1. Liczby i działania Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory 1 MATEMATYKA rozpoznaje liczby naturalne, posługuje się symbolami, zapisując określa wykonalność działań w zbiorze własności liczb naturalnych, liczb naturalnych, wykonalność działań w zbiorze liczb posługuje się cechami podzielności naturalnych zapisuje w postaci liczb naturalnych. twierdzeń, rozpoznaje liczby całkowite, określa wykonalność działań w zbiorze posługując się własnościami liczb liczb całkowitych, naturalnych. podaje liczbę przeciwną do danej wyznacza na osi liczby całkowite, których liczby całkowitej, wartość bezwzględna spełnia określoną wyznacza wartość bezwzględną liczby równość lub nierówność, całkowitej. posługuje się symbolami, zapisując wykazuje, Ŝe dana liczba jest własności liczb całkowitych, wymierna, wykonalność działań w zbiorze liczb określa wykonalność działań w zbiorze całkowitych zapisuje w postaci twierdzeń, liczb wymiernych, dla danej liczby wymiernej wyznacza posługując się własnościami liczb jej wartość bezwzględną, liczbę całkowitych. przeciwną oraz odwrotność, posługuje się symbolami, zapisując zaznacza liczby wymierne na osi, własności liczb wymiernych, porównuje i porządkuje liczby wyznacza liczbę wymierną o danym wymierne, rozwinięciu dziesiętnym okresowym, znajduje rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej, posługując się liczbami wymiernymi. zaokrągla liczby wymierne z stosuje własności arytmetycznych dokładnością do określonego rzędu, pierwiastków w rozwiązywaniu zapisuje procent w postaci trudniejszych problemów, nieskracalnego ułamka, zaznacza liczby niewymierne na osi zapisuje ułamek w postaci procentu, liczbowej, odczytuje informacje z prostokątnego diagramu procentowego, posługując się liczbami niewymiernymi, stosuje procenty w praktycznych porównuje i porządkuje liczby sytuacjach, sporządzając rzeczywiste*, schematyczny rysunek, posługuje się symbolami, zapisując oblicza, ile procent jednej liczby własności liczb rzeczywistych, stanowi druga, zapisuje przedział liczbowy określony za oblicza procent danej liczby oraz pomocą nierówności, liczbę, gdy dany jest jej procent, zaznacza dany przedział liczbowy na osi posługując się proporcją, liczbowej. stosuje obliczenia procentowe w wyznacza w przedziale liczby o zadanej praktycznych sytuacjach własności. oblicza potęgę liczby wymiernej o wykładniku całkowitym mnoŝy potęgi o jednakowych podstawach, dzieli potęgi o jednakowych podstawach, przekształca wyraŝenia, stosując poznane wzory. mnoŝy potęgi o jednakowych wykładnikach, dzieli potęgi o jednakowych wykładnikach przekształca wyraŝenia, stosując
2 Rozwiazywanie problemów praktycznych poznane wzory. potęguje potęgi, iloczyny i ilorazy, oblicza kwadraty lub sześciany liczb, wykorzystując tablice matematyczne. zapisuje liczby wymierne w notacji wykładniczej. rozpoznaje liczby niewymierne, podaje przykłady liczb niewymiernych, określa, między jakimi liczbami naturalnymi znajduje się na osi dana liczba niewymierna, odczytuje przybliŝenie dziesiętne arytmetycznego pierwiastka, korzystając z tablic, oblicza arytmetyczny pierwiastek kwadratowy i sześcienny z iloczynu liczb, oblicza pierwiastki z liczb większych niŝ 10, wykorzystując tablice, wyłącza czynnik przed znak pierwiastka, mnoŝy pierwiastki tego samego stopnia, oblicza arytmetyczny pierwiastek kwadratowy i sześcienny z ilorazu liczb, oblicza pierwiastki z liczb mniejszych niŝ 1, wykorzystując tablice, dzieli pierwiastki tego samego stopnia. w rozwiązywaniu prostych równań kwadratowych stosuje zaleŝność: 2 a = a. określa wykonalność działań w zbiorze liczb rzeczywistych, oblicza arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej, oblicza pierwiastek sześcienny z dowolnej liczby, posługuje się własnościami pierwiastków arytmetycznych, usuwa niewymierność z mianownika ułamka. dokonuje zamiany jednostek długości, masy, prędkości itp., rozwiązuje problemy praktyczne, sporzadzając schematyczny rysunek, mnoŝy i dzieli liczby w notacji wykładniczej, stosuje proporcję w rozwiązywaniu problemów, posługuje się promilami, stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów praktycznych, np. wykonuje obliczenia związane z VAT, oblicza odsetki dla lokaty rocznej. dodaje i odejmuje liczby w notacji wykładniczej, wybiera dane niezbędne do rozwiązania praktycznych problemów, stosuje działania na liczbach wymiernych w rozwiązywaniu trudniejszych problemów.
WyraŜenia arytmetyczne 3 odpowiedzi na pytania zapisuje za pomocą wyraŝenia arytmetycznego, oblicza wartość wyraŝenia arytmetycznego, posługujac się regułami kolejności wykonywania działań, stosuje prawa działań w obliczaniu wartości wyraŝeń, dodaje, odejmuje i mnoŝy liczby postaci a + b c. na podstawie informacji podanych słownie lub na rysunku, określa, co opisuje podane wyraŝenie, podaje słowne określenie wyraŝeń arytmetycznych, stosując prawa działań. Algebra WyraŜenia algebraiczne zapisuje wyraŝenia algebraiczne do podaje pełne słowne określenie danego opisywania praktycznych sytuacji wyraŝenia algebraicznego, przedstawionych na rysunku lub na podstawie informacji określa opisanych słowami, wielkość, którą opisuje dane wyraŝenie zapisuje własności liczb i działań z algebraiczne, uŝyciem wyraŝeń algebraicznych, zapisuje wyraŝenie, wiedząc, jakie oblicza wartości wyraŝeń wartości przyjmuje dla danych liczb, algebraicznych w zakresie liczb określone słownie wyraŝenie zapisuje, rzeczywistych, uŝywając symboli matematycznych, podaje liczby, dla których dane opisuje słowami wykonywane czynności wyraŝenie nie ma sensu liczbowego, i wyraŝenia, posługując się poprawną opisuje za pomocą wyraŝeń informacje terminologią. podane w zadaniu, oznaczając literą x dzieli sumę algebraiczną przez liczbę, kolejne wielkości, sprowadza wyraŝenia algebraiczne do podaje nazwę wyraŝenia. najprostszej postaci, wykonując kilka porządkuje jednomian i określa jego jego przekształceń, współczynnik liczbowy, posługuje się wyraŝeniami rozpoznaje sumę algebraiczną, algebraicznymi w rozwiązywaniu rozróŝnia jej wyrazy i redukuje wyrazy trudniejszych problemów, podobne, mnoŝy trzy i wiecej wielomianów, mnoŝy jednomian przez sumę stosuje wzory skróconego mnoŝenia, algebraiczną, usuwa niewymierność w ułamku, gdy wyłącza czynnik przed nawias. dodaje i odejmuje wielomiany, mianownik ma postać liczby a + b c. mnoŝy dwa wielomany, oblicza kwadrat sumy lub róŝnicy dwóch wyraŝeń, wykonując odpowiednie mnoŝenie, mnoŝy sumę dwóch wyraŝeń przez ich róŝnicę.
4 Równania, nierówności, układy rozpoznaje równanie liniowe z jedną niewiadomą, zapisuje równanie do sytuacji przedstawionej na rysunku lub opisanej słowami, sprawdza, czy liczba jest rozwiązaniem równania, rozwiązuje równanie liniowe metodą równań równowaŝnych, określa, ile rozwiązań ma dane równanie liniowe, podaje, w jaki sposób przekształcić równanie, by po jednej stronie pozostało określone wyraŝenie, przekształca proste wzory. rozpoznaje nierówność liniową z jedną niewiadomą, rozwiązuje nierówność liniową z jedną niewiadomą i zaznacza jej rozwiązanie na osi liczbowej. ilustruje równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi na wadze szalkowej, sprowadza równanie do postaci ax + by = c, wyznacza niewiadomą x lub y z równania postaci ax + by = c, sprawdza rachunkowo, czy para liczb spełnia równanie, określa niewiadome i zapisuje równanie do sytuacji przedstawionej na rysunku lub opisanej słowami. zapisuje układ równań na podstawie podanej informacji, gdy określone są niewiadome, sprawdza, czy para liczb spełnia układ równań, odczytuje rozwiązanie układu równań liniowych, gdy dane są ich wykresy, określa rodzaj układu, rozwiązuje oznaczony układ równań algebraiczną metodą przez podstawianie, rozwiązuje oznaczony układ równań algebraczną metodą przez odejmowanie lub dodawanie stronami, określa niewiadome i zapisuje układ równań do sytuacji przedstawionej na rysunku lub opisanej słowami. wybiera równanie lub układ równań do sytuacji określonej słownie, na podstawie informacji określonych słownie uzupełnia zapisy na rysunku i rozwiązuje praktyczny problem, zapisując równanie lub nierówność, rozwiązuje zadanie tekstowe, zapisując równania lub układy równań do podkreślonych informacji. wyznacza parametr w równaniu, gdy dane jest rozwiązanie, przekształca trudniejsze wzory, rozwiązuje trudniejsze problemy za pomocą równań, uzupełnia treść zadania do sytuacji przedstawionej w tabelce i opisanej za pomocą równania. określa, ile rozwiązań ma dana nierówność liniowa, wyznacza parametr w nierówności, gdy dane jest jej rozwiązanie, podaje np. liczby całkowite spełniające daną nierówność. sporządza wykres równania liniowego, kojarzy określoną prostą na płaszczyźnie z jej równaniem, wyznacza równanie prostej na płaszczyźnie, gdy dane są jej własności. rozwiązuje układ równań metodą graficzną, wyznacza brakujące współczynniki układu równań gdy dane jest jego rozwiązanie, określa liczbę rozwiązań układu, rozwiazując go algebraicznie, rozwiązuje trudniejsze problemy dotyczące układów równań, ocenia liczbę rozwiązań układu (rodzaj układu) na podstawie danych równań, dopisuje drugie równanie tak, aby uzyskać układ o określonej liczbie rozwiązań, oblicza pole figury ograniczonej wykresami równań liniowych i osiami układu współrzędnych. uzupełnia tekst zadania na podstawie rysunku, określonych niewiadomych i danego układu równań, rozwiązuje trudniejsze problemy praktyczne z wykorzystaniem równań lub układów równań.
5 Funkcje określa argumenty i wartości funkcji określonej słownie, grafem, tabelką lub wykresem, sprawdza, czy przyporządkowanie określone grafem, tabelką lub wykresem jest funkcją, odczytuje z grafu, tabelki lub wykresu wartość funkcji przyporządkowaną danemu argumentowi lub argument, któremu przyporządkowana jest dana wartość funkcji, sporządza tabelkę i wykres funkcji opisanej słowami lub wzorem, sprawdza rachunkowo, czy punkt o danych współrzędnych naleŝy do wykresu funkcji określonej wzorem, oblicza wartość funkcji dla danego argumentu lub argument dla danej wartości, gdy funkcja jest określona wzorem, określa dziedzinę funkcji danej wzorem, odczytuje z wykresu, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie, dla jakich ujemne, a dla jakich 0, odczytuje i interpretuje informacje przedstawione za pomocą wykresów funkcji (w tym wykresów opisujących zjawiska występujące w przyrodzie, gospodarce, Ŝyciu codziennym). wyróŝnia współczynnik kierunkowy i wyraz wolny we wzorze funkcji liniowej, rysuje wykres funkcji liniowej o danym wzorze, rozpoznaje na podstawie wzorów funkcji liniowych, czy ich wykresy są równoległe, rozpoznaje, czy funkcja liniowa określona wzorem jest rosnąca, malejąca, czy stała, na podstawie wzoru oblicza, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne. podaje wzór funkcji określonej tabelką, rysuje wykresy funkcji określonej wzorem dla róŝnych jej dziedzin, posługując się funkcjami danymi w dowolnej postaci, posługuje się wykresami funkcji w rozwiązywaniu praktycznych problemów, uzupełnia wykres funkcji o podanych własnościach, oblicza miejsce zerowe funkcji określonej wzorem. zapisuje wzór funkcji liniowej na podstawie danej tabelki lub wykresu, wyznacza wzór funkcji liniowej, gdy dane są dwa punkty naleŝące do jej wykresu, wyznacza argumenty, dla której wartości jednej funkcji są większe niŝ wartości drugiej, podaje ogólny wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia określone warunki, rozwiązuje równania z wartością bezwzględną, posługując się wykresami funkcji liniowej. Proporcjonalność opisuje wzorem wielkości wprost proporcjonalne, gdy dany jest wykres, sprawdza, czy określone wielkości są wprost proporcjonalne, opisuje wzorem i rysuje wykres określonych wielkości proporcjonalnych, sprawdza, czy wielkości podane w tabelce są wprost proporcjonalne, rozwiązuje proste praktyczne problemy z zastosowaniem wielkości proporcjonalnych. rozwiązuje trudniejsze problemy z zastosowaniem proporcjonalności prostej.
6 określa wielkości odwrotnie proporcjonalne na podstawie wykresu, sprawdza, czy określone wielkości są odwrotnie proporcjonalne, opisuje wzorem i rysuje wykres określonych wielkości odwrotnie proporcjonalnych, sprawdza, czy wielkości podane w tabelce są odwrotnie proporcjonalne, rozwiązuje proste praktyczne problemy z zastosowaniem wielkości odwrotnie proporcjonalnych. na podstawie wzorów z fizyki określa, które wielkości występujące w danym wzorze są wprost, a które odwrotnie proporcjonalne, rozwiązuje trudniejsze problemy z zastosowaniem proporcjonalności odwrotnej.
2. Figury ich własności i relacje Figury płaskie 7 definiuje pojęcia uzupełnia objaśnienie tak, by dotyczyło matematyczne, ono tylko definiowanego obiektu, podaje przykłady pojęć pierwotnych, na podstawie objaśnienia odkrywa kojarzy definicję z rysunkiem termin definiowany, definiowanego obiektu, samodzielnie definiuje nowy obiekt. sporządza rysunek definiowanego zapisuje twierdzenie za pomocą symboli obiektu. matematycznych, twierdzenie wypowiedziane w formie rozpoznaje dowody wprost i nie wprost, zdania orzekającego formułuje w przeprowadza proste dowody wprost postaci zdania warunkowego, przykładowych twierdzeń. wyróŝnia w twierdzeniu załoŝenie i tezę, formułuje twierdzenie odwrotne do wykorzystując przystawanie lub danego. podobieństwo figur, rozpoznaje, nazywa i rysuje róŝne stosuje twierdzenie Talesa do rodzaje trójkątów i czworokątów, konstruowania odcinków i obliczania ich rozwiązuje zadania, stosując własności długości. dwusiecznej kąta i symetralnej odcinka, w rozwiązywaniu zadań stosuje własności trójkątów prostokątnych: z kątem 30 oraz z kątem 45, w rozwiązywaniu zadań stosuje własności trójkątów i czworokątów stosuje własności trójkąta wpisanego w okrąg w rozwiązywaniu zadań, stosuje własności trójkąta opisanego na okręgu w rozwiązywaniu zadań. rozpoznaje i rysuje figury symetryczne względem prostej, rozpoznaje i rysuje figury symetryczne względem punktu, podaje współrzędne punktów symetrycznych do danych względem osi lub początku układu współrzędnych, wyznacza środek lub osie symetrii figury. rysuje obraz danej figury w jednokładności o danym środku i skali, odczytuje skalę jednokładności z rysunku, powiększa lub zmniejsza figury w danej skali, oblicza wymiary wielokąta powiększonego lub pomniejszonego w danej skali.
8 Figury przestrzenne dzieli odcinki na równe części, dzieli odcinek w danym stosunku, rozpoznaje figury przystające, stosując cechy ich przystawania, rozpoznaje figury podobne, stosując cechy ich podobieństwa, powiększa i zmniejsza wielokąty w danej skali, odczytuje skalę podobieństwa z rysunku, wskazuje odcinki proporcjonalne dla figur podob-nych i oblicza długości odcinków, korzystając z odpowiedniej proporcji. rozpoznaje, opisuje i rysuje graniastosłupy, ostrosłupy, walec, stoŝek i kulę, na modelach i rysunkach wielościanów wskazuje kąt między określoną krawędzią (przekątną lub wysokością) a ścianą bryły, na modelach i rysunkach wielościanów wskazuje kąt między dwiema ścianami i określa ramiona kąta liniowego. opisuje przekrój bryły określoną płaszczyzną, rozpoznaje bryły podobne i wyznacza skalę ich podobieństwa, posługując się wyobraźnią przestrzenną i własnościami brył. Miara Długość zamienia metryczne jednostki długości, porównuje obwody figur narysowanych na kratkowanej kartce, oblicza obwód wielokąta o danych bokach, oblicza bok wielokąta o danym obwodzie. oblicza długość okręgu o danym promieniu lub średnicy, oblicza długość łuku okręgu, oblicza promień lub średnicę koła o danym obwodzie, posługuje się długością okręgu w rozwiązywaniu problemów praktycznych. stosuje twierdzenie Pitagorasa w rozwiązywaniu trudniejszych problemów, buduje odcinki o długości niewymiernej, np. 3 + 2, czy 13, rozwiązuje trudniejsze problemy planimetrii i stereometrii z zastosowaniem zwiazków miarowych w trójkącie.
9 Związki miarowe w trójkącie Obwód figury Pole figury Objętość zna i stosuje związek między kątami trójkąta, oblicza jeden z boków trójkąta prostokątnego, gdy dane są dwa pozostałe, oblicza odległość danego punktu na płaszczyźnie od początku układu współrzędnych, stosuje twierdzenie Pitagorasa w sytuacjach praktycznych, posługuje się twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa, buduje odcinki o długości niewymiernej, posługuje się własnościami trójkątów prostokątnych z kątem 45 oraz z kątem 30 w rozwiazywaniu problemów praktycznych, posługuje się związkami miarowymi trójkąta, rozwiązując zadania ze stereometrii. sprawnie posługuje się jednostkami długości, wyznacza i porównuje obwody figur narysowanych na kwadratowej siatce, oblicza obwody wielokątów i kół. wyznacza i porównuje pola figur narysowanych na kwadratowej siatce, sprawnie oblicza pole trójkątów, równoległoboków, trapezów, wielokątów foremnych i kół, oblicza stosunek pól figur podobnych, zamienia metryczne jednostki pola, posługując się odpowiednimi ich zamiennikami. sprawnie oblicza pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stoŝka i kuli, oblicza pole powierzchni całkowitej graniastosłupa i ostrosłupa, stosując własności figur płaskich. wyznacza i porównuje objętości brył zbudowanych z sześcianów jednostkowych, zamienia metryczne jednostki objętości, posługując się odpowiednimi ich zamiennikami, sprawnie oblicza objętość graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stoŝka i kuli, oblicza objętości brył zbudowanych ze znanych figur przestrzennych, oblicza objętości brył, stosując własności figur płaskich. stosuje w rozwiązywaniu zadań twierdzenie o stosunku obwodów figur podobnych, posługując się obwodem figury. oblicza pole figur ograniczonych odcinkami i łukami, stosuje w rozwiązywaniu zadań twierdzenie o stosunku pól figur podobnych, rozwiązuje trudniejsze zadania, posługując się polem figury. stosuje w rozwiązywaniu zadań twierdzenie o stosunku pól powierzchni brył podobnych, rozwiązuje trudniejsze problemy z wykorzystaniem pola powierzchni brył. stosuje w rozwiązywaniu zadań twierdzenie o stosunku objętości brył podobnych, posługuje się zaleŝnością między objętością stoŝka, kuli i walca, odkrytą przez Archimedesa, rozwiązuje trudniejsze problemy praktyczne, posługując się objętością brył.
10 3. Elementy statystyki Zbieranie, porzadkowanie i przedstawianie danych zapisuje i porządkuje dane statystyczne, porównuje dane tego samego rodzaju, posługując się wartościami średnimi (średnia arytmetyczna, mediana i moda), sporządza diagramy lub wykresy na podstawie zebranych danych. samodzielnie zbiera i opracowuje dane statystyczne, na podstawie opracowanych danych formułuje wnioski. 4. Doświadczenia losowe Proste doświadczenia losowe podaje przykłady doświadczeń określa wyniki danego doświadczenia losowych, kilkuetapowego, dokonując prób ich określa wyniki danego doświadczenia kodowania, jednoetapowego, dokonując prób ich doświadczalnie bada częstość wyniku kodowania, kilkuetapowych doświadczenia doświadczalnie bada częstość wyniku losowego, jednoetapowych doświadczenia podejmuje próby określenia częstości losowego, teoretycznej wyniku kilkuetapowych podejmuje próby określenia częstości doświadczeń losowych, teoretycznej wyniku jednoetapowych doświadczeń losowych. posługując się częstością teoretyczną. *) treści wykraczające poza podstawę programową, odpowiednie wymagania moŝna potraktować jako wymagania na ocenę celujący.