Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki Rozwiązania i punktacja

Transkrypt

1 Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki Rozwiązania i punktacja ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od 1. do 10. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź. W przypadku pomyłki na karcie odpowiedzi należy wypełnić następny diagram z odpowiedziami. Diagramy z niepoprawnymi odpowiedziami powinny zostać przekreślone wzdłuż przekątnych. Zaznaczenie więcej niż jednej odpowiedzi w jednym zadaniu jest równoznaczne z niepoprawną odpowiedzią. Zadanie 1. (1 punkt) Ułamek 0, 0(2) jest równy: A 2 99 B C 2 9 D 2 90 E Zadanie 2. (1 punkt) Funkcja f jest określona następująco: Każdej liczbie naturalnej większej od 1, przyporządkowujemy jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Która spośród liczb f(125), f(135), f(165), f(130, ) jest największa: A f(125) B f(135) C f(165) D f(130) E brak największej Zadanie 3. (2 punkty) Bieżnia na stadionie lekkoatletycznym składa się z dwóch odcinków prostych o długości 100 m każdy połączonych dwoma półkolistymi łukami. Na bieżni jest 6 torów o szerokości 1 m każdy. Najbardziej wewnętrzny tor na obu łukach ma długość 100 m. Bloki startowe zawodnika na najbardziej wewnętrznym torze umieszczone są na początku odcinka prostoliniowego. O jaką odległość powinny być przesunięte bloki startowe zawodnika na najbardziej zewnętrznym torze względem bloków na torze najbardziej wewnętrznym w biegu na 400 m, jeżeli meta dla wszystkich zawodników znajduje się na początku odcinka prostoliniowego? A 12 m B 6 m C 15 m 70 cm D 31m 40cm E 37 m 68 cm Zadanie 4. (1 punkt) Ile wynosi pole kwadratu, którego przekątną wyznaczają punkty A = ( 2, 7) i C = (1, 3)? 1

2 A 109 B 54,5 C 102 D 51,5 E 110 Zadanie 5. (1 punkt) Jaka jest długość trzeciego boku trójkąta prostokątnego, któego dwa pozostałe boki mają długości 3 i 4? A nie mniejsza niż 5 B równa 5 C nie większa niż 5 D większa od 5 E mniejsza od 5 Zadanie 6. (1 punkt) Powierzchnia działki na mapie wynosi 6 cm 2. W rzeczywistości działka ta ma hektarów. Jaka jest skala tej mapy? A 1: B 1:60000 C 1: D 1: E 1: Zadanie 7. (1 punkt) W pewnej kawiarni podaje się klientom średnio 80 filiżanek kawy dziennie. Ze 100 g kawy ziarnistej można przygotować 22 filiżanki kawy. Ile półkilogramowych paczek kawy musi kupić właściciel, aby wystarczyło jej na 5 dni? A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Zadanie 8. (1 punkt) Którą liczbę usunięto z listy danych: 3,2,4,1,5,1,4,1,5,2 jeśli wiadomo, że średnia arytmetyczna zwiększyła się o 1 5? A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Zadanie 9. (1 punkt) W trójkącie prostokątnym punkt styczności okręgu wpisanego dzieli jedną z przyprostokątnych na odcinki długości 5 cm i 7 cm. Ile wynosi obwód tego trójkąta? D 84 cm B 32 cm C 74 cm D 78 cm E 82 cm Zadanie 10. (1 punkt) Klasa IIc, w której jest 20 uczniów poszła wraz z wychowawcą do kina. Łączny koszt wszystkich biletów wyniósł 210 zł. Uczniowie mieli bilety ze zniżką 60%, natomiast wychowawca miał zniżkę 25%. Ile wynosi cena biletu normalnego w tym kinie? A 30 zł D 24 zł C 25 zł D 28 zł E 20 zł 2

3 ZADANIA OTWARTE Zadanie 11. (4 punkty) Na ogrodzonej łące w kształcie koła o promieniu 60 m pasie się koza przywiązana do granicy łąki łańcuchem o długości 60 3 m. Jaki procent łąki ma w zasięgu koza? (Oblicz z dokładnością do drugiego miejsca po przecinku). Wykonaj rysunek. Oznaczenia na rysunku: R = długość łańcucha kozy r = 60 - promień koła O - punkt zaczepienia łańcucha S - środek koła Fragment łąki dostępny dla kozy składa się z wycinka koła o promieniu R oraz dwóch odcinków kołowych, z których jeden na rysunku jest zanaczony jako O k. Trójkąt OSA jest trójkątem równoaramiennym o bokach OS = SA = 60m i OA = 60 3m. Wynika z tego że kąty przy wierzchołkach A i O równe są 30 o a wysokość trójkąta równa jest h = 30m. Pole wycinka koła o promieniu R i kącie 60 o jest równe P wk = 60o 360 o π(60 3 m) 2 = 1800π m 2 Pole odcinka koła O k można obliczyć jako różnicę pól wycinka koła ośrodku S i kącie środkowym O k = 120o 360 o π (60 m) m 30 m = π 1200 m m 2 Pole łąki dostępne dla kozy P k = P w k 2 O k czyli P k = 1800π m 2 + π 2400 m m 2 = π 4200 m m 2 Pole całej łąki jest równe Procent łąki dostępny dla kozy π 4200 m m 2 π 3600 m 2 100% = Punktacja: P = π (60 m) 2 = π 3600 m 2 ( 7 6 ) 3 100% = (1, , 2757)) 100% = 89, 81% 2π 3

4 1. Poprawny rysunek - 1 punkt rysunek z zaznaczonymi błędnie kątami jest uważany za błędny. 2. zaznaczony poprawny kąt 30 o - 1 punkt 3. obliczenie jednego z pól (wycinka koła, odcinka koła) - 1 punkt 4. obliczenie stosunku pól - 1 punkt Uwaga: nieistotne błędy rachunkowe nie powodują obniżenia punktacji 4

5 Zadanie 12. (4 punkty) Do prostopadłościennego zbiornika o wymiarach 20dm, 100cm, 10m wlano 5000 litrów mleka o zawartości tłuszczu równej 3,4%. Resztę dopełniono mlekiem o zawartości tłuszczu równej 4,2 %. Ile procent tłuszczu zawiera obecnie mleko w zbiorniku? Pojemność zbiornika po zamianie na litry jest równa: Dolano V = 20 dm 10 dm 100 dm = dm 3 = l mleka o zawartości tłuszczu 4,2% Ilość tłuszczu w mleku zmieszanym wynosi l 5000 l = l 5000 l 3, 4 4, l = 170 l l = 800 l Zawartość tłuszczu w mleku zmieszanym wyrażona w procentach Punktacja 800 l 100% = 4% l 1. poprawne wyznaczenie objętości zbiornika - 1 punkt 2. obliczenie ilości tłuszczu w mieszaninie lub napisanie poprawnego równania - 1 punkt 3. poprawne obliczenie zawartości tłuszczu w mieszaninie - 2 punkt za błedy rachunkowe odejmuje się 1 punkt 5

6 Zadanie 13. (3 punkty) Liczby naturalne ustawiamy kolejno tworząc liczbę Jaka cyfra będzie znajdować się na miejscu 2016-tym? Pierwsze dziewięć cyfr w tworzonej liczbie zajmują liczby jednocyfrowe. Liczby dwucfrowe, których jest 90 zajmują następnych 180 miejsc. łącznie liczby jednocyfrowe i dwucyfrowe zajmują 189 miejsc. Dalsze miejsca zajmują liczby trzycyfrowe. Liczby trzycyfrowe zajmują 90 3 = Cyfra na 2016 miejscu należy więc do liczby trzycyfrowej. Liczba cyfr do tego miejsca wynosi: = 1827 Ostatnią liczbą trzycyfrową w ciągu do 2016 cyfry będzie Cyfra na 2016-tym miejscu to = 708 Punktacja 1. uczeń policzył ile jest cyfr w liczbach jedno i dwucyfrowych i stwierdził, że 2016 miejsce musi być liczbą trzycyfrową - 1 punkt 2. uczeń obliczył, że znajduje się ona 609 miejscu w liczbach trzycyfrowych - 1 punkt 3. uczeń doliczył 99 liczb jedno i dwucyfrowe i znalazł cyfrę, jako ostatnią cyfrę liczby punkt 6

7 Zadanie 14. (3 punkty) Mucha przeszła po powierzchni sześcianu najkrótszą drogą z wierzchołka A do wierzchołka, który był drugim końcem przekątnej sześcianu wychodzącej z punktu A. Oblicz drogę, którą przeszła mucha, jeśli krawędź sześcianu wynosi 5. Najkrótszą drogę między punktami wyznacza odcinek prostej. (na rysunku między punktami A i H). Boki prostokąta (na rysunku z prawej strony) mają długości 5 i 2 5. Z twierdzenia Pitagorasa najkrótsza droga wynosi Punktacja: ( 5) 2 + (2 5) 2 = 25 = 5 1. uczeń wykonał jakikolwiek rysunek na sześcianie czy na jego siatce, prowadząc drogę po jego powierzchni, nawet jeśli nie była ona najkrótszą z dróg - 1 punkt 2. uczeń rozpatruje prawidłowy trójkąt prostokątny, tzn. narysował go lub podpisał długości boków - 1 punkt 3. uczeń oblicza z twierdzenia Pitagoras długość przekątnej trójkąta prostokątnego, która jest szukaną długością - 1 punkt 7

8 Zadanie 15. (3 punkty) W grze w koszykówkę można uzyskać za trafienie do kosza następujące ilości punktów: - 3 punkty za trafienie z odległości większej niż 7m 15cm - 2 punkty za trafienie z mniejszej odległości w czasie gry - 1 punkt za rzut osobisty wynikający z faulu. Drużyna w czasie meczu zdobyła 85 punktów w 40 rzutach. Jaka była najmniejsza możliwa i największa możliwa liczba rzutów za 3 punkty? Rozwiązanie: Oznaczenia: x - liczba rzutów za jeden punkt y - liczba rzutów za dwa punkty z - liczba rzutów za trzy punkty Z warunków zadania wynika następujący układ równań: x + y + z = 40 x + 2y + 3z = 85 Najmniejsza liczba zdobytych punktów za trzy punkty wystąpi wtedy gdy nie będzie rzutów za jeden punkt czyli x = 0. Układ równań dla x = 0 przyjmuje postać: y + z = 40 2y + 3z = 85 Rozwiązaniem tego układu są liczby y = 35 i z = 5. Największa liczba zdobytych punktów za trzy punkty wystąpi wtedy gdy nie będzie rzutów za dwa punkty czyli y = 0. Układ równań dla y = 0 przyjmuje postać: x + z = 40 x + 3z = 85 Rozwiązaniem tego układu są liczby x = 17, 5 i z = 22, 5. Rozwiązania układu powiinny być liczbami całkowitymi w związku z tym rozwiązaniem w liczbach całkowitych jest x = 17, z = 22, y = 1. Punktacja: 1. napisanie układu równań - 1 punkt 2. układ równań i poprawne wyznaczenie jednego z rozwiązań - 2 punkty 3. układ równań i poprawne wyznaczenie obu rozwiązań - 3 punkty Rozwiązanie alternatywne 1. poprawne wyznaczenie jednego z rozwiązań metodą sprawdzania kolejnych możliwych wariantów - 1 punkt 2. poprawne wyznaczenie obu rozwiązań metodą sprawdzania kolejnych możliwych wariantów - 3 punkty Poprawne wyznaczenie rozwiązań innymi metodami, w zależności od liczby poprawnych rozwiązań od 1 do 3 punktów. 8