paralaksy: 200 pc satelita Hipparcos T.Lesiak Wstęp do kosmologii 28

29 Pomiar odległości cefeidy Pomiar maksymalnej jasności obserwowanej oraz okresu zmian jasności cefeidy. Obecny zasięg metody opartej o cefeidy: 700 kpc T.Lesiak Wstęp do kosmologii 29

30 Pierwsze pomiary Hubble a: Cefeidy a stała Hubble a Obecna wartość stałej Hubble a: Przyczyna pomyłki Hubble a: Hubble obserwował jaśniejsze z cefeid (dziś zwanych rodzaju I). Jednocześnie stosował krzywą kalibracyjną okres zmian jasności jasność, wyznaczoną dla ciemniejszych cefeid (typu II). Typowy błąd systematyczny o wielkich konsekwencjach np. problem wieku wszechświata. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 30

31 Rola Ogólnej Teorii Względności w SMK OTW opisuje związek między materią a geometrią przestrzeni. Ilościowo ta relacja jest wyrażana przez równania Einsteina: Geometria: R tensor krzywizny Ricci ego. R - skalar krzywizny Ricci ego, g tensor metryczny, Materia: T tensor energii-pędu. Do opisu dynamiki Wszechświata trzeba zadać postać tensorów: metrycznego oraz energii-pędu; zacznijmy od tensora metrycznego: Dobrze nam znana metryka płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego: Jednorodny i izotropowy Wszechświat w pełni opisuje nieco ogólniejsza metryka Robertsona-Walkera (RW), której metryka w sposób jawny zależy od położenia: Uwaga: h/(2π) = c =1 jednorodność i izotropia: tensor metryczny (16 liczb) redukuje się do jednej (krzywizna k) T.Lesiak Wstęp do kosmologii 31

32 Czynnik skali a(t) Wygodny układ współrzędnych tzw. comoving coordinates rozdymających się wraz z ekspansją. Wraz z ekspansją rośnie czynnik a(t). Galaktyki/obserwatorzy zachowują stałe współrzędne (o ile nie działają na nie/ich żadne siły). Odległość zmienia się zgodnie z zależnością: Takiej formy ruchu (samej przestrzeni) nie doświadczył nigdy żaden człowiek T.Lesiak Wstęp do kosmologii 32

33 Pomiar odległości co właściwie mierzymy? Na Ziemi (Z) rejestrujemy światło z odległej galaktyki X. Czy mierzymy? A. Odległość między położeniem Z w chwili emisji światła oraz położeniem X w chwili emisji, B. Odległość między obecnym położeniem Z, a położeniem X w chwili emisji światła, C. Odległość między obecnym położeniem Ziemi, a obecnym położeniem galaktyki X. Comoving coordinates: mapa zawierająca Z i X nie zmienia wyglądu. Modyfikuje się (rozciąga) jedynie jej podziałka. Pomiar jasności obserwowanej = pomiar promienia sfery, w którą było wysłane światło, w chwili gdy do nas dotarło trzeba użyć podziałki aktualnej w tej chwili. Odpowiedź C: a(t=now). T.Lesiak Wstęp do kosmologii 33

34 Rola Ogólnej Teorii Względności w SMK metryka RW: Skala długości jest zadana przez czynnik skali a(t) zależny jawnie od czasu; mierzy on tempo uniwersalnej ekspansji Wszechświata. Prędkość rozszerzania się Wszechświata: = H(t) stała Hubble a (zależna od czasu!!!): k krzywizna(metryka) przestrzeni; k=0 płaska; k=-1 hiperboliczna, k= +1 sferyczna Wszechświat jest jednorodnie i izotropowo wypełniony materią, która zachowuje się jak idealny płyn (ciecz lub gaz); do jej opisu potrzeba dwóch wielkości: gęstoś i i ciśnienia. Tensor energii-pędu: u cztero-prędkość elementu cieczy, gęstość energii cieczy, Dla cieczy doskonałej, w układzie comoving coordinates : p ciśnienie cieczy. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 34

35 OTW Kosmologiczne modele Friedmanna Pierwszy model kosmologiczny oparty o OTW: Einstein 1917r. Wszechświat statyczny (założenie filozoficzne) brak ekspansji. Wszechświat niestabilny tak samo jak nieskończona sieć przestrzenna gwiazd. Trzy modele Aleksandra Friedmanna ( ) odkryte na nowo przez Lemaitre a: określają one, wynikającą z OTW i termodynamiki zależność podstawowych parametrów Wszechświata (a, i p) od czasu kosmicznego. Trzy równania modeli Friedmanna: 1. Równanie dla kosmicznego czynnika skali: 2. Równanie ruchu płynu kosmicznego: Wynika z zachowania energii-pędu czego warunkiem jest znikanie pochodnej tensora T 3. Równanie deceleracji (hamowania): (patrz poniżej). T.Lesiak Wstęp do kosmologii 35

36 Dygresja: modele Friedmanna a grawitacja Newtona (prędkość ucieczki) Rozważmy obiekt o masie m, wyrzucony pionowo (radialnie) z powierzchni dużej masy z prędkością początkową v i Znajdźmy wartość v i, przy której masa m może oddalić się od M na pewną odl. r max Dla r = r max, v f =0 Zamiast Ziemi rozważmy podlegającą ekspansji kulę o jednorodnej gęstości (ρ) tj. Równanie Friedmanna (1) bez krzywizny Można zapisać jako: Formalnie, równanie Friedmanna (1) stanowi równanie ruchu Newtona dla cząstki o masie jednostkowej w potencjale sfery o masie M, promieniu a oraz dla całkowitej energii E. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 36

37 Dygresja: jeszcze o pierwszym równaniu Friedmanna Skąd się bierze ta część zapisu równania (1)? { l physical distance d comoving distance Prawo Hubble a: T.Lesiak Wstęp do kosmologii 37

38 Kosmologiczne modele Friedmanna Trzy równania i trzy niewiadome: a(t), p(t) i (t)) Tak naprawdę tylko dwa z równań są niezależne; (trzecie można otrzymać różniczkując pierwsze i podstawiając do wyniku drugie). Ćwiczenie rachunkowe 01 Trzeba jeszcze wykorzystać termodynamikę zadając dla konkretnego rodzaju cieczy kosmicznej jej równanie stanu. Równanie to jest liniowe i ma ogólną postać: Ogólnie Dwa najbardziej typowe równania stanu: Równanie (2) daje wtedy Równanie (1) dla k=0 daje 1. Dla pyłu tj. nierelatywistycznego gazu cząstek (jego ciśnienie można zaniedbać): 2. Dla promieniowania tj. dla ultrarelatywistycznego gazu lub dla cząstek bezmasowych (fotony): Ćwiczenie rachunkowe 02 t 0 chwila obecna Najpierw dominowało promieniowanie a potem pył tj. materia. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 38

39 Kosmologiczne modele Friedmanna W ogólnym przypadku kosmiczny płyn składa się z pyłu i promieniowania: Wygodnie jest zdefiniować gęstość krytyczną masy materii ( c ) (wielkość o wymiarze gęstości występującą w pierwszym równaniu Friedmanna): Jej wartość (w chwili t 0 ) wynosi» 2.0 x g/cm 3 1 atom wodoru w objętości trzech boisk do koszykówki (6 atomów wodoru na 1 m 3 ). Gdyby całą materię zamienić w promieniowanie (E = mc 2 ) to T = 3 K 15 K (b. niewiele). Wtedy można określić bezwymiarowe udziały składników gęstości materii: Z równania (1): wynika > 1 k=+1 <1 k=-1 bardzo ważny związek między krzywizną a gęstością materii =1 k= 0 Krzywiznę przestrzeni jest równoważna gęstości materii-energii: Ćwiczenie rachunkowe 03 T.Lesiak Wstęp do kosmologii 39

40 Kosmologiczne modele Friedmanna > 1 k=+1 <1 k=-1 =1 k= 0 From Creation to Cremation (Ken Croswell) T.Lesiak Wstęp do kosmologii 40

41 Geometria modeli Friedmanna Geometria = kształt przestrzeni Przykłady 2D: Krzywizna przestrzeni może być dodatnia, ujemna (i zerowa): T.Lesiak Wstęp do kosmologii 41

42 Geometria modeli Friedmanna OTW: trzy możliwe rodzaje geometrii, zależnie od całkowitej gęstości energii-masy. Krzywizna dodatnia Linie równoległe zbiegają się Krzywizna ujemna Linie równoległe rozbiegają się Liście jarmużu: > c, > 1, k=+1 czasoprzestrzeń ma dodatnią krzywiznę i jest zamknięta; geometria sferyczna; suma kątów w trójkącie >180 0 < c, < 1, k = -1 ujemna krzywizna, geometria otwarta, np. siodło; geometria hiperboliczna; suma kątów w trójkącie <180 0 = c, = 1, k=0 (przypadek szczególny); tylko wtedy przestrzeń jest płaska i są w niej spełnione reguły geometrii Euklidesa Krzywizna zerowa Linie równoległe pozostają równoległe T.Lesiak Wstęp do kosmologii C.F.Gauss: Pomiary triangulacyjne na trzech wierzchołkach gór w Bawarii na odległościach rzędu 100 km. Obecne testy w skali rozmiarów Wszechświata 42

43 Geometria a topologia OTW: rozkład materii w pewnym obszarze wszechświata wyznacza lokalne własności przestrzeni - jej geometrię (sposób pomiaru odległości - metrykę). Ta informacja nie pozwala jednak na wyznaczenie globalnych własności przestrzeni jej topologii. Z punktu widzenia geometrii płaszczyzna i torus są takie same (euklidesowe o takiej samej metryce, np. suma kątów trójkąta wynosi ). Torus i płaszczyzna różnią się jednak globalną topologią: płaszczyzna jest nieskończona; torus ma skończoną objętość (przestrzeń jest płaska w obu wypadkach). Odkrycie geometrii nieeuklidesowej (zwłaszcza sferycznej) usuwa tzw. paradoks brzegu Wszechświata: sfera jest skończona i nie ma brzegu. Wszechświat, skończony czy nie, nie może się rozszerzać w coś innego, ponieważ nic nie ma poza nim. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 43

44 Geometria a topologia W procesie konstruowania torusa z płaszczyzny, zachodzą globalne zmiany własności (topologii). Cylinder, w odróżnieniu od płaszczyzny jest anizotropowy (nie wszystkie kierunki są w nim równoważne). n = 0 Linia prosta na płaszczyźnie Helisa na torusie n = 1 (patrząc w przestrzeni 3D) Linie proste na torusie (helisy) różnią się liczbą nawinięć na walec n = 0, 1, 2, n = 2 Jeśli rozciąć walec do płaszczyzny to widać, iż helisa przechodzi w zbiór prostych równoległych o stałej odległości wzajemnej. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 44

45 Topologia a teoria względności Modele kosmologiczne nie ograniczają się do przestrzeni, lecz obejmują czasoprzestrzeń. Trzeba zatem rozpatrywać topologię Wszechświata w 4D. Założenie jednorodności Wszechświata krzywizna przestrzeni jest wszędzie taka sama. Przyjmujemy także, iż przestrzeń ekspanduje. Wymiar czasowy jest jednak wyróżniony w stosunku do wymiarów przestrzennych E(t). Wymiar czasowy może mieć jedynie topologię linii prostej lub okręgu. Z tych dwóch, tylko linia prosta posiada porządek (przyczynowy). Dla okręgu zasada przyczynowości jest złamana (skutek może poprzedzać przyczynę). Punkty na listku przestrzeni E(t) można ze sobą utożsamiać przestrzeń może być wielospójna. Nie można utożsamiać punktów wzdłuż tej samej linii świata np. A 1 z A 2 czy A 3, gdyż łamało by to przyczynowość. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 45

46 Kosmologiczne modele Friedmanna Ogólna własność Wszechświatów Fredmanna: muszą one ewoluować (równania (1) i (2) nie mają rozwiązań statycznych) Statyczny Wszechświat a,, p = const; wtedy równanie (1) : k=0 = 0 ( bo a >0, wtedy brak materii, nieciekawe); k=± 1 potrzebujemy jeszcze równania (3): k = -1 z (1a) wynika < 0 k =+1 z (1a) wynika > 0, ale wtedy z (3a) p < 0 Obie sytuacje sprzeczne z obserwacjami, według których gęstość materii jest dodatnia, a jej ciśnienie dodatnie i prawie do zaniedbania. Uwaga: ciśnienie może być ujemne patrz wykład o inflacji. Ogólnie w kosmologii słuszny jest tzw. silny warunek energetyczny: A wtedy z (3) hamowanie Czynnik skali musi być zmienny w czasie T.Lesiak Wstęp do kosmologii 46

47 Kosmologiczne modele Friedmanna Ewolucja Wszechświata nie jest przypadkiem (rozwiązania statyczne Modeli Friedmana wykluczone). Jej konieczność jest bezpośrednią konsekwencją OTW. Einstein i jego największa pomyłka. Aby zapewnić statyczność Wszechświata uzupełnił równania o człon zawierający stałą kosmologiczną (dalsze wykłady): Statyczność Wszechświata gdy: Stałą kosmologiczną można uważać za jeszcze jeden składnik gęstości energii Wszechświata (gęstość energii próżni) T.Lesiak Wstęp do kosmologii 47

48 Kosmologiczne modele Friedmanna Trzy główne parametry kosmologicznych modeli Friedmana: 1. H stała Hubble a mierzy tempo ekspansji Wszechświata, mierzy średnią gęstość masy-energii Wszechświata, 3. Λ - miara energii, którą można utożsamić z próżnią. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 48

49 Kosmologiczne modele Friedmanna Moment, w którym czynnik skali znika jest wyróżniony matematycznie i fizycznie. Jest on wybierany jako początek czasu. od tej chwili, Wszechświat zaczyna istnieć, a jednocześnie się rozszerzać (Big Bang). Chwila t=0 to pierwotna osobliwość; wszystkie odległości przestrzenne są równe zero; cała przestrzeń, nawet jeśli jest nieskończona, ma objętość równą zero. Co więcej, osobliwość nie poddaje się w ogóle opisowi fizycznemu. załamuje się pojęcie przestrzeni jako takiej a tym samym prawa fizyki. Nie ma sensu mówić o wcześniej względem t=0, bo czas jest własnością czasoprzestrzeni, a tej wcześniej nie było. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 49

50 Kosmologiczne modele Friedmanna Superatom E.A.Poe jedna z pierwszych idei typu Big Bang: Materia przyciąga się wzajemnie jej naturalnym stanem początkowym był superatom o niewyobrażalnej gęstości i temperaturze, który nagle, z jakichś powodów, eksplodował A.Eddington: As a scientist, I simply do not believe that the present order of things started off with big bang The notion of an abrupt beginning to this present order of Nature is repugnant to me T.Lesiak Wstęp do kosmologii 50

51 Modele Friedmanna: wiek Wszechświata Z wartości stałej Hubble a w chwili obecnej H 0 wynika ograniczenie na wiek Wszechświata Niepewności w pomiarze stałej Hubble a często parametryzuje się następująco: Dla h=0.7 uzyskuje się zgodnośc z obserwacjami: Ekspansja zwalnia Ekspansja przyspiesza Wiek Wszechświata (czas Hubble a): zawyżony zaniżony T.Lesiak Wstęp do kosmologii 51

52 Modele Friedmanna: wiek Wszechświata Problem wieku Wszechświata (bywało, że wiek najstarszych obiektów we Wszechświecie wychodził większy niż t 0 ) Czas Hubble a : Pierwszy pomiar Hubble a dawał H=526 km/(smpc) t 0 = 1.3 mld lat 0 = 0 0 = 1 0 = 2 M =0.27, V =0.73 V =1 T 0 (mld lat) = 2 big crunch zdarzy się gdy Wszechświat będzie 11 razy starszy niż dzisiaj Obecne oszacowanie wieku wszechświata (2015): T.Lesiak Wstęp do kosmologii 52

53 Ery dominacji: promieniowania, materii, krzywizny i ciemnej energii Równanie (1) t lat; gęstości energii promieniowania i materii zrównują się. Era krzywizny W. otwarty W. zamknięty Era próżni Ćwiczenie rachunkowe 04 T.Lesiak Wstęp do kosmologii 53

54 Zamiast podsumowania t lat; gęstości energii promieniowania i materii zrównują się. Początek tworzenia struktur. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 54

55 Zamiast podsumowania UWAGA: Pierwotnie (modele Friedmanna-Lemaitre a), Wszechświat określano jako otwarty lub zamknięty mając na myśli jego ewolucję czasową: otwarty ekspansja trwa wiecznie zamknięty po ekspansji następuje kontrakcja. Następnie terminy te przeniesiono na zmiany przestrzennego rozmiaru Wszechświata i tak są one powszechnie rozumiane dzisiaj Do tego by określić czy Wszechświat jest otwarty czy zamknięty przestrzennie NIE WYSTARCZY zadać metrykę (parametr k) ani też podać wartość gęstości materii. KONIECZNE JEST PRZYJĘCIE JAKIEJŚ HIPOTEZY NA TEMAT TOPOLOGII WSZECHŚWIATA (patrz wykład 2). Dla przypadku Λ=0 oraz dla prostej topologii świat otwarty charakteryzuje się nieskończenie długą ekspansją, a zamknięty fazami ekspansji i kontrakcji. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 55

56 wielkie testy SMKK 1. Ekspansja Hubble a. 2. Obserwacja promieniowania reliktowego (oprócz niego powinno być także tło fal grawitacyjnych (grawitonów) oraz neutrin reliktowych). 3. Pierwotna nukleosynteza. 4. (oraz paradoks Olbersa niebo jest czarne). (5) Modele Friedmana nie są statyczne wymagają ewolucji Wszechświata. (6) Do powstania struktur konieczne są bardzo małe (ale o ściśle określonej wielkości) fluktuacje gęstości pierwotnej materii. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 56

57 Ku przestrodze: wiele razy byliśmy w błędzie 1. Wszechświat jest statyczny. 2. Stała kosmologiczna to moja największa pomyłka. 3. Znamy całą materię Wszechświata. 4. Wiek Wszechświata to ok 2 mld lat. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 57

58 Zamiast zakończenia T.Lesiak Wstęp do kosmologii 58

59 Propozycje tematów referatu: 1. Modele kosmologiczne Arystotelesa i Ptolemeusza. 2. Model kosmologiczny Tycho de Brahe. 3. Historia prawa Hubble a. 4. Pomiary odległości w kosmosie. 5. Paradoks wieku Wszechświata. T.Lesiak Wstęp do kosmologii 59