Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 7

Transkrypt

1 Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 7

2 Wasze wizualizacje

3 Wasze wizualizacje

4 Wasze wizualizacje

5 Wasze matematyczne skojarzenia SP: pole kwadratu, trójkąt, ułamek, prosta równoległa, kwadrat, pole kwadratu, procent, trapez, kąt prosty, skala, ostrosłup, liczba przeciwna, okrąg G: funkcja liniowa, promień, mediana, trójkąt, wzór Pitagorasa, funkcja, liczba pi, przekątna, sześcian, ostrosłup, czworościan, diagram kołowy, kąt środkowy, stożek, pierwiastek, układ równań, symetria

6 Przykład nr 12 z wykładu nr 5 Oblicz kolejne wyrazy ciągu x 1 = 1, x n+1 = x n dla n = 1, 2, x n Dlaczego ten rekurencyjny sposób jest tak dobry? Czy można rozpocząć od innej liczby? Po ilu krokach otrzymamy przybliżenie z dokładnością do 10 6?

7 Znajdź algorytm szukania przybliżeń liczb: 3, 5, a 5, a Jak wyjaśnić działanie tego algorytmu graficznie?..\dm_iii_2017_cw\algorytm_sqrt.nb

8 Znajdź metodę sekwencyjnego obliczania kolejnych cyfr pierwiastka kwadratowego z liczby (w książkach, w Internecie); spróbuj zrozumieć działanie tego algorytmu

9 Cecha podzielności przez 11 Uzasadnienie poprawności.

10 Karta pracy Na papierze w kratkę narysuj jak najdokładniej prostą zbiór punktów (x, y) spełniających równanie 3x + 4y = 5. Zaznacz wszystkie punkty kratowe znajdujące się na tej prostej. Postaraj się zapisać postać w postaci równań parametrycznych rozwiązania rozpatrywanego równania. Na papierze w kratkę narysuj jak najdokładniej prostą zbiór punktów (x, y) spełniających równanie 6x + 4y = 14. Zaznacz wszystkie punkty kratowe znajdujące się na tej prostej. Postaraj się zapisać postać w postaci równań parametrycznych rozwiązania rozpatrywanego równania. Na papierze w kratkę narysuj jak najdokładniej prostą zbiór punktów (x, y) spełniających równanie 9x + 6y = 8. Zaznacz wszystkie punkty kratowe znajdujące się na tej prostej. Co można zauważyć? Uogólnienie: twierdzenie o rozwiązaniu ogólnym w liczbach całkowitych równania ax + by = c, gdzie a, b, c N.

11 Zadania Znajdź jedno a następnie wszystkie rozwiązania w liczbach całkowitych równania 345x + 12y = 3. Dysponujemy dowolną ilością monet o nominale 3 i nominale 7. Jakie kwoty możemy wypłacić za pomocą tych monet? Na ile sposobów można wypłacić kwotę 100 za pomocą tych monet?

12 Jeszcze raz Poprawność algorytmu Euklidesa.

13 Zadania Pewna liczba ma cztery dzielniki, a ich suma jest równa 40. Jednym z dzielników jest 9. Znajdź tę liczbę. Pewna liczba ma cztery dzielniki, a ich suma jest równa 40. Znajdź wszystkie takie liczby.

14 Zadanie dydaktyczne Zaplanuj kilka realistycznych sytuacji do ćwiczenia algorytmów na poziomie szkoły podstawowej.

15 Zadanie domowe Postaraj się zrozumieć dowód twierdzenia Sylvestera. Przynieś kalkulator na następne zajęcia.

16 Wykłady z dydaktyki matematyki (II etap edukacyjny) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 wykład nr 7: Liczby wymierne i liczby całkowite w szkole podstawowej. Kalkulatory w nauczaniu matematyki

17 PPM Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń: opisuje część danej całości za pomocą ułamka; przedstawia ułamek jako iloraz liczb naturalnych, a iloraz liczb naturalnych jako ułamek; skraca i rozszerza ułamki zwykłe; sprowadza ułamki zwykłe do wspólnego mianownika; przedstawia ułamki niewłaściwe w postaci liczby mieszanej i odwrotnie; zapisuje wyrażenia dwumianowane w postaci ułamka dziesiętnego i odwrotnie; zaznacza ułamki zwykłe i dziesiętne na osi liczbowej oraz odczytuje ułamki zwykłe i dziesiętne zaznaczone na osi liczbowej; zapisuje ułamek dziesiętny skończony w postaci ułamka zwykłego; zamienia ułamki zwykłe o mianownikach będących dzielnikami liczb 10, 100, 1000 itd. na ułamki dziesiętne skończone dowolną metodą (przez rozszerzanie ułamków zwykłych, dzielenie licznika przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora); zapisuje ułamki zwykłe o mianownikach innych niż wymienione w pkt 9 w postaci rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego (z użyciem trzech kropek po ostatniej cyfrze), dzieląc licznik przez mianownik w pamięci, pisemnie lub za pomocą kalkulatora; zaokrągla ułamki dziesiętne; porównuje ułamki (zwykłe i dziesiętne).

18 PPM Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych. Uczeń: dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki zwykłe o mianownikach jedno lub dwucyfrowych, a także liczby mieszane; dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli ułamki dziesiętne w pamięci (w najprostszych przykładach), pisemnie i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach); wykonuje nieskomplikowane rachunki, w których występują jednocześnie ułamki zwykłe i dziesiętne; porównuje różnicowo ułamki; oblicza ułamek danej liczby naturalnej; oblicza kwadraty i sześciany ułamków zwykłych i dziesiętnych oraz liczb mieszanych; oblicza wartości prostych wyrażeń arytmetycznych, stosując reguły dotyczące kolejności wykonywania działań; wykonuje działania na ułamkach dziesiętnych, używając własnych, poprawnych strategii lub z pomocą kalkulatora; szacuje wyniki działań.

19 Liczby wymierne początki eksperyment 2 5 A B C D

20 Liczby wymierne zaznaczanie na osi liczbowej (ułamki właściwe i liczby mieszane) ułamki niewłaściwe ułamki nieskracalne (przydaje się rozkład na czynniki pierwsze) zamiany ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie

21 Ułamki dziesiętne Dlaczego po ułamkach zwykłych? Przesuwanie przecinka przy mnożeniu lub dzieleniu przez 10, 100, 1000, Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych. Mnożenie i dzielenie ułamków dziesiętnych. Zamiana ułamków zwykłych na dziesiętne.

22 Ćwiczenie wstępne nr 1 a b 40 Jakie mogą być liczby a, b? Pomnóżmy a przez 10, jak zmieni się wynik? Pomnóżmy b przez 10, jak zmieni się wynik? Pomnóżmy a oraz b przez 10, jak zmieni się wynik? Ile miejsc po przecinku będzie w wyniku mnożenia 0,23 0,437?

23 Ćwiczenie wstępne nr 2 a : b 40 Jakie mogą być liczby a, b? Pomnóżmy a przez 10, jak zmieni się wynik? Pomnóżmy b przez 10, jak zmieni się wynik? Pomnóżmy a oraz b przez 10, jak zmieni się wynik? Jakim dzieleniem można zastąpić dzielenie 0,459:0,09?

24 1/33 = 0,0303 Skąd wynika powyższa równość? Jak to uzasadnić matematycznie? Trochę teorii.

25 Liczby całkowite w szkole podstawowej (PPM) Liczby całkowite. Uczeń: podaje praktyczne przykłady stosowania liczb ujemnych; interpretuje liczby całkowite na osi liczbowej; oblicza wartość bezwzględną; porównuje liczby całkowite; wykonuje proste rachunki pamięciowe na liczbach całkowitych.

26 Liczby całkowite modele Zapisywanie liczb ujemnych i dodatnich (przynajmniej na początku) z małymi znaczkami lub używanie nawiasów. Kojarzenie liczb dodatnich z zyskiem, a liczb ujemnych z długiem. Plus jeden to, minus jeden to, zatem np. 4 to.

27 Działania na liczbach całkowitych dodawanie: zysk, strata odejmowanie: związek z dodawaniem mnożenie problem znaku iloczynu 2 ( 4) ( 8) ( 2) ( 4) 8

28 Kalkulatory w nauczaniu matematyki

29 PPM SP W Treściach nauczania wymagania szczegółowe czytamy:

30 PPM G W Treściach nauczania wymagania szczegółowe dla gimnazjum mamy:

31 Rodzaje kalkulatorów Typ 1 proste kalkulatory, elektroniczne liczydła, najczęściej ośmioznakowe; posiadają one cztery działania i procenty oraz tzw. pamięć. Typ 2 kalkulatory wielofunkcyjne, kalkulatory te posiadają dodatkowe funkcje (, ln, sin, cos ); niekiedy takie kalkulatory noszą nazwę inżynierskich. Typ 3 kalkulatory graficzno-programowalne; duża gama możliwości: przekształcenia algebraiczne, różniczkowanie, całkowanie, algebra macierzy; wbudowany język, który umożliwia pisanie programów; możliwości graficzne: wykresy funkcji, proste figury geometryczne.

32 Dlaczego kalkulatory Powszechność używania w życiu codziennym. Urozmaicenie lekcji mniej nudnych lekcji związanych na przykład z rachunkami pisemnymi lub badaniem przebiegu zmienności funkcji. Możliwość eksperymentowania, stawiania hipotez. Umiejętność posługiwania się kalkulatorem ułatwia kontakt z komputerem. (to już mało realna przyczyna ze względu na powszechny dostęp uczniów do komputerów)

33 Zalety czas zadanie o prawdopodobieństwie dokładność obliczeń różnorodność operacji rozumienie pojęć Przykład: niewymierność 2.

34 Zalety rozumienie istoty algorytmów doświadczenia i twórczość Przykład: ,0032 Przykład: n matematyczne symulacje Przykład: losowanie Lotto zabawa; Przykład: 2017 za pomocą wybranych klawiszy nowy rodzaj zadań; Przykład: jak wyżej

35 Wady używania kalkulatorów rachunki pamięciowe rachunki pisemne (mnożenie sum algebraicznych jest analogiczne do pisemnego mnożenia) ułamki zwykłe (błędne wyniki np. dla obliczenia wartości wyrażenia ( ) 60) liczby rzeczywiste (slajd 36) błędne interpretacje (slajd 37) matematyczne zahamowania (slajd 38)

36 Liczby rzeczywiste Na wielu kalkulatorach nie ma liczb w małych otoczeniach zera jeśli x 10 12, to x 0. Z trudem budowana teoria liczb rzeczywistych jako zbioru bez dziur, na kalkulatorze nie znajduje potwierdzenia. Liczba 2 pokazywana jest w kalkulatorach jako liczba o skończonym rozwinięciu dziesiętnym.

37 Błędne interpretacje Wykonaj wykres wielomianu w x = x 3 3x + 2. Przy złym wyborze pokazywanych na ekranie przedziałów zmienności x, y, wykres wielomianu może wyglądać tak:

38 Matematyczne zahamowania Czy Gauss odkryłby genialny sposób obliczania sumy n, gdyby na ławce miał kalkulator?

39 Kalkulatory przykłady ze szkolnych podręczników i zbiorów zadań Przykład 9 Znajdź i zapisz w skróconej postaci rozwinięcia dziesiętne ułamków i liczb mieszanych: 13/24, 4/11, 1i5/33, 41/333. Przykład 10 W Polsce jest około szkół podstawowych, w których uczy się około uczniów. Ilu uczniów jest przeciętnie w jednej szkole podstawowej? Czy Twoja szkoła ma więcej, czy mniej uczniów niż przeciętna szkoła podstawowa? Przykład 11 Sprawdź, czy liczba m jest podzielna przez liczbę n. a) m = 5298, n = 17 b) m = , n = 113

40 Kalkulatory przykłady ze szkolnych podręczników i zbiorów zadań Przykład 12 Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych wynosi Znajdź te liczby.

41 Literatura David Nelson, PZ, Kalkulatory w szkole, Matematyka, nr 1, 1994, 24-32