{ t} L.Kowalski Niezawodność-teoria i rozkłady NIEZAWODNOŚĆ

Transkrypt

1 NIEZAWODNOŚĆ Załadamy, ż ob j oy wamy w uuę odawaly. T-zma loowa ozaczająca zdaość wałość obu czyl cza do jo uzodza. Moża zyjmować, ż j o oc cąły w cza waoścach. Fucj zawodośc. Dyybuaa F zmj loowj T { } F T < Fucja zawodośc R - awdoodobńwo, ż cza do uzodza obu j węzy od R T { } Gęość zmj loowj T d F d Fucja ywośc uzodzń F R Fucja wodąca Λ wyczywa ę zaau zawodośc Λ u du Wauowa ucja zawodośc Rτ awdoodobńwo wauow zdaza, ż ob zachowa a zdaośc jzcz zz cza co ajmj τ od waum, ż do chwl dozło do uzodza. R T τ { τ} R { T } R τ

2 Waość oczwaa ET zmj loowj T. Waacja D T zmj loowj T Kwayl zędu zmj loowj T ozaczamy chwla, dla ój F oąa waość : Tyow ozłady czaów zdaośc: Rozład wyładczy F, F, R,, ` Λ, R τ τ, T aomaa Lalac a ęośc E D T I ozłady: Rozład Elaa, Rozład amma, Rozład Wbullaa, Rozład Raylh a, Rozład omaly, Rozład omaly ucęy, Rozład loaymczo-omaly, Rozład oęowy, Rozład mzay,

3 Oby o odawal z zowym czam odowy. T T T T 4 N N umń uzodzń umń odowń Zm T ą zmym loowym ozaczającym olj czay oawj acy obu oślo dyybuaą F, ęoścą, aomaą Lalac a *, waoścą oczwaą oaz odchylm adadowym σ. Zm ą zmym loowym ozaczającym olj czay odów obu oślo dyybuaą G, ęoścą, aomaą Lalac a *, waoścą oczwaą oaz odchylm adadowym σ. Zma loowa τ j umą zmych loowych ozaczających cza oawj -j acy obu cza -j odowy obu. τ T Zm loow τ, τ, τ,... mają dyczy ozład o dyybuac Φ ęośc ϕ d d Φ x x dx Zam ϕ w. Bola Chaayy ocu odowń N Cza " do -j odowy Ma dyybuaę Φ L " τ τ τ... τ { } Φ ęość ϕ L ϕ { } * ozacza aomaę Lalac a, L - ozacza aomaę.

4 4 dz dla czaów odowdo dużych zma loowa " dąży do ozładu omalo Dla dużych duża lczba odowń oc N dąży do Fucja odowy H oczwaa lczba odowń do chwl dz Gęość odowy h dz Chaayy ocu uzodzń N wyzaczamy aalocz. Dla dużych odowdo duża lczba uzodzń oc N dąży do Fucja uzodzń H oczwaa lczba uzodzń do chwl dz Gęość uzodzń h dz ϕ ϕ Φ ϕ, σ σ N, σ σ N N E H { } H L H H { } h L h h, σ σ N { } N E H { } H L H H { } h L h h

5 5 Chaayy łącz Wółczy oowośc - awdoodobńwo oawj acy obu w chwl oaz dz Dla dużych ozymujmy: Lcz czyl,τ awdoodobńwo o, ż w zdzal,τ będz uzodza a dla dużych ozyając z w. Smha ozymujmy chaayyę aczą { } [ ] du u F u h F { } L [ ][ ] h [ ] lm du u F K K [ ] du u F [ ] dx x F x h F, τ τ τ [ ] τ τ τ dy y R, lm

6 WYBRANE ROZKŁADY RAWDOODOBIEŃSTWA ZWIĄZANE Z NIEZAWODNOŚCIĄ Rozład dwumaowy Dla daych,, N oślamy ucję awdoodobńwa q dz q,,,...,. Zauważmy, ż dy o ozład dwumaowy j ozładm zojdyowym. Jśl zyjmmy, ż ozacza lczbę zalżych dośwadczń z óych ażd ończy ę jdym z dwóch wyów: ucm" z awdoodobńwm w ażdym dośwadczu lub oażą zma loowa ozacza lczbę uców o owyżzy wzó wyzacza awdoodobńwo uzyaa doład uców w dośwadczach óbach. zyład awdoodobńwo uzodza ooa zd uływm waacj wyo,. Fma zauła 6 ooa. Oblczyć awdoodobńwo, ż zd uływm waacj ooa ulą uzodzu. Jaa j ajbadzj awdoodoba lczba uzodzoych ooa zd uływm waacj. lczba uzodzoych ooa zd uływm waacj,,,,,, Uwaa Fucję awdoodobńwa zmj loowj moża zdawć w ablc: x 4 5 6,6,9,458,89,54,5, Zauważmy, ż ajbadzj awdoodobą lczba uzodzoych ooa j. 6

7 7 zyład Oblczymy waość oczwaą ozładu dwumaowo. q q q q E!!!!!! Waacja ozładu dwumaowo wyo q D Rozład ooa Dla > oślamy ucję awdoodobńwa!,,,... waośc ych awdoodobńw zawa ablca ozładu ooa Rozład ooa możlwość odczyu w ablcy moż dla dużych aycz małych aycz, zyblżać ozład dwumaowy zyblż ooa q dz! Ozacowa błędu zyblża: q! u zyład W udłu j 4 żaów. Ja j awdoodobńwo, ż wśód ch j 5 żaów wadlwych, jśl wadlwość oducj ach żaów wyo,5%? Jaa j ajbadzj awdoodoba lczba uzodzoych żaów w ym udłu?

8 Zaoujmy zyblż ooa, 4, 5. W ablcy ozładu ooa odczyamy, ż: 5,6 Rówż w ablcy ozładu ooa odczyamy, ż ajbadzj awdoodoba lczba uzodzoych żaów w ym udłu o lub dla obu ych lczb awdoodobńwo j ów,77. aamy: E!!! D Uwaa Jśl j zmą loową ozaczającą lczbę wyąń ualoo zdaza w zdzal czau [, ] o zy yowych założach,,! E D zyład Badamy awayjość wo uządza. Na odaw wlooych obwacj ualoo, ż śda lczba awa a odzę wyo,. Wdy awdoodobńwo, ż w cąu odz wyą jda awaa będz ów,,,67879 odczy z ablcy! 8

9 Rozład wyładczy Rozład wyęuj częo w zaadach ozładu czau mędzy złozam awaam lub czau oczwaa a obłuę w ymach oljowych. Gęość ozładu wyładczo o aamz a > ma oać x a ax x > x dyybuaą o ozładu j ucja F x ax x > x uzaad: F'x x zyład Oblczymy E odob Właość. E xa ax ax ax dx x D a a Jśl lczba złozń w ym oljowym w zdzal czau, T ma ozład ooa o aamz T, oaz lczby złozń zychodząc w ozłączych zdzałach czau ą zalż o cza mędzy oljym złozam ma ozład wyładczy o aamz a /. Dla dowolych, T > mamy T T właość bau amęc a 9

10 Uzaad. T T T T a a Ta T J o jdyy ozład cąły o j właośc. Wyładczy ozład czau do uzodza wyęuję ajczęścj dy uzodz aęuj wu dzałaa czyów zwęzych. Dyym odowdm ozładu wyładczo j ozład omyczy. zyład Badamy awayjość wo uządza. Na odaw wlooych obwacj ualoo, ż śd cza mędzy awaam wyo odz. awdoodobńwo, ż cza mędzy oljym awaam będz węzy od odz będz ów, > F,67879 odczy z ablcy awdoodobńwo, ż cza mędzy oljym awaam będz węzy od odz będz ów, > F,55 odczy z ablcy

11 Rozład Wbulla. Rozład wyładczy modluj zawodość o ałj ywośc uzodzń. Oóljzy modl w 95 ou zaooował W. Wbull aalzując wałość wyobów. Wowadz. Dyym odowdm ozładu wyładczo j ozład omyczy. cza dyy do wzo uzodza, awdoodobńwo uzodza w jdym o ała zalża od czau, Fucja awdoodobńwa o ozładu ma oać,,,.. Uzaad Nch A zdaz olając a uzodzu uządza w -ym o A L J o dobz ośloy ozład bo ' ' ' A A A aamy Waość oczwaa E m q D σ Waacja Właość ba amęc. > τ τ > τ > > zalży od Uzaad

12 > Zam τ τ τ τ > > > > odawową zaadą owadzącą do ozładu wyładczo j właość: awdoodobńwo zdaza w óm cza j w zyblżu ów dz j śdą lczbą zdazń a jdoę czau zalży od umu o zdzału. Zam awdoodobńwo bau ucu w ach zdzałach j ów dąży zy oącym do ończoośc do co daj zaą dyybuaę ozładu wyładczo < F Ndy zama aamu ouj ę wlość. Kouując ozład Wbulla zyjmujmy właość: awdoodobńwo zdaza w óm cza j w zyblżu ów czyl śdą lczba zdazń a jdoę czau zma ę waz z uływm czau zalży od umu o

13 zdzału. Zam awdoodobńwo bau ucu w ach zdzałach j ów Q o zloaymowau Q l l Gdy dąży do za oącym do ończoośc ozymamy acę l d Q Λ τ τ o uuęcu loaymu ozymamy Q Λ co daj dyybuaę < Λ F Gdy zyjmmy Λ o ozymamy dyybuaę ozładu Wbulla > dla dla F ęość ozładu Wbulla > dla dla Rozład j zdoway dla, >, - chaayyczy cza życa, - aam zału

14 4 Właość. Dla ażdo >,6 < Tzyaamowy ozład Wbulla. > dla dla Rozład j zdoway dla, >,. zuęc mmaly cza życa. Wyba aamy ozaywao ozładu: Waość oczwaa m E dz j ucją amma Eula, Waacja σ D

15 5 Wółczy zmośc v Mom zędu m E Mom caly zędu µ m E Mom caly zędu µ m E Mdaa / l M -wayl / l Domaa / o M,

16 6 Wółczy aym / a Kuoza Fucja yzya ywość uzodzń > F h Dla < ucja maljąca, Dla ucja ała, Dla > ucja oąca,

17 7 Zaad ymacj aamów ozładu Wbulla. Moda momów, óa chocaż daj ymaoy o łabzych właoścach o chaayzuj ę dużą ooą. Maowc ajw wyzaczamy ymao aamu z ówośc v dz ν j wółczym zmośc wylczoym z óby, S v. Naę ymao aamu wyzaczamy z ówośc Moda ajwęzj wayodośc. Nalży ozwązać uład ówań x x x x x l l x

18 Moda wayl myczych. l l l l l l Najwyżza ywość ymaoów aamów ozładu Wlbulla ówą,64 ozymujmy dla wayl zędu,4,9, wdy,7 l,9,4,9,4,744,659 Uwaa. a dla ozład Wbulla aj ę ozładm wyładczym, b dla ozład Wbulla aj ę ozładm Rlya z aamm, 8

19 c zma loowa Y l, dz - ozład Wbulla ma ozład wyładczy z aamm, d jśl j zmą loową o ozładz jdoajym w,, o zma loowa Y l ma ozład Wbulla, właość a ozwala w oy oób ować lczby loow o ozładz Wbulla, dyybuaę ozładu Wbulla moża dobz zyblżać dyybuaa ozładu lo-omalo. l m F,, Φ α maymaly błąd,8 x m α l v v dz Φ - dyybuaa ozładu N, Soa owa ośwęcoa zaadom zwązaym z ozładm Wbulla, ch zaoowaam aualym oamam womaającym oblcza. Soa a j cąl ozzzaa aualzowaa, dając użyowow możlwość ozyaa z ajowzych ozwązań doyczących ozładu Wbulla. 9

20 Wy ęośc dla wybaych aamów: a, ba,5 a, ba a, ba 4,6,4,,8,6,4, -, a, ba a, ba a, ba,9,8,7,6,5,4,,, -, 4 6 8

21 Uoólm ozładu wyładczo ozładu Wbulla j ozład amma Odywa o zczólą olę zy modlowau zawodośc obów odawalych uma óych zmych loowych o ozładz amma ma ozład amma,. jśl cza acy mędzy uzodzam ma ozład amma o umayczy cza acy ż ma ozład amma z ym aamam Gęość ozładu amma α α α dla dla > Rozład j zdoway dla α, >, Gęość uoóloo ozładu amma α / α α / dla > dla Uwaa. Laua: Rozład j zdoway dla α>, >, a dla α ozład amma aj ę ozładm wyładczym, b dla α ozład amma aj ę ozładm Wbulla, c dla α ozład amma aj ę ozładm Rlya, d dla α, ozład amma aj ę ozładm Maxwlla, dla α /,, / ozład amma aj ę ozładm ch wada, dla α,, ozład amma aj ę ozładm Elaa, B.Koza, Toa zawodośc, D.Bobow, Modl mody mamaycz o zawodośc, L.Kowal, Sayya, L.Kowal,..