Zadanie 5 Rozważmy następujący problem transportu ciepła w geometrii 2D: Transport ciepła opisany jest równaniem: + = = (, ) W zagadnieniu rozpatrujemy warunki brzegowe typu Dirichleta: Warunki początkowe: Zewnętrzny brzeg ( Ω 1 ): T = 25 0 C Wewnętrzny brzeg ( Ω 2 ): T = 60 0 C T(x,y,0) = 25 0 C Wykonaj symulację rozkładu temperatury w stanie niestacjonarnym: T(x,y,t) =? (x,y) ϵ Ω Przyjmij że ośrodek w jakim zachodzi transport ciepła wykonany jest z żeliwa: λ = 50 W/m*K C p = 420 J/kg*K ρ = 7000 kg/m 3 Jako wymiary elipsy większej należy przyjąć: Półoś wielka: Półoś mała: Mniejsza elipsa jest dwukrotnie mniejsza. b = 10 cm a = 6cm
Rozwiązanie: 1. Uruchomić program COMSOL Multiphysics 5.1 2. Po otwarciu programu należy wybrać Model Wizard 3. Następnie w sekcji Select Space Dimensions należy wybrać geometrię 2D 4. W sekcji Select Physics należy rozwinąć ścieżkę Mathematics > PDE Interfaces i wybrać General Form PDE i nacisnąć przycisk Add. W lewej części okna w zależności od potrzeb można zmienić oznaczenie zmiennej, która domyślnie jest oznaczona literą "u".
5. W sekcji Select Study należy wybrać opcję Time Dependent i nacisnąć przycisk Done. 6. Po wykonaniu poprzednich kroków otwiera się okno projektu zdefiniowanego przez wybory dokonane w ramach Model Wizard. Pierwszym krokiem od którego należy rozpocząć rozwiązywanie zadania jest wprowadzenie zmiennych globalnych, które będą wykorzystywane w tym projekcie. W tym celu prawym przyciskiem myszy na przycisk Global Definitions, znajdującym się w lewej części ekranu i z listy wybieramy prawym przyciskiem przycisk Parameters. 7. Po wybraniu opcji pojawia się tabela w której należy wprowadzić w kolumnie Name nazwy parametrów podanych w treści zadania, a w kolumnie Expression ich wartości. Liczby w kolumnie Value są generowane automatycznie. Jednostki należy wprowadzać w kolumnie Expression w nawiasach kwadratowych [ ]. W przypadku korzystania z parametrów opisanych w jednostkach SI, można pominąć wprowadzenie jednostek do tabeli, jednak należy pamiętać o tym by wszystkie wartości były wyrażone w jednostkach SI.
8. Kolejnym etapem jest wykonanie odpowiedniej geometrii. W tym celu należy kliknąć prawym przyciskiem myszy na przycisk Geometry 1 i z listy wybrać przycisk Elipse. 9. W celu wykonania pierwszej elipsy potrzebnej do wykonania zadanej w zadaniu geometrii należy wprowadzić do okien a-semiaxiss i b-semiaxis odpowiednio a i b, które zostały zdefiniowane w sekcji Parameters. Po wprowadzeniu wartości należy nacisnąć przycisk Build Selected.
10. Aby wykonać zadaną geometrię należy wykonać kolejną elipsę, tak jak to opisano w punkcie 8. W oknach a-semiaxis i b-semiaxis należy wprowadzić odpowiednio wartości 0.5*a i 0.5*b a następnie nacisnąć przycisk Build Selected.. 11. Ostatnim etapem wykonaniaa zadanej geometrii jest wykonanie operacji różnicy (Difference) na wykonanych elipsach. W tym celu należy kliknąć prawym przyciskiem myszy na przycisk Geometry 1 i z listy która się pojawia należy najechać na przycisk Booleans and Partitions i kolejnej listy wybrać przycisk Difference
. 12. Operacja jaką należy wykonać do odjęcie mniejszej elipsy od elipsy większej. W tym celu w oknie Object to add należy dodać elipsę większą. Można to zrobić poprzez zaznaczenie jej w oknie Graphics, jednak należy pamiętać że jest to możliwe tylko jeśli to okno jest aktywne (przycisk obok okna z opisem Active jest podświetlony na niebiesko). Element wybierany w oknie Graphics jest podświetlany na czerwono. Analogicznie w oknie Object to subtract, należy wybrać elipsę mniejszą. Jednak po najechaniu na nią w oknie Graphics na czerwono podświetla się elipsa większa. W celu zmiany elementu geometrii należy użyć przycisku do przewijania ("scroll wheel" ") w momencie kiedy kursor znajduje się nad obiektem który chcemy zaznaczyć. Po wybraniu odpowiednich elementów geometrii należy nacisnąć przycisk Build Selected.
13. Następnym etapem jest wprowadzenie podanych w zadaniu równań do programu. W tym celu należy, kliknąć lewym przyciskiem myszy na przycisk General Form PDE 1 znajdujący się w sekcji General Form PDE (g). W sekcji Conservative Flux należy wprowadzić w oknach x i y odpowiednio: - lambda*tx oraz -lambda*ty, co odpowiada wartością strumienia w kierunkach x i y, jakie zadane są w treści zadania. W równaniu wbudowanym w programie, strumień jest poddany działaniu operatora Nabla, w wyniku czego otrzymywana jest dywergencja strumienia. W sekcji Source Term należy wpisać 0. Parametr w sekcji Mass Coefficient (e a ) domyślnie jest wprowadzony poprawnie, ponieważ w zadanym równaniu nie ma drugiej pochodnej ze zmiennej po czasie. W sekcji Damping or Mass Coefficient (d a ) należy wprowadzić rho*cp ponieważ w treści zadania tak zdefiniowany jest współczynnik proporcjonalności przy pierwszej pochodnej po czasie z temperatury. 14. Kolejnym etapem jest zdeklarowanie warunków początkowych. W sekcji Initial Values 1 należy wprowadzić wartość 25 [degc] w oknie Initial Value for T. 15. Kolejnym etapem jest wprowadzenie warunków brzegowych. Program automatycznie wprowadza zerowe wartości strumienia na brzegach, co można sprawdzić klikając przycisk Zero Flux
1. Jednak w rozpatrywanym zadaniu panują warunki brzegowe typu Dirichleta, dlatego należy nadpisać automatycznie zadane warunki. 16. Aby zdefiniować warunek Dirichleta, należy prawym przyciskiem myszy kliknąć przycisk General Form PDE (g) i z listy która się pojawia należy wybrać lewym przyciskiem myszy przycisk Dirichlet Boundary Condition. Aby wprowadzić warunki początkowe należy wybrać odpowiednie elementy geometrii klikając lewym przyciskiem w oknie Graphics. Wybór ten jest możliwy jeżeli w sekcji Boundary Selection, przycisk opisany jako Active jest zaznaczony na niebiesko. Następnie w sekcji Dirichlet Boundary Condition należy jako wartość r wprowadzić 60 [degc]. Aby zadać warunki brzegowe na zewnętrznym brzegu, należy powtórzyć wszystkie kroki opisane w tym podpunkcie, wybierając zewnętrzne elementy geometrii i jako wartość r wprowadzając 25 [degc].
17. Kolejnym etapem, po zadaniu fizyki i określeniu warunków brzegowych i początkowych, jest wytworzenie siatki (Mesh) koniecznej do wykonania obliczeń. W tym celu należy lewym przyciskiem mysz kliknąć na przycisk Mesh 1. Następnie w sekcji Mesh Settings, można wybrać wielkość elementów (Element Size) w zakresie od Extremely Fine do Extremely coarse. Wybrana wielkość elementów ma wpływ na jakość rozwiązania oraz czas obliczeń. Im mniejsza wielkość elementów, tym dokładniejsze obliczenia można uzyskać, jednak wiąże się to z dłuższym czasem obliczeń. Po wybraniu odpowiedniej wielkości należy nacisnąć przycisk Build Selected.
18. Następnym etapem jest określenie zakresu czasu dla którego program ma obliczyć rozwiązania. Można to wykonać na dwa sposoby. Pierwszy polega na określeniu początku, kroku czasowego oraz końca obliczeń. W tym celu należy nacisnąć na ikonę w sekcji Study Settings (zaznaczona na zdjęciu czerwonym kwadratem). Pojawia sie okno Range, w którym można wprowadzić wspomniane wcześniej wielkości. Wciskając przycisk Replace wartości zadane zastępują domyślne, natomiast można dodać kolejny zakres czasowy poprzez kliknięcie przycisku Add. Drugi sposób polega na wprowadzeniu odpowiednich czasów do okna Times. Wprowadzone czasy należy oddzielić przecinkiem, przykładowo: 0, 1, 10, 100, 1000. W przypadku tego zadaniaa należy skorzystać z pierwszej metody wprowadzając do okna odpowiednio: 0, 1, 100 (start, krok czasowy, koniec). Dodatkowo w sekcji Results While Solving należy zaznaczyć opcję plot, dziękii czemu wyniki będą wyświetlane w trakcie trwania obliczeń w oknie Graphics. W celu wykonania obliczeń należy nacisnąć przycisk Compute. 19. Po wykonaniu obliczeń pojawia się nowa sekcja Results w Model Builder. W podsekcji 2D Plot Group 1 można przeglądać wyniki dla poszczególnych czasów. W oknie Data można zmieniać czas dla którego rozkład temperatur ma być wyświetlany w oknie Graphics. Po wybraniu odpowiedniego czasu należy nacisnąć przycisk Plot.
Zadanie 5.1 Rozważmy proces transportu ciepła w geometrii 2D podobny jak w poprzednim zadaniu. Układ został zmodyfikowany poprzez dodanie dwóch warstw o różnym przewodnictwie ciepła: Warstwa zielona wykonana została z miedzi, natomiast warstwa czerwona została wykonana z tlenku glinu. Grubość obydwu warstw jest taka sama i wynosi 1cm. Wykonaj symulacje rozkładu temperatury T(x,y,t) =? dla tak zmodyfikowanego układu, korzystając z równań oraz z warunków początkowych i brzegowych podanych w zadaniu 5. W obliczeniach należy przyjąć wartości: λ Al2O3 = 27; λ Cu = 400 [W/m*K] Cp Al2O3 = 900; Cp Cu = 385 [J/kg*K] ρ Al2O3 = 3900; ρ Cu = 8960 [kg/m 3 ] Rozwiązanie 1. Zadanie może zostać rozwiązane poprzez modyfikację rozwiązania wykonanego dla poprzedniego zadania. Pierwszym krokiem jest wprowadzenie nowych danych do tabeli w sekcji Parameters. W przypadku wielu podobnych parametrów, np. trzech wartości gęstości, warto opisywać dane wprowadzając odpowiedni komentarz w kolumnie Description.
2. Kolejnym etapem jest modyfikacja geometrii. Generalnie nie ma tylko jednego sposobu rozwiązania tego problemu. Jedną z możliwości jest wykonanie dwóch półelips: jednej o wielkości mniejszej z poprzedniego zadania oraz drugiej która jest większa od niej o grubość zadanej warstwy. Po odjęciu ich od siebie uzyskuje się warstwę o zadanej grubości, w odpowiednim położeniu. W tym celu należy prawym przyciskiem myszy kliknąć na przycisk Elipse 2 (odpowiadający mniejszej elipsie) i z listy która się pojawia wybrać przycisk Duplicate. W wyniku tej operacji tworzy się sekcja Elipse 3, która jest kopią sekcji Elipse 2. Operację Duplicate należy powtórzyć w celu uzyskania sekcji Elipse 4. 3. W sekcji Elipse 3 należy zmienić wymiary półosi elips poprzez zwiększenie wielkości o grubość warstwy. W oknach a-semiaxis i b-semiaxis należy wpisać odpowiednio: 0.5*a+ +d i 0.5*b+d, gdzie d to grubość warstwy. W oknie Sector angle należy zmienić domyślną wartość 360 na 180 tak aby zamiast elipsy powstała półelipsa. Po wprowadzeniu zmian należy wcisnąć przycisk Build Selected.
W sekcji Elipse 4 należy w oknie Sector angle wprowadzić wartość 180, natomiast długość półosi elipsy pozostawić bez zmian. 4. Kolejnym etapem jest wykonanie różnicy z stworzonych dwóch półelips. Należy to wykonać tak jak to zostało opisane w punktach 111 i 12 rozwiązania Zadania 5. 5. W celu wytworzenia drugiej warstwy należy powtórzyć czynności opisane w krokach 2-4, rozpoczynając od wytworzenia sekcji Elipse 5 i Elipse 6, kończąc na operacji Difference. Jednak w sekcjach Elipse 5 i Elipse 6 należy wprowadzić w oknie Rotation Angle wartość 180, tak aby nowo powstałe elipsy były wytworzone w drugiej części pierwotnej geometrii.
6. Kolejnym etapem jest określenie fizyki w domenach warstw. W tym celu należy wykonać operację Duplicate na General Form PDE 1 w celu stworzenia General Form PDE 2 oraz General Form PDE 3. Po wykonaniu sekcji należy w oknie Domain Selection zaznaczyć w jakiej sekcji ma obowiązywać dana fizyka. Można to wykonać poprzez zaznaczenie domeny w oknie Graphics. Następnie należy zmodyfikować równania poprzez zmianę parametrów takich jak λ, C p oraz ρ na właściwe dla materiału z jakiego wykonany jest dany obszar. Zmiany należy wykonać w obydwu nowopowstałych sekcjach General Form PDE. 7. Ponieważ zadanie to jest wykonywane poprzez modyfikację rozwiązania Zadania 5, warunki początkowe i brzegowe są zadane i nie wymagają korekty. Pomimo wprowadzonych zmian granice zewnętrzne granice geometrii nie uległy przemieszczeniu. 8. Kolejnym etapem jest wytworzenie siatki (Mesh) koniecznej do wykonania obliczeń. W tym celu należy lewym przyciskiem mysz kliknąć na przycisk Mesh 1. Następnie w sekcji Mesh Settings, można wybrać wielkość elementów (Element Size) w zakresie od Extremely Fine do Extremely coarse. Wybrana wielkość elementów ma wpływ na jakość rozwiązania oraz czas obliczeń. Im mniejsza
wielkość elementów, tym dokładniejsze obliczenia można uzyskać, jednak wiąże się to z dłuższym czasem obliczeń. Po wybraniu odpowiedniej wielkości należy nacisnąć przycisk Build Selected. 9. Ostatnim etapem jest określenie czasów dla jakich mają zostać wykonane obliczenia. Analogicznie jak w Zadaniu 5 należy określić początek jako 0, krok czasowy jako 1 oraz koniec obliczeń jako 100. Po wprowadzeniu wartości należy nacisnąć przycisk Compute.