egzaminugimnazjalnego

Ksią ż kadostosowana donowejformuł y egzaminugimnazjalnego

Spis treści Liczby Tydzień I Działania na liczbach... 10 Tydzień II Potęgi i pierwiastki... 16 Tydzień III Procenty... 22 Tydzień IV Statystyka... 28 Tydzień V Prawdopodobieństwo... 34 Tydzień VI Zadania egzaminacyjne... 40 Algebra Tydzień VII Wyrażenia algebraiczne... 46 Tydzień VIII Równania... 52 Tydzień IX Układy równań... 58 Tydzień X Zadania egzaminacyjne... 64 Funkcje Tydzień XI Wykresy różnych funkcji... 68 Tydzień XII Prędkość, droga, czas... 76 Tydzień XIII Zadania egzaminacyjne... 84 Geometria Tydzień XIV Kąty i trójkąty... 90 Tydzień XV Twierdzenie Pitagorasa... 96 Tydzień XVI Czworokąty... 104 Tydzień XVII Koła i okręgi... 110 Tydzień XVIII Wielokąty i okręgi... 116 Tydzień XIX Podobieństwo figur... 122 Tydzień XX Graniastosłupy i ostrosłupy... 128 Tydzień XXI Walec, kula, stożek... 134 Tydzień XXII Zadania egzaminacyjne... 140 Zestawy zadań... 145 Rozwiązania i wskazówki... 167 Odpowiedzi... 197

TYDZIEŃ III Procenty LICZBY Procenty Słowo procent (%) oznacza setną część danej wielkości. 1% danej wielkości to 1 100 tej wielkości. k % danej wielkości to k 100 tej wielkości. Promile Słowo promil ( ) oznacza tysięczną część danej wielkości. 1 danej wielkości to k danej wielkości to 1 1000 tej wielkości. k 1000 tej wielkości. 1promilto 1 10 procenta, zatem: 1% = 10 1 = 0,1% Punkty procentowe Pojęcia punkt procentowy używa się, gdy wielkości opisywane za pomocą procentów zwiększają się lub zmniejszają albo gdy porównujemy dwie wielkości wyrażone w procentach. Na przykład gdy oprocentowanie kredytu w jednym banku wynosi 6%, a w drugim 9%, to mówimy, że w drugim banku oprocentowanie jest o 3 punkty procentowe wyższe. Przykłady zamiany procentów i promili na ułamki P 60 % = 60 100 = 3 5 0,5% = 0,5 : 100 = 1 200 8 = 8 1000 = 1 125 0,7 = 0,7 : 1000 = 0,0007 Zamieniając procenty na ułamki, wystarczy wykonać dzielenie przez 100 i usunąć symbol %. Zamieniając promile na ułamki, wystarczy wykonać dzielenie przez 1000 i usunąć symbol. Przykłady zamiany ułamków na procenty i promile P 4 25 = 4 100 % = 16 % 25 1 3 = 1 3 100 % = 33 1 3 % 33,3% 3 4 = 3 1000 = 750 4 0,00018 = 0,00018 1000 = 0,18 Zamieniając ułamki na procenty, wystarczy wykonać mnożenie przez 100 i dopisać symbol %. Zamieniając ułamki na promile, wystarczy wykonać mnożenie przez 1000 i dopisać symbol. 22

TYDZIEŃ III Obliczanie procentu danej liczby P Oblicz 1,5 % liczby 18. 1,5 % liczby 18 to: 1,5 18 = 0,27 100 Odp. 1,5 % liczby 18 wynosi 0,27. Obliczanie liczby, gdy znany jest jej pewien procent P Znajdź liczbę, której 5% wynosi 12. x szukanaliczba 0,05 x =12 x = 240 Odp. Liczba, której 5% wynosi 12, jest równa 240. Obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba P Oblicz, jaki procent liczby 15 stanowi liczba 6. 6 15 = 6 15 100% = 40% Odp. Liczba 6 stanowi 40% liczby 15. Zmiana o pewien procent Liczba o p %większaodliczbya jest równa a + p %liczbya. a + p ( 100 a = 1+ p ) 100 a Na przykład: liczba o 2% większa od a to 1,02a liczba o 34% większa od a to 1,34a a +0,02a =1,02a a +0,34a =1,34a Liczba o p %mniejszaodliczbya jest równa a p %liczbya. Na przykład: liczba o 54% mniejsza od a to 0,46a liczba o 2% mniejsza od a to 0,98a a 0,54a =0,46a a 0,02a =0,98a 23

LICZBY Procenty Ćwiczenia kontrolne A. Oblicz w pamięci: a) 10% masy 120 kg oraz 70% tej samej masy. b) Jaki procent kwoty 240 zł stanowi 24 zł, a jaki 12 zł? c) Jaką długość ma trasa, jeśli 20% tej trasy ma długość 5 km? d) Spodnie kosztują obecnie 80 zł. Ile by kosztowały po podwyżce o 5%, a ile po obniżce o 25%? B. a) Zamień podane procenty na ułamki dziesiętne: 8% 40% 105% 0,5% b) Zamień podane liczby na procenty: 0,72 0,025 1,07 2,3 C. Oblicz: a) 20% liczby 55 b) 130% liczby 10 c) 0,21% liczby 1 11 14 D. Jakim procentem liczby a jest liczba b? a) a =8,b =0,5 b) a = 200, b =26 c) a =3,b = 0,198 E. Trójkąt podzielono na jednakowe, mniejsze trójkąty. Jaki procent pola dużego trójkąta stanowi pole zamalowanej części? F. Oblicz: a) liczbę, której 120% jest równe 25, b) liczbę, której 48% jest równe 6, c) liczbę o 3% większą od 60, d) liczbę o 8% mniejszą od 7. str. 171 G. a) Oblicz 5 liczby 38 mln. b) Znajdź liczbę, której 0,5 wynosi 2. c) Jaki promil liczby 150 000 stanowi liczba 30? d) Fluor stanowi 0,05% pewnego leku ile to promili? H. a) 2 objętości 8 litrów ile to cm 3? b) 20 g ile to promili masy 5 kg? c) 6 arów to 15 powierzchni pewnego pola. Ile hektarów ma to pole? 24

TYDZIEŃ III 1. W czasie transportu 12 ton jabłek uszkodzeniu uległo 5% owoców. Uszkodzone owoce ważyły: A. 0,6 t B. 1 t C. 5 t D. 6 t 6 2. Pierwsze wydanie pewnej gazety miało nakład 3 tys. egzemplarzy. W ciągu roku nakład wzrósł o 135% i wynosi: A. 4050 egz. B. 6135 egz. C. 7050 egz. D. 3135 egz. 3. Rower kosztował 1000 zł. Po dwukrotnej obniżce o 10% rower kosztuje: A. 810 zł B. 800 zł C. 980 zł D. 890 zł str. 171 4. W 4 kg roztworu znajdują się 2 g soli. Jakie jest stężenie procentowe soli w tym roztworze? A. 1 5 B. 5 C. 0,5 D. 2 str. 171 5. W zawodach sportowych brało udział 150 osób podzielonych na trzy kategorie: dorośli (27 osób), młodzież (81 osób) i dzieci (42 osoby). Który z diagramów przedstawia procentowy udział sportowców z tych kategorii? str. 171 6. Za wykonaną pracę Agata, Beata i Celina otrzymały razem 200 złotych. Z tej kwoty Agata otrzymała 80 zł, Beata 70 zł, a resztę wzięła Celina. Oceń prawdziwość poniższych zdań. I. Agata otrzymała 80% wynagrodzenia. II. Celina otrzymała 20% wynagrodzenia. III. Beata otrzymała 35% wynagrodzenia. IV. Celina otrzymała o 2% mniej od Beaty. str. 171 25

LICZBY Procenty 7. Liczba, której 72% jest równe 9, wynosi: A. 13 B. 2,88 C. 8,88 D. 12,5 8. Uczeń odpowiedział poprawnie na 27 pytań testu, co stanowi 90% wszystkich pytań. Jeśli oznaczymy literą p liczbę pytań w teście, to: A. p 28 B. 28 < p 30 C. 30 < p 32 D. p >32 str. 171 9. Samochód po roku użytkowania stracił 15% swojej wartości i obecnie wyceniony został na 34 000 zł. Rok wcześniej samochód był wart: A. 40 000 zł B. 28 900 zł C. 39 100 zł D. 51 000 zł str. 171 10. W pewnym gimnazjum są dwie klasy trzecie. W klasie III a jest 18 dziewcząt i stanowią one 60% tej klasy, a w klasie III b jest 5 dziewcząt i stanowią one 20% tej klasy. Jaki procent uczniów klas trzecich stanowią dziewczęta? A. 20% B. ok. 42% C. 40% D. ok. 30% str. 171 11. W pewnym banku złożono 1500 zł na roczną lokatę. Po upływie roku stan lokaty wzrósł do 1590 zł. Oprocentowanie w tym banku wynosiło: A. mniej niż 3%, B. między 3% a 5%, C. między 5% a 7%, D. więcej niż 7%. str. 172 12. Do 95 g roztworu soli o stężeniu 5% dosypano 5 g soli. Otrzymano w ten sposób roztwór, w którym sól stanowi: A. 5% B. 5,5% C. 9,75% D. 15,25% str. 172 13. W pewnym państwie poparcie dla Partii Konserwatywnej wynosi 20%, a dla Partii Postępu 30%. Oceń, czy prawdą jest, że poparcie dla partii Postępu: I. jest o 10% wyższe niż dla Partii Konserwatywnej, II. jest o 50% wyższe niż dla Partii Konserwatywnej, III. jest 1,5 raza wyższe niż dla Partii Konserwatywnej, IV. jest o 10 punktów procentowych wyższe niż dla Partii Konserwatywnej. TAK TAK TAK TAK NIE NIE NIE NIE 26

TYDZIEŃ III 14. W tabeli przedstawiono, o ile procent wzrastała liczba ludności Indii w ciągu trzech dekad. 1981 1991 1991 2001 2001 2011 24% 21% 18% a) W 1991 roku w Indiach mieszkało 850 mln ludzi. Oblicz liczbę mieszkańców Indii w 2001 roku oraz w 1981 roku. Wyniki zaokrąglij do milionów. b) O ile procent wzrosła liczba mieszkańców Indii w latach 1991 2011? str. 172 15. Przyjrzyj się informacjom podanym na mapie obok. a) Ile razy średnie zasolenie w Morzu Czerwonym jest większe od średniego zasolenia wbałtyku? b) Ile soli znajduje się w 1,2 kg wody z Morza Czarnego? c) Oblicz, jakie stężenie soli ma mieszanina 3 kg wody z Bałtyku i 2 kg wody z Morza Czerwonego? d) Ile wody trzeba dodać do 1 kg wody z Morza Czerwonego, aby otrzymać wodę o stężeniu soli takim jak w Morzu Czarnym? str. 172 16. Na rysunku przedstawiono opakowanie śmietany. Oceń prawdziwość podanych zdań. I. W całej śmietanie z tego opakowania jest mniej niż 40 g tłuszczu. II. Skoro w 200 g tej śmietany jest 18% tłuszczu, to w 100 g będzie 9% tłuszczu. III. Gdyby całą śmietanę z tego opakowania zmieszać z 400 g wody, to zawartość tłuszczu w takiej mieszance wyniosłaby 9%. IV. Po wymieszaniu całej śmietany z tego opakowania ze 100 g śmietany o zawartości 12% tłuszczu otrzymamy śmietanę o zawartości 15% tłuszczu. str. 172 27

Zestaw I 1. Niech A, B i C oznaczają następujące sformułowania: A jest zawsze liczbą parzystą B jest zawsze liczbą nieparzystą C może być liczbą parzystą lub liczbą nieparzystą Uzupełnij poniższe zdania, wpisując w kwadraciku literę A, B lub C. Suma dwóch liczb parzystych. Iloczyn liczby parzystej i nieparzystej Iloczyn dwóch liczb nieparzystych. Suma dwóch liczb nieparzystych. Suma liczby parzystej i nieparzystej. Iloczyn dwóch liczb parzystych.. 2. Pewien zawodnik, biorący udział w biegu na 200 m, pokonał pierwsze 100 m w czasie 11,98 s, a cały dystans w czasie 24,07 s. Czas, w jakim ten zawodnik przebiegł drugą połowę dystansu, jest dłuższy od czasu pokonania przez niego pierwszych 100 m o: A. 0,11 s B. 2,13 s C. 1,01 s D. 0,09 s 3. Na diagramie kołowym przedstawiono strukturę wieku polskich lasów. Jaką część wszystkich lasów stanowią lasy w wieku 41 60 lat? A. 22 100 B. 22 78 C. 100 22 D. 18 100 czerwiec 2002 4. Zebrano informacje o liczbie dzieci w trzech grupach rodzin (grupy A, B i C). Dane dotyczące grupy A przedstawiono na diagramie słupkowym, a część informacji o grupach B i C zapisano w tabeli. Uzupełnij tę tabelę. Grupa Liczba rodzin Liczba dzieci Średnia liczba dzieci w rodzinie A......... B 15... 2 C... 18 1,5 5. Z mąki, cukru i trzech jajek zagnieciono ciasto. Masa mąki była 1,5 raza większa od masy cukru, a każde z jajek ważyło 6 dag. Jeśli do zrobienia ciasta wzięto c dekagramów cukru, to masa (w dekagramach) wszystkich użytych produktów wynosi: A. 7,5c B. c +7,5 C. 1,5c +6 D. 2,5c +18 146

ZESTAW I 6. Herbatniki produkowane przez pewne zakłady cukiernicze sprzedawane są w paczkach po 12 oraz po 8 sztuk. Większa paczka kosztuje 80 gr, a mniejsza 65 gr. Za 124 herbatniki zapakowane w x większych paczek i y mniejszych paczek zapłacono 36zł. Liczby x i y spełniają równanie: A. 0,80x +8y =36 B. (x + y )(0,8 + 0,65) = 36 C. x + y =124 D. 12x +8y =124 7. Magda powiedziała Jurkowi: Pomyśl jakąś liczbę, dodaj do niej 5, wynik pomnóż przez 3, a następnie od otrzymanej liczby odejmij tę, którą pomyślałeś na początku. Jaki wynik otrzymałeś?. Jurek odpowiedział: Dwadzieścia dziewięć. Jaką liczbę pomyślał Jurek na początku? A. 14 B. 7 C. 15 D. 44 str. 192 Informacja do zadań 8 9. Wykres przedstawiony obok pokazuje, jak pewnego dnia zmieniała się głębokość wody deszczowej, która zbierała się w cylindrycznym naczyniu. 8. Między 13 00 a17 00 głębokość wody w naczyniu wzrosła o: A. 10 cm B. 8 cm C. 4 cm D. 2 cm 9. Czy poniższe zdania są prawdziwe czy fałszywe? I. Między 9 00 a13 00 nie padało. II. Poranny deszcz był mniej intensywny niż popołudniowy. III. Przed 2 00 naczynie było puste. IV. O 9 00 naczynie było pełne. 10. Przedstawione na rysunku proste a i b są równoległe. Jaką miarę ma kąt α? A. 23 B. 42 C. 65 D. 115 11. W pudełku w kształcie walca mieszczą się, jedna nad drugą, trzy piłki każda o promieniu 2 cm. Przylegają one do siebie, do powierzchni bocznej pudełka oraz do dna i pokrywki. Wynika z tego, że pudełko ma objętość równą: A. 48π cm 3 B. 32π cm 3 C. 24π cm 3 D. 12π cm 3 str. 192 147

ZESTAW I 12. Czy na każdym czworokącie można opisać okrąg? Wybierz odpowiedź TAK lub NIE. Jeśli odpowiedziałeś TAK wskaż jedną z podanych przyczyn, a jeśli wybrałeś odpowiedź NIE narysuj przykład uzasadniający twój wybór. TAK, ponieważ każdy czworokąt można podzielić na dwa trójkąty. suma kątów każdego czworokąta wynosi 360. każdy kwadrat jest czworokątem. NIE, ponieważ można podać przykład czworokąta, na którym nie można opisać okręgu. 13. Drabina o długości 4 m oparta jest o ścianę budynku na wysokości 3 m od ziemi. Odległość (w metrach) punktu, w którym drabina opiera się o ziemię, od ściany budynku wynosi: A. 3 B. 2 C. 7 D. 5 str. 192 14. Na poniższej mapie zaznaczono kolorem pewną trasę rowerową. Średnie nachylenie (n) drogi oblicza się ze wzoru n = w 100%, gdzie w oznacza różnicę d wysokości między wysokościami nad poziomem morza punktu początkowego A i punktu końcowego B, ad oznacza długość drogi. a) Nachylenie drogi między punktami A i B wynosi 2%. Jaka jest długość tej drogi? b) Jakie byłoby nachylenie tej drogi, gdyby łączyła ona punkty A i B wzdłuż linii prostej? str. 192 15. Uzasadnij, że jeśli kula mieści się w prostopadłościennym pudełku o wymiarach 6 cm 7cm 8 cm, to jej objętość jest mniejsza niż 116 cm 3. str. 192 148