ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR

Transkrypt

1 ZSZYTY AUKOW UIWRSYTTU SZCZCIŃSKIGO R 768 FIAS, RYKI FIASOW, UBZPICZIA R JA PURCZYŃSKI Uniwerytet Szczecińki OCA JAKOŚCI STYMATORÓW PARAMTRÓW ROZKŁADU GD DLA WYBRAYCH MTOD STYMACJI Strezczenie W pracy dokonano oceny jakości etyatora paraetru kztałtu rozkładu GD. Rozpatrzono natępujące etyatory: uzykany etodą najwiękzej wiarygodności (MW), etodą oentów (MM) oraz etodai uprozczonyi. Jakość etyatora określano na podtawie wartości obciążenia oraz względnego błędu średniokwadratowego. Wykonano yulacje koputerowe z wykorzytanie generatorów liczb loowych o rozkładzie Gaua oraz Laplace a. Słowa kluczowe: etyacja paraetrów rozkładu GD, ocena jakości etyatorów Wprowadzenie Przy wyznaczaniu ryzyka z akcji dokonuje ię analizy ziennej loowej, jaką jet topa zwrotu z akcji. Wyznaczając zereg paraetrów opiujących tę zienną, dokonuje ię poiaru ryzyka inwetycji w akcję, zczegółowo opianego w pracy Tarczyńkiego i Mojiewicza [00: 6 84]. ajczęściej zakłada ię, że rozkład tóp zwrotu a rozkład noralny. Założenie to nie zawze jet łuzne. W cytowanej pracy analizowano tygodniowe topy zwrotu indeku WIG za okre kwiecień 99 grudzień 000, uzykując negatywny wynik odnośnie do rozkładu Gaua. Wynika tąd potrzeba odelowania epirycznych tóp zwrotu za poocą innych rozkładów, np. rozkładów o tzw. grubych ogonach, do których zalicza ię rozkład GD.

2 450 Jan Purczyńki W niniejzej pracy porównano wybrane etody etyacji paraetrów rozkładu GD (Generalized rror Ditribution) ze względu na jakość uzykanych etyatorów. Przyjęto natępujące oznaczenia dla gętości rozkładu GD: gdzie G (z) funkcja gaa ulera. l f( x) = exp( -l x- ) () æö G ç çè ø Dla =, rozkład GD przechodzi w rozkład Laplace a (dwuwykładniczy): f ( x) exp( x ) () W przypadku =, otrzyuje ię rozkład noralny: f ( x) exp( ( x ) ) (3) W celu uprozczenia rozważań przyjuje ię, że na podtawie próby zotało wyznaczone ozacowanie paraetru (4) x k k a natępnie, ciąg wartości x k zotał centrowany poprzez odjęcie. W związku z ty, rozważa ię gętość o potaci: f ( x) exp( x ) (5)

3 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych Wybrane etody etyacji rozkładu GD.. Metoda najwiękzej wiarygodności (MW) Stoując MW, wyznacza ię logaryt funkcji wiarygodności: Z warunków æ ö ln( L( l, )) = ln( l) + ln - lxk æ å k= ö G çè èç ø ø otrzyuje ię ln( L( l, )) = 0 l ; ln( L( l, )) = 0 (6) oraz (7) x k k å xk k= ln x k æö æ ö gw () = +Y ln x + k - = 0 èç ø ç å çè k= ø x å k= k (8) d dz é ë û. gdzie: Y ( z) = lng( z) ù Z równania (8) wyznacza ię paraetr kztałtu, a natępnie ze wzoru (7) paraetr... Metoda oentów W pracy [Purczyńki 00: 7 7] zaproponowano etodę etyacji paraetrów rozkładu GD bazującą na oentach abolutnych.

4 45 Jan Purczyńki Moent abolutny rzędu wyraża ię wzore: ( ) x f x dx - = ò (9) Ze wzorów (5) i (9), otrzyuje ię: (0) tyator oentu a potać: k x k () Przyjując dwie różne wartości i we wzorze (0) i rozwiązując powtały układ równań, uzykuje ię [Purczyńki 00: 7]: ) ( ) ( () (3) gdzie lub Rozwiązując równanie (), wyznacza ię paraetr kztałtu, a kolejno ze wzoru (3), paraetr.

5 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych W cytowanej pracy zwraca ię uwagę, że przyjując we wzorach (9 3) wartość rzędu oentu równą paraetrowi kztałtu, uzykuje ię wyniki identyczne jak dla MW..3. Metoda uprozczona etyacji paraetrów rozkładu GD Metoda bazuje na zależnościach zaiezczonych w pracy Krupińkiego i Purczyńkiego [006] i zotała zczegółowo oówiona w pracy [Purczyńki 0], w której dokonano weryfikacji przydatności tej etody na przykładzie odelowania tóp zwrotu indeku giełdowego WIG0 oraz SP500. W pracy [Purczyńki 0] zaproponowano poniżze wzory łużące do etyacji wartości paraetru : é ù 0, 7 ˆ = æ ˆ ö ln -0,5 ˆ ç ê è ø ú ë û 0,879 gdzie x k k ; x k k é ù 0, 0747 ˆ = æ ˆ ö ln -0, 046 ˆ ê ç è 0,5 ë ø úû 0,935 gdzie 0,5 0,5 x k k (4) atoiat ozacowanie paraetru wyznacza ię z zależności, która powtaje ze wzoru (3) dla =: ˆ ˆ (5) ˆ ˆ a podtawie wzoru (4) uzykuje ię dwie wartości ozacowania paraetru : ŝ oraz ŝ.

6 454 Jan Purczyńki. Wyniki yulacji koputerowych.. Opi ekperyentu nuerycznego W celu oceny jakości pozczególnych etyatorów wykonano ekperyent nueryczny z wykorzytanie generatorów liczb loowych o rozkładzie Gaua oraz Laplace a. Syulacje koputerowe polegały na wykonaniu K=000 powtórzeń i wyznaczeniu na tej podtawie błędu etyacji. Jako pierwzy wyznaczany był błąd średniokwadratowy MS (Mean-Squared rror): MS K K ˆ k d k gdzie: ŝ k ozacowanie wartości paraetru w k-tej yulacji; wartość dokładna paraetru kztałtu. d (6) W przypadku rozkładu noralnego d, natoiat dla rozkładu Laplace a d. Błąd średniokwadratowy jet o tyle itotny, że ujuje łącznie błąd obciążenia etyatora, jak również jego wariancję [Krzyśko 997: 7]: gdzie: V ˆ wariancja etyatora B ˆ obciążenie etyatora. ˆ B ˆ MS V (7) Kolejno wyznaczano wartość błędu RMS (Root Mean-Squared rror): RMS MS (8) Jako otatni wyznaczano błąd RRMS (Relative Root Mean-Squared rror): RRMS K K k ˆ k d d (9) gdzie oznaczenia jak we wzorze (6).

7 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych Zaiezczając wyniki yulacji koputerowych, zatoowano oznaczenie re w iejce RRMS. Przy rozwiązaniu równań (8) i () toowano etodę biekcji (połowienia). Obliczenia wykonano dla zieniającej ię długości próbki (liczby oberwacji) =3,4, 5,...,... Wyniki yulacji koputerowych dla rozkładu noralnego a ryunku przedtawiono wartości obciążenia względnego b etyatora paraetru : b ˆ d d K ˆ k k ; gdzie: ˆ (0) K uzykane dla generatora liczb loowych o rozkładzie Gaua (=). Zatoowano natępujące oznaczenia dla obciążenia względnego (wzór (0)) pozczególnych etyatorów: b wzór (4) (etyator ŝ ); b wzór (4) (etyator ŝ ); bw wzór (8) (etyator MW); bm wzór () (etyator MM). 0.3 bw i b i b i bm i i Zatoowano natępujące oznaczenia: linia kropkowana z ikai bw obciążenie etyatora Wˆ linia przerywana z kółkai b obciążenie etyatora ŝ linia ciągła z protokątai b obciążenie etyatora ŝ linia kropkowano-przerywana bm obciążeni etyatora Mˆ Ryunek. Wartości obciążenia względnego b etyatora paraetru Źródło: opracowanie włane.

8 456 Jan Purczyńki Z ryunku wynika, że najniejzy obciążenie jet obarczony je etyator ŝ, nieco więkzy obciążenie charakteryzuje ię etyator ŝ. Kolejny etyatore ze względu na wielkość obciążenia jet etyator W ˆ (MW). ajwiękzą wartością obciążenia odznacza ię etyator etody oentów M ˆ. a ryunku zaiezczono wartości błędu średniokwadratowego re etyatora paraetru kztałtu uzykanego dla pozczególnych etod. Z ryunku wynika, że najniejzy błęde średniokwadratowy jet obarczony etyator ŝ. Począwzy od =6, nieco niejzy błęde charakteryzuje ię etyator ŝ. tyator uzykany MW (wzór (8)) a błąd rew zbliżony wartością do błędu rem etyatora M ˆ (etoda oentów ). rew i re i re i rem i i Zatoowano natępujące oznaczenia: linia kropkowana z ikai rew błąd etyatora ŝw linia przerywana z kółkai re błąd etyatora ŝ linia ciągła z protokątai re błąd etyatora ŝ linia kropkowano-przerywana rem błąd etyatora Mˆ Ryunek. Wartości względnego błędu średniokwadratowego re Źródło: opracowanie włane.

9 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych Wyniki yulacji koputerowych dla rozkładu Laplace a 0.5 bw i b i b i bm i i Zatoowano natępujące oznaczenia: linia kropkowana z ikai bw obciążenie etyatora ŝw linia przerywana z kółkai b obciążenie etyatora ŝ linia ciągła z protokątai b obciążenie etyatora ŝ linia kropkowano-przerywana bm obciążeni etyatora Mˆ Ryunek 3. Wartości obciążenia względnego b etyatora paraetru Źródło: opracowanie włane. a ryunku 3 zaiezczono wartość obciążenia pozczególnych etyatorów uzykanych dla generatora liczb loowych o rozkładzie Laplace a (=). Zdecydowanie najniejzy obciążenie odznacza ię etyator ŝ linia b ocyluje wokół zera. Kolejny etyatore ze względu na wartość obciążenia jet ŝ W (MW). Zbliżone wartości, nieco więkze niż obciążenie bw, wykazuje etyator ŝ oraz M ˆ.

10 458 Jan Purczyńki 0.83 rew i re i 0.66 re i 0.49 rem i Zatoowano natępujące oznaczenia: linia kropkowana z ikai rew obciążenie etyatora ŝw linia przerywana z kółkai re obciążenie etyatora ŝ linia ciągła z protokątai re obciążenie etyatora ŝ linia kropkowano-przerywana rem obciążeni etyatora Mˆ Ryunek 4. Wartości względnego błędu średniokwadratowego re Źródło: opracowanie włane. i a ryunku 4 przedtawiono wartości błędu re uzykane dla generatora o rozkładzie Laplace a. Z ryunku 4 wynika, że najniejzy błęde względny re jet obarczony etyator ŝ. ieco u utępuje etyator ŝ ajwiękzy błęde re charakteryzuje ię etyator M ˆ. Błąd rew etyatora MW przyjuje dla ałej liczebności próby (=3) duże wartości. Wraz ze wzrote liczby eleentów wartości tego błędu zdążają ayptotycznie do błędów etyatora ŝ i ŝ. Uwzględniając obciążenie etyatora oraz błąd re, w przypadku generatora liczb loowych o rozkładzie Laplace a należy polecić toowanie wzoru (4) w odnieieniu do etyatora ŝ. Wnioki końcowe W pracy rozpatrzono jakość etyatora paraetru kztałtu rozkładu GD uzykanego etodą najwiękzej wiarygodności (MW), etodą oentów (MM) oraz etodai uprozczonyi. Jakość etyatora określano na podtawie wartości obciążenia oraz względnego błędu średniokwadratowego wyznaczonego w wyniku zatoowania generatorów liczb loowych o rozkładzie Gaua oraz Laplace a.

11 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych Poduowując wyniki obliczeń zaiezczonych w podrozdziałach. i.3, należy twierdzić, że najgorzą jakość wykazuje etyator uzykany etodą oentów (MM). ajlepzą jakość uzykano dla etyatorów wywodzących ię z etod uprozczonych. Pośrednie wartości obciążenia i błędu średniokwadratowego wykazuje etyator uzykany etodą najwiękzej wiarygodności (MW). W trakcie ekperyentu nuerycznego wykonano obliczenia dla generatora liczb loowych o rozkładzie GD z paraetre kztałtu =0,5. Jednakże nie zaiezczono wyników, ze względu na bardzo duże wartości błędu średniokwadratowego uzykanego dla wzytkich rozpatrzonych etyatorów. Łącząc wyniki yulacji uzykane dla rozkładu Gaua (paraetr kztałtu =) oraz rozkładu Laplace a (paraetr kztałtu =), ożna twierdzić przydatność etyatora ŝ (wzór (4)) do etyacji wartości paraetru kztałtu dla rozkładu GD. Literatura Krupińki R., Purczyńki J. [006], Approxiated fat etiator for the hape paraeter of generalized Gauian ditribution, Signal Proceing, Vol. 86, o. 4, 05. Krzyśko M. [997], Statytyka ateatyczna, cz., Wydawnictwo UAM, Poznań. Purczyńki J. [00], tyacja paraetrów rozkładu GD, w: Rynek kapitałowy Skuteczne inwetowanie, cz., Wydawnictwo aukowe Uniwerytetu Szczecińkego, Szczecin. Purczyńki J. [0], Uprozczona etoda etyacji paraetrów rozkładu GD, konferencja Mikroekonoetria w teorii i praktyce, Międzyzdroje 4 6 września 0. Tarczyńki W., Mojiewicz M. [00], Zarządzanie ryzykie, PW, Warzawa.

12 460 Jan Purczyńki QUALITATIV VALUATIO OF GD DISTRIBUTIO PARAMTR STIMATORS FOR SLCTD MTHODS OF STIMATIO Suary In thi paper the quality of an etiator of GD ditriution hape paraeter ha been evaluated. The following etiator were conidered: the one obtained through the axiu likelihood ethod, the ethod of oent, and iplified ethod. The quality of etiator wa evaluated on the bai of the value of the bia and ean quared error. Coputer iulation were conducted uing rando nuber generator with the Gauian and Laplace ditribution. Keyword: etiation of GD ditribution paraeter, evaluation of etiator quality Tranlated by wa Stefanowka