Ćwiczenie 45 Wyznaczanie stężenia roztworów cukru przy pomocy polarymetru

Transkrypt

1 Ćwiczenie 45 Wyznaczanie stężenia roztworów cukru przy pomocy polarymetru Wstęp teoretyczny: Krzyszto Ręilas. Autorem ćwiczenia w Pracowni Fizycznej Zakładu Fizyki Uniwersytetu Rolniczego w Krakowie jest Józe Mazurkiewicz. ŚWIATŁO W ujęciu izyki klasycznej opierającej się na teorii Maxwella światło widzialne to ala elektromagnetyczna o długości w zakresie ok. 4-7 nm. W ali elektromagnetycznej wektory natężenia pola elektrycznego E i indukcji pola magnetycznego B ustawione są prostopadle do kierunku iegu ali (Rys. 1). Ponadto wektory E i Wektory natê enia pola elektrycznego E Rysunek 2. Fala elektromagnetyczna niespolaryzowana. cji (Rys. 3). Wektory indukcji pola magnetycznego B Kierunek rozchodzenia siê ali (promieñ ali) Rysunek 1. Fala elektromagnetyczna. B ustawione są prostopadle względem sieie, zatem inormacja o kierunku wektora E pozwala automatycznie ustalić kierunek wektora B. Z tego względu zwyczajowo rozpatruje się jedynie wektor natężenia pola elektrycznego E, który nosi też nazwę wektora świetlnego. Ponieważ drgania wektora pola elektrycznego E odywają się w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku rozchodzenia się ali, ala elektromagnetyczna jest alą poprzeczną i jako taka może yć niespolaryzowana lu spolaryzowana. Fala elektromagnetyczna jest alą niespolaryzowaną jeśli wektory świetlne E ustawione są w ali chaotycznie we wszystkich kierunkach (ale zawsze prostopadle do wektora prędkości ali) z jednakowym prawdopodoieństwem (Rys. 2). Fala elektromagnetyczna jest alą spolaryzowaną liniowo jeśli wektory świetlne E ustawione są w ali równolegle względem sieie i tworzą wraz z kierunkiem rozchodzenia się ali tzw. płaszczyznę polaryza- Rysunek 3. Fala elektromagnetyczna spolaryzowana liniowo. Najogólniejszym stanem polaryzacji jest tzw. polaryzacja eliptyczna, w której wektory E i B zakreślają w miejscu, przez które przechodzi ala, linie w kształcie elipsy. Możliwa jest też polaryzacja kołowa, przy której wektory E i B zakreślają linię w kształcie koła. Zwykłe światło składa się z wielu al emitowanych przez pojedyncze atomy lu molekuły. Każdy atom wysyła alę o określonej polaryzacji. Przy dużej liczie atomów źródła, kierunki wektora E są jednakowo prawdopodone i wypadkowa ala ędąca sumą al emitowanych przez poszczególne atomy jest alą niespolaryzowaną. METODY POLARYZACJI ŚWIATŁA Ay otrzymać alę spolaryzowaną liniowo, należy z wiązki światła niespolaryzowanego usunąć wszystkie ale oprócz tych, których wektor pola elektrycznego E drga w jednej płaszczyźnie.

2 2 Selektywna asorpcja a) Oœ transmisji Pewne sustancje anizotropowe złożone ze zorientowanych molekuł przepuszczają tylko te ale, których wektor pola elektrycznego E ustawiony jest w określonym kierunku równoległym do tzw. osi transmisji, Rys. 4. Przykładami takich sustancji są turmalin, szpat islandz- Polaryzator E E cos E oœ transmisji Analizator E ) E kierunek polaryzacji Rysunek 4. Filtr polaryzacyjny. Polaryzacja światła polega na przepuszczeniu jedynie tych drgań pola elektrycznego ali, które są zgodne z kierunkiem osi transmisji. Własność przepuszczania pola elektrycznego w określonym kierunku zaprezentowano symolicznie w ormie układu równoległych szczelin. c) E ki lu sztucznie wytwarzany materiał zwany polaroidem. Określona orientacja powiązanych ze soą molekuł wiąże się z istnieniem wyróżnionego kierunku przewodnictwa elektrycznego w tych sustancjach. W rezultacie molekuły asorują ale świetlne, których wektor pola elektrycznego E jest zgodny z kierunkiem przewodnictwa, a przepuszczają ale mające wektor elektryczny E ustawiony prostopadle do kierunku przewodnictwa elektrycznego (tj. zgodnie z osią transmisji). Na Rys. 5a przedstawiono przejście światła niespolaryzowanego przez dwie płytki polaryzujące, tzw. polaryzatory, których osie transmisji tworzą kąt θ. Pierwszy polaryzator przepuszcza światło o wektorze pola elektrycznego E zgodnym z jego osią transmisji. Drugi polaryzator, zwany analizatorem, przepuszcza jedynie składową pola E zgodną ze swoją osią transmisji, czyli wektory o długości E cos θ. Natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu wektora pola elektrycznego, zatem natężenie światła po przejściu przez analizator wynosi (prawo Malusa): I = I cos 2 θ, (1) gdzie I to natężenie światła padającego na analizator. Maksimum przepuszczanego światła przez układ polaryzator-analizator następuje, gdy osie transmisji ou płytek są zgodne (θ = o lu 18 o ) - Rys. 5. Przy prostopadłym ustawieniu osi (θ = 9 o lu 27 o ) następuje całkowite wygaszenie światła - Rys. 5c. Odicie światła Światło ulega całkowitej lu częściowej polaryzacji podczas odicia od powierzchni dielektryka. Wiązka E E= Rysunek 5. Działanie układu polaryzator-analizator, gdy: a) ich osie transmisji tworzą kąt θ, ) osie transmisji są do sieie równoległe, c) osie transmisji są do sieie prostopadłe. światła padająca z próżni na powierzchnię jakiegoś ośrodka częściowo się odija i częściowo wchodzi do ośrodka w ormie wiązki załamanej (Rys. 6). Przy dowolnym kącie padania o < α < 9 o, promień załamany i odity są częściowo spolaryzowane. Promień załamany polaryzuje się w kierunku zgodnym z płaszczyzną padania, a promień odity w kierunku prostopadłym do płaszczyzny padania. Jeśli promień odity i załamany tworzą kąt prosty, wówczas promień odity jest spolaryzowany całkowicie. Dzieje się to przy kącie padania wiązki zwanym kątem Brewstera α B. Z prawa załamania światła wynika, że tan α B = n, gdzie n to współczynnik załamania ośrodka. Podwójne załamanie W ośrodkach jednorodnych światło porusza się we wszystkich kierunkach z jednakową prędkością. Istnieją jednak materiały krystaliczne, takie jak kalcyt lu kwarc, w których prędkość światła zależy od kierunku. Gdy promień światła niespolaryzowanego pada na taką sustan-

3 3 œwiat³o niespolaryzowane ca³kowicie spolaryzowany promieñ odity dwójłomnego (szpatu islandzkiego) połączonych ze soą alsamem kanadyjskim. Kryształ dwójłomny powoduje rozszczepienie wiązki na dwa liniowo spolaryzowane promienie. Oecność alsamu kanadyjskiego o współczynniku załamania mniejszym niż współczynnik załamania szpatu islandzkiego sprawia, że promień zwyczajny O ulega całkowitemu wewnętrznemu odiciu, a przez układ przechodzi jedynie jeden liniowo spolaryzowany promień E. B B 9 Rysunek 6. Polaryzacja światła przez odicie od powierzchni dielektryka. cję, następuje tzw. zjawisko podwójnego załamania: na granicy ośrodka następuje rozszczepienie promienia na dwa załamane pod różnym kątem promienie, promień zwyczajny O i promień nadzwyczajny E. Każdy z zaœwiat³o niespolaryzowane o promieñ nadzwyczajny (E) promieñ zwyczajny (O) Rysunek 7. Bieg promieni świtlnych przez kryształ dwójłomny. Rozpraszanie światła Światło ulega polaryzacji również przy rozproszeniu. Zjawisko rozproszenia światła polega na asorpcji i prawie natychmiastowej reemisji światła przez atomy lu cząsteczki ośrodka, przez które przechodzi światło. Rozproszenie światła na cząsteczkach powietrza sprawia, że docierające do nas światło słoneczne jest częściowo spolaryzowane. Z rozpraszaniem światła na cząsteczkach powietrza wiąże się również oserwowany kolor niea, owiem najłatwiej rozpraszane jest światło o małej długości ali czyli właśnie o arwie nieieskiej. Polaryzację światła przez rozproszenie tłumaczy się tym, że światło indukuje w cząsteczkach drgania ładunków w kierunku prostopadłym do swego kierunku rozchodzenia się. Drgające ładunki reemitują światło (światło rozproszone) o wektorze pola elektrycznego E zgodnym z kierunkiem ich drgań. Ponieważ ale świetlne są poprzeczne, woec tego ośrodek może wysyłać ale tylko w kierunkach prostopadłych do kierunku własnych drgań. Tak więc wiązka rozproszona pod kątem prostym względem wiązki padającej ędzie zawsze spolaryzowana w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku wiązki padającej (Rys. 9). łamanych promieni jest liniowo spolaryzowany (w kierunkach wzajemnie prostopadłych). Sustancje, w których zachodzi zjawisko podwójnego załamania nazywamy kryształami dwójłomnymi. W celu uzyskania światła spolaryzowanego liniowo wystarczy zastosować kryształ dwójłomny i wyeliminować jeden z promieni. Na tej zasadzie działa polaryzator liniowy zwany pryzmatem Nicola lu po prostu nikolem (Rys. 8). Składa się on z dwóch kawałków kryształu o 9 22 o 68 o (E) Rysunek 9. Polaryzacja światła przez rozproszenie. alsam kanadyjski (O) Rysunek 8. Bieg promieni w pryzmacie Nicola. SKRĘCENIE PŁASZCZYZNY POLARYZACJI ŚWIATŁA W 1811 roku Dominique Arago stwierdził, że płytka kwarcowa powoduje skręcanie płaszczyzny polaryzacji światła przechodzącego przez tą płytkę. To znaczy, światło liniowo spolaryzowane w pewnej płaszczyźnie po przejściu przez płytkę kwarcową wciąż yło spolaryzowane liniowo ale w innej płaszczyźnie, oróconej (skręconej) o pewien kąt ϕ względem płaszczyzny pierwotnej (Rys.

4 4 1). p³ytka kwarcowa Rysunek 1. Płaszczyzna polaryzacji światła ulega skręceniu o kąt ϕ po przejściu przez płytkę kwarcową. W 1815 roku Jean Baptist Biot odkrył, że naturalnie występujące związki organiczne takie jak cukier, terpentyna, kwas winny są aktywne (czynne) optycznie tj. skręcają płaszczyznę polaryzacji światła. Płaszczyzna polaryzacji światła ulega skręceniu przy przejściu światła przez ośrodki optycznie czynne takie jak: glukoza, ruktoza, sacharoza, większość olejków eterycznych, iałka, alkaloidy. Istnieją sustancje, które są optycznie czynne w stanie krystalicznym, a roztwory tych sustancji nie wykazują tej właściwości, oraz sustancje, które w stanie ciekłym i gazowym, a także w roztworach są optycznie czynne. W 1848 roku Louis Pasteur adając sól kwasu winowego stwierdził, że winian sodowo-amonowy występuje jako mieszanina dwóch rodzajów kryształów ędących wzajemnymi lustrzanymi odiciami. Rozdzieliwszy te dwa rodzaje kryształów, sporządził z nich dwa rodzaje roztworów. Okazało się, że jeden roztwór wykazywał aktywność optyczną prawoskrętną, a drugi lewoskrętną. Ponieważ rozpuszczona sustancja nie posiada określonej struktury krystalicznej, Pasteur wywnioskował stąd, że przyczyną aktywności optycznej winianu sodowo-amonowy są dwa rodzaje cząsteczek różniących się aktywnością optyczną. Rzeczywiście, okazuje się, że związki o takim samym wzorze sumarycznym mogą różnić się właściwościami izyko-chemicznymi. Związki takie nazywamy izomerami. Izomery różniące się rozmieszczeniem atomów w przestrzeni, nazywa się stereoizomerami. Stereoizomery ędące swoim lustrzanym odiciem nazywane są enancjomerami, pozostałe diastereoizomerami. Cząsteczki danego związku nazywamy chiralnymi, jeśli istnieją w ormie dwóch nienakładalnych na sieie enancjomerów (tak jak ręka lewa i prawa alo sprężyna lewoi prawoskrętna, ędąc swymi zwierciadlanymi odiciami, są nienakładalne na sieie). Przykłady związków chiralnych przedstawiono na Rys. 11. Generalnie, warunkiem koniecznym występowania czynności optycznej cząsteczek jest ich chiralność. Jeden z enancjomerów cząstek chiralnych wykazuje aktywność optyczną prawo- a drugi lewoskrętną. Jeśli roztwór zaromochloroluorometan Rysunek 11. Związki chiralne występują w postaci dwóch nienakładalnych na sieie odić lustrzanych (enancjomerów). wiera enancjomery prawo- i lewoskrętne w tej samej ilości (jest to tzw. roztwór racemiczny), nie jest on czynny optycznie. Aktywność optyczną wykazują roztwory zawierające tylko jeden z enancjomerów cząstek chiralnych lu oa rodzaje, ale w różnych proporcjach. Aktywność optyczna sustancji naturalnych (szczególnie aminokwasów) spowodowana jest tym, że występują one w przyrodzie w przeważającej części w ormie cząsteczek lewoskrętnych. Aktywność optyczna kwarcu związana jest nie tyle z udową cząsteczek, ale z jego strukturą krystaliczną (o czym świadczy akt, że zmielony lu ciekły kwarc nie wykazuje aktywności optycznej). Kwarc występuje w dwóch ormach krystalicznych wykazujących prawo- i lewoskrętną aktywność optyczną. Mówimy, że są to struktury enancjomoriczne. Okazuje sie, że dla niektórych sustancji aktywnych optycznie (sacharydów) ędących w ormie roztworów kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji może zmieniać się w czasie. Zjawisko to nazywamy mutarotacją. Przyczyną mutarotacji jest zmiana względnej liczy enancjomerów prawo- i lewoskrętnych w roztworze (jeden rodzaj izomeru przekształca sie w drugi). Proces ten trwa aż do ustalenia się równowagi chemicznej między izomerami. Na przykład w stanie równowagi roztwór wodny D- glukozy zawiera 35,5% ormy α i 64,5% ormy β. WYJAŚNIENIE ZJAWISKA AKTYWNOŚCI OPTYCZNEJ Nienakładalne na sieie enancjomery cząstek chiralnych można porównać do oiektów w kształcie śruy prawo- lu lewoskrętnej. Załóżmy, że roztwór składa się tylko z jednego rodzaju enacjomeru, np. prawoskrętnego. Jeśli światło spolaryzowane pada na cząstkę śruową, wówczas poudza do drgań znajdujące się w cząsteczce

5 5 elektrony, które w takiej cząsteczce muszą poruszać się po drodze spiralnej - Rys. 12. Z powodu ruchu śruod Rysunek 12. Model cząstki chiralnej. Elektron poudzany do drgań przez alę spolaryzowaną liniowo drga wzdłuż linii śruowej. Reemitowana przez drgający elektron ala ma wektory świetlne ułożone w płaszczyźnie oróconej o mały kąt δϕ względem płaszczyzny polaryzacji światła padającego. wego elektronu reemitowana przez niego ala elektromagnetyczna ma wektory świetlne o kierunku niezgodnym z kierunkiem wektorów świetlnych padającej ali, a zatem ędzie spolaryzowana w innej płaszczyźnie niż ala padająca. Można pokazać, że eekt ten zachodzi niezależnie od orientacji cząsteczki i zawsze orót wektora świetlnego zachodzi w tę samą stronę. Przejściu ali spolaryzowanej przez cząsteczki spiralne o jednakowej skrętności towarzyszy zatem zmiana płaszczyzny polaryzacji ali (aktywność optyczna). Kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji ϕ jest proporcjonalny do liczy cząsteczek, na które traia ala podczas przechodzenia przez roztwór. Oznacza to, że ϕ jest proporcjonalne do stężenia roztworu c (wyrażonego w g/cm 3 ) oraz do długości drogi światła w roztworze l (prawo Biota): ϕ = [α] c l. (2) Współczynnik proporcjonalności [α] zwany jest skręceniem właściwym i zależy on od rodzaju sustancji rozpuszczonej, temperatury, rozpuszczalnika i długości ali światła. Znając współczynnik [α] i mierząc kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji ϕ można na podstawie wzoru (2) wyznaczyć nieznane stężenie roztworu. POLARYMETR Zasada działania Do pomiaru kąta skręcenia płaszczyzny polaryzacji służy polarymetr. Ideę działania polarymetru przedstawiono na Rys. 13. Światło niespolaryzowane przechodzi przez polaryzator P1 ulegając polaryzacji. Spolaryzowana wiązka przechodzi przez rurkę R, w której umieszcza się adane roztwory. Jeśli rurka zawiera wodę lu inną sustancje nieczynną optycznie (Rys. 13a), światło wychodzi z niej spolaryzowane w tej samej płaszczyźnie, w jakiej yło spolaryzowane przed wejściem do rurki. Następnie traia na drugi polaryzator P2 (analizator). Jeśli oś transmisji polaryzatora P2 jest zgodna z osią transmisji polaryzatora P1 (a więc i kierunkiem polaryzacji światła), otrzymujemy jasno oświetlone pole widzenia. Jeśli w rurce umieścimy sustancję czynną optycznie (Rys. 13), wówczas światło po wyjściu z rurki jest spolaryzowane liniowo w innej płaszczyźnie niż przed wejściem do rurki. Płaszczyzna polaryzacji światła zostaje orócona o kąt ϕ. Jeżeli oś transmisji analizatora P2 pozostawimy zgodną z osią polaryzatora P1, wtedy pole widzenia ulegnie przyciemnieniu, owiem analizator przepuści jedynie składową pola elektrycznego ali padającej równą E cos ϕ. Ay odzyskać pierwotną maksymalną jasność pola widzenia, należy analizator orócić o kąt skręcenia płaszczyzny polaryzacji ϕ. Wtedy owiem ponownie całe pole elektryczne zostaje przepuszczone przez analizator (Rys. 13c). Ze skali dołączonej do analizatora można odczytać kąt ϕ. Polarymetr półcieniowy W opisanej powyżej metodzie pomiar kąta skręcenia polaryzacji światła wymaga ustawienia analizatora w takiej pozycji, y uzyskiwać maksymalne oświetlenie pola widzenia. Ponieważ dość trudno ocenia się maksimum jasności, w praktyce używa się polarymetrów z dodatkowym elementem, tzw. płytką półcieniową PP (Rys. 14). Jest to płytka kwarcowa, która przesłania połowę pola widzenia. Załóżmy, że w rurce R jest woda lu inna sustancja nieczynna optycznie. Z powodu tego, że w półcieniowej płytce kwarcowej zachodzi skręcenie płaszczyzny polaryzacji o pewien mały kąt β, przy zgodnych osiach transmisji polaryzatora P1 i analizatora P2, połowa pola widzenia ędzie przyciemniona (Rys. 14a). W tej sytuacji należy ustawić analizator w takiej pozycji, y oie połówki pola widzenia yły jednakowo zaciemnione. Łatwo dostrzec, że ay to osiągnąć oś transmisji analizatora powinna pokrywać się z dwusieczną kąta β. Wtedy owiem w ou połówkach pola widzenia przepuszczona zostanie przez analizator składowa pola elektrycznego o tej samej wartości E cos(β/2). Na skali kątowej polarymetru powinniśmy mieć wtedy wartość (Rys. 14). Jeśli w rurce R umieścimy ciecz optycznie czynną, to płaszczyzna polaryzacji światła po wyjściu z rurki ulegnie skręceniu o taki sam kąt ϕ w całym polu widzenia, co spowoduje różnicę oświetlenia poszczególnych jego połówek (Rys. 14c). Przywrócenie równego oświetlenia dokonuje się przez orót analizatora P2 dokładnie o kąt ϕ równy skręceniu płaszczyzny polaryzacji przez adaną ciecz (Rys. 14d). Analizator zaopatrzony jest w podziałkę kątową z noniuszem, co pozwala na odczyt kąta ϕ z dokładnością do dziesiątych części stopnia - Rys. 15.

6 6 a) P1 R ) P2 c) Rysunek 13. Zasada działania polarymetru (opis w tekście).

7 7 a) P1 PP R P2 ) /2 c) d) Rysunek 14. Zasada działania polarymetru półcieniowego (opis w tekście).

8 c B (roztwór B). Wyniki oznaczyć odpowiednio jako ϕ A i ϕ B. 8 Opracowanie wyników 1. Wyliczyć wartości średnie ϕ śr, ϕ 1śr, ϕ Aśr, ϕ Bśr. Rysunek 15. Zasada posługiwania się skalą z noniuszem: Kreska noniusza jest wskazówką dla skali zasadniczej. Kreska noniusza pokrywająca się z którąś kreską skali zasadniczej wskazuje liczę dzięsiątych części kąta. Szczegółowy schemat polarymetru Laurenta używanego na pracowni przedstawiono na Rys Oliczyć skręcenie właściwe cukru korzystając ze wzoru: [α] = ϕ 1 ϕ, (3) c l gdzie: c - stężenie roztworu = 1 g / 1 cm 3 l - długość rurki pomiarowej = 14,8 cm, a za wartości ϕ i ϕ 1 wstawić uzyskane w p. 1 wyniki dla ϕ śr i ϕ 1śr. Wynik należy podać stosując jednostkę cm 2 / g. 3. Oliczyć stężenie roztworu A korzystając z zależności: Rysunek 16. Polarymetr Laurenta: a - śrua regulująca położenie analizatora, - analizator (nikol), c - rurka pomiarowa z roztworem, d - półcieniowa płytka kwarcowa, e - polaryzator (nikol), - źródło światła. Wykonanie pomiarów 1. Ustawić lampę naprzeciw polaryzatora tak, ay pole widzenia yło dostatecznie oświetlone. 2. Oracając analizator ustawić go w takiej pozycji, ay oie połówki pola widzenia yły jednakowo oświetlone. Odczytać wynik ustawienia na skali z noniuszem i zapisać wynik pomiaru. Powtórzyć pomiar 1 razy i wyniki zapisać jako ϕ. 3. Napełnić rurkę pomiarową wodą destylowaną i wstawić ją do polarymetru. Sprawdzić czy zmieniła się wartość ϕ. (Jeżeli tak, wymyć dokładnie rurkę i powtórzyć punkt 2 i 3). 4. Napełnić nim rurkę pomiarową roztworem cukru o stężeniu c = (1 g cukru) /1 cm 3. Uwaga: W rurce nie mogą pozostać pęcherzyki powietrza. 5. Włożyć rurkę z roztworem do polarymetru i zmierzyć kąt skręcenia (1 razy). Oznaczyć tą wartość jako ϕ Podonie wykonać pomiary kąta skręcenia (także 1 razy ) dla roztworu o stężeniu c A (roztwór A) i stężeniu c A = ϕ A ϕ, (4) [α] l wstawiając za ϕ A otrzymaną w p. 1 wartość ϕ Aśr. 4. Podonie jak dla roztworu A, oliczyć stężenie roztworu B. 5. Dla roztworów A i B oliczyć składy procentowe tych roztworów według wzoru: p = c/d, gdzie c - stężenie roztworu, d - gęstość roztworu, którą należy odczytać z załączonej Taeli I. Taela I. Zależność gęstości roztworu cukru od jego stężenia. c [g/1 cm 3 ] d [g/cm 3 ] 1 1,21 5 1, , , , , ,1136 Wyznaczanie niepewności pomiarowych 1. Ze względu na 1-cio krotne powtarzanie pomiarów, oliczyć niepewności standardowe u(ϕ ), u(ϕ 1 ), u(ϕ A ),

9 9 u(ϕ B ) wyznaczenia średnich ϕ śr, ϕ 1śr, ϕ Aśr, ϕ Bśr zgodnie z wzorem (3) w materiałach Wprowadzenie do metod opracowania wyników pomiarowych. 2. Stosując wzór (9) z materiałów Wprowadzenie..., oliczyć niepewność standardową pomiaru [α], tj.: ( [α] ) 2 ( ) 2 [α] u([α]) = u ϕ 2 (ϕ ) + u ϕ 2 (ϕ 1 ). (5) 1 Zastosować wzór (9) z materiałów Wprowadzenie..., do wyrażenia (6) i oliczyć niepewność standardową pomiaru c A, czyli: ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ca ca ca u(c A ) = u 2 (ϕ ) + u 2 (ϕ 1 ) + u 2 (ϕ A ). ϕ ϕ 1 ϕ A 4. Analogicznie postąpić przy oliczaniu niepewności standardowej pomiaru c B. 3. Wstawiając wyrażenie (3) do (4), otrzymujemy: c A = ϕ A ϕ ϕ 1 ϕ c, (6)