1 Potęga o wykładniku naturalnym

Transkrypt

1

2 0 POTĘGI Potęga o wykładniku naturalnym Spróbuj sobie wyobrazić ogromny arkusz cieniutkiej bibułki o grubości 0,0 mm. Arkusz ten składamy na pół, potem jeszcze raz na pół i jeszcze raz na pół itd. Po pierwszym złożeniu bibułka składałaby się z dwóch warstw i jej grubość wynosiłaby: 0,0 mm Po drugim złożeniu grubość otrzymanej bibułki byłaby razy większa od poprzedniej: 0,0 mm Po trzecim złożeniu grubość bibułki byłaby znowu razy większa i wynosiłaby: 0,0 mm Grubość bibułki po dziesiątym złożeniu to: 0,0 mm W powyższych wyrażeniach występują iloczyny takich samych czynników. Takie iloczyny można zapisać krócej w postaci potęgi. = = = 0 czytamy: dwa do potęgi drugiej czytamy: dwa do potęgi trzeciej czytamy: dwa do potęgi dziesiątej ĆWICZENIE A. Zapisz za pomocą potęgi liczby, jaką grubość miałaby bibułka, gdybyśmy złożyli ją razy, a jaką gdybyśmy ją złożyli 0 razy. Przypuśćmy, że możliwe byłoby złożenie bibułki 0 razy. Jak myślisz, z czym można byłoby porównać grubość otrzymanej w ten sposób bibułki z długością ołówka, ze wzrostem człowieka, a może z odległością z Gdańska do Warszawy? Okazuje się, że złożona bibułka miałaby grubość ponad razy większą niż odległość z Ziemi do Księżyca! 9 = 0 = 04 = 048 = 4096 ) 4 = ) = 6 ) 6 = ) 7 = 64 8 W języku polskim słowo potęga jest równoznaczne z wielkością, siłą, mocą. Nie bez powodu wielokrotne mnożenie przez siebie takiego samego czynnika zostało nazwane potęgowaniem. Obliczając kolejne potęgi liczby, bardzo szybko otrzymujemy ogromne liczby. Zauważ, że obliczając kolejne potęgi ułamka, otrzymujemy coraz mniejsze liczby.

3 POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM Gdy n jest liczbą naturalną większą od, to iloczyn n jednakowych czynników równych a oznaczamy a n i nazywamy potęgą liczby a owykładnikun. a n = a a a... a }{{} n czynników Przyjmujemy ponadto, że: a = a oraz a 0 = dla a 0 Uwaga. Wartość potęgi 0 0 nie jest określona, tzn. zapis 0 0 nie oznacza żadnej liczby. Przykłady 0, 4 =0, 0, 0, 0, = 0,008 ) = ) 4 = ) ) ) ) = 4 =6 ) = ) ) ) = 7 8 = ) = 7 9,7) 0 = Gdy potęgujemy liczby poprzedzone znakiem minus, to potęgi te możemy zapisać w inny sposób. Na przykład: ) 4 = 4 ) 6 ) 6 = 0,) 6 =0, 6 x) 4 = x 4 ) = ) 7 ) 7 = 0,) 7 = 0, 7 x) = x Zwróć uwagę na to, że sposób, w jaki przekształcono te potęgi, zależy od tego, czy wykładnik jest parzysty, czy nieparzysty. ĆWICZENIE B. Sprawdź, że zachodzą powyższe równości. Zadania. Oblicz podane potęgi: a) ) 4 4) d),) 4 ) ), 0 6 ) ) 7 4 0) 0 e) 4,), ) 4 ) ) 4 0, 6 0,0) f) ) )

4 POTĘGI. Oblicz: 0 ) 0 ) ) 0 0 ) ) 0 0. Oblicz: a) , 0, 0, d) 0,0 0,0 4 0,00 4. Zapisz w postaci potęgi liczby 0: a) tysiąc, sto tysięcy, milion, d) miliard.. Oblicz sumę cyfr liczby, która jest wynikiem odejmowania Czy podana liczba jest dodatnia, czy ujemna? a) 7) 0,9) 7 e) 8,6) 0 g) 0 i) ) 8 4) 6 d) 6) 9 f) ) 00 h) 7 0 j),) 7. Ustal bez wykonywania obliczeń, czy wynik to liczba dodatnia, czy ujemna. a) ) 7 ) ) 8,) 0 ) 4 ) 7 6 ) 4 8. Oto fragment zeszytu pewnego ucznia. Które obliczenia uczeń ten wykonał błędnie? 9. Jaki znak: <, = czy > należy wpisać w miejsce? / a), 4, e) 4) 4 i) 8, 0 8, 0 ) 7 f),) 6, j) 6) 9 6) 7 ) 9 4 g) ) 4 ) 7 ) 8 4 k) d) 0,) 8 0, h) ) 9 7 l) 0,) 7 7 0,)

5 POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM 0. Ustal, dla jakich liczb naturalnych n: a) liczba n jest większa od 00 i mniejsza od 000, liczba n jest większa od 00 i mniejsza od Zapisz podane iloczyny i ilorazy w jak najprostszej postaci. a) x) 4 ) 0) a) e) ) 4 a ) d) x)7 ) f) ) m). Wiedząc, że 0 = 04, oblicz podane potęgi. ) 0 0 ) 0 0, 0 0,) 0 9 Każdą liczbę naturalną złożoną można przedstawić w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych. Mówimy wówczas, że rozkładamy liczbę na czynniki pierwsze. Poniżej pokazujemy, jak znaleźć rozkład liczby na czynniki pierwsze. 6 = 8= 4= 7 = : : : 4 4 : : : 60=. a) Korzystając z rozkładów liczb 087, 746 i 4 0 na czynniki pierwsze, zapisz każdą z tych liczb w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych Każdą z podanych poniżej liczb przedstaw w postaci iloczynu potęg liczb pierwszych a) W tabeli obok zaszyfrowano liczby według pewnej reguły. Zaszyfruj zgodnie z tą regułą) liczby: 0, 4, 6, oraz twój numer z dziennika lekcyjnego. Rozszyfruj liczby: Iloczyn potęg Liczba kolejnych Szyfr liczb pierwszych

6 4 POTĘGI 4/. Oblicz wartości wyrażeń pamiętaj, że potęgowanie wykonujemy przed mnożeniem i dzieleniem). a) ) e) + 4 i) 0,) 4 0 ) 4 ) 4 ) 4 + f) 0, 0, j) ) :0, 4 +7,4 0 ) ) 0 g) +8 ) 4 k) ) ) 0 ) d) 0 0, ) ) h) : 6 ) l) + 6. Piłeczka opuszczona na posadzkę odbija się od niej na wysokość równą wysokości, z jakiej ją spuszczono. Piłeczkę opuszczono z wysokości m. Jak wysoko się wzniesie piłeczka po czwartym odbiciu? Po którym odbiciu wzniesie się na wysokość niższą niż cm? 7. Ustal, jaka jest ostatnia cyfra każdej z podanych liczb Gra o miliony dolarów! Możesz zarobić duże pieniądze! Wyślij jednego dolara osobie z numerem. Przepisz ten list w 0 egzemplarzach, usuwając pierwsze nazwisko i wpisując na końcu swoje nazwisko z numerem 0). Wyślij przepisane listy do dziesięciu różnych osób.. C.Waniak POK SA O.Szust OKPI Bank S.P.Ryciarz Banca Credita C.Lever Fortuna Bank Ł.Obuz Karib Bank Akiro Taka Wyga YAKI Bank L.A.Wirant Bank Nadorski Mrs.Hope Lord s Bank G.Smith WallStreet Bank N.A.Dziana PKS BM Już wkrótce Ty znajdziesz się na początku listy osób i otrzymasz wielką fortunę! 8. Przeczytaj list zamieszczony obok. Pan N. A. Iwniak dał się wciągnąć w tę grę. Załóżmy, że każda osoba, która otrzyma taki list, zastosuje się do instrukcji i wciągnie do gry 0 nowych osób. Ile jeszcze osób musiałoby wziąć udział w grze, aby pan N. A. Iwniak znalazł się na początku listy? 9. Uzasadnij równości: + = 6 ) + ) + ) = 4 0. Ustal, ile siódemek należy dodać, aby otrzymać liczbę: a)

7 ILOCZYN I ILORAZ POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH. Po podniesieniu liczby do kwadratu otrzymamy: A. 4 4 B. 4 C. 6 4 D. 4 ) 8, o =. Po ustawieniu liczb a = rosnącej otrzymamy układ liter: ) 8, ) 6, ) 6 p = r = wkolejności A. o, p, a, r B. r, o, p, a C. p, o, r, a D. o, p, r, a. Wynikiem działania 4 ) jest: A. 4 B. 4 C. D W którym z przykładów znaku nie można zastąpić znakiem =? A. ) ) 0 B C. 78 7) D zeszyt ćwiczeń, str. CD-ROM./ 0 zadania uzupełniające -0, str. 6 Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach ĆWICZENIE. Zastąp symbole,, i odpowiednimi liczbami. 4 = = 4 7 :4 = =4 y 4 y = y y y y y y = y x : x = x x x x x x x = x dla x 0 Mnożąc lub dzieląc potęgi o tych samych podstawach, możemy korzystać z następujących równości: a m a n = a m + n a m a n = am n dla a 0 Podstawa się nie zmienia, wykładniki dodajemy. Podstawa się nie zmienia, wykładniki odejmujemy. Uwaga. Drugą równość można też zapisać w postaci: a m : a n = a m n

8 6 POTĘGI Przykłady ) 7 ) 9 = ) 6 = 6 ) = = = 0 = =9 6) 6 0 = 6 = = 6 = 6 Zadania. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) 6 d) 7)9 7) 4 g) ) ) 9 e) f) ) : i) a 9 a 6 a 4 h) x x x x 8 : x 9 b 7 b :b b 4 b : b. Ile razy liczba m jest większa od liczby n? a) m =, n = m = 9, n = m =, n = 6 /6. Oblicz sprytnie: a) 7 9 : 0 7 : : 0 4. Zastąp gwiazdki odpowiednimi liczbami. /6 a) =6 8 9 :8 =8 8 e) = 0 : = 6 d) 6 6 =6 f) 44 8 : = km =0 m =0 0 mm =0 6 mm m t =0 kg = 0 0 dag = 0 dag kg. Zapisz odpowiedź w postaci potęgi liczby 0. a) 00 km ile to milimetrów? 000 km ile to decymetrów? 000 t ile to dekagramów? d) 00 t ile to miligramów?

9 ILOCZYN I ILORAZ POTĘG O JEDNAKOWYCH PODSTAWACH 7 6. Nazwij inaczej liczby: a) bilion milionów, milion septylionów, trylion trylionów, d) oktylion bilionów. 7. Ile razy jest większy: a) septylion niż bilion, nonilion niż trylion, oktylion niż milion? tysiąc 0 sekstylion 0 6 milion 0 6 septylion 0 4 miliard 0 9 oktylion 0 48 bilion 0 nonilion 0 4 trylion 0 8 decylion 0 60 kwadrylion 0 4 googol 0 00 kwintylion 0 0 centylion a) Kwadrat o boku m podzielono na kwadraciki o boku mm i ułożono jeden za drugim. Jaką długość ma otrzymana linia? Sześcian o krawędzi m rozpiłowano na sześcianiki o krawędzi mm i ułożono jeden za drugim. Czy otrzymana linia byłaby dłuższa niż odległość z Gdańska do Zakopanego? 9. Wskaż prawidłowy wynik. a) 7 ) A = 0 B = 0 C = 4 D = 4 ) 6 4 A = 0 B = 0 C = D = : ) A = 8 B = 8 C = D = d) 7) 8 :7 A =7 B = 7 C =7 D = 7 e) a 9 a) A = a 4 B = a 4 C = a 4 D = a 4 f) x) 0 : x) 6 A = x 4 B = x 6 C = x 4 D = x 6 0. Zapisz krócej: a) ) 4 ) ) ) ) e) x) x x) ) 7 ) 0 d) 7 9 7) 8 7) 7) 0 f) a 6 a) 4 a) 4 /6. Oblicz: a) 6 ) : ) 8 7 ) 4 8 d) 7) ) ) 4 :0, f) e) 0,) 0, 4 :0, 0,) 0, 4 0,) 4 0, 4 0, 6 )

10 8 POTĘGI. Wartość wyrażenia 0,) 0,) 0, 6 0,) 0,) wynosi: A. B. 0, C. 0, D. 0,. Liczba 7 0 jest większa od liczby 7 : A. 4razy B. 7 4 razy C. 7 razy D. razy. Połowa liczby 6 to: A. 8 B. 6 C. D. 8 zeszyt ćwiczeń, str. 6 CD-ROM./ zadania uzupełniające 4, str. 6 Potęgowanie potęgi ĆWICZENIE. Zastąp symbole i odpowiednimi liczbami. 4 ) =4 4 4 =4 t ) 4 = t t t t = t Potęgując potęgę, możemy korzystać z następującej równości: a m ) n = a m n Podstawa się nie zmienia; wykładniki mnożymy. Przykłady ) ) 4 ) = 6 6 0,) ) = 0,) 0 =0, 0 7 = ) 7 = =

11 POTĘGOWANIE POTĘGI 9 Zadania. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) 7 8) 9 ) ) 7 ) 6 ) 8 e) 4 d) 0, 7) f) 4 6 ) 8 ) 6 ) ) 7 g) x ) a h) ) ) 4. a) Zapisz każdą z poniższych liczb w postaci potęgi liczby Zapisz każdą z poniższych liczb w postaci potęgi liczby 0,. 0,0 4 0,00 9 0, Jakie liczby należy wpisać w kwadraciki? m =0 cm m = 0 ) cm m = 0 ) cm a) km =0 m cm =0 mm 00 km =0 m m =0 mm m =0 cm d) km =0 m 0 m =0 cm km =0 cm 4. Zastąp litery odpowiednimi liczbami: a) 4 8 = a 9 9 = c e) 7 6 = e g) 0 = g 0 8 = b d) 6 8 =6 d f) 6 = f h) = h. Zapisz w postaci potęgi o podstawie mniejszej od 0: a) 6 4 d) 7 6 e) 6. Jaki znak: <, = czy > należy wpisać w miejsce symbolu? a) ) ) d) g) ) 8 4 e) 0, 6 0, 4 h) 0,07 0,09 9 ) 4 ) ) ) 6 ) 8 ) ) 4 ) 8 f) 49 i) /6 7. Uporządkuj rosnąco liczby: a) 6 8,64,8,4 7 7,9 7, 40,8 9 4, 4,4,4 6/6

12 0 POTĘGI Wielkimi liczbami posługiwał się już Archimedes 87 p.n.e. p.n.e.). Oprócz znanej Grekom liczby miriada 0000) wprowadził liczbę miriada miriad. W swoim dziele Rachmistrz piasku szacował, ile ziaren piasku jest na plaży. Obliczał także, ile ziaren piasku wypełniłoby wszechświat. Wynik, jaki otrzymał Archimedes, dzisiaj zapisalibyśmy jako Przeczytaj tekst w ramce. Do jakiej potęgi należy podnieść liczbę miriada, aby otrzymać liczbę 0? 9. Przyjmijmy, że symbol oznacza a a. Zapisz w postaci potęgi liczby :. W którym przykładzie symbolu nie można zastąpić znakiem =? A. 0, 6 0, ) ) 4 ) ) ) 4 C. B. D W kolejności rosnącej ustawione są liczby: A. ) ), ), 4 C. ) 4 ), ) ) 6, ) 6 ) 7 B. 6 ),6,6 D. 0,4,8 0 zeszyt ćwiczeń, str. 7 CD-ROM./ 7 zadania uzupełniające 8, str. 6 4 Potęgowanie iloczynu i ilorazu ĆWICZENIE A. Wykonaj poniższe obliczenia. Ile różnych wyników otrzymałeś? ) ) 00 0,0) ,0 4 ĆWICZENIE B. Zastąp symbole i odpowiednimi liczbami. a) k) =k k k = k ) 4= = 7 p t) 4 = p t p t p t p t = p t ) k = k d) k l l l k k l l k = k l l

13 POTĘGOWANIE ILOCZYNU I ILORAZU Potęgując iloczyny lub ilorazy, możemy korzystać z następujących równości: a n = a n b n Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. ) a n = a n b b n dla b 0 Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. Uwaga. Drugą równość można też zapisać w postaci: a : n = a n : b n Przykłady 0) 6 = = ) 4 ) 4 = 4 ) 4 = 4 =6 ) 0, 0,008 = 7 = = 7 ) ),6,6 6 = = 0,4 0,4 4 = 64 Zadania 9/6. Podnieś do potęgi podane iloczyny i ilorazy. a) x) xy) 8 e) xy ) 4 g) a) d) ab ) f) x y ) h) ) a 4 ) a 4 i) b x ) j) a b 4 cd 7 ). Znajdź liczby m i n. a) 6 ) =6 m n 9 ) = m n e) ) 0 4 = 0m 7 n 4 ) 7 = m n d) 7 0 ) 6 =7 m n f) 6 ) = 6m n. Oblicz, korzystając z poznanych wzorów: a) 0) 4, ), 000 e) 6 0), 6000 : 0) 4, 0,4 4 d) : 0) 4, 0,0 6 f) 6 : 0 ), 0,006 n n n Korzystając z tabeli, oblicz: a) ,04 e) ,6 d) 0,006 4 f) 0,04 4

14 POTĘGI. Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz: 0/6 a) :8 0 e) 0, 0 g) 0,) 9 :0, 9 ) ) 4 4 ) 4 d) : f) ) ) ) ) 4 : h) a) Kwadrat ma bok długości a. Jakie jest pole kwadratu, którego bok jest razy dłuższy? Sześcian ma krawędź długości x. Jakajestobjętośćsześcianuokrawędzi razy krótszej? 7. Ile razy pole większego kwadratu jest większe od pola mniejszego kwadratu? 8. Ile razy objętość sześcianu o krawędzi a jest większa od objętości sześcianu o krawędzi a? /7 9. Oblicz sprytnie: a) 4 6 ) ) 6 ) : 9 ) 8 d) 4 ) 9 : 4 ) 4. Wyrażenie ab ) można zapisać w postaci: A. 8ab B. 8ab 6 C. a b 6 D. 8a b 6. Wynikiem działania 0, jest: A. 0, B. 0,64 C D Iloraz 60) 0 :0 0 jest równy: A. ) 0 B. 0 C. ) 0 D. ) 60 zeszyt ćwiczeń, str. 8 CD-ROM.4/ 6 zadania uzupełniające 9, str. 6 7

15 DZIAŁANIA NA POTĘGACH Działania na potęgach Przykłady Poznałeś do tej pory pięć wzorów dotyczących działań na potęgach. Wiele na pozór skomplikowanych obliczeń można uprościć, stosując te wzory. 7 = ) 7 = 4 = = 9 4 )4 = = = 4 = )0 = = =6 =6 4 = = 6 = 6 64 ĆWICZENIE. Przeczytaj powyższe przykłady. Ustal, jakie wzory wykorzystywane były przy kolejnych przekształceniach. Wróćmy do problemu składanej bibułki zob. str. 0). Wiemy już, że grubość bibułki po pięćdziesiątym złożeniu wynosiłaby 0 0,0 mm. Oszacujemy tę liczbę, korzystając z tego, że 0 = = ,0 mm = 0) ) 0,0 mm 0 00 mm = 0 mm Odległość Księżyca od Ziemi wynosi około km km = 4 0 km = mm = 4 0 mm Porównajmy otrzymane wyniki: grubość bibułki odległość Księżyca od Ziemi 0 0 = = Wynika stąd, że grubość bibułki byłaby ponad razy większa niż odległość z Ziemi do Księżyca.

16 4 POTĘGI Zadania. Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej. a =7 7 4 b =7 :7 4 c = 7 ) 4 d = 7 7 ) e = 7 4 :7 ). a) Która z liczb 8 ) czy 8 8 jest większa? Ile razy większa? Która z liczb 4 7 : 7 czy 7 :7 jest większa? Ile razy większa?. Przedstaw w postaci potęgi liczby : a) 4 ) ) d) e) 6 ) 4 /7 4. Ustal wartości m i n. a) ) = m 7 n 4 7 ) 9 = m n. Przedstaw w postaci jednej potęgi: ) a) : 4 ) e) 9 : g) 0, 9 : 0,00 ) 4 8 d) 7 : 0 f) 0, 9 4 : h) /7 6. Która z poniższych liczb jest równa połowie liczby 8 90? Uporządkuj podane liczby rosnąco. a) ) Ustal, ile zer na końcu ma liczba: a) d) e) Oblicz: a) 4 ) : 8 9 : 6 7 : 7 ) e) g) , 7/7 6) 4 ) 4 d) 8 f) 4 7 h)

17 DZIAŁANIA NA POTĘGACH Liczba 0 00, którą można zapisać jako jedynkę i sto zer, nazywa się googol czyt. gugol). Jest to liczba naprawdę olbrzymia znacznie większa niż liczba wszystkich cząstek elementarnych we wszechświecie. Zatem do opisu wszystkich zjawisk otaczającego nas świata wystarczą liczby mniejsze od googola. Dziwnie brzmiącą nazwę googol wymyślił w 90 r. dziewięcioletni chłopiec, siostrzeniec amerykańskiego matematyka Edwarda Kasnera. W 997 roku twórcy pewnego programu komputerowego chcieli go nazwać googol dla zilustrowania ogromnej liczby informacji, które przetwarzał. Niestety, jeden z autorów programu, rejestrując jego nazwę, popełnił pomyłkę. Właśnie dlatego jedna z najbardziej znanych wyszukiwarek internetowych na świecie nosi nazwę Google, a nie Googol. 0. Przeczytaj powyższą ciekawostkę. a) Zapisz za pomocą potęgi liczby dziesięć liczby: sto googoli, milion googoli, jedna tysięczna googola i googol googoli. Ile razy liczba miliard miliardów jest mniejsza od googola?. Szacuje się, że na świecie żyje około 0 8 owadów. Ludzi na świecie jest około 6,6 mld. Zakładając, że przeciętny owad waży 0, g, a przeciętny człowiek 0 kg, oblicz: a) Czy wszystkie owady razem ważą więcej niż wszyscy ludzie? Ile kilogramów owadów przypada średnio na jednego człowieka?. Spośród polskich jezior najwięcej wody zawiera jezioro Mamry ok. km. Woda zawarta w dużej chmurze ma masę ok. 0 9 kg. Ile takich chmur powstałoby, gdyby wyparowała cała woda z jeziora Mamry? Przedrostek Symbol Wielokrotność deka da 0 hekto h 0 kilo k 0 mega M 0 6 giga G 0 9 tera T 0 peta P 0 eksa E 0 8. W tabelce zamieszczono przedrostki oznaczające wielokrotności jednostek podstawowych. Dodając na przykład przedrostek giga- do słowa metr, otrzymujemy gigametr, czyli 0 9 metrów Gm = 0 9 m). a) Ile dekagramów jest w megagramie? Ile dekagramów jest w eksagramie? Ile hektometrów jest w gigametrze? d) 00 megametrów ile to dekametrów? e) 000 petagramów ile to kilogramów?

18 6 POTĘGI. Trzecia część liczby 9 9 to: A. 9 B. 9 C. 7 D. 6. Liczba 4 6) jest równa liczbie: A B. 8 C. 8 D Wynikiem działania 0) 0, jest: 9 A. 0 B. 9 C. 9 D. ) zeszyt ćwiczeń, str. 9 0 CD-ROM./ 4 zadania uzupełniające 8, str. 7 6 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym Poznałeś już potęgi o wykładnikach naturalnych. Można również rozpatrywać potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych. potęga, n-ta potęga liczby a, dla n >0 iloczyn a a... a, w którym występuje n czynników, a każdy z nich jest równy a. Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, a liczbę naturalną n wykładnikiem potęgi. Potęgę o wykładniku n ipodstawiea lub krócej n-tą potęgę liczby a) oznacza się symbolem a n.przyjmujesięponadto,że a = a oraz że a 0 = dlaa 0). Powyższą definicję można uogólnić, dopuszczając także wykładniki całkowite ujemne. Przyjmuje się mianowicie, dla a 0: a = a ikonsekwentnie a k = a k. Encyklopedia szkolna. Matematyka ĆWICZENIE. Przeczytaj zamieszczoną obok notkę encyklopedyczną. Zapisz w postaci ułamków następujące liczby: 7 7 Dla a 0 przyjmujemy, że: a = a a = a a = a Ogólnie, jeżeli n jest liczbą naturalną, to dla a 0: a n = a n Zauważ, że a to odwrotność liczby a, zaśa n to odwrotność liczby a n.

19 POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM 7 Wykonując obliczenia na potęgach, możemy zamieniać potęgi o wykładniku ujemnym na odwrotności odpowiednich potęg o wykładnikach dodatnich. Przykłady 7 = 7 = 7 ) 4 7 = ) 4 7 = =7 7 Takie same wyniki otrzymamy, stosując reguły działań na potęgach opisane w poprzednich rozdziałach. Okazuje się bowiem, że reguły te obowiązują także dla potęg o wykładnikach ujemnych. Przykłady 7 = 7 + = = Korzystamy ze wzoru a m a n = a m + n dla wykładników m = 7 i n =. 7 ) 4 7 = =7 4 ) =7 4 + =7 Stosujemy wzór a m ) n = a m n dla wykładników m = i n = 4, a następnie wzór a m : a n = a m n dla m = 4 i n =. Zadania. Oblicz: a) d) 0) 4) ) ) 7 ) ) e) 4 ) ) ) 4,) 0,4),) f),) 0,) 0,0) 4. Zastąp symbole odpowiednimi liczbami. ) 7= ) a) = 9 0,7) 8 = 8 d) ) = 0,. Zapisz podane liczby w postaci potęg o wykładniku ujemnym. ) 4 ) ) 7 4

20 8 POTĘGI 4. Które obliczenia wykonano błędnie? /8. Która z liczb jest większa? a) 8 czy 7 ) 4 ) czy d) ) ) 4 czy ) 6 e) czy ) 8 czy 6 f) 0,) czy 0,) 4 /8 6. Oblicz: a) :7 4 d) ) 4 7. Zapisz podane liczby w postaci potęgi liczby 0. 0, 0,0000 0, , Znajdź liczby x i y. km = 000 m =0 m m = 000 km =0 km a) kg = 0 x dag m = 0 x cm dag =0 y kg cm = 0 y m l = 0 x ml d) t = 0 x g ml =0 y l g = 0 y t 9. Wyraź podane wielkości we wskazanej jednostce. Wynik zapisz w postaci potęgi liczby 0. a) [km] mm cm 0 mm 00 cm [t] kg dag 0, dag 00 g 0. Włos ludzki ma średnicę ok. 0 4 m. Ile to milimetrów? Jak gruby byłby włos powiększony tysiąc razy? Jaką grubość miałby włos powiększony milion razy?

21 POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM UJEMNYM 9 Przedrostek Symbol Ułamek decy d 0 centy c 0 mili m 0 mikro µ 0 6 nano n 0 9 piko p 0. Tabelka przedstawia przedrostki oznaczające części jednostek podstawowych. Oblicz: a) ile nanogramów jest w miligramie, ile pikometrów jest w decymetrze, ile mikrometrów jest w centymetrze, d) ile mililitrów jest w centylitrze, e) ile nanolitrów jest w centylitrze.. Zapisz w postaci potęgi liczby 0. a) m ile to kilometrów kwadratowych? mm ile to metrów kwadratowych? cm ile to kilometrów sześciennych? d) 00 cm ile to metrów kwadratowych? e) 000 m ile to kilometrów sześciennych? cm =0 m cm = 0 ) m cm = 0 ) m. Która z poniższych liczb nie jest równa ) 4 ) 4 A. B. C. 9 4 )? 4 ) D. ) 6. Liczba 4 jest od liczby : A. 9razywiększa B. razywiększa C. 9razymniejsza D. razymniejsza. Znak nierówności wstawiono błędnie w przykładzie: ) 6< ) 7 ) 7< ) 7 A. B. C. <6 D. 9 < Która z poniższych równości jest prawdziwa? A. km =0 m B. mm =0 4 m C. cm =0 mm D. dm =0 8 km zeszyt ćwiczeń, str. CD-ROM.6/ 8 zadania uzupełniające 9, str. 7 8

22 0 POTĘGI 7 Notacja wykładnicza ĆWICZENIE A. Oblicz: a) 4 0, 0, ,8 0 4,6 0 ĆWICZENIE B. Zastąp kwadraciki odpowiednimi liczbami = 0 0,0007 = 7 0 =7 0 Przy zapisywaniu bardzo dużych i bardzo małych liczb dodatnich wygodnie jest posługiwać się tzw. notacją wykładniczą. a 0 n liczba spełniająca warunek a <0 potęga liczby 0 owykładniku całkowitym Polega ona na zapisywaniu liczb w postaci iloczynu, w którym pierwszy czynnik jest liczbą większą od lub równą i mniejszą od 0, a drugi jest potęgą liczby 0. Notację wykładniczą nazywamy też notacją naukową. Przykłady Zapisz w notacji wykładniczej: =,6 0 8 }{{} 8cyfr wykładnik równy 8 Liczba,6 spełnia warunek,6<0. 0, =,76 0 }{{} cyfr wykładnik równy po przecinku 0, =,76 0 =,76 0

23 NOTACJA WYKŁADNICZA Wykonując obliczenia dotyczące dużych i małych liczb zapisanych w notacji wykładniczej, możemy korzystać z poznanych własności działań na potęgach. Przykład Zapisz w notacji wykładniczej:,7 0 7 =, =, , =6, =6,4 0 0 Przykład Masa Słońca wynosi około 0 0 kg, a masa Ziemi około kg. Ile razy masa Słońca jest większa od masy Ziemi? = 6 04 = 0 0, 0 Odp. Masa Słońca jest ok., ) razy większa od masy Ziemi. Przykład Teren w okolicach Elbląga obniża się o 8 0 metrów w ciągu sekundy. O ile centymetrów obniżył się ten teren w ciągu stu lat? 00 lat = s = = s, 0 9 s, =8, 0 = =, 0 [m] Zamieniamy 00 lat na sekundy. rok = 6 dni, doba =4godziny, godzina = 600 sekund Obliczamy, o ile metrów obniżył się teren w ciągu, 0 9 s., 0 m =, cm 0 m= cm Odp. W ciągu stu lat teren w okolicach Elbląga obniżył się o ok. cm. Przykład W jeziorze Mamry jest,0 0 litrów wody, a w jeziorze Śniardwy 6,6 0 litrów. Ile litrów wody jest w obu tych jeziorach razem?,0 0 +6,6 0 = 0, 0 +6,6 0 = 6,7 0 =,67 0 Odp. W obu tych jeziorach jest razem,67 0 litrów wody.

24 POTĘGI Zadania. Zapisz podane niżej odległości między obiektami astronomicznymi, stosując notację wykładniczą. średnia odległość Księżyca od Ziemi km średnia odległość Ziemi od Słońca km najmniejsza odległość Ziemi od Marsa km odległość Słońca od Gwiazdy Polarnej km odległość Słońca od Alfa Centauri km. Na podstawie rysunku i tabelki dopasuj symbole planet do ich nazw. Odległość od Słońca [w km] Symbol planety, ', ρ 4, [, ß, , Z, Y 7, X. Przedstaw podane wielkości w notacji wykładniczej: średnica tułowia ameby 0,0006 m prędkość, z jaką rośnie bambus 0,0000 m/s masa wirusa ospy 0, g masa ziarenka maku 0,000 g masa atomu wodoru 0, g 4. Zapisz podane liczby w notacji wykładniczej. a) e) g), 0 0,0 0 d),6 0 0 f) 0,06 0 h) 0,8 0. Ustal, co jest większe: a), 0 kg czy,6 0 6 g 6,7 0 8 t czy 7,6 0 mg, mm czy, 0 6 m d),4 0 4 cm czy, 0 8 m

25 NOTACJA WYKŁADNICZA 6. Zapisz w notacji wykładniczej: a) 46 m ile to milimetrów? 46 mm ile to metrów? 6 kg ile to gramów? 6 g ile to kilogramów? km ile to centymetrów? cm ile to kilometrów? d) 0 t ile to gramów? 0 g ile to ton? 4/8 a 7. Oblicz a b i, wynik zapisz w notacji wykładniczej. b a) a =,4 0 a =4 0 a =, 0 4 b = 0 7 b = 0 9 b = /8 8. Masa protonu wynosi ok.,7 0 7 kg, a masa elektronu 9, 0 kg. Ile razy proton jest cięższy od elektronu? 9. Oblicz i zapisz w notacji wykładniczej: a) Ile razy powierzchnia Księżyca jest większa od powierzchni Polski? Ile razy powierzchnia Księżyca jest mniejsza od powierzchni Ziemi? 0. Z Wisły do Bałtyku wpływa w ciągu godziny około,4 0 6 m wody, azodry około,9 0 6 m. Zapisz w notacji wykładniczej: a) Ile razem wody wpływa do Bałtyku z obu tych rzek w ciągu godziny? O ile więcej wody wpływa z Wisły niż z Odry w ciągu godziny? Ile kilometrów sześciennych wody wpływa z Wisły do Bałtyku w ciągu doby?. Oblicz a + b i a b, wynik zapisz w notacji wykładniczej. a) a =,7 0 a =, 0 a = 7,87 0 b =, 0 4 b =9,8 0 b = 0. Jedna z największych chmar szarańczy pojawiła się w Kenii w 94 roku i liczyła 0 miliardów owadów. Jeden osobnik szarańczy waży około, g. Zapisz w notacji wykładniczej, ile ton ważyła ta chmara szarańczy.

26 4 POTĘGI. Włosy człowieka rosną z przeciętną szybkością metra na dobę. Najdłuższe włosy miała Hinduska Mata Jagdambo. Miały one długość 4, m. Oszacuj, ile czasu Mata Jagdambo nie ścinała włosów. 4. Rok świetlny to odległość, którą pokonuje światło w ciągu roku. Prędkość światła to ok. 0 8 m/s. a) Ile kilometrów ma rok świetlny? Od bitwy pod Grunwaldem minęło 600 lat. Ile kilometrów od Ziemi musiałaby się znajdować planeta, do której dotarłby teraz sygnał świetlny wysłany z Ziemi 600 lat temu? Przyjmij, że rok to, 0 7 sekund.. 00 mm to: A. 0 8 km B. 0 4 km C. 0 8 km D. 0 6 km. 000 kg to: A. 0 6 mg B. 0 mg C. 0 9 mg D. 0 8 mg. Prawdziwa jest nierówność: A., 0 kg < mg B. 4 0 mm < 4, 0 km C.,6 0 cm < 4, 0 km D. 9,8 0 6 dag < 9 0 t 4. Ziemia, obiegając Słońce, porusza się ze średnią prędkością około 0 km/s. Pokonuje wówczas drogę równą około: A. 9, 0 8 km B km C.,6 0 7 km D.,6 0 6 km zeszyt ćwiczeń, str. zadania uzupełniające 4 9, str. 8

27 POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE Potęga o wykładniku naturalnym. a) Przedstaw każdą z podanych liczb w postaci potęgi o podstawie lub Przedstaw każdą z poniższych liczb w postaci potęgi o wykładniku lub Która z podanych liczb jest większa? a) ) czy 6 czy ) 6 ) 7 7 czy 7 7 d) 9 9 czy ) 9 9. Uporządkuj rosnąco liczby: a) a = 7 b = 7) 8 c = ) 8 a = 4 b = ) 4 c = 8 a = ) 8 b = ) ) c = ) ) ) 0 d) a = b = c = W stosowanym przez nas systemie dziesiątkowym używa się dziesięciu cyfr od 0 do 9) i potęg liczby 0. 0= = W informatyce często stosowany jest system dwójkowy, w którym używa się dwóch cyfr 0 i ) oraz potęg liczby. 0 ) = = liczba zapisana w systemie dwójkowym liczba zapisana w systemie dziesiątkowym 0 ) = =0 W ten sam sposób można zapisywać liczby w systemie trójkowym, czwórkowym itd. W systemie trójkowym używa się trzech cyfr 0,, i potęg liczby, a w systemie czwórkowym cyfr 0,,, i potęg liczby Oblicz: a) [ )8 + ) 8 ] ) 0, 4 ) ) ) ) 4 : d) 0,) :0, 0, ) ) e) 0,) ) : 0,). Które z podanych ułamków nie przedstawiają liczb naturalnych? a) Liczby 00 ), 00 ), 0 ) zapisz w systemie dziesiątkowym. Liczby, 4, 0, 00 zapisz w systemie dwójkowym. 7. a) Liczby 0 ), ), 0 ) zapisz w systemie dziesiątkowym. Liczby 8,, 4 zapisz w systemie trójkowym. 8. Oblicz: a) ) 40 d) ) Każdą z poniższych liczb zapisano za pomocą czterech dwójek. Ustal, która z tych liczb jest największa, a która najmniejsza

28 6 POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE Potęgowanie potęgi Największa liczba zapisana za pomocą trzech cyfr to Zapisanie jej w systemie dziesiątkowym zapełniłoby książki po 800 stron i 4000 cyfr na stronie. 0. Czy w zapisie dziesiętnym liczby 0 00 występuje więcej niż milion zer? Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) 0 8 ) 9 7 d) : 4 7 : Jakimi liczbami należy zastąpić kwadraciki? a) 9 8 = 0 6 = 7 ) ) : = d) ) ) ) = 8. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) 000 0) ) 7) d) ) ) ) 7 6) : 6) 4. Zapisz w postaci jednej potęgi: a) ). Każdą z podanych liczb przedstaw w postaci potęgi o podstawie, lub Zapisz poniższe liczby w kolejności rosnącej Zastąp litery odpowiednimi liczbami. a) ) a ) = 64 d) 0 7 d = 6 b =8 e) e 4 = 64 = c 6 f) 8 )f :9= 6 8. Uporządkuj poniższe liczby w kolejności od najmniejszej do największej Potęgowanie iloczynu i ilorazu 9. Wykonaj potęgowanie: a) ) ab ab c ) 4 a b d) a b 6 x 0. Oblicz: a) ) 6 ) ,8) 4 : ) 4 d) e) f) 6,) 0,) 4 ) ) ) ) 4 0,64 ) 4 ) 0, 4 4 4) 4 ) )

29 POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE 7. Oblicz sprytnie: a), 4 7 ) 8 ) 0 7 0,4 6 d), :0,6 6 Działanianapotęgach. Ustal, jakim znakiem: <, = czy > należy zastąpić kwadracik? a) d). Ustal wartość m i n. ) a) 4 0 = m 4 ) 7 7 n ) 4 = m 7 n : Oblicz: a) 4 d) e) f) ) , W 89 r. sprowadzono do Australii pierwsze króliki. Znalazły tu one doskonałe warunki do życia. Już w 887 r. było ich tak dużo, że rząd postanowił przyznać nagrodę temu, kto wymyśli sposób zmniejszenia ich populacji. Przypuśćmy, że liczba królików podwajała się co rok; oszacuj, ile przy takim założeniu mogło być królików w Australii pod koniec 887 roku. Wskazówka. Przyjmij, że ) 6 4 ) n 8 = m 4. Która z poniższych liczb jest równa czwartej części liczby 8 00? Która z podanych dwóch liczb jest większa? Ile razy większa? a) a = 0, b =4 a =64 6, b = Oblicz: a) 7 7 :6 ) ) 4 7 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym 9. Zastąp litery liczbami. a) a = e) ) e = 4 ) b =7 f) 0, f =6 0,) c = 000 g) 000 g = 0,00 d) 0,) d = h) = ) h 6 0, 8 0, 8 :0,0 6 d) 0,) ) e) ) : ) 4 f) 0, 6 0,) 7 :0,0 0. Oblicz: ) a) 7 7 ) d) 7 ) ) ) 7 ) ) )

30 8 POTĘGI. ZADANIA UZUPEŁNIAJĄCE. Oblicz: ) + ) a) ) ) : + ). Zapisz podane liczby w kolejności od największej do najmniejszej. a) ) ) ) ) 0 ) 6 ) 4 ) ). Oblicz: ) a) 6) ) 6 :) 4 : 6 ) Notacja wykładnicza 4. Zapisz w notacji wykładniczej: a) km ile to centymetrów? cm ile to kilometrów? 400 kg ile to miligramów? d) 400 mg ile to kilogramów? 6. Oblicz, zapisując wyniki w notacji wykładniczej: a), , d) 0 4 0, Największa odległość między Ziemią a Księżycem wynosi ok. 4 0 km. Czy Jowisz zmieściłby się między Ziemią a Księżycem? Czy wszystkie planety Układu Słonecznego bez Ziemi) ustawione obok siebie zmieściłyby się między Ziemią a Księżycem? Nazwa Średnica Nazwa Średnica planety w tys. km) planety w tys. km) Merkury Saturn Wenus Uran Mars 7 Neptun 0 Jowisz 4 8. W 98 roku za pomocą szlifierki diamentów Large Optics Diamonds rozdzielono wzdłuż ludzki włos na 000 części. Zapisz w notacji wykładniczej, jaka była średnia grubość każdej części. Przyjmij, że grubość włosa jest równa około 0 4 m. 9. Przeciętnie w organizmie człowieka jest 0 czerwonych krwinek. Każda z nich ma średnicę około 7, 0 6 m. Wyobraź sobie, że ustawiamy obok siebie wszystkietekrwinkiwszeregujednaza drugą. Jaką długość miałby ten szereg?. Wyraź podane wielkości we wskazanej jednostce. Wynik zapisz w notacji wykładniczej. a) [m ] km 0 cm [cm ] 9m,4 0 mm [dm ] 8 cm 400 m d) [km ] m 7, 0 0 dm