Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 59 Politechniki Wrocławskiej Nr 59 Studia i Materiały Nr 26 2006 * * Ignacy DUDZIKOWSKIF F, Dariusz GIERAKF maszyny elektryczne, prąd stały, magnesy trwałe, pole magnetyczne, analiza 3D TRÓJWYMIAROWA ANALIZA POLA MAGNETYCZNEGO W KOMUTATOROWYM SILNIKU PRĄDU STAŁEGO Przeprowadzono trójwymiarową analizę pola magnetycznego. Obliczono przestrzenne rozkłady modułu indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej oraz w przekrojach podłużnych i poprzecznych silnika. Wyznaczono rozkład wektorów indukcji magnetycznej. Obliczono wartości strumienia magnetycznego w stanie bezprądowym. Wyniki obliczeń 3D silników o różnej długości magnesów porównano z wynikami obliczeń uzyskanymi za pomocą metody 2D. 1. WPROWADZENIE Jak wynika z analiz przeprowadzonych przykładowo w [8] około 40% światowej produkcji magnesów przeznaczone jest do wzbudzania maszyn elektrycznych, z czego 70% do maszyn stosowanych w pojazdach mechanicznych, głównie samochodach. Uwzględniając, że roczna światowa produkcja samochodów wynosi około 70 mln sztuk, a współczesny samochód wyposażony jest przeciętnie w 35 silników elektrycznych, daje to ponad 2 miliardy maszyn rocznie. Na drugim miejscu pod względem stosowania maszyn elektrycznych o magnesach trwałych jest szeroko rozumiany przemysł produkujący sprzęt gospodarstwa domowego. Kolejne miejsce zajmuje przemysł komputerowy, w którym stosowane są silniki bezszczotkowe. Produkcja samych napędów dysków twardych przekracza 300 mln sztuk rocznie. * Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, 50-372 Wrocław, ul. Smoluchowskiego 19. dariusz.gierak@pwr.wroc.pl, ignacy.dudzikowski@pwr.wroc.pl
Szerokie zastosowanie komutatorowych maszyn elektrycznych (szczególnie w motoryzacji i sprzęcie powszechnego użytku) powoduje potrzebę analizy i badań zjawisk elektromagnetycznych występujących w tych maszynach za pomocą współczesnych metod obliczeniowych. Analizę pola magnetycznego w maszynach elektrycznych przeprowadza się aktualnie za pomocą dwuwymiarowych i trójwymiarowych metod polowych [1, 2, 3, 4]. Nie we wszystkich przypadkach uzasadnione jest zastępowanie metody dwuwymiarowej metodą trójwymiarową, przy której obliczenia są bardzo czasochłonne. Również wymagania sprzętowe dla metody trójwymiarowej są znacznie większe. Metoda 3D jest mało efektywna w początkowej fazie projektowania silnika. Wadą metody 2D jest to, że nie umożliwia ona bezpośredniego uwzględnienia następujących elementów: - wpływu połączeń czołowych uzwojenia na wartość strumienia i rozkład pola w maszynie, - wpływu skosu żłobków lub skosu magnesów, - różnej długości wirnika i magnesów. W maszynach prądu stałego celowym jest stosowanie magnesów o długości większej od długości pakietu wirnika. Uzyskuje się dzięki temu zwiększenie wartości strumienia magnetycznego (rys. 8). W dwuwymiarowym modelu do obliczeń magnetostatycznych błąd, wynikający ze zwiększenia wartości strumienia użytecznego w maszynie o magnesach dłuższych od pakietu wirnika, można wyeliminować lub poważnie ograniczyć stosując do obliczeń ekwiwalentny model geometryczny silnika (korekta wymiarów jarzma stojana) [1] oraz uwzględniając przyrost strumienia użytecznego wynikający z wydłużenia magnesów względem wirnika. Charakterystyki określające przyrost tego strumienia w funkcji wymiarów geometrycznych silnika przedstawiono na rys. 8. Celem pracy jest analiza 3D pola magnetostatycznego oraz weryfikacja wyników uzyskanych za pomocą modelu 2D. W tym celu uzyskane wyniki obliczeń 3D porównano z wynikami uzyskanymi metodą 2D. Zakres pracy obejmuje: analizę trójwymiarową pola magnetycznego: - wyznaczenie przestrzennych rozkładów modułu indukcji magnetycznej, - wyznaczenie rozkładu modułu indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej pod biegunem silnika, - wyznaczenie rozkładów modułu indukcji magnetycznej w przekroju podłużnym i poprzecznym silnika, - wyznaczenie rozkładu wektorów indukcji magnetycznej w przekroju podłużnym silnika, obliczenie metodą 3D wartości strumienia magnetycznego w stanie bezprądowym,
porównanie wartości strumienia magnetycznego uzyskanych metodą 3D oraz 2D. 2. OPIS ANALIZOWANEGO SILNIKA Analizę pola magnetycznego przeprowadzono na przykładzie silnika opracowanego w Instytucie Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej. Silnik przystosowany jest do zasilania z przekształtnika impulsowego. Podstawowe parametry i dane konstrukcyjne silnika są następujące: - napięcie zasilania: U 300 V, - prąd obciążenia: I 12 A, - prędkość obrotowa: n 8000 obr/min., - średnica wirnika: D = 75 mm, - długość pakietu wirnika: l = 64,5 mm, - liczba żłobków: Ż = 18, - rodzaj magnesu: magnes ferrytowy typu FXD 380, - długość osiowa magnesów: l m = 74 mm. 3. OPRACOWANY MODEL 3D Model 3D analizowanego silnika opracowano w programie Maxwell 3D v.11 [6]. Charakteryzuje się on rzeczywistymi wymiarami jarzma stojana, magnesów oraz wirnika (rys. 1). Ponieważ celem analizy było zweryfikowanie wartości strumienia uzyskanych metodą 2D [1, 5] dla stanu bezprądowego, w analizowanym modelu 3D nie było potrzeby modelowania uzwojenia. W modelu 3D wartość strumienia wyznaczano na podstawie obliczonego rozkładu składowej normalnej indukcji magnetycznej na powierzchni S umieszczonej w szczelinie powietrznej pod biegunem silnika (rys. 1). Powierzchnia S odpowiada podziałce biegunowej. Wartość strumienia wyznaczono jako wartość średnią obliczoną dla różnych położeń wirnika. Położenie wirnika zmieniano co 2 w zakresie podziałki żłobkowej. Obliczenia przeprowadzono dla trzech długości magnesów: l m = 68, 74, 82 mm. Pozostałe wymiary obwodu magnetycznego były stałe. Wszystkie wyniki obliczeń dotyczą temperatury ϑ = 20 C. Siatka dyskretyzacyjna w badanych modelach składa się w przybliżeniu z 290 000 elementów czworościennych.
Rys. 1. Trójwymiarowy model silnika wraz z powierzchnią S do wyznaczania wartości strumienia Fig. 1. 3D model of the motor along with the S surface used in the flux value calculations 4. WYNIKI OBLICZEŃ 3D Wyniki obliczeń pola magnetycznego przedstawiono w formie rozkładu modułu indukcji magnetycznej w modelu silnika przedstawionym w rzucie izometrycznym (rys. 2), rozkładu modułu indukcji magnetycznej w szczelinie pod biegunem silnika (rys. 3) oraz rozkładu modułu indukcji w przekroju podłużnym oraz poprzecznym silnika (rys. 4, 6). Przedstawiono także rozkład wektorów indukcji magnetycznej w przekroju podłużnym silnika w obszarze krańca magnesu (rys. 5).
Rys. 2. Przestrzenne rozkłady modułu indukcji magnetycznej w silniku Fig. 2. Spatial distributions of the magnetic flux density module in the motor
Rys. 3. Rozkład modułu indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej pod biegunem silnika Fig. 3. Distribution of the magnetic flux density module in the air-gap under the motor pole Rys. 4. Rozkład modułu indukcji magnetycznej w przekroju podłużnym silnika (płaszczyzna Y0Z z rys. 2); l m = 74 mm Fig. 4. Distribution of the magnetic flux density module in the motor longitudinal section (surface Y0Z, see Fig. 2); l m = 74 mm
Rys. 5. Rozkład wektorów indukcji magnetycznej w obszarze krańca magnesu w przekroju podłużnym silnika; l m = 82 mm Fig. 5. Distribution of the magnetic flux density vectors in the area of the magnet s horn in the motor longitudinal section; l m = 82 mm Rys. 6. Rozkład modułu indukcji magnetycznej w przekroju poprzecznym silnika w połowie długości wirnika Fig. 6. Distribution of the magnetic flux density module in the motor cross-section; half of the rotor length
5. PORÓWNANIE WARTOŚCI STRUMIENIA MAGNETYCZNEGO UZYSKANYCH ZA POMOCĄ METODY 2D Z WYNIKAMI UZYSKANYMI METODĄ 3D Wartości strumienia obliczone metodą 2D i 3D wyznaczono dla różnego położenia wirnika. Położenie wirnika zmieniano co 2 w obszarze podziałki żłobkowej. Wyniki obliczeń zamieszczono na rys. 7, w tabeli 1 oraz w [2]. Pulsacje strumienia magnetycznego spowodowane zmianą położenia wirnika, obliczone metodą 2D wynoszą 0,62%, a obliczone metodą 3D 0,63%. Obliczenia 2D zrealizowano stosując ekwiwalentny obwód magnetyczny [1] oraz Δ φ uwzględniając przyrost strumienia (rys. 8). φ 3D 2D 0,0025 0,0020 φ [Wb] 0,0015 0,0010 0,0005 0,0000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Θ [deg] Rys. 7. Wartości strumienia jako funkcja kąta obrotu wirnika obliczone za pomocą metody 2D i 3D; l m = 74 mm Fig. 7. Flux values versus the rotor angle determined by means of 2D and 3D method; l m = 74 mm
Tabela 1. Wartości średnie strumienia magnetycznego uzyskane metodą 2D i 3D Table 1. Magnetic flux mean values obtained by means of the 2D and 3D method Długość magnesów l m [mm] Długość wirnika l [mm] l m /l φ 3D *10-3 [Wb] φ 2D *10-3 [Wb] 82 1,271 2,0399 2,0127 1,33 74 64,5 1,147 1,9929 1,9053 4,40 68 δ [%] 1,054 1,9212 1,7771 7,50 Względną różnicę pomiędzy wartościami strumienia obliczonego obydwiema metodami zdefiniowano: φ3d φ2d δ = 100 [%]. (1) φ 3D 6. ANALIZA WYNIKÓW OBLICZEŃ Trójwymiarowe obliczenia umożliwiły wyznaczenie rozkładu indukcji magnetycznej w całej objętości maszyny. Z rysunków 2, 3, 4 wynika, że osiowy rozkład indukcji magnetycznej w maszynie nie jest równomierny. Jest to szczególnie widoczne w nasyceniu jarzma (rys. 2, 4). W połowie długości jarzma stojana nasycenie jest najmniejsze. Nierównomierność w nasyceniu jarzma zależy od stosunku l m /l j (rys. 4). Wraz ze wzrostem długości magnesów (przy stałej długości wirnika) rozkład indukcji w przekroju podłużnym jarzma staje się bardziej równomierny. Zmiany rozkładu indukcji magnetycznej w kierunku osiowym maszyny są również widoczne w rozkładach nasyceń w przekroju poprzecznym na różnej długości wirnika. Obliczone rozkłady nasyceń w przekroju poprzecznym w połowie długości wirnika oraz w różnej odległości od krańca pakietu zamieszczono w [2]. Potwierdzają one zmniejszanie się nasycenia w przekroju poprzecznym wraz ze zbliżaniem się do połowy długości wirnika. W tabeli 1 porównano wartości średnie strumienia obliczone za pomocą metody 3D i 2D przy różnych długościach magnesów. Z porównania obliczonych wartości strumienia magnetycznego wynika, że dokładność zastosowanej procedury obliczeń 2D rośnie wraz ze wzrostem długości magnesów (przy l=const). Wynika to z faktu, że w zastosowanej procedurze obliczeń 2D [1] zakłada się równomierny rozkład osiowy indukcji w jarzmie stojana. Równomierność ta rośnie wraz ze wzrostem długości ma-
gnesów. Różnica między wartością strumienia obliczoną za pomocą metody 3D i 2D dla stosunku l m /l = 1,271 wynosi zaledwie 1,33%. Gęstość siatki dyskretyzacyjnej została tak dobrana, aby uzyskać wymaganą dokładność obliczeń przy jednoczesnym ograniczeniu czasu ich trwania. Dalsze zagęszczanie siatki powodowałoby zwiększenie czasu obliczeń minimum o około 50% przy wzroście dokładności nie przekraczającym 1%. Czas obliczeń jednego analizowanego modelu 3D był około 30-krotnie dłuższy w stosunku do obliczeń modelu 2D. Także pracochłonność przygotowania modelu 3D jest wielokrotnie większa niż przygotowania modelu dwuwymiarowego. Biorąc pod uwagę tak znaczne różnice w czasochłonności obliczeń oraz stosunkowo niewielką różnicę w wynikach otrzymanych obydwiema metodami, można stwierdzić, że do wstępnego projektowania wystarczające jest stosowanie metody 2D z opracowaną w [1] procedurą uwzględniającą zjawiska brzegowe. Różnica wyników obliczeń uzyskanych tą metodą i metodą 3D wynosi 1,3 7,5%. Błąd 7,5% występuje gdy l m /l = 1,054. W praktyce celowym jest stosowanie wydłużenia l m /l 1,1. Wówczas błąd nie przekracza 5,7%. Pominięcie w metodzie 2D procedury korekcyjnej spowodowałoby błąd o wartości wynikającej z rys. 8 czyli 10-30%. Realizacja obliczeń 3D jest wskazana do celów badawczych lub do końcowej optymalizacji obwodu magnetycznego maszyny. Rys. 8. Przyrost strumienia użytecznego jako funkcja l m /l [7]; D średnica wirnika, l długość pakietu wirnika, l m długość magnesów Fig. 8. The usable flux increase as a function of l m /l [7]; D rotor diameter, l rotor packet length, l m magnets length
7. PODSUMOWANIE W pracy przedstawiono opracowany model numeryczny 3D silnika. Obliczono przestrzenny rozkład modułu indukcji magnetycznej, rozkład modułu indukcji magnetycznej w szczelinie powietrznej, rozkłady modułu indukcji magnetycznej w przekroju podłużnym i poprzecznym silnika oraz rozkład wektorów indukcji magnetycznej w przekroju podłużnym silnika. Wyniki obliczeń strumienia metodą 3D porównano z wynikami obliczeń uzyskanymi za pomocą metody 2D. LITERATURA [1] DUDZIKOWSKI I., JANISZEWSKI S., Analiza porównawcza obliczeń pola magnetycznego w silniku prądu stałego z magnesami trwałymi metodą dwuwymiarową i trójwymiarową, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej Nr 54, Studia i Materiały Nr 23, Wrocław 2003, 29-38. [2] DUDZIKOWSKI I., GIERAK D., Trójwymiarowa analiza pola magnetycznego w komutatorowym silniku prądu stałego, Raport serii PRE nr 6/2006, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 2006. [3] ŁUKANISZYN M., KOWOL M., Wpływ zmian konstrukcyjnych na parametry elektromechaniczne silnika reluktancyjnego z wirnikiem zewnętrznym, XLII International Symposium on Electrical Machines SME 2006, Conference Proceedings, Cracow, Poland, July 3-6, 2006, 115-118. [4] ŁUKANISZYN M., MŁOT A., Analiza momentu elektromagnetycznego i składowych pulsujących w bezszczotkowym silniku prądu stałego wzbudzanym magnesami trwałymi, XLI International Symposium on Electrical Machines SME 2005, Conference Proceedings, Vol. I, Opole-Jarnołtówek, Poland, June 14-17, 2005, 157-162. [5] Maxwell 2D, A Permanent Magnet DC Motor Problem, Application Note (AP064-9911). [6] Maxwell 3D, Getting Started: Designing a Rotational Actuator, Maxwell v.11 Magnetostatic Guide, Ansoft, September 2005. [7] Philips, D.C. Motors with Ferroxdure permanent magnets, Application book, September 1974. [8] ŻYCKI Z., Wczoraj, dziś i jutro magnesów trwałych stosowanych w przetwornikach elektromechanicznych, PPEE 2000, Wisła 2000, 42-53. 3D ANALYSIS OF THE MAGNETIC FILED IN A PERMANENT MAGNET DC COMMUTATOR MOTOR A 3D analysis of the magnetic field has been conducted. The spatial distributions of the magnetic flux density module as well as the distributions of the magnetic flux density module in the air-gap under the motor pole and in both longitudinal and cross-sections of the motor were calculated. Moreover, the distribution of the magnetic flux density vectors was determined. The values of the magnetic flux in noncurrent state were calculated. The results of the 3D calculations of the motors with various magnets length were compared with the results of the 2D calculations.