PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

2 Zadanie 1. (0 1) 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek [ ]. C Zadanie 2. (0 1) 2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń: 1) interpretuje liczby wymierne na osi liczbowej. Oblicza odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej. A Zadanie 3. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 5. Procenty. Uczeń: 1) przedstawia część pewnej wielkości jako procent lub promil tej wielkości i odwrotnie. B Zadanie 4. (0 1) III. Modelowanie matematyczne. 7. Równania. Uczeń: 4) zapisuje związki między nieznanymi wielkościami za pomocą układu dwóch rów nań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. C 2 z 12

3 Zadanie 5. (0 1) Wymagania szczegółowe 8) korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rom bach i w trapezach. SZKOŁA PODSTAWOWA 9. Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń: 3) stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta. PP Zadanie 6. (0 1) 8. Wykresy funkcji. Uczeń: 5) oblicza wartości funkcji podanych nieskomplikowanym wzorem i zaznacza punkty należące do jej wykresu. D Zadanie 7. (0 1) III. Modelowanie matematyczne. Wymagania szczegółowe 6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń: 5) mnoży jednomiany, mnoży sumę algebraiczną przez jednomian oraz, w nietrud nych przykładach, mnoży sumy algebraiczne. 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. A 3 z 12

4 Zadanie 8. (0 1) V. Rozumowanie i argumentacja. 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 4) wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych. PP Zadanie 9. (0 1) V. Rozumowanie i argumentacja. 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. B Zadanie 10. (0 1) 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 4) zaokrągla rozwinięcia dziesiętne liczb. D 4 z 12

5 Zadanie 11. (0 1) Wymagania szczegółowe 1) korzysta ze związków między kątami utworzonymi przez prostą przecinającą dwie proste równoległe. SZKOŁA PODSTAWOWA 9. Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń: 3) stosuje twierdzenie o sumie kątów trójkąta. FF Zadanie 12. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Wymagania szczegółowe SZKOŁA PODSTAWOWA 4. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń: 1) opisuje część danej całości za pomocą ułamka; 12) porównuje ułamki (zwykłe i dziesiętne). C Zadanie 13. (0 1) III. Modelowanie matematyczne. Wymagania szczegółowe 3. Potęgi. Uczeń: 2) zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy potęg o takich samych podstawach, iloczyny i ilorazy potęg o takich samych wykładnikach oraz potęgę potęgi (przy wy kładnikach naturalnych). 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. D 5 z 12

6 Zadanie 14. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 8. Wykresy funkcji. Uczeń: 4) odczytuje i interpretuje informacje przedstawione za pomocą wykresów funkcji (w tym wykresów opisujących zjawiska występujące w przyrodzie, gospodarce, życiu codziennym). PP Zadanie 15. (0 1) III. Modelowanie matematyczne. 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. D 0 p. odpowiedź niepoprawna lub brak odpowiedzi. Zadanie 16. (0 1) V. Rozumowanie i argumentacja. 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 5) analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut kostką, rzut monetą, wyciąganie losu) i określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadcze niach (prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w rzucie monetą, dwójki lub szóstki w rzucie kostką, itp.). FP 6 z 12

7 Zadanie 17. (0 1) V. Rozumowanie i argumentacja. 15) korzysta z własności trójkątów prostokątnych podobnych. T3 Zadanie 18. (0 1) IV. Użycie i tworzenie strategii. 6) oblicza pole koła, pierścienia kołowego, wycinka kołowego. B Zadanie 19. (0 1) 11) oblicza wymiary wielokąta powiększonego lub pomniejszonego w danej skali. B Zadanie 20. (0 1) IV. Użycie i tworzenie strategii. Wymagania szczegółowe 2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń: 2) wskazuje na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek typu: x 3, x < 5, 3) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne. C 7 z 12

8 ZADANIA OTWARTE Uwagi: Za każde inne niż przedstawione poprawne rozwiązanie przyznaje się maksymalną liczbę punktów. Jeśli na jakimkolwiek etapie rozwiązania zadania uczeń popełnił jeden lub więcej błędów rachunkowych, ale zastosował poprawne metody obliczania, to ocenę rozwiązania obniża się o 1 punkt. W pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych kryteriów oceniania dopuszcza się: 1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6 9,...) 2. gubienie liter, cyfr, nawiasów 3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych 4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe) 5. luki w zapisie obliczeń obliczenia pamięciowe 6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu niewiadomych 7. niekończenie wyrazów 8. problemy z zapisywaniem jednostek (np. C OC,...) 9. błędy w przepisywaniu 10. chaotyczny zapis operacji matematycznych 11. niepoprawny zapis indeksów dolnych i górnych (np. x 2 x2, m 2 m2,...). Zadanie 21. (0 3) V. Rozumowanie i argumentacja. 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kon tek ście praktycznym, w tym do zamiany jednostek (jednostek pręd kości, gęstości itp.). Przykładowe rozwiązania I sposób Jeśli przez x oznaczymy liczbę stołów czteroosobowych, a przez y liczbę stołów sześcioosobowych, to sytuację z zadania przedstawia równanie 4x + 6y = 40. Jeśli obie strony równania podzielimy przez 2, otrzymamy 2x + 3y = 20. Zauważamy w tym momencie, że liczba stołów sześcioosobowych musi być parzysta (2x jest parzyste, więc 3y też musi być liczbą parzystą, a co za tym idzie y też). Jeśli są 2 stoły sześcioosobowe (12 miejsc), to musi być 7 stołów czteroosobowych (28 miejsc). Jeśli są 4 stoły sześcioosobowe (24 miejsca), to muszą być 4 stoły czteroosobowe (16 miejsc). Jeśli jest 6 stołów sześcioosobowych (36 miejsc), to musi być 1 stół czteroosobowy (4 miejsca). Osiem stołów sześcioosobowych to 48 miejsc za dużo. 8 z 12

9 II sposób Metoda prób i błędów: kupujemy 1 stół sześcioosobowy (6 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 6) : 4 odpada kupujemy 2 stoły sześcioosobowe (12 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 12) : 4 = 7 kupujemy 3 stoły sześcioosobowe (18 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 18) : 4 odpada kupujemy 4 stoły sześcioosobowe (24 miejsca), liczba stołów czteroosobowych: (40 24) : 4 = 4 kupujemy 5 stołów sześcioosobowych (30 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 30) : 4 odpada kupujemy 6 stołów sześcioosobowych (36 miejsc), liczba stołów czteroosobowych: (40 36) : 4 = 1 kupujemy 7 stołów sześcioosobowych 42 miejsca za dużo. III sposób Oczywiście można by kupić 10 stołów 4-osobowych, bo 4 10 = 40. Ale chcemy mieć również stoły 6-osobowe. Ile stołów 4-osobowych można wymienić na stoły 6-osobowe? 1 stół nie, 2 nie, 3 stoły tak, bo 3 4 = 12 i 12 : 6 = 2. Po wymianie jest 7 stołów 4-osobowych i 2 stoły 6-osobowe ( = = 40). Znów wymieniamy 3 stoły 4-osobowe na 2 stoły 6-osobowe i mamy 4 stoły 4-osobowe i 4 stoły 6-osobowe ( = = 40). Po kolejnej wymianie będzie 1 stół 4-osobowy i 6 stołów 6-osobowych ( = = 40). Oczywiście więcej wymian nie można już zrobić, czyli nie ma więcej możliwości. Odpowiedź: Można kupić 2 stoły sześcioosobowe i 7 stołów czteroosobowych albo 4 stoły sześcioosobowe i 4 stoły czteroosobowe albo 6 stołów sześcioosobowych i 1 stół czteroosobowy. P 6 3 punkty pełne rozwiązanie podanie wszystkich możliwych rozwiązań P 4 2 punkty zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne znalezienie dwóch rozwiązań P 2 1 punkt dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane znalezienie jednego rozwiązania LUB zapisanie poprawnego równania P 0 0 punktów rozwiązanie niestanowiące postępu brak rozwiązania lub rozwiązanie błędne 9 z 12

10 Zadanie 22. (0 2) IV. Użycie i tworzenie strategii. 11. Bryły. Uczeń: 2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Przykładowe rozwiązania bryła I bryła II I sposób Zauważamy, że pole powierzchni każdej z brył jest równe sumie pól powierzchni dwóch wyjściowych graniastosłupów pomniejszonej o pola tych ścian lub fragmentów ścian, które zostały ze sobą sklejone. A zatem pole powierzchni pierwszej bryły to dwa pola powierzchni graniastosłupa pomniejszone o dwa pola podstawy, a pole powierzchni drugiej bryły to dwa pola powierzchni graniastosłupa pomniejszone o dwa pola ściany bocznej. Ponieważ dwa pola podstawy są równe polu jednej ściany bocznej, stąd różnica pól powierzchni otrzymanych brył to pole jednej ściany bocznej graniastosłupa. II sposób Oznaczamy krawędź podstawy graniastosłupa przez x, a krawędź boczną przez 2x. Zapisujemy pole powierzchni graniastosłupa 2x x 2 = 10x 2. Zapisujemy pole powierzchni pierwszej bryły 20x 2 2x 2 = 18x 2. Zapisujemy pole powierzchni drugiej bryły 20x 2 4x 2 = 16x 2. Zapisujemy różnicę pól tych brył 18x 2 16x 2 = 2x 2. Zauważamy, że pole jednej ściany bocznej graniastosłupa jest równe 2x 2. III sposób Oznaczmy pole podstawy graniastosłupa przez P, a pole ściany bocznej przez 2P. Wtedy pole powierzchni graniastosłupa to: 2 P + 4 2P = 10P. Pole powierzchni pierwszej bryły to: 2 10P 2 P = 18P. Pole powierzchni drugiej bryły to: 2 10P 2 2P = 16P. Różnica pól tych brył to 2P, czyli tyle, ile jest równe pole ściany bocznej. P 6 2 punkty pełne rozwiązanie poprawne wykazanie, że różnica pól powierzchni brył jest równa polu jednej ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego P 2 1 punkt dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane zauważenie, że pole powierzchni każdej z brył jest równe sumie pól powierzchni dwóch graniastosłupów pomniejszonej o pola tych ścian lub fragmentów ścian, które zostały ze sobą sklejone P 0 0 punktów rozwiązanie niestanowiące postępu rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania 10 z 12

11 Zadanie 23. (0 3) IV. Użycie i tworzenie strategii. 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. Przykładowe rozwiązania I sposób D C A B Zauważamy, że liczba wyrażająca długość boku kwadratu jest dzielnikiem liczb 12 i 21. Ponieważ musi być ona większa niż 1, więc jest równa 3. Zatem drugi bok szarego prostokąta jest równy 4, a drugi bok czarnego prostokąta jest równy 7. Stąd długość odcinka AB jest równa 13, a odcinka BC wynosi 7. Obliczamy obwód prostokąta ABCD: = 40. II sposób Boki wszystkich czworokątów, które powstały po podziale prostokąta ABCD są liczbami naturalnymi większymi od 1. Zatem boki prostokąta o polu 21 muszą być równe 3 i 7. Stąd wynika, że kwadraty mają boki równe 3, a prostokąt o polu 12 ma boki 3 i 4. Stąd wynika, że długość krótszego boku prostokąta ABCD jest równa = 7, a dłuższego boku: = 13. Zatem obwód prostokąta ABCD jest równy 40. III sposób Oznaczmy długości boków kwadratów przez a, a długości dłuższych boków prostokątów przez b i c, tak, jak na rysunku. D a a c a 21 C b 12 A Wiadomo, że a, b i c są liczbami naturalnymi większymi od 1. Pole jednego z prostokątów jest równe 12, więc a b = 12. Zatem a może być równe 2, 3, 4 lub 6. Drugi prostokąt ma pole 21, więc a c = 21. Stąd wynika, że a może być równe 3 lub 7. Jedyną liczbą spełniającą oba warunki jest 3, zatem a = 3. Stąd wynika, że b = 4 oraz c = 7. Obwód prostokąta ABCD jest równy 6a + 2b + 2c = = 40. Odpowiedź: Obwód prostokąta ABCD jest równy 40. B 11 z 12

12 P 6 3 punkty pełne rozwiązanie obliczenie obwodu prostokąta ABCD (40) P 4 2 punkty zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera błędy merytoryczne obliczenie długości wszystkich boków czworokątów składowych prostokąta ABCD (3 i 4 i 7) P 2 1 punkt dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane ustalenie długości boku kwadratu (3) LUB ustalenie długości boków prostokąta o polu 21: 3 i 7 P 0 0 punktów rozwiązanie niestanowiące postępu brak rozwiązania lub rozwiązanie błędne 12 z 12