Mechanika Płynów Wymiana ciepła, masy i pędu w procesach metalurgicznych i odlewniczych

Transkrypt

1 Strona 1 z 65 Plik: 34R MM55 Mech Płynów WymMasyCiePędu Teor - Zad.- Lab. Konspekt do ćwiczeń audytoryjnych i laboratoryjnych z przedmiotów Mechanika Płynów Wymiana ciepła, masy i pędu w procesach metalurgicznych i odlewniczych 013 Adam Gradowski (agrad@agh.edu.pl, agraddom@interia.pl) Kod = Aktualizacja : Mechanika płynów oraz Wymiana ciepła, masy i pędu w proc. odlewniczych. #MM55 A. Gradowski

2 Strona z 65 Spis treści 1. Podstawowe i uzupełniające jednostki wielkości fizycznych 4. Podstawowe pojęcia i rodzaje przepływu płynów 5 3. Równanie równowagi płynu w polu sil ciężkości (statyka płynów) 8 4. Podstawowe prawa statyki płynów Prasa hydrauliczna Bramaha Rodzaje ciśnień Przeliczanie jednostek ciśnienia 1 8. Przykłady zadań Równanie Bernoulliego dla płynu doskonałego Równanie Bernoulliego dla płynu rzeczywistego Współczynniki lokalnych strat energii Natężenie przepływu i prawo ciągłości Przykłady zadań Przepływ laminarny płynu lepkiego w przewodzie o przekroju kołowym (model Hagena Poiseuille a) Przepływ płynu w układzie przewodów połączonych równolegle Przykład określenia oporów przepływu w płynie rzeczywistym Praca kontrolna Własności fizyczne wody Przykład analizy straty ciśnienia w układzie wlewowym Wymiana ciepła w warunkach konwekcji naturalnej Przykłady zadań Wybrane zagadnienia z teorii podobieństwa Przykłady zadań z przepływu ciepła i masy 44. Napór hydrodynamiczny strumienia cieczy Zastosowanie prawa Archimedesa do projektowania technologii procesów odlewniczych Ćwiczenia laboratoryjne z mechaniki płynów Badanie strat ciśnienia i współczynnika strat liniowych λ podczas laminarnego przepływu płynu w przewodzie cylindrycznym Wstęp teoretyczny Układ pomiarowy i przebieg ćwiczenia Arkusz sprawozdania i przykładowe wyniki badań 4.. Badanie strat i oporów lokalnych przy zmiennym kierunku przepływu płynu rzeczywistego dla dwu odmiennych układów Wstęp teoretyczny 4... Układ pomiarowy i przebieg ćwiczenia Arkusz sprawozdania i przykładowe wyniki badań 4. 3 Badanie parametrów płynu w oparciu o model przepływu 56 Hagena Poiseuille a Wstęp teoretyczny

3 Strona 3 z Układ pomiarowy i przebieg ćwiczenia Arkusz sprawozdania i przykładowe wyniki badań Analiza procesu wymiany ciepła przy laminarnym przepływie płynu w kanale cylindrycznym (model Siedera Tate a) Wstęp teoretyczny Układ pomiarowy i przebieg ćwiczenia Arkusz sprawozdania i przykładowe wyniki badań 5. Literatura Dodatek 1. Rurka Pitota jako czujnik prędkości samolotu Dodatek. Podciśnienie i prawo Pascala Dodatek 3. Trzy sentencje 65 równania są wieczne. ( Albert Einstein )

4 Strona 4 z Podstawowe i uzupełniające jednostki wielkości fizycznych W roku 1960 na Konferencji Miar i Wag w Paryżu sformułowano Międzynarodowy Układ Jednostek, określony skrótem SI. Został on przyjęty jako obowiązujący przez wiele państw, a w Polsce został przyjęty za legalny i obowiązujący w roku Wielkości podstawowe i uzupełniające przedstawiono w tabeli 1. Wielkości podstawowe i uzupełniające oraz ich jednostki w układzie SI Wielkość fizyczna Jednostka Symbol Oznaczenia literowe 1 Długość metr m L, l, x, d, R, r Masa kilogram kg m 3 Czas sekunda s. τ, t 4 Natężenie prądu elektrycznego amper A I 5 Temperatura kelwin K T 6 Światłość kandela cd I 7 Ilość materii (substancji) mol mol n Wielkości uzupełniające 8 Kąt płaski radian rad α, β 9 Kąt bryłowy steradian sr Ω Dla uniknięcia posługiwania się bardzo wielkimi lub bardzo małymi liczbami stosuje się dodatkowo jednostki wtórne, które powstają poprzez dodanie do jednostki podstawowej odpowiedniego przedrostka. Przedrostek jest mnożnikiem a jego wartość jest zawsze pewną potęgą liczby 10 (tabela ). Tabela. Przedrostki do zmiany jednostek Nazwa przedrostka Oznaczenie Mnożnik tera T giga G mega M kilo k hekto h deka da nie dotyczy - 1 = decy d ,1 centy c 10-0,01 mili m ,001 mikro μ , nano n , piko p , femto f Kolorem niebieskim oznaczono mnożniki używane w dalszej części konspektu. Najczęściej stosowanym parametrem w dalszej części opracowania będzie siła i ciśnienie.

5 Strona 5 z 65 Jednostki legalne SI Jednostki stare Siła 1 N = 1kg m/ s 1 kg = 1kg. 9,81 m/s kg = 9,81N Ciśnienie Pa = N/ m = J/ m 3 bar = 10 5 Pa mbar = hpa 1 at = 1kG/ cm = 9,81N/ (10-4 m ) 1at = 98100Pa = 0,098 MPa. Podstawowe pojęcia dotyczące przepływu płynów Przepływem nazywamy postępujące przemieszczanie się cieczy, gazów lub par w rurociągach, kanałach, dyszach, przewężeniach oraz innych elementach przewodu. Płynem nazywamy ciecz, gaz oraz ich mieszaninę (parę). Płyn doskonały to taki, który spełnia dwa warunki: a) jest nieściśliwy, czyli nie zmienia swojej gęstości (bliższe temu warunkowi są ciecze), b) jest nielepki, czyli zależne od lepkości siły tarcia, występujące w warstwach o różnych prędkościach są pomijalnie małe. Płyny nie spełniające powyższych warunków są płynami rzeczywistymi. Przepływ ustalony (stacjonarny) występuje wówczas, jeżeli prędkość, ciśnienie i inne właściwości płynu, w dowolnym punkcie przestrzeni (strugi) nie zmieniają się z upływem czasu. (występuje tu analogia do ustalonego pola temperatury). Przykładem przepływu ustalonego jest przebiegający przy stałej różnicy ciśnień - wypływ wody z otworu zbiornika, w którym jej górny poziom nie ulega zmianie. Linia prądu płynu (cieczy) jest to krzywa wyznaczona przez środek geometryczny poruszającej się cząsteczki (tę krzywą nazywa się też: ^trajektorią ruchu^). Ponieważ jej kształt wynika z pola prędkości jest ona w każdym punkcie styczna do wektorów prędkości w 1, w, w 3 (rys. 3A). Struga cieczy jest to objętościowy obszar zawierający zbiór sąsiadujących linii prądu (rys. 3B) W 1 W W 3 Rys. 3A Rys. 3B. W płynach rozróżnia się dwa rodzaje sił:

6 Strona 6 z 65 a) masowe (objętościowe), wynikające z oddziaływania na masę płynu (dm =ρ dv) istniejącego w badanym układzie zewnętrznego pola sił (np. pola grawitacyjnego) b) powierzchniowe, czyli siły działające z zewnątrz na powierzchnię płynu (siły te mogą mieć składową normalną i styczną). Wartość siły masowej jest proporcjonalna do masy a powierzchniowej do powierzchni (przykład : z siły normalnej wynika parcie a ze stycznej naprężenia ścinające). W przewodzie całkowicie wypełnionym przepływającym czynnikiem (np. o przekroju kołowym) wyróżnia się trzy rodzaje przepływów: a) laminarny (uwarstwiony, warstwowy), b) przejściowy (mieszany), b) turbulentny (burzliwy). W przypadku przepływu laminarnego strugi czynnika przepływającego układają się równolegle do osi przewodu, przy czym w przekroju wzdłużnym rozkład prędkości ma w przybliżeniu kształt paraboli, a największa prędkość przypada w osi przewodu. Wektory średniej prędkości Wektory średniej prędkości w min = 0 w min = 0 w max w śr = 0.5 w max w śr = ~ 0.85 w max Ruch laminarny Ruch burzliwy Rys. 4. Schematyczne porównanie przepływu uwarstwionego i burzliwego ( tzw. profile prędkości ) W przepływie turbulentnym (burzliwym) cząstki czynnika nie przesuwają się równolegle do przodu, lecz mieszają się i wirują w różnych kierunkach, tworząc rodzaj linii śrubowej. Rozkład prędkości przedstawia krzywą spłaszczoną, przy czym w środkowej części, przewodu prędkość pozostaje ta sama, a od pewnego miejsca zmniejsza się znacznie aż do zera przy ściance przewodu (rys. 4). Również przy przepływie burzliwym ruch czynnika można określić jako prostoliniowy, gdy za prędkość strumienia przyjmuje się średnią prędkość przepływu. Rysunek 1 podaje dwa przykłady ruchu burzliwego, które pokazują charakter spłaszczonej krzywej rozkładu prędkości. Do określenia charakteru przepływu przyjęto kryterium, opracowane (ok r.) przez znanego badacza tych procesów Osborne Reynoldsa, zwane liczbą Reynoldsa i definiowane: Re w D sr ν p gdzie: w śr - średnia liniowa prędkość przepływu płynu w kanale [m/ s], D średnica kanału cylindrycznego lub - dla przekrojów niekołowych - wymiar ekwiwalentny,

7 Strona 7 z 65 czyli tzw. średnica hydrauliczna, p lepkość kinematyczna płynu [m / s]. Podstawą klasyfikacji są dwie wartości krytyczne tej liczby tj.: Re kr1 = 30 i Re kr1 = 50000, zwane dolną i górną wartością krytyczną. Przepływ laminarny występuje przy Re < Re kr1, mieszany przy Re kr1 < Re < Re kr oraz turbulentny przy Re > Re kr. 3. Równanie równowagi płynu w polu sil ciężkości (statyka płynów)

8 Strona 8 z 65 Rozpatrzymy element płynu w kształcie walca z p + dp A dz G = g dm p Rys. 5. Zakładamy, że element płynu (walec) znajduje się w stanie równowagi statycznej, czyli wypadkowa wszystkich sił działających w rozpatrywanym obszarze wynosi zero. p = F czyli F = p A A Bilans sił (p + dp) A p A + G = 0 [ N ] G = g dm = ρ g dv = A ρ g dz A p + A dp A p + A ρ g dz = 0 dp + ρ g dz = 0 Stąd gradient ciśnienia dp = - ρg dz [ Pa/ m ] ( 1 ) Po scałkowaniu mamy p + ρ g z = C [ Pa ] ( ) Stałą C można wyznaczyć jeżeli znane jest ciśnienie w dowolnym punkcie cieczy. Najczęściej znane jest na powierzchni swobodnej i równe jest ciśnieniu gazu nad cieczą p g ( często p g jest ciśnieniem barometrycznym p ot ).

9 Strona 9 z 65 Wtedy dla z = 0 mamy p = p g i stała C = p g p = p g + ρ g z (3) Jest to tzw..równanie manometryczne. Na rys. 6 przedstawiono przykładowy rozkład ciśnienia w cieczy znajdującej się w polu grawitacyjnym p g p g z α h z ρgz Rys. 6. Typowy rozkład ciśnienia wg równania (3) ρ g h p Iloczyn p h = ρ g z nosi nazwę ciśnienia hydrostatycznego. Jeśli zbiornik jest otwarty wówczas p g jest ciśnieniem atmosferycznym p ot i mamy: p = p ot + ρ g z (4) Kąt pochylenia wykresu ciśnienia α jest większy dla cieczy o większej gęstości, czyli bardzo mały dla gazów. 4. Podstawowe prawa i wybrane pojęcia statyki płynów

10 Strona 10 z 65 Prawo Pascala: ciśnienie wywierane na płyn jest jednakowo przekazywane na każdą cząstkę jej objętości oraz ścianki naczynia, bez żadnych strat. Równanie manometryczne (Orze 6) to równanie statyki: p = p zewn + ρgh Lepkość płynu (cieczy) to zdolność do przenoszenia naprężeń stycznych między sąsiednimi warstwami płynu podczas wzajemnego przemieszczania wskutek różnych prędkości. Powstające naprężenia styczne są proporcjonalne do gradientu prędkości i lepkości dynamicznej (lub kinematycznej). Siła styczna (siła tarcia) jest iloczynem naprężenia i powierzchni. Naprężenie styczne wg prawa Newtona: = μ grad w [Pa]. Siła styczna F = A (μ lepkość dynamiczna, w - prędkość liniowa, A powierzchnia ) Prawo Eulera : ciśnienie działające w dowolnym punkcie cieczy będącej w spoczynku jest niezależne od orientacji przechodzącego przez ten punkt elementu powierzchniowego. Prawo Stevina : napór hydrostatyczny na dno naczynia nie zależy od jego kształtu a tylko od gęstości cieczy, głębokości dna pod zwierciadłem H i powierzchni dna naczynia F. H F F F 5. Prasa hydrauliczna Bramaha F 1 Zasada działania wynika z prawa Pascala. F 0 a F b A 1 A p p p p p p p p Rys. C. Uproszczony schemat prasy hydraulicznej Bilans sił w układzie:.p = F 1 / A 1 = F / A F = F 1 A / A 1 F 1 = F 0. (1 + b/ a) F = F 1. A / A 1 = F 0. (1 + b/ a). A / A 1 Oznaczenia: A powierzchnia, a, b ramię momentu siły, F 1, F - siły. 6. Rodzaje ciśnień a) ciśnienie absolutne (lub bezwzględne) to wartość zmierzona względem

11 Strona 11 z 65 próżni p a, czyli odniesiona do wartości zerowej, b) ciśnienie barometryczne ( atmosferyczne ) to ciśnienie bezwzględne (absolutne) otaczającego powietrza ozn. p b, c) wartość nadciśnienia jest różnicą między ciśnieniem mierzonym a ciśnieniem atmosferycznym ozn.. p n = p a1 p b ( rys. 1), d) podciśnienie p p = p b p a, (p p > 0) p p n (nadciśnienie) p a1 barometryczne p p (podciśnienie) ( Rys. 1. ) p b p a Próżnia p = 0 e) ciśnienie statyczne to ciśnienie płynu znajdującego się w spoczynku lub określone przez przyrząd pomiarowy (manometr) poruszający się w tym samym kierunku, z prędkością równą prędkości strumienia płynu (ciecz lub gaz), f) ciśnienie dynamiczne to wywołane energią kinetyczną strugi płynu, która (zgodnie z równaniem energii kinetycznej) zależy od prędkości liniowej i gęstości płynu przy ciśnieniu statycznym, równe : w p d = Powyższa zależność wynika z równania (definicji) energii kinetycznej: w E k = m = ½ ρ V w, czyli: p E d = k V. g) ciśnienie całkowite to suma ciśnienia statycznego i dynamicznego, tj. : p c = p s + p d [ Pa] Wynika z eksperymentu myślowego, w którym wymuszamy całkowite zahamowanie ruchu płynu ( w 1 > 0, w = 0 ) za pomocą małej przegrody, zorientowanej prostopadle do kierunku przepływu ( rys..) w 1 w = 0 Rys..

12 Strona 1 z 65 z (z lewej strony przegrody z w 1 > 0, w punkcie kontaktu z przegrodą w = 0, p c1 = p c ). Zależność opisująca ciśnienie całkowite wynika z równania Bernoulliego, przekształconego do postaci wyrażającej bilans ciśnień przy przepływie płynu (cieczy lub gazu) w rurociągu. 7. Przeliczanie jednostek ciśnienia Metody pomiaru ciśnienia są bardzo zróżnicowane co wynika też z dużej liczby przyrządów do pomiaru ciśnień (rurki dwuramienne, mikromanometry z rurką pochyłą, manometry przeponowe, sprężynowe itp.). Przykładowo bardzo małe ciśnienia wygodnie jest wyrażać w mm słupa wody. Wszystkie nietypowe jednostki ciśnienia powinny zostać wyrażone w Pa. Poniżej przedstawiono przykłady przeliczania różnych jednostek ciśnienia na Pascale. 1 mm H O = 1000 kg/m 3. 9,81 m/ s. 0,001 m = 9,81 N/ m = 9,81 Pa Atmosfera fizyczna 1 atm = 760 mm Hg = Pa Uwaga: zakładając stałą wartość ciśnienia, wysokość słupa rtęci jest (nieznacznie) zmienna z temperaturą, dlatego powyższy wzór jest ścisły dla temperatury 0 o C gdy gęstość rtęci wynosi kg/ m 3 (przykładowo dla 40 o C gęstość rtęci wynosi ), 1 mm Hg = 1 Tr = 133,3 Pa ( gdzie: 133,3 = 10135/ 760 ) 1 bar = 10 5 Pa 8. Przykłady zadań Zadanie 1 (przeliczanie jednostek ciśnienia, M)

13 Strona 13 z 65 W pewnym doświadczeniu stwierdzono, że słup rtęci w barometrze ma wysokość równą 740 mm. Pomiar wykonano w temperaturze -5 o C, w której gęstość rtęci wynosi kg/ m 3. Obliczyć ciśnienie atmosferyczne w miejscu pomiaru, wyrażając je w paskalach, barach, torach i atmosferach fizycznych. p 0 = ρ g h = ,81. 0,74 = Pa 1 bar = 10 5 Pa p 0 = / = 0,9879 bar 1 Tr = 133,3 Pa ( wartość 133,3 = 10135/ 760) p 0 = / 133,3 = 739 Tr 1 atm = 760 Tr = Pa p 0 = 739/ 760 = 0,97 atm Zadanie (wg J. Wolny: Fizyka) ( przeliczanie jednostek ciśnienia) Ludzkie płuca mogą poprawnie funkcjonować jeżeli różnica ciśnień wewnątrz i na zewnątrz płuc nie przekracza wartości Δp = 0,05 atm. Oblicz bezpieczną głębokość h x zanurzenia płetwonurka oddychającego przez rurkę wystawiona ponad powierzchnię wody. Przyjąć gęstość wody ρ = 1000 kg/ m 3. Δp = 0,05 atm 1 atm = Pa Δp = p x = ρ g h x h x = Δp / (ρ g) = 0, / ( ,81) h x = 0,516 m 9. Równanie Bernoulliego dla płynu doskonałego (bilans energii)

14 Strona 14 z 65 Rozważymy przepływ płynu przez przewód (kanał) o zmiennym przekroju przyjmując następujące założenia: a) przepływ jest laminarny i stacjonarny, b) płyn jest nieściśliwy lub wartość ściśliwości jest pomijalnie mała, c) płyn jest nielepki lub lepkość jest tak mała, że możemy ją pominąć d) ruch odbywa się w polu bezwirowym. Rozpatrujemy układ, w którym przepływ płynu odbywa się w kanale o zmiennym przekroju i wysokości nad poziomem odniesienia. ΔV 1 p 1 W 1 p h 1 W h ΔV Z prawa zachowania masy i braku ściśliwości wynika: ΔV 1 = ΔV = ΔV Całkowita energia mechaniczna zawarta w płynie nie może ulec zmianie więc: E 1 = E = E całkowite = const Równanie Bernoulliego w takim układzie możemy określić jako zasadę zachowania energii. Całkowita energia płynu w dowolnym punkcie wybranej strugi jest sumą energii potencjalnej położenia (grawitacji), pracy sił ciśnieniowych ( ^energia ciśnienia^) i energii kinetycznej. Dla objętości elementarnej ΔV możemy sumę 3. rodzajów energii zapisać: E p + L c + E k = ΔV (ρgh + p + ½ ρ w ) = const lub ρgh + p + ½ ρ w = const ( ) lub h + p/(ρg) + ½ w /g = H = const Wartość H nazywana jest stałą Bernoulliego lub wysokością rozporządzalną. Dla rurociągu poziomego (h = const) mamy p + ½ ρ w = p c = const ( a)

15 Strona 15 z 65 gdzie : p c nazywane jest ciśnieniem całkowitym. Czasem używa się następującego sformułowania : Zgodnie z prawem Bernoulliego w obszarze, w którym prędkość płynu rośnie (..wyraz lewej strony równania), występuje spadek ciśnienia Równanie Bernoulliego dla płynu rzeczywistego

16 Strona 16 z 65 Poprzednia postać równania Bernoulliego, wyprowadzona dla płynu doskonałego, charakteryzuje się stałą wartością energii strumienia (strugi) wzdłuż dowolnej linii prądu. Nie jest to możliwe dla przypadku płynu rzeczywistego posiadającego lepkość. Fakt istnienia gradientu prędkości wymusza istnienie wzajemnego poślizgu między sąsiadującymi warstwami płynu, co wynika z ich zróżnicowanej prędkości. Towarzyszące poślizgowi tarcie powoduje, że część energii zamienia się w inną postać np. ciepło, drgania przewodu, dźwięk. Z punktu widzenia mechanicznego jest to ENERGIA STRACONA. Zatem suma wysokości położenia, wysokości ciśnienia i wysokości prędkości nie będzie stała (jak dla płynu nielepkiego) i będzie stale maleć w kierunku przepływu. Spadek ten przyjęto przedstawiać jako suma wysokości strat h str (lub krótko h str )..w 1 / g poziom płynu 1 h str.p 1 /ρg.w /g.w 1 poziom płynu.p / (ρg).z 1.w.z. poziom odniesienia Wersję równania Bernoulliego dla płynu doskonałego rozszerza się dla płynu rzeczywistego, lepkiego przez dodanie do jego PRAWEJ strony wartości wysokości strat. Otrzymamy naonczas: p ρ g w p w g ρ g g z = + z + H h 1 str. λ str.m.gdzie: w 1, w prędkość liniowa. W równaniu (B1) występują następujące wysokości strat energetycznych : ( B1) H str.λ - straty liniowe uwzględniające proces tarcia, wyrażane za pomocą współczynnika oporów liniowych λ ),.h str.m - straty miejscowe (lokalne) uwzględniające zmianę kierunku przepływu, zmniejszenie przekroju, zaburzenia ruchu płynu (np. z powodu zasuw, zaworów), wyrażane współczynnikiem oporów miejscowych ζ. Wartości strat liniowych opisuje zależność:

17 H str.λ = w g λ L d Wysokość strat miejscowych (lokalnych) wyraża zależność: (B3) h = ζ w g (B4) str. M Strona 17 z Współczynniki lokalnych strat energii Poniższa tabela przedstawia dane doświadczalne wartości współczynników strat lokalnych ζ dzeta 1. Natężenie przepływu i prawo ciągłości

18 Strona 18 z 65 Zagadnienie ciągłości przepływu można rozpatrywać jako odmianę prawa zachowania masy. Rozpatrując następnie dowolnie długi odcinek przewodu o zmiennych przekrojach, zakłada się analogicznie, że do każdego przekroju dopływa i odpływa na sekundę ta sama ilość czynnika i że wszystkie przekroje są wypełnione czynnikiem, a więc nie powstają żadne puste miejsca (rys. ). F 1 F F 3 υ, T υ 1, T 1 υ 3, T 3 w 1 w w 3 I II III Rys.. Schemat przepływu w przewodzie o zmiennym przekroju Często dla uproszczenia matematycznego opisu procesu przepływu zakłada się, że: a) rozważany płyn jest nieściśliwą cieczą ( założenie to nie odpowiada prawdzie dla gazów i można z niego zrezygnować), b) wypełnia całą wewnętrzną objętość kanału, c) posiada stałą temperaturę, d) przepływ występuje w kanale o orientacji poziomej (brak wpływu wysokości). Kinetykę przepływu płynu (cieczy lub gazu) w rurociągu opisują dwa podstawowe parametry: e) masowe natężenie przepływu: Δm m = Δτ f) objętościowe natężenie przepływu: ΔV V= Δτ gdzie : m masowe natężenie przepływu, tj. masa jednostki czasu [ kg / s ], m przepływającego czynnika odniesiona do V objętościowe natężenie przepływu, tj. objętość Vprzepływającego czynnika odniesiona do jednostki czasu (w literaturze oznaczane czasem przez Q ), m 3 /s. Masowe natężenie przepływu, jednakowe dla przekrojów I, II i III (rys. ), obliczymy oznaczając przez: F - powierzchnię przekroju przewodu w dowolnym miejscu, p - ciśnienie bezwzględne, Pa (N/m ), m,

19 Strona 19 z 65 g - przyspieszenie ziemskie, 9.81 m/s, w - średnią prędkość przepływu w badanym miejscu przewodu, υ - objętość właściwą przepływającego czynnika m 3 / kg, - gęstość czynnika przepływającego ( = 1/ υ ), kg /m 3, m / s, Masowe natężenie przepływu można wyrazić dwoma, równoważnymi sposobami : F w F w F w υ υ υ m= = = =const lub 1 3 (1a) m= F 1 w 1 ρ 1= F w ρ = F 3 w 3 ρ 3= const, [kg/ s] (1b) Podstawowe i ogólne równania (1a, 1b) można niekiedy uprościć, zakładając rozważania dla przypadku cieczy nieściśliwych oraz - mniej dokładnie - dla gazów i par w kanałach o niewielkiej zmianie powierzchni przekroju F. Można wówczas przyjąć niezmienność objętości właściwej (również gęstości!) υ 3 1= υ = υ 3 = υ [m /kg], co pozwoli uzyskać: lub ogólnie 3 V=m/ ρ= m υ = F1 w 1= F.w = F3 w 3=const [m /s] [ m 3 / s ] () V = V = V czyli: F w = const [ m 3 / s ] (3) 1 3 Jest to tzw. zasada ciągłości przepływu, dotycząca cieczy nieściśliwych. Stwierdza ona, że w dwu dowolnych miejscach przewodu prędkości są odwrotnie proporcjonalne do do powierzchni przekrojów. Jeżeli więc strumień natrafia na zwężenie rurociągu lub kanału, jego prędkość powinna się zwiększyć, aby ta sama masa czynnika przepłynęła w jednostce czasu. Zwiększenie się prędkości w czasie przepływu, a tym samym energii kinetycznej w zwężającym się przekroju rurociągu, jak np. na rys., może się odbywać tylko kosztem energii potencjalnej. Rozważania dotyczą przypadku, gdy w rurociągu płynie ciecz nieściśliwa oraz przemieszczanie się czynnika odbywa się bez strat liniowych (bez tarcia). Dla przewodu poziomego równanie Bernoulliego w postaci bilansu ciśnień ma postać: p + ρ w = const Ponieważ każdy z członów powyższego wzoru ma wymiar ciśnienia, więc taki sam wymiar powinna również mieć suma, którą oznacza się jako ciśnienie całkowite p (Pa). Człon pierwszy równania przyjęto nazywać ciśnieniem statycznym p s (Pa), natomiast człon drugi ½ ρ w ciśnieniem dynamicznym p d (Pa). Z powyższych rozważań wynika ważna dla badań doświadczalnych zależność : p c = p s + p d (9) c (8)

20 Strona 0 z 65 Wyznaczona z wartości ciśnienia dynamicznego liniowa prędkość przepływu wynosi: pc p w s [ m/ s] (10) lub. p w = ρ = υ p d [ m/ s ] (11) d Ciśnienie całkowite p c [ Pa ] mierzy się rurką zgiętą, skierowaną przeciw prądowi, tzw. rurką Pitota, podłączoną do manometru ( np. cieczowego). Ciśnienie mierzone idealną rurką Pitota, przy prędkości poniżej prędkości głosu i niezbyt małych liczbach Reynoldsa, nazywa się ciśnieniem Pitota. Ciśnienie statyczne p s [ Pa ] mierzy się rurką prostą umieszczoną prostopadle do kierunku przepływu. Ciśnienie dynamiczne p d, z którego oblicza się prędkość w, jest więc różnicą zmierzonego w powyższy sposób ciśnienia całkowitego i statycznego 13. Przykłady zadań (Zadanie 3) Rozpatrzymy przepływ płynu ściśliwego w długim odcinku przewodu (kanału) o zmiennych przekrojach. Zakładamy, że do każdego przekroju dopływa i odpływa ta sama masa płynu ( cieczy lub gazu) w odniesieniu do jednostki czasu. Wszystkie przekroje są w pełni wypełnione czynnikiem, czyli nie powstają żadne puste miejsca (rys. 1). Warunki zadania dopuszczają możliwość zmienności gęstości [ ρ ] i objętości właściwej [ υ ] płynu w różnych przekrojach kanału. Przekrój 1 Przekrój Przekrój 3 F 1, w 1, υ 1, p d1 F, w, υ, p d F 3, υ 3, p d3 I II III Rys.. Przepływ płynu ściśliwego w kanale o zmiennym przekroju (υ 1 różne od υ ). Przyjmując wybrany zestaw danych z tabeli 1 podać odpowiednie zależności i obliczyć: a) gęstość i objętość właściwą płynu w przekroju ( ρ, υ ),

21 Strona 1 z 65 b) średnie ciśnienie dynamiczne w przekroju 3 ( p d3 ), c) masowe natężenie przepływu ( m*) czynnika w przekrojach, 3. Tabela danych i wyników przykłady 1,, 3 L p F 1 F F 3 w 1 w υ 1 υ 3 ρ υ ρ 3.w 3 p d3 m* m m m m/ s m/ s m 3 / kg m 3 / kg.kg m 3 / m -3 kg.kg -3 m/s Pa kg/ s m 1 0,1 0,8 0,08 0 0, ,91 1 8,1 395,5 0,15 0,4 0, ,6 1,03 1 0,94 1, , ,37 3 0, 0,8 0,1 16 4, 1,05 1 Rozwiązanie wg danych nr 1 Gęstość: ρ 1 = 1/ υ 1 = 1/ 0,8 = 1,5 m 3 /kg. Masowe natężenie przepływu dla dowolnego przekroju ( wg danych przekroju 1) : F1 w1 0,1 0 m= = =,5 kg/ s, m * = m 3 * =,5 kg/ s. υ 0,8 1 ρ = m * / ( F. w ) =,5 / ( 0,5. 4,1) = 1,098 kg/ m 3. υ = 1/ ρ = 1/ 1,098 = 0,91 m 3 / kg. ρ 3 = 1/ υ 3 = 1/ 1 = 1 kg/ m 3.. w 3 = m 3 * / (ρ 3 F 3 ) =,5/ ( 1. 0,08) = 8,1 m/ s. p d3 = ½. ρ. 3 w 3 = 0, ,1 = 395 Pa. Zadanie 4 (przeliczanie jednostek ciśnienia) W pewnym doświadczeniu stwierdzono, że słup rtęci w barometrze ma wysokość równą 740 mm. Pomiar wykonano w temperaturze -5 o C, w której gęstość rtęci wynosi kg/ m 3. Obliczyć ciśnienie atmosferyczne w miejscu pomiaru, wyrażając je w paskalach, barach, torach i atmosferach fizycznych. p 0 = ρ g h = ,81. 0,74 = Pa 1 bar = 10 5 Pa p 0 = / = 0,9879 bar 1 Tr = 133,3 Pa ( wartość 133,3 = 10135/ 760) p 0 = / 133,3 = 739 Tr 1 atm = 760 Tr = Pa p 0 = 739/ 760 = 0,97 atm Zadanie 5 (wg J. Wolny: Fizyka) (przeliczanie jednostek ciśnienia) Ludzkie płuca mogą poprawnie funkcjonować jeżeli różnica ciśnień wewnątrz i na zewnątrz płuc nie przekracza wartości Δp = 0,05 atm. Oblicz bezpieczną głębokość h x zanurzenia płetwonurka oddychającego przez rurkę wystawiona ponad powierzchnię wody. Przyjąć gęstość wody ρ = 1000 kg/ m 3. Δp = 0,05 atm

22 Strona z 65 1 atm = Pa Δp = p x = ρ g h x h x = Δp / (ρ g) = 0, / ( ,81) h x = 0,516 m Zadanie 6 (Prędkość i natężenia przepływu, równanie Bernoulliego, M) Do zbiornika z wodą przyłączona jest szklana rurka o długości L = 0,4 m i średnicy wewnętrznej d = 5 mm. Górny poziom wody w zbiorniku jest niezmienny (podczas pomiaru ilość wody w zbiorniku jest regulowana ). Obserwacja trajektorii wypływu pozwoliła określić współrzędne punktu A: x a = 40 mm i y a = - 30 mm. Zmierzona ilość wody która wypłynęła w ciągu Δτ = 30 s wynosi ΔV = 0,3 dm 3 (300 ml). Prędkość w 0 dla swobodnej powierzchni cieczy wynosi w 0 =0. Wysokość H jest stała i równa H = 130 mm. Temperatura wody wynosiła około 15 o C. Przyjąć, że płyn zachowuje się jak doskonały, co pozwala pominąć opory przepływu. Wyznaczyć : a) liniową prędkość wypływu cieczy w, b) teoretyczne, przybliżone natężenie przepływu przy założeniu płynu doskonałego. c) współczynnik oporów liniowych, d) wysokość strat liniowych. w 0 p ot H y x A ( x, y) d.w (w t ) p ot OBLICZENIA Układamy równanie Bernoulliego dla poziomów 1 1 i.

23 Strona 3 z 65 ρ g H + p ot + ½ ρ w 0 = ρ g. 0 + p ot + ½ ρ w lub H + p ot / (ρ g) + ½ w 0 /g = ρ g. 0 + p ot /( ρ g) + ½ w /g g H = w Prędkość teoretyczna wg równania Bernoulliego w tb = (. g H) ½ = (. 9,81. 0,13) ½ w tb = 1,597 m/s Prędkość wynikająca z natężenia przepływu V* = ΔV / Δτ = 300 ml / 30 s = 10 ml /s = 10-5 m 3 /s F = π /4. d = π /4. 0,005 = m w v = V* /F = 10-5 / = 0,509 m/ s Prędkość wynikająca z trajektorii (współrzędne punktu A) x A = w tr τ ; y A = - ½ g τ czyli: w tr = x A (- 0,5g/ y A ) 1/ = 0,04(0,5. 9,81/ 0,03) 1/ w tr = 0,511 m/ s Wniosek : pominięcie zjawiska oporów przepływu (płyn doskonały) powoduje duże odstępstwa prędkości teoretycznej w odniesieniu do wartości rzeczywistej (doświadczalnej). Dane uzyskane doświadczalnie w dniu : dv = 0, dm 3 = 00 ml, d = 15 s, H sr = 143 mm, x= 4 mm, y = - 4mm V* = 14 ml/ s = 0,014 dm 3 /s Według temperatury t = 15 C odczytujemy z tablic lepkość = 1, m/ s. Liczba Reynoldsa Re = w d/ = 0,5. 0,005 / 1, = 318 Współczynnik oporów liniowych dla przepływu laminarnego λ = 64/ Re = 64 / 318 = 0,076 Wysokość strat liniowych wynosi : H str.λ = w g λ L d = 0,51 /(. 9,81. 0,005). 0, 4 = 0,093 m Zadanie 7 (wg [ ], równanie Bernoulliego, zasada ciągłości przepływu, ) Budynek fabryczny zasilany jest w wodę za pomocą dużego zamkniętego zbiornika,

24 Strona 4 z 65 w którym panuje ciśnienie absolutne p i. Wysokość zwierciadła wody względem poziomu fundamentu wynosi jest niezmienna i wynosi h = const. Obliczyć prędkości wypływu wody na trzech kondygnacjach budynku pokazanego na rysunku 1 w oparciu o znaną wysokość bazową a. Określić prędkość liniową wody w podziemnej części przewodu zasilającego w 1 posiadającego przekrój A 1. Przekroje przewodów wypływowych są jednakowe i wynoszą A. Przyjąć gęstość wody równą ρ oraz ciśnienie barometryczne p b. A poziom 4 w 4 a p i 1 w 1 = 0 A poziom 3 w 3 a A poziom h = const w a A 1, w poziom fundamentu Obliczenia Układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-, 1-3, 1-4 względem poziomu fundamentu. Mamy więc: ρ g h + p i + ½ ρ w 1 = ρ g. a + p i + ½ ρ w (lub: g h + p i / ρ + ½ w 1 = g. a + p i / ρ + ½ w ) ρ g h + p i + ½ ρ w 1 = ρ g. a + p i + ½ ρ w 3 ρ g h + p i + ½ ρ w 1 = ρ g. 3a + p i + ½ ρ w 4 Ponieważ w 1 = 0 mamy: w = p - p ρ [ i b g (h - a)] ; w 3 = p - p ρ [ i b g (h - a)] [ p - p g (h - 3a)] i b w 4 = ρ Prędkość liniową wody w podziemnej części przewodu wynika z zasady ciągłości przepływu lub z pojęcia objętościowego natężenia przepływu: A. 1 w = A w + A w 3 + A w 4 [ m 3 / s], stąd : w = A/ A 1 ( w + w 3 + w 4 )

25 Strona 5 z 65 Zadanie 8 ( ) W podgrzewaczu powietrza natężenie masowe przepływu wynosi kg/ s. Przez dwa cylindryczne kanały przepływowe o średnicy wewnętrznej równej 400 mm przepływa podgrzane powietrze posiadające objętość właściwą równą 1,5 m 3 / kg (R= 0, m, sumaryczny przekrój kanałów wynosi. pi. r = m ). Oblicz : a) średnią prędkość przepływu powietrza, b) gęstość powietrza, c) średnie ciśnienie dynamiczne w obu kanałach. Prędkość przepływu powietrza wynika z natężenia przepływu: m w F ρ p F =. 3,14. 0, = 0,51 m w = m υ = 30 / 0,51. 1,5 = 11,9 m/ s. p F ρ p = 1/ υ p = 1/ 1,5 = 0,667 kg/ m 3 p d = ½. ρ p. w = 0,5. 0, ,9 = 47, Pa. Zadanie 9 (Kolokw ) Wartość ciśnienia barometrycznego wynosi 990 hpa. Ile mm Hg powinien wskazywać barometr jeżeli temp wynosi 8 st C a gęstość rtęci wynosi dla niej kg/ m 3? Wzór ogólny: p = ρ g h Hg h Hg = 99000/ ( ,81) = 0,746 m = 746 mm Hg = = Zadanie 10

26 Strona 6 z 65 Pionowy wlew główny rozdziela się w najniższej części na dwa wlewy doprowadzające metal do dwu różnych odlewów żeliwnych (gęstość żeliwa ρ = 700 kg / m 3 ). Wnęki formy odtwarzające kształty obu odlewów znajdują się poniżej poziomu wlewów doprowadzających. Zapisać równanie Bernoulliego i równanie ciągłości strugi. Znaleźć wartość prędkości w 1 i w oraz wartości przekrojów A 1 i A przy której czas zalewania obu odlewów będzie jednakowy i równy τ zal = 10 s. Zakłada się, że ciekły metal wypełnia podczas przepływu pełną objętość kanałów (1, ). Masy obu odlewów wynoszą odpowiednio m 1 = 40 kg, m = 0 kg, czyli wielkości natężenia przepływu we wlewach doprowadzających spełniają warunek : m 1 = m. Pominąć straty lokalne wynikające ze zmiany kierunku przepływu między wlewem głównym i poziomymi wlewami doprowadzającymi (90 o ). Obliczyć wysokość wlewu głównego H g. Założyć, że - zgodnie z zaleceniami technologicznymi - wypełnienie przestrzeni kanałów układu wlewowego (brak pustek ) wymaga spełnienia warunku : A g = 1, (A 1 + A ) ( 1 ) Rys. E..w 0 = 0 poziom 1 H - pionowy wlew główny (dane z indeksem g ) A 1,w 1 A g, w g A, w. (do odlewu A) (do odlewu B) poziom 0 (wlewy doprowadzające metal do obu odlewów) Energia kinetyczna przepływu metalu we wlewach ( tzw. doprowadzających) na poziomie 0, musi wyrażać wartość energii sumarycznej, uwzględniającej rozdział masy metalu wypływającego z wlewu głównego na dwa wlewy poziome. Współczynniki (bezwymiarowe) rozdziału (udziału) masy metalu we wlewach 1, wynoszą : 1 U 1 = m / ( m oraz U = 1 - U 1 = 0,333 m ) = m 1 / (m 1 + m ) = 8 /1 = 0,667 Stosunek masowych ( również objętościowych) natężeń przepływu we wlewach 1, m / m = ρ A 1 w 1 / (ρ A w ) = ( ) Równanie Bernoulliego dla poziomów 0,1 (z pominięciem wart..strat H s ) ma postać : ρ gh + p b + ½ ρ. w 0 = ρ g. 0 + p b + ½ U 1 ρ w 1 + ½ U ρ w, ( 3 ) gdzie: w 0 = 0. Po uproszczeniu równanie (3) przyjmie postać: g H = U 1 w 1 + U w [ m / s ] (3a ) Wartość czasu zalewania wynika z zależności:

27 Strona 7 z 65 A 1 w 1 + A w = (m 1 + m ) / (ρ τ zal ) ( 4 ) Lewą stronę równania (4) oznaczymy przez C. C = (m 1 + m ) / (ρτ zal ) = 60 /( ) = 8,33 e-4 = 0, m 3 / s. Z zapisu układu równań bazowych wynika istnienie wielu rozwiązań naszego zadania, dlatego konieczne i uzasadnione jest jego uproszczenie. W poniższej tabeli przedstawiono bazowy zestaw równań oraz jego postać uproszczoną, uzyskaną przy założeniach : w 1 = w oraz A 1 = A Układ równań bazowych Równania po uproszczeniu 1 1, (A 1 + A ) = A g 3,6. A = A g A 1 w 1 = A w A 1 = A 3 g H = U 1 w 1 + U w. 9,81 H = w 1 4 A 1 w 1 + A w = (m 1 + m ) / (ρτ zal ) 3 A w 1 = C.przy czym : C = (m 1 + m ) / (ρτ zal ) = 60 /( ) = 0, m 3 / s. W oparciu o uproszczony układ równań przeprowadzono serię obliczeń dla zmiennej wysokości H, których wyniki przedstawiono w tabeli. H w 1 w A 1 A A g Zgodność z założeniami.m m/ s m/ s cm cm cm --- 0,1 1,40 1,40 3,97 1,98 7,1 nie 0, 1,98 1,98,80 1,4 5,04 nie 0,3,43,43,8 1,14 4,10 TAK 0,4,80,80 1,98 0,99 3,60 nie 0,5 3,13 3,13 1,77 0,887 3,18 nie 0,6 3,43 3,43 1,6 0,81,9 nie Do wyboru końcowej wersji parametrów układu wlewowego należy sformułować dodatkowe kryteria technologiczne. Przyjmiemy więc dodatkowe warunki: a) wysokość bazowa układu H powinna przekraczać 00 mm, b) najmniejsza powierzchnia przekroju kanału układu wlewowego powinna przekraczać wartość 1 cm. Warunki te spełnione są dla układu wlewowego o wysokości H = 0,3 m. Zadanie 11 Rozwiązać ponownie przedstawione wyżej powyżej zadanie z uwzględnieniem strat

28 Strona 8 z 65 lokalnych wynikających ze zmiany kierunku przepływu między wlewem głównym i poziomymi wlewami doprowadzającymi (90 o ). Zapisać odpowiednie równanie Bernoulliego dla tego przypadku. Nowe równanie Bernoulliego dla poziomów 0,1: H + p b / (ρg) + ½ w 0 /g = 0 + p b / (ρg) + ½ U 1 w 1 /g + ½ U 1 ζ w 1 / g + + ½ U w / g + ½ U ζ w / g, ( 5 ) gdzie: w 0 = 0. Po uproszczeniu równanie (3) przyjmie postać: H = ½ (1 + ζ ) U 1 w 1 / g + ½ (1 + ζ) U w / g (5a) Wartość straty lokalnej dla zmiany kierunku przepływu o kat prosty wynosi ζ = 1,1. Mamy więc H = ½.,1/ g (U 1 w 1 + U w ) Podobnie jak w przykładzie poprzednim, przy założeniach : w 1 = w oraz A 1 = A otrzymamy układ równań Układ równań bazowych Równania po uproszczeniu 1 1, (A 1 + A ) = A g 3,6. A = A g A 1 w 1 = A w A 1 = A 3 g H =,1 (U 1 w 1 + U w ) /,1. 9,81 H = w 1 4 A 1 w 1 + A w = (m 1 + m ) / (ρτ zal ) 3 A w 1 = C.przy czym : U 1 + U = 1 + Seria obliczeń dla zmiennej wysokości H daje wyniki przedstawione w tabeli 3. H w 1 w A 1 A A g Zgodność z założeniami.m m/ s m/ s cm cm cm --- 0,1 0,97 0,97 5,75,87 10,3 nie 0, 1,37 1,37 4,06,03 7,3 nie 0,3 1,67 1,67 3,3 1,66 5,97 TAK 0,4 1,93 1,93,87 1,44 5,17 TAK 0,5,16,16,57 1,8 4,63 TAK 0,6,37,37,35 1,17 4, TAK W nowym ujęciu zagadnienia warunki założone w przykładzie poprzednim ( H > 00 mm i minimalna powierzchnia kanału większa od 1 cm ) spełniają teraz 4 warianty konstrukcyjne układu wlewowego. Wariant C: uwzględnić opory liniowe Δh λ dla L 1 = 00 mm.

29 Strona 9 z 65 Definicja: H str. λ = ( ) w 1 g λ L d Zadanie 1 ( wg [ 3 ] ) ( płyn rzeczywisty, ujęcie strat energii, ) Straty energii uwzględnione są poprzez pojecie wysokości strat, które mogą być : a) lokalne (miejscowe), b) liniowe, uwzględniające opory tarcia. Z dużego zbiornika A wypływa woda przez przewód rurowy o średnicy d 1 = 60 mm do kanału cylindrycznego o średnicy d = 100 mm. Następnie płynie przez zawór Z4 oraz zmienia kierunek o 90 o w tzw. kolanku i wypływa do otoczenia (atmosfery). Obliczyć objętościowe natężenie przepływu V* (Q) jeżeli wysokość bazowa układu wynosi H = 1,5 m. Prędkość liniową oznaczyć przez v. Uwzględnić współczynniki strat lokalnych (miejscowych) dzeta, określające straty dla 5..charakterystycznych punktów instalacji : 1) na wejściu (ze zbiornika do cienkiego kanału) ζ 1 = 1,1 ) spowodowane zmianą kierunku o 90 o... ζ = 0,3, 3) wywołane gwałtownym rozszerzeniem przekroju - wg wzoru Borda, 4) spowodowane gwałtownym zwężeniem przekroju ζ 3 = 0,06, 5) wynikającymi z przepływu w zaworze ζ 4 = 5 Ponieważ proste odcinki przewodów są krótkie pominąć straty uwzględniające tarcie (współczynnik λ = 0). Poniżej przedstawiono schemat układu ( rys. )

30 Strona 30 z 65 Ogólny zapis straty lokalnej w punkcie i - przy prędkości bazowej w 1 - ma postać: w1 H = ζ g (30) si i Wzór Borda (gwałtowne rozszerzenie przekroju, d > d 1 ) ma postać: ( w - w ) w d H s = = 1- (31), czyli ζ B = g g d 1 d 1- = ( 1-0,5 d ) = 0,565 ( tu d 1 = 50 mm ) Układamy równanie Bernoulliego dla przekrojów 0-0 i 1-1 ( w - w ) a a w w w w w w H + p = p + ζ ζ ζ ζ ζ ρ g ρ g g g g g g g g Z równania ciągłości przepływu ( niezmienna gęstość płynu) mamy: V* = ¼ π d 1 w 1 = ¼ π d w, skąd w = w 1 (d 1 / d ) (patrz wzór Borda 31 ) Z równania Bernoulliego wyznaczamy prędkość w 1 : W 1 = gh 9,81 1,5 ζ + ζ + ζ + ζ + ζ 1 = 1+ 0,5 + 0,56 + 0, B 3 4

31 Strona 31 z 65 W 1 = ( 9,43/ 7,1 ) 0,5 =,03 m/ s. F 1 = ¼ π d 1 = 0,00196 m Objętościowe natężenie przepływu wynosi: V* = F 1. w 1 = 0,00398 m 3 / s. 14. Przepływ laminarny płynu lepkiego w przewodzie o przekroju kołowym (ćwicz. lab..nr 3)

32 Strona 3 z 65 Typowym procesem przepływu w przewodzie o przekroju kołowym jest model (przepływ) Hagena- Poiseuille a. Jest to ustalony, laminarny przepływ płynu lepkiego i nieściśliwego w prostym przewodzie poziomym o niezmiennym przekroju kołowym. Z objętości płynu wyodrębniamy myślowo obszar o kształcie współosiowego walca o promieniu r i długości L. Wielkość obu powierzchni czołowych elementarnego walca da = π r. r.p 1 da.p da.w max R w.da = π r L w śr Elementarna objętość płynu porusza się ruchem jednostajnym, więc warunek równowagi sił działających na elementarny walec (1 zasada dynamiki Newtona) wymaga, aby suma sił zgodnych z osią przewodu była równa zeru. Na cylindrycznej powierzchni walca występują siły tarcia (siły styczne) wywołane oddziaływaniem pozostałej masy płynu i mają one zwrot przeciwny do prędkości przepływu. Zgodnie z hipotezą tarcia Newtona naprężenia styczne wewnątrz płynu opisuje wzór:. = - μ [Pa] (E1).gdzie: μ lepkość dynamiczna (μ = ρ ), [Pa s],. dw/ dr gradient prędkości (ujemny więc we wzorze znak minus ). Siła tarcia wynosi: T = π r L. Warunek równowagi sił ma postać: (p 1 p ). da - T = 0, p 1 π r p π r - π r L = 0 (E) Dwa pierwsze człony bilansu to różnica sił ciśnieniowych w wyniku straty ciśnienia a trzeci to siła tarcia. Z powyższych zależności otrzymuje się gradient prędkości : dw = - dr p r str μ L Po scałkowaniu i wyznaczeniu stałej całkowania mamy : p r p R w = - str + C oraz: C = str 4 μ L 4 μ L Równanie rozkładu prędkości w przekroju kołowym (E3) : p. w = str 4 μ L (R r ) (E3) Prędkość średnia : w śr = p str d p d str 3 μ L 3 ρν L objętościowe natężenie przepływu: V* = w śr π R =, co pozwala wyznaczyć prosto π p str R 4 8 μ L = π p str D 4 18 μ L (E4) Koniec.

33 Strona 33 z Przepływ płynu przez przewody połączone równolegle ( ) 1. Warunki geometryczno-fizyczne układu Badany układ złożony jest z przewodu dopływowego A, trzech przewodów połączonych równolegle oraz z przewodu zbiorczego B. Do opisu procesu konieczne jest wykorzystanie następujących parametrów: a) długości L 1, L, L 3, b) średnice przewodów D 1, D, D 3, c) prędkości liniowe w 1, w, w 3, d) współczynniki strat tarcia (liniowych) λ 1, λ, λ 3. Założymy brak oporów miejscowych w węzłach A, czyli ζ A = ζ B = 0. A Ponieważ warunki na obu węzłach tj. na wlocie (węzeł A) i wylocie przewodów (B) są takie same to opory tarcia i straty ciśnienia są również jednakowe:.h = h str = h str1 = h str = h str3 lub L w L w Lw str 1 3 h = h = λ = λ = λ ( a1) D g D g D g 1 3 Objętościowe natężenie przepływu musi spełniać warunek : V* 0 = V* A = V* B = V* 1 + V* + V* 3 (a) Jeżeli zechcemy wyznaczyć parametry przewodu zastępczego o średnicy D 0 i prędkości w 0 to równanie (a) przyjmie postać: 1 3 B.w 0 D 0 = w 1 D 1 + w D + w 3 D 3 (a3) Dla przewodu zastępczego musi obowiązywać zależność : h = λ 0 Lw 0 0 D g Ponieważ z (a1) wynika 0 D g i w = h. otrzymamy z (a3) równanie i λl i i

34 Strona 34 z 65 D D D D D = D D D λ L λ L λ L λ L Jeżeli współczynniki strat liniowych dla poszczególnych przewodów są równe, czyli λ = λ 1 = λ =. = λ i to wzór wyrażający średnicę i długość przewodu zastępczego (równoważnego natężeniowo) przyjmie postać: D L D L 5 5 n 0 i = i=1 0 i Średnica D 0 to średnica przewodu zastępczego D z = D 0 o długości L 0, którym popłynie ta sama ilość płynu co w przewodach rozgałęzionych przy tym samym spadku ciśnienia wynikającym z wartości h str. 01/ Przykład określenia oporów przepływu w płynie rzeczywistym (zadanie 13) Przykład jest oparty o ideę ćwiczenia laboratoryjnego nr. Do bocznej ścianki zbiornika z wodą (rys.1) przyłączona jest gładka (pomijalnie mała chropowatość) rurka miedziana o średnicy wewnętrznej d w = 13 mm, przez którą przepływa

35 Strona 35 z 65 woda o znanej temperaturze t = 15 o C. Układ nr 1 złożony jest z 5. rurek prostych i 4..kolanek, co zilustrowano na rys. 1. Układ nr jest krótszy, ponieważ składa się z 3. rurek prostych i kolanek. Całkowite długości kanałów wynoszą: e) dla układu 1 : L 1 = 1650 mm, f) dla układu : L = 990 mm. Górny poziom wody w zbiorniku jest niezmienny (podczas pomiaru górny poziom wody w zbiorniku jest regulowany ). Wysokość użyteczna zbiornika H jest stała i równa H = 10 mm, z czego wynika, że prędkość w 0 dla swobodnej i nieruchomej powierzchni cieczy w zbiorniku wynosi w 0 = 0. W wyniku pomiaru czasu przepływu założonej objętości płynu uzyskano wartości liniowych prędkości przepływu : a) dla układu 1 : w X1 = 0,78 m/ s, b) dla układu : w X = 0,96 m/ s. Wartość lepkości kinematycznej wody (t = 15 o C) wynosi = 1, m / s. Wyznaczyć: a) współczynnik oporów lokalnych w strefie wypływu wody ze zbiornika do kanału ζ 1, b) współczynnik oporów miejscowych w strefie kolanek ζ. c) liczbę Reynoldsa Re (charakter przepływu), d) wysokość lokalnych strat energetycznych h s dla płynu rzeczywistego, Rys. 1. Szkic układu w 0 p ot poziom 0-0

36 Strona 36 z 65 H y poziom 1-1 p ot A ( x, y) x.w 1r,F 1 Rys.. Schemat układu. Układamy równanie Bernoulliego dla układu 1 ( rys. 1) dla przekrojów 0-0 i 1-1 p w p w w w ρ g g ρ g g g g ot 0 ot x1 x1 x1 H + + = + ζ 4 ζ + H ( 1 ) 1 s.lin1 Układamy równanie Bernoulliego dla układu ( 3 elementy proste i kolanka) dla przekrojów 0-0 i 1-1 p w p w w w ρ g g ρ g g g g ot 0 ot x x x H + + = + ζ ζ + H ( ) 1 s.lin W obu równaniach ciśnienie otoczenia upraszcza się i znika składnik zawierający w 0 = 0 Współczynnik strat λ zależy od liczby Reynoldsa. Dla układu 1 i mamy: Re 1 = w x1 d w / = 0,777. 0,013 / 1, , Re 1 = 8864 Re = w x d w / = 0,951. 0,013 / 1, , Re = 9691 Dla Re > 300 można przy pewnym uproszczeniu przyjąć do obliczeń zależności λ 1 = 0,316 /Re 0,5 1 = 0,316 /8864 0,5 = 0,036 λ = 0,316 /Re 0,5 = 0,316 /9691 0,5 = 0,0318 Straty liniowe dla obu przypadków wynoszą : H s.lin1 = w x1 /(g). λ 1. L 1 / d w = 4,13 m H s.lin = w x /(g). λ. L / d w =,4 m λ 1 Możemy zapisać dwa równania w x1 = gh 1+ ζ + 4 ζ + 0,036* L / d 1 1 w = 0,78 m/ s (a)

37 Strona 37 z 65 oraz w x = gh 1+ ζ + ζ + 0,0318* L / d 1 w = 0,96 m/ s (b) Rozwiązanie układu równań (a, b) pozwala na uzyskanie ζ 1 = 0,55 ; ζ = 0, Praca kontrolna Należy rozwiązać powyższe zadanie dla danych z poniższej tabeli ( wrzesień 01) H, mm. W x1. W x1 30 0,8 1, ,84 1, Właściwości fizyczne wody Uwaga dla odlewników [C. Podrzucki poz. 11]: Lepkość kinematyczna dla żeliwa przy temperaturze 1360 o C wynosi = 9, m / s. 17. Przykład analizy straty ciśnienia w układzie wlewowym (Zadanie 14 - OPORY LINIOWE)

38 Strona 38 z 65 Poziomy wlew rozprowadzający układu wlewowego (forma piaskowa) posiada przekrój kwadratowy o boku d = 1 mm i długości L = 0,9 m. Płynie w nim ciekłe żeliwo o temperaturze 1360 o C przy liniowej prędkości strumienia równej w = 1,3 m/ s. Obliczyć natężenie przepływu. Zakładając chropowatość ścian kanału k = 0,3 mm, obliczyć spadek ciśnienia odpowiadający długości wlewu L. Założyć gęstość i lepkość kinematyczną żeliwa dla 1360 o C: Obliczamy: a) powierzchnia przekroju kanału: A = ( ) = 1, m b) masowe natężenie przepływu Q = w. A. ρ = 1,3. 1, = 1,31 kg /s c) liczba Reynoldsa Re = w d/ = 1,3. 0,01 / (9, ) = , z czego wynika turbulentny charakter przepływu. d) chropowatość względna : s = d/ k = 1/ 0,3 = 40 e) współczynnik strat liniowych z wykresu Nikuradsego, wg wartości s = 40 i Re = , wyznaczamy λ = 0,056 f) wysokość strat liniowych h s : h s = w λ L g d = 1,3. 0,056. 0,9 9,81 0,01 = 0,114 m g) strata (spadek) ciśnienia: Δp = ρ g h s = ,81. 0,114 = 7856 Pa = 7,86 kpa Poniżej przedstawiono wykres Nikuradsego przedstawiający wartości współczynnika strat liniowych w oparciu o wartość liczby Reynoldsa ( harfa Nikuradsego ).

39 Strona 39 z 65 Definicja oporów liniowych : H str. λ = w 1 g λ L d Opory liniowe dla rur gładkich : a) dla ruchu laminarnego, Re < 340 λ = 64 / Re b) dla burzliwego przepływu, Re > λ = 0,316 Re -0,5 (wzór Blasiusa ) lub : λ = 0,1 Re -0,1 ( wzór Burki ) ---

40 Strona 40 z Wymiana ciepła w warunkach konwekcji naturalnej Podstawowym parametrem opisującym przebieg procesu konwekcji jest współczynnik wymiany ciepła (α). Liczne badania konwekcji swobodnej, dla ciał o różnych kształtach, przeprowadził Michiejew. Ich wyniki przedstawione w postaci kryterialnej (liczby: Nusselta, Grashofa i Prandtla) pozwoliły na uzyskanie zależności liczby Nusselta od iloczynu Gr Pr. Ogólne równanie kryterialne ma postać: Nu = C. (Gr. Pr) n.gdzie: Nu = α d λ e m Gr = β m m - g (a1) - kryterium Nusselta, 3 d e ΔT - kryterium Grashofa, Pr = m - kryterium Prandtla, a m α - współczynnik wymiany (przejmowania) ciepła, β współczynnik rozszerzalności objętościowej płynu, d e charakterystyczny (ekwiwalentny) wymiar liniowy ciała, ν m - lepkość kinematyczna medium, C, n stałe (współczynniki) uwzględniające zróżnicowane rodzaje ruchu ciepła na drodze konwekcji, podane w tabeli 1. Tabela 1. Wartości stałych wg badań Michiejewa [ 5 ] Gr. Pr 10-3 do do do C 1,18 0,54 0,135.n 1/ 8 1/ 4 1/ 3 Przypadek A B C Przy pewnym stopniu uproszczenia, wyróżnić można trzy następujące przypadki konwekcyjnej wymiany ciepła [B. Staniszewski s. 304] : A. pionowe druty i rury, poziome druty, B. pionowe i poziome druty, kule, C. pionowe druty i rury, pionowe ścianki, kule. ( poprawiono ) W przypadku ścian pionowych wymiarem charakterystycznym jest wymiar wysokości.

41 Strona 41 z 65 Wyniki badań Michiejewa przedstawiono na rys Rys Zależność liczby Nu od iloczynu Gr Pr wg Michiejewa.

42 Strona 4 z Przykłady zadań (zadanie 15, konwekcja naturalna, M) Określić współczynnik przejmowania ciepła w warunkach konwekcji swobodnej na powierzchni zewnętrznej tradycyjnego żeliwiaka o średnicy zewnętrznej równej 100 mm i wysokości strefy chłodzenia równej 000 mm. Założyć średnią temperaturę zewnętrznej powierzchni płaszcza żeliwiaka równą T z = 60 o C oraz temperaturę otoczenia Tot = 0 o C. Potrzebne dane przyjąć z tablic dla średniej temperatury warstwy przyściennej T sr. Wymiar charakterystyczny d e = m, ΔT = 60 0 = 40 K. Średnia temperatura T sr = 0,5 ( ) = 40 o C. Dla tej temperatury mamy: a) lepkość ν m = m /s, b) współczynnik przewodzenia λ m = 0,08 W/ (m K), c) liczba Prandtla Pr = 0,7 d) współczynnik rozszerzalności 1 ( ) = 1/ 313 = 0,003 K -1 Liczba Grashofa Gr = 0,003/ ( ). 9, Gr = 3, , Gr. Pr = 3,55. 0, =, Nu = 0,135 (, ) 0,333 = 398 Szukany współczynnik wymiany (przejmowania) ciepła : α = 398 /. 0,08 = 5,57 W/ (m K)

43 Strona 43 z Wybrane zagadnienia z teorii podobieństwa (liczby podobieństwa) Jako kryterium podobieństwa przyjmuje się równość odpowiednich parametrów oraz równań opisujących porównywalne zjawiska fizyczne. Warunki podobieństwa hydrodynamicznego (dynamicznego) wymagają sformułowania i wybrania liczb podobieństwa, opisujących relacje sił bezwładności, sił masowych (wywołanych polem grawitacyjnym), sił lepkości, sił wyporu oraz energii kinetycznej przepływu. W zagadnieniach wymiany masy (ciepła) istotne znaczenia mają następujące liczby podobieństwa: a) liczba Reynoldsa : Re = w L/, w b) liczba Froude a : Fr = L g Δp c) liczba Eulera : Eu = ρ w, d) liczba Strouhala : Sr = w /L gdzie : L charakterystyczny wymiar ciała (średnica, wysokość, długość), w średnia prędkość liniowa [m/ s]. g - przyspieszenie ziemskie [ m/ s ], - czas, Δp - różnica ciśnień [Pa]. Podstawową liczbą podobieństwa jest liczba Reynoldsa, opisująca iloraz sił bezwładności do sił tarcia wewnętrznego (wywołane siłami lepkości). Liczba Froude a wyraża stosunek sił bezwładności do siły grawitacji (sił masowych). Według konstruktorów statków liczba Froude a wyraża opory falowe na powierzchni płynu. Liczba Eulera jest miarą stosunku spadku ciśnienia statycznego w strumieniu do ciśnienia dynamicznego (wyrażającego energie kinetyczną).natomiast liczba Strouhala [6] charakteryzuje nieustalony charakter przepływu. Poznana wcześniej liczba Grashofa stanowi miarę stosunku sił wyporu do sił tarcia wewnętrznego (lepkości), czyli opisuje zjawisko wywołane różnicą gęstości płynu podczas konwekcji swobodnej (zgodnie z prawem Archimedesa)

44 Strona 44 z Przykłady zadań z przepływu ciepła i masy (gaz) (Zadanie 16, plik 34R-Ruch Ciepła i Masy-W4) W kotłowym podgrzewaczu powietrza zachodzi przemiana izobaryczna podczas której powietrze o temperaturze początkowej T 1 = 100 o C podgrzewane jest do temperatury końcowej równej T = 50 o C, przy ciśnieniu powietrza równym p ot = 1 bar. Obliczyć ilość ciepła Q* pobieraną przez powietrze jeżeli jego masowe natężenie m = 30 kg/ s. Obliczyć średnią, liniową prędkość przepływu w przepływu wynosi przewodzie (kanale) wylotowym podgrzewacza, jeżeli sumaryczny przekrój kanałów przepływowych wynosi F = 3 m. Potrzebne dane przyjąć z tablic dla temperatury średniej powietrza. Wszystkie poniższe obliczenia wygodnie jest wykonać w odniesieniu do przedziału czasowego równego 1 s. Dane: a) średnie ciepło właściwe dla powietrza w zakresie temperatury 0 do 50 o C wynosi c p = 1016 J/ (kg K), b) indywidualna stała gazowa R = 87 J/(kg K). W procesie izobarycznym przyrost ciepła jest równy przyrostowi entalpii (co wynika z. postaci 1. zasady termodynamiki). Obliczamy kolejno: 1. Przyrost entalpii Δi = c p ( T T 1 ) = ( 50 0) = J/ kg. Strumień ciepła (ΔQ/ Δ ) : m Δi = = kj/ s. Q* = 3. Gęstość powietrza ( z równania stanu gazu): T = = 53 K ρ = p/ (R T ) = /( ) = 0,666 kg/ m Prędkość przepływu powietrza wynika z natężenia przepływu: m w F ρ, czyli : w = m/ s. w = m/s. ( )