ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 768 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 63 2013"

Transkrypt

1 ZSZYTY AUKOW UIWRSYTTU SZCZCIŃSKIGO R 768 FIAS, RYKI FIASOW, UBZPICZIA R JA PURCZYŃSKI Uniwerytet Szczecińki OCA JAKOŚCI STYMATORÓW PARAMTRÓW ROZKŁADU GD DLA WYBRAYCH MTOD STYMACJI Strezczenie W pracy dokonano oceny jakości etyatora paraetru kztałtu rozkładu GD. Rozpatrzono natępujące etyatory: uzykany etodą najwiękzej wiarygodności (MW), etodą oentów (MM) oraz etodai uprozczonyi. Jakość etyatora określano na podtawie wartości obciążenia oraz względnego błędu średniokwadratowego. Wykonano yulacje koputerowe z wykorzytanie generatorów liczb loowych o rozkładzie Gaua oraz Laplace a. Słowa kluczowe: etyacja paraetrów rozkładu GD, ocena jakości etyatorów Wprowadzenie Przy wyznaczaniu ryzyka z akcji dokonuje ię analizy ziennej loowej, jaką jet topa zwrotu z akcji. Wyznaczając zereg paraetrów opiujących tę zienną, dokonuje ię poiaru ryzyka inwetycji w akcję, zczegółowo opianego w pracy Tarczyńkiego i Mojiewicza [00: 6 84]. ajczęściej zakłada ię, że rozkład tóp zwrotu a rozkład noralny. Założenie to nie zawze jet łuzne. W cytowanej pracy analizowano tygodniowe topy zwrotu indeku WIG za okre kwiecień 99 grudzień 000, uzykując negatywny wynik odnośnie do rozkładu Gaua. Wynika tąd potrzeba odelowania epirycznych tóp zwrotu za poocą innych rozkładów, np. rozkładów o tzw. grubych ogonach, do których zalicza ię rozkład GD.

2 450 Jan Purczyńki W niniejzej pracy porównano wybrane etody etyacji paraetrów rozkładu GD (Generalized rror Ditribution) ze względu na jakość uzykanych etyatorów. Przyjęto natępujące oznaczenia dla gętości rozkładu GD: gdzie G (z) funkcja gaa ulera. l f( x) = exp( -l x- ) () æö G ç çè ø Dla =, rozkład GD przechodzi w rozkład Laplace a (dwuwykładniczy): f ( x) exp( x ) () W przypadku =, otrzyuje ię rozkład noralny: f ( x) exp( ( x ) ) (3) W celu uprozczenia rozważań przyjuje ię, że na podtawie próby zotało wyznaczone ozacowanie paraetru (4) x k k a natępnie, ciąg wartości x k zotał centrowany poprzez odjęcie. W związku z ty, rozważa ię gętość o potaci: f ( x) exp( x ) (5)

3 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych Wybrane etody etyacji rozkładu GD.. Metoda najwiękzej wiarygodności (MW) Stoując MW, wyznacza ię logaryt funkcji wiarygodności: Z warunków æ ö ln( L( l, )) = ln( l) + ln - lxk æ å k= ö G çè èç ø ø otrzyuje ię ln( L( l, )) = 0 l ; ln( L( l, )) = 0 (6) oraz (7) x k k å xk k= ln x k æö æ ö gw () = +Y ln x + k - = 0 èç ø ç å çè k= ø x å k= k (8) d dz é ë û. gdzie: Y ( z) = lng( z) ù Z równania (8) wyznacza ię paraetr kztałtu, a natępnie ze wzoru (7) paraetr... Metoda oentów W pracy [Purczyńki 00: 7 7] zaproponowano etodę etyacji paraetrów rozkładu GD bazującą na oentach abolutnych.

4 45 Jan Purczyńki Moent abolutny rzędu wyraża ię wzore: ( ) x f x dx - = ò (9) Ze wzorów (5) i (9), otrzyuje ię: (0) tyator oentu a potać: k x k () Przyjując dwie różne wartości i we wzorze (0) i rozwiązując powtały układ równań, uzykuje ię [Purczyńki 00: 7]: ) ( ) ( () (3) gdzie lub Rozwiązując równanie (), wyznacza ię paraetr kztałtu, a kolejno ze wzoru (3), paraetr.

5 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych W cytowanej pracy zwraca ię uwagę, że przyjując we wzorach (9 3) wartość rzędu oentu równą paraetrowi kztałtu, uzykuje ię wyniki identyczne jak dla MW..3. Metoda uprozczona etyacji paraetrów rozkładu GD Metoda bazuje na zależnościach zaiezczonych w pracy Krupińkiego i Purczyńkiego [006] i zotała zczegółowo oówiona w pracy [Purczyńki 0], w której dokonano weryfikacji przydatności tej etody na przykładzie odelowania tóp zwrotu indeku giełdowego WIG0 oraz SP500. W pracy [Purczyńki 0] zaproponowano poniżze wzory łużące do etyacji wartości paraetru : é ù 0, 7 ˆ = æ ˆ ö ln -0,5 ˆ ç ê è ø ú ë û 0,879 gdzie x k k ; x k k é ù 0, 0747 ˆ = æ ˆ ö ln -0, 046 ˆ ê ç è 0,5 ë ø úû 0,935 gdzie 0,5 0,5 x k k (4) atoiat ozacowanie paraetru wyznacza ię z zależności, która powtaje ze wzoru (3) dla =: ˆ ˆ (5) ˆ ˆ a podtawie wzoru (4) uzykuje ię dwie wartości ozacowania paraetru : ŝ oraz ŝ.

6 454 Jan Purczyńki. Wyniki yulacji koputerowych.. Opi ekperyentu nuerycznego W celu oceny jakości pozczególnych etyatorów wykonano ekperyent nueryczny z wykorzytanie generatorów liczb loowych o rozkładzie Gaua oraz Laplace a. Syulacje koputerowe polegały na wykonaniu K=000 powtórzeń i wyznaczeniu na tej podtawie błędu etyacji. Jako pierwzy wyznaczany był błąd średniokwadratowy MS (Mean-Squared rror): MS K K ˆ k d k gdzie: ŝ k ozacowanie wartości paraetru w k-tej yulacji; wartość dokładna paraetru kztałtu. d (6) W przypadku rozkładu noralnego d, natoiat dla rozkładu Laplace a d. Błąd średniokwadratowy jet o tyle itotny, że ujuje łącznie błąd obciążenia etyatora, jak również jego wariancję [Krzyśko 997: 7]: gdzie: V ˆ wariancja etyatora B ˆ obciążenie etyatora. ˆ B ˆ MS V (7) Kolejno wyznaczano wartość błędu RMS (Root Mean-Squared rror): RMS MS (8) Jako otatni wyznaczano błąd RRMS (Relative Root Mean-Squared rror): RRMS K K k ˆ k d d (9) gdzie oznaczenia jak we wzorze (6).

7 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych Zaiezczając wyniki yulacji koputerowych, zatoowano oznaczenie re w iejce RRMS. Przy rozwiązaniu równań (8) i () toowano etodę biekcji (połowienia). Obliczenia wykonano dla zieniającej ię długości próbki (liczby oberwacji) =3,4, 5,...,... Wyniki yulacji koputerowych dla rozkładu noralnego a ryunku przedtawiono wartości obciążenia względnego b etyatora paraetru : b ˆ d d K ˆ k k ; gdzie: ˆ (0) K uzykane dla generatora liczb loowych o rozkładzie Gaua (=). Zatoowano natępujące oznaczenia dla obciążenia względnego (wzór (0)) pozczególnych etyatorów: b wzór (4) (etyator ŝ ); b wzór (4) (etyator ŝ ); bw wzór (8) (etyator MW); bm wzór () (etyator MM). 0.3 bw i b i b i bm i i Zatoowano natępujące oznaczenia: linia kropkowana z ikai bw obciążenie etyatora Wˆ linia przerywana z kółkai b obciążenie etyatora ŝ linia ciągła z protokątai b obciążenie etyatora ŝ linia kropkowano-przerywana bm obciążeni etyatora Mˆ Ryunek. Wartości obciążenia względnego b etyatora paraetru Źródło: opracowanie włane.

8 456 Jan Purczyńki Z ryunku wynika, że najniejzy obciążenie jet obarczony je etyator ŝ, nieco więkzy obciążenie charakteryzuje ię etyator ŝ. Kolejny etyatore ze względu na wielkość obciążenia jet etyator W ˆ (MW). ajwiękzą wartością obciążenia odznacza ię etyator etody oentów M ˆ. a ryunku zaiezczono wartości błędu średniokwadratowego re etyatora paraetru kztałtu uzykanego dla pozczególnych etod. Z ryunku wynika, że najniejzy błęde średniokwadratowy jet obarczony etyator ŝ. Począwzy od =6, nieco niejzy błęde charakteryzuje ię etyator ŝ. tyator uzykany MW (wzór (8)) a błąd rew zbliżony wartością do błędu rem etyatora M ˆ (etoda oentów ). rew i re i re i rem i i Zatoowano natępujące oznaczenia: linia kropkowana z ikai rew błąd etyatora ŝw linia przerywana z kółkai re błąd etyatora ŝ linia ciągła z protokątai re błąd etyatora ŝ linia kropkowano-przerywana rem błąd etyatora Mˆ Ryunek. Wartości względnego błędu średniokwadratowego re Źródło: opracowanie włane.

9 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych Wyniki yulacji koputerowych dla rozkładu Laplace a 0.5 bw i b i b i bm i i Zatoowano natępujące oznaczenia: linia kropkowana z ikai bw obciążenie etyatora ŝw linia przerywana z kółkai b obciążenie etyatora ŝ linia ciągła z protokątai b obciążenie etyatora ŝ linia kropkowano-przerywana bm obciążeni etyatora Mˆ Ryunek 3. Wartości obciążenia względnego b etyatora paraetru Źródło: opracowanie włane. a ryunku 3 zaiezczono wartość obciążenia pozczególnych etyatorów uzykanych dla generatora liczb loowych o rozkładzie Laplace a (=). Zdecydowanie najniejzy obciążenie odznacza ię etyator ŝ linia b ocyluje wokół zera. Kolejny etyatore ze względu na wartość obciążenia jet ŝ W (MW). Zbliżone wartości, nieco więkze niż obciążenie bw, wykazuje etyator ŝ oraz M ˆ.

10 458 Jan Purczyńki 0.83 rew i re i 0.66 re i 0.49 rem i Zatoowano natępujące oznaczenia: linia kropkowana z ikai rew obciążenie etyatora ŝw linia przerywana z kółkai re obciążenie etyatora ŝ linia ciągła z protokątai re obciążenie etyatora ŝ linia kropkowano-przerywana rem obciążeni etyatora Mˆ Ryunek 4. Wartości względnego błędu średniokwadratowego re Źródło: opracowanie włane. i a ryunku 4 przedtawiono wartości błędu re uzykane dla generatora o rozkładzie Laplace a. Z ryunku 4 wynika, że najniejzy błęde względny re jet obarczony etyator ŝ. ieco u utępuje etyator ŝ ajwiękzy błęde re charakteryzuje ię etyator M ˆ. Błąd rew etyatora MW przyjuje dla ałej liczebności próby (=3) duże wartości. Wraz ze wzrote liczby eleentów wartości tego błędu zdążają ayptotycznie do błędów etyatora ŝ i ŝ. Uwzględniając obciążenie etyatora oraz błąd re, w przypadku generatora liczb loowych o rozkładzie Laplace a należy polecić toowanie wzoru (4) w odnieieniu do etyatora ŝ. Wnioki końcowe W pracy rozpatrzono jakość etyatora paraetru kztałtu rozkładu GD uzykanego etodą najwiękzej wiarygodności (MW), etodą oentów (MM) oraz etodai uprozczonyi. Jakość etyatora określano na podtawie wartości obciążenia oraz względnego błędu średniokwadratowego wyznaczonego w wyniku zatoowania generatorów liczb loowych o rozkładzie Gaua oraz Laplace a.

11 Ocena jakości etyatorów paraetrów rozkładu GD dla wybranych Poduowując wyniki obliczeń zaiezczonych w podrozdziałach. i.3, należy twierdzić, że najgorzą jakość wykazuje etyator uzykany etodą oentów (MM). ajlepzą jakość uzykano dla etyatorów wywodzących ię z etod uprozczonych. Pośrednie wartości obciążenia i błędu średniokwadratowego wykazuje etyator uzykany etodą najwiękzej wiarygodności (MW). W trakcie ekperyentu nuerycznego wykonano obliczenia dla generatora liczb loowych o rozkładzie GD z paraetre kztałtu =0,5. Jednakże nie zaiezczono wyników, ze względu na bardzo duże wartości błędu średniokwadratowego uzykanego dla wzytkich rozpatrzonych etyatorów. Łącząc wyniki yulacji uzykane dla rozkładu Gaua (paraetr kztałtu =) oraz rozkładu Laplace a (paraetr kztałtu =), ożna twierdzić przydatność etyatora ŝ (wzór (4)) do etyacji wartości paraetru kztałtu dla rozkładu GD. Literatura Krupińki R., Purczyńki J. [006], Approxiated fat etiator for the hape paraeter of generalized Gauian ditribution, Signal Proceing, Vol. 86, o. 4, 05. Krzyśko M. [997], Statytyka ateatyczna, cz., Wydawnictwo UAM, Poznań. Purczyńki J. [00], tyacja paraetrów rozkładu GD, w: Rynek kapitałowy Skuteczne inwetowanie, cz., Wydawnictwo aukowe Uniwerytetu Szczecińkego, Szczecin. Purczyńki J. [0], Uprozczona etoda etyacji paraetrów rozkładu GD, konferencja Mikroekonoetria w teorii i praktyce, Międzyzdroje 4 6 września 0. Tarczyńki W., Mojiewicz M. [00], Zarządzanie ryzykie, PW, Warzawa.

12 460 Jan Purczyńki QUALITATIV VALUATIO OF GD DISTRIBUTIO PARAMTR STIMATORS FOR SLCTD MTHODS OF STIMATIO Suary In thi paper the quality of an etiator of GD ditriution hape paraeter ha been evaluated. The following etiator were conidered: the one obtained through the axiu likelihood ethod, the ethod of oent, and iplified ethod. The quality of etiator wa evaluated on the bai of the value of the bia and ean quared error. Coputer iulation were conducted uing rando nuber generator with the Gauian and Laplace ditribution. Keyword: etiation of GD ditribution paraeter, evaluation of etiator quality Tranlated by wa Stefanowka

STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH

STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH Sfinansowano ze środków Narodowego Funduszu Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej na zlecenie Krajowego Zarządu Gospodarki Wodnej Metodyka obliczania przepływów i opadów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie

Bardziej szczegółowo

Brunon R. Górecki. Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii

Brunon R. Górecki. Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii Brunon R. Górecki Podstawowy kurs nowoczesnej ekonometrii SPIS TREŚCI Wstęp CZĘŚĆ I. KLASYCZNY MODEL REGRESJI LINIOWEJ.Wprowadzenie.. Czym jest ekonometria?.. Pojęcie modelu ekonometrycznego.3. Dane statystyczne.4.

Bardziej szczegółowo

Autor: Prof. dr hab. Andrzej Hutorowicz

Autor: Prof. dr hab. Andrzej Hutorowicz WERYFIKACJA GRANIC KLAS STANU EKOLOGICZNEGO MULTIMETRIKSA FITOPLANKTONOWEGO, ORAZ OKREŚLENIE NIEZBĘDNEJ CZĘSTOŚCI I PRZEDZIAŁU CZASOWEGO MONITORINGOWYCH BADAŃ FITOPLANKTONU W JEZIORACH Autor: Prof. dr

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie. Iwona RYBKA

Wprowadzenie. Iwona RYBKA Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska nr 55, 2012: 46 54 (Prz. Nauk. Inż. Kszt. Środ. 55, 2012) Scientific Review Engineering and Environmental Sciences No 55, 2012: 46 54 (Sci. Rev. Eng.

Bardziej szczegółowo

FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU

FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR LAB TEMAT: FFT, FILTRACJA, MOC SYGNAŁU SYSTEMY TELEINFORMATYCZNE I. CEL ĆWICZENIA: Celem ćwiczenia jest wprowadzenie studentów w zagadnienie szybkiej

Bardziej szczegółowo

Zasady pisania prac dyplomowych w Instytucie Technicznym PWSZ w Nowym Sączu

Zasady pisania prac dyplomowych w Instytucie Technicznym PWSZ w Nowym Sączu Zasady pisania prac dyplomowych w Instytucie Technicznym PWSZ w Nowym Sączu Instytut Techniczny PWSZ ul. Zamenhofa 1a, 33-300 Nowy Sącz tel. 018 547-32-36; pwsz-ns.edu.pl/it Spis treści CZĘŚĆ IV: STRUKTURA

Bardziej szczegółowo

OKREŚLENIE PRÓBY I JEJ LICZNOŚCI W BADANIACH PEDAGOGICZNYCH DEFINITION OF THE SAMPLE AND ITS SIZE IN PEDAGOGICAL RESEARCH

OKREŚLENIE PRÓBY I JEJ LICZNOŚCI W BADANIACH PEDAGOGICZNYCH DEFINITION OF THE SAMPLE AND ITS SIZE IN PEDAGOGICAL RESEARCH General and Professional Education /011 pp. 33-39 ISSN 084-1469 OKREŚLENIE PRÓBY I JEJ LICZNOŚCI W BADANIACH PEDAGOGICZNYCH DEFINITION OF THE SAMPLE AND ITS SIZE IN PEDAGOGICAL RESEARCH Alla Matuszak Czelabiński

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07

Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07 MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ Leszek Wiatr Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania pomiarów geodezyjnych 3[].Z.7 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut

Bardziej szczegółowo

Maciej Sydor. Wskazówki dla piszących prace dyplomowe

Maciej Sydor. Wskazówki dla piszących prace dyplomowe Maciej Sydor Wskazówki dla piszących prace dyplomowe Poznań 2014 Przewodniczący Komitetu Redakcyjnego prof. dr hab. Waldemar Uchman Redaktor Działu dr hab. Andrzej Krauss Konsultacja naukowa prof. dr hab.

Bardziej szczegółowo

Ostateczna wersja metodologii prowadzenia monitoringu zawodów deficytowych i nadwyżkowych na lokalnym rynku pracy

Ostateczna wersja metodologii prowadzenia monitoringu zawodów deficytowych i nadwyżkowych na lokalnym rynku pracy Ostateczna wersja metodologii prowadzenia monitoringu zawodów deficytowych i nadwyżkowych na lokalnym rynku pracy OPRACOWANIE NOWYCH ZALECEŃ METODYCZNYCH PROWADZENIA MONITORINGU ZAWODÓW DEFICYTOWYCH I

Bardziej szczegółowo

Analiza regionalnych nierówności zdrowotnych w Unii Europejskiej z wykorzystaniem Indeksu Stanu Zdrowia

Analiza regionalnych nierówności zdrowotnych w Unii Europejskiej z wykorzystaniem Indeksu Stanu Zdrowia Renata Jaworska * Analiza regionalnych nierówności zdrowotnych w Unii Europejskiej z wykorzystaniem Indeksu Stanu Zdrowia Wstęp Problematyka zdrowia publicznego obecna jest w Unii Europejskiej (UE) od

Bardziej szczegółowo

Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi:

Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi: Ćwiczenie POMIARY MOCY. Wprowadzenie Moc (praca w jednostce czasu) pobierana przez urządzenie elektryczne wynosi: P = U I (.) Jest to po prostu (praca/ładunek)*(ładunek/czas). Dla napięcia mierzonego w

Bardziej szczegółowo

WPŁYW OCENY NA DYPLOMIE NA MOŻLIWOŚĆ ZATRUDNIENIA ABSOLWENTÓW KIERUNKU BEZPIECZEŃSTWO NARODOWE

WPŁYW OCENY NA DYPLOMIE NA MOŻLIWOŚĆ ZATRUDNIENIA ABSOLWENTÓW KIERUNKU BEZPIECZEŃSTWO NARODOWE WPŁYW OCENY NA DYPLOMIE NA MOŻLIWOŚĆ ZATRUDNIENIA ABSOLWENTÓW KIERUNKU BEZPIECZEŃSTWO NARODOWE THE IMPACT OF THE DIPLOMA GRADE ON THE POSSIBILITY OF EMPLOYMENT FOR THE GRADUATES OF THE FACULTY OF NATIONAL

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ROZMYTA W OCENIE ALTERNATYWNYCH SYSTEMÓW POMIAROWYCH JAKO JEDEN Z KIERUNKÓW ROZWOJU MSA

LOGIKA ROZMYTA W OCENIE ALTERNATYWNYCH SYSTEMÓW POMIAROWYCH JAKO JEDEN Z KIERUNKÓW ROZWOJU MSA LOGIKA ROZMYTA W OCENIE ALTERNATYWNYCH SYSTEMÓW POMIAROWYCH JAKO JEDEN Z KIERUNKÓW ROZWOJU MSA Magdalena DIERING, Agnieszka KUJAWIŃSKA, Krzysztof DYCZKOWSKI, Michał ROGALEWICZ Streszczenie: W pracy przedstawiono

Bardziej szczegółowo

Możliwość automatyzacji oznaczania szybkości opadania krwinek czerwonych w laboratorium rutynowym

Możliwość automatyzacji oznaczania szybkości opadania krwinek czerwonych w laboratorium rutynowym diagnostyka laboratoryjna Journal of Laboratory Diagnostics 2013 Volume 49 Number 2 113-117 Praca oryginalna Original Article Możliwość automatyzacji oznaczania szybkości opadania krwinek czerwonych w

Bardziej szczegółowo

Wybrane metody oceny użyteczności stron i aplikacji internetowych

Wybrane metody oceny użyteczności stron i aplikacji internetowych KRAINA BIZNESU Otoczenie przyjazne rozwojowi biznesu UX & Business Consulting Paweł Kopyść Wybrane metody oceny użyteczności stron i aplikacji internetowych Biała Księga Kraków 2014 Kraina Biznesu - UX

Bardziej szczegółowo

MOŻLIWOŚĆ ZASTOSOWANIA WŁAŚCIWOŚCI ELEKTRYCZNYCH DO OKREŚLANIA ZAKRESU ZMIAN HYDROLITYCZNYCH W TŁUSZCZU MLEKOWYM

MOŻLIWOŚĆ ZASTOSOWANIA WŁAŚCIWOŚCI ELEKTRYCZNYCH DO OKREŚLANIA ZAKRESU ZMIAN HYDROLITYCZNYCH W TŁUSZCZU MLEKOWYM Joanna K. Banach, Bogusław Staniewski, Ryszard Żywica Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie MOŻLIWOŚĆ ZASTOSOWANIA WŁAŚCIWOŚCI ELEKTRYCZNYCH DO OKREŚLANIA ZAKRESU ZMIAN HYDROLITYCZNYCH W TŁUSZCZU

Bardziej szczegółowo

WYTYCZNE I ZALECENIA

WYTYCZNE I ZALECENIA WYTYCZNE I ZALECENIA w sprawie przygotowywania prac dyplomowych (licencjackich, inżynierskich i magisterskich) na Wydziale Zarządzania Uniwersytetu Technologiczno-Przyrodniczego im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich

Bardziej szczegółowo

ANALIZA WYBRANYCH WŁAŚCIWOŚCI RÓŻNYCH TYPÓW LUKSOMIERZY

ANALIZA WYBRANYCH WŁAŚCIWOŚCI RÓŻNYCH TYPÓW LUKSOMIERZY Materiały X Konferencji Naukowo-Technicznej PPM'14 Agnieszka BANASZAK, Justyna WTORKIEWICZ Okręgowy Urząd Miar w Łodzi Przemysław TABAKA Politechnika Łódzka Instytut Elektroenergetyki ANALIZA WYBRANYCH

Bardziej szczegółowo

Wartość informacji. Wprowadzenie. Magdalena Olender-Skorek Kornel B. Wydro

Wartość informacji. Wprowadzenie. Magdalena Olender-Skorek Kornel B. Wydro Magdalena Olender-Skorek Przedstawiono złożoność zasobu ekonomicznego informacji. Skoncentrowano się wokół zagadnień dotyczących sposobów wyznaczania wartości informacji, zaprezentowano zarówno miary,

Bardziej szczegółowo

Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron

Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Anna Beata Kwiatkowska Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron rozprawa doktorska napisana

Bardziej szczegółowo

Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli.

Wszystkie znaki występujące w tekście są zastrzeżonymi znakami firmowymi bądź towarowymi ich właścicieli. Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego do nauczania informatyki na podstawie

Bardziej szczegółowo

KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE. Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane

KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE. Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane KONSTRUKCJE STALOWE W EUROPIE Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe Część 11: Połączenia zginane 11 - ii PRZEDMOWA Niniejsza publikacja

Bardziej szczegółowo

Warszawa, dnia 24 czerwca 2013 r.

Warszawa, dnia 24 czerwca 2013 r. Warszawa, dnia 24 czerwca 2013 r. Poz. 15 KOMUNIKAT NR 2 MINISTRA FINANSÓW z dnia 17 czerwca 2013 r. w sprawie standardów audytu wewnętrznego dla jednostek sektora finansów publicznych Na podstawie art.

Bardziej szczegółowo

Prowadzenie ksiąg rachunkowych 341[02].Z4.04

Prowadzenie ksiąg rachunkowych 341[02].Z4.04 MINISTERSTWO EDUKACJI i NAUKI Anna Rudzińska Prowadzenie ksiąg rachunkowych 341[02].Z4.04 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy Radom 2005 0 Recenzenci:

Bardziej szczegółowo

O dwóch systemach uwagi wzrokowej

O dwóch systemach uwagi wzrokowej PRZEGLĄD PSYCHOLOGICZNY, 2008, TOM 51, Nr 2, 113-133 O dwóch systemach uwagi wzrokowej Piotr Styrkowiec*1 Instytut Psychologii Uniwersytetu Wrocławskiego Edward Nęcka Instytut Psychologii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Zasady rachunkowości jednostek postawionych w stan upadłości likwidacyjnej

Zasady rachunkowości jednostek postawionych w stan upadłości likwidacyjnej ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO nr 827 Finanse, Rynki Finansowe, Ubezpieczenia nr 69 (2014) s. 117 125 Zasady rachunkowości jednostek postawionych w stan upadłości likwidacyjnej Lucyna Poniatowska

Bardziej szczegółowo

15. Energia i praca w polu elektrycznym. Wybór i opracowanie zadań Andrzej Kuczkowski.

15. Energia i praca w polu elektrycznym. Wybór i opracowanie zadań Andrzej Kuczkowski. 5 Enegia i paca w polu elektyczny ybó i opacowanie zadań Andzej Kuczkowki 5 aka paca zotanie wykonana podcza pzenozenia ładunku punktowego q -8 C z niekończoności do punktu oddalonego o c od powiezchni

Bardziej szczegółowo

Poradnik dla studentów

Poradnik dla studentów Tadeusz T. Kaczmarek www.kaczmarek.waw.pl Poradnik dla studentów piszących pracę licencjacką lub magisterską Warszawa 2005 Spis treści strona Zamiast wstępu... 2 1. Jak rozwiązywać problemy?... 3 1.1.

Bardziej szczegółowo