Marek BORYG ndrzej GRBOŚ BDNI SYMULCYJNE MIESZDŁ Z PRZEKŁDNIĄ PLNETRNĄ CZ. I THE SIMULTIVE TESTS OF PLNETRY-MOTION PDDLE PRT I W racy rzedstawiono wyniki badań symulacyjnych ruchu mieszadła naędzanego rzekładnią lanetarną. Dla istniejącego rozwiązania konstrukcyjnego dobrano liczbę zębów satelitów (kół obiegowych) tak, aby zmniejszyć ilość mieszaniny zalegającej w rejonie ścianek ojemnika. Tory ruchu łoatek mieszadła wyznaczono wykorzystując równania rzutów na osie rostokątnego układu wsółrzędnych. W celu wybrania najkorzystniejszego rozwiązania sośród analizowanych wykorzystano dwa kryteria oceny maksymalne wychylenie łoatki mieszadła oraz ole owierzchni od torem ruchu łoatki. Przedstawiono rzebiegi toru ruchu mieszadła rzed i o modyfikacji. Słowa kluczowe: mieszadło, tor ruchu łoatek, rzekładnia lanetarna, badania symulacyjne The aer resents the simulative tests of the addle motion driven with a lanetary gear. For the existing construction solution such a number of satellite teeth (lanetary wheels) was chosen so that mixture quantity deosited near the container walls could be reduced. The aths of mixer addles motion were determined using the equations of rojections on the axes of the Cartesian coordinate system. To choose the best solution out of these analysed there were alied two evaluation criteria the maximal deflection of the mixer blade and the area under the addle motion ath. There were dislayed the runs of mixer motion ath rior to and after modification. Keywords: mixer, addle motion ath, lanetary gear, simulative tests. Wrowadzenie Mieszanie jest bardzo rozowszechnionym rocesem w wielu gałęziach rzemysłu, a w szczególności w rzemyśle sożywczym i chemicznym. Jednym z arametrów określających jakość mieszania jest stoień zmieszania, który określa się stosunkiem rozrowadzenia wzajemnego dwóch lub więcej składników odniesiony do stanu idealnego, który zostaje osiągnięty o doskonałym wymieszaniu układu. Jednym z roblemów ojawiających się w rzyadku mieszadeł z naędem lanetarnym jest mała skuteczność mieszania składników w rejonie ścianek ojemnika. Niejednokrotnie rzy złym doborze liczb zębów koła centralnego i satelitów niemożliwym staje się dokładne wymieszanie składników w całej objętości w związku z ojawieniem się martwych stref w otoczeniu ścianek naczynia, do których nie dociera mieszadło. Taki roblem ojawił się w konstrukcji mieszadła wykorzystywanego do rocesu mieszania środków farmaceutycznych.. Introduction Mixing aears to be a very common rocess in numerous industrial branches, articularly in the food and chemical industry. One of the arameters determining the mixing quality is a mix degree which is exressed by a distribution ratio of two or more comonents referred to the ideal state obtained after the erfect intermix of the system. One of the hardshs occurring in the case of mixers with driving gear roves to be low efficiency of comonents mixing near the container walls. n imroer choice of teeth number of the central gear and satellites makes imossible to mix the comonents accurately in whole volume due to the dead zones aearing in the container walls vicinity where the mixer does not reach. This roblem lies in the mixer construction used in the rocess of harmaceuticals mixing. 46
. Cel i zakres racy Celem racy jest zmiana liczby zębów satelity w istniejącym rozwiązaniu konstrukcyjnym mieszadła z naędem lanetarnym wływająca na orawę skuteczności mieszania zwłaszcza w otoczeniu ścianek naczynia. W racy wyznaczono równania oisujące ołożenie końca łoatki w funkcji kąta obrotu jarzma, które wykorzystano do wykreślenia torów ruchu łoatki. Na ich odstawie określono również liczbę unktów styku końca łoatki ze ścianką ojemnika. Wyrowadzono zależności na maksymalne wychylenie łoatek mieszadła od osi symetrii ojemnika rzechodzącej rzez wybrany unkt kontaktu y max oraz ole owierzchni P omiędzy krzywą utworzoną rzez koniec łoatki, a osią symetrii ojemnika rzechodzącą rzez wybrany unkt kontaktu. Na tej odstawie wybrano rozwiązanie najkorzystniejsze z unktu widzenia ilości niewymieszanej masy ozostającej rzy ściankach ojemnika.. Metodyka Wsółrzędne końca łoatki x oraz y wyznaczono na odstawie równań rzutów na osie nieruchomego układu wsółrzędnych (rys.) x= lcos + lcos( ) () i y = l sin + l sin( ) i (). Work objective and scoe The aim of the resent aer is a change of satellite teeth number in the existing construction of the mixer with lanetary drive that could imrove the mixing efficiency, esecially in the container walls surroundings. In this work there were determined the equations deicting a addle end osition in the function of shackle rotation angle beta used to lot the blade motion aths. On these grounds a number of addle contact oints with a container wall was also determined. The deendences were derived on the maximal deflection of the mixer blades from the container symmetry axis assing through a chosen contact oint y max and the area P between a curve formed by the addle end and the symmetry axis of the container running through the chosen oint. On these basis there was chosen the most favourable solution considering the volume of unmixed mass left on the container walls.. Methods The blade end coordinates x and y were determined on the grounds of the equations of rojections on the axes of stationary co-ordinate system (Fig.) x= lcos + lcos( ) () i y = l sin + l sin( ) i () gdzie: l - romień jarzma, l - romień łoatki, i - rzełożenie rzekładni lanetarnej, - kąt obrotu jarzma. Na odstawie równań () i () wyznaczono tory ruchu końca łoatki dla rozwiązania ierwotnego, w którym liczba zębów satelity z =, koła centralnego o uzębieniu wewnętrznym z = 48 oraz moduł m n = mm (rys.). W ierwszej fazie obliczeń oszukiwano takich kątów ołożenia jarzma, dla których osiągana jest największa odległość omiędzy osią obrotu jarzma i końcem łoatki. Jest to równoznaczne z ołożeniem w jednej linii łoatki oraz jarzma. Położenie to określone jest równaniem x y + = ( l + l ) () Jednocześnie o odniesieniu równań na ołożenie () i () do kwadratu oraz dodaniu stronami i orównaniu z zależnością () otrzymano Rys.. Schemat naędu mieszadła Fig.. Scheme of mixer driving gear Where: l -lanetary cage radius, l - addle radius, i - eicyclic ratio, - lanetary cage rotation angle. On the grounds of the equations () and () there were determined the aths of the addle end motions for the rimary solution in which satellite teeth number z =, the internal central gear z = 48 and module m n = mm (Fig.). t the first comutation stage, the angles of a lanetary cage osition were examined for which the longest distance between the lanetary cage rotation axis and the blade end could be obtained. It amounts to a osition of a blade and cage in one line. This osition is defined with the equation: x y + = ( l + l ) () t the same time after the equations square to () and () osition then side addition and comarison to the equation () the following was obtained: 47
Rys.. Tor ruchu końca łoatki dla rozwiązania ierwotnego oraz szczegół z martwymi strefami w obliżu ścianki naczynia Fig.. Path of the addle end motion for the rimary solution and detail with dead zones near the container wall cos( )cos + sin( )sin = (4) Położenia jarzma, dla których osiągana jest największa odległość omiędzy osią obrotu jarzma i końcem łoatki określone są zależnością 60 k =, gdzie k N (5) Przełożenie zastosowanej rzekładni, rzy nieruchomym kole centralnym o uzębieniu wewnętrznym, wyznaczone metodą Willisa wynosi z i = (6) z Wstawiając do wzoru (5) zależność na rzełożenie (6) otrzymano 60 = (7) Nastęnie wyznaczono najmniejszą wartość k > 0 dla której = 0 wykorzystując równanie 60 m 60 = 0, gdzie m N (8) Stąd m k = (9) z Wykorzystując zależność (9) sorządzono tabelę analizowanych skojarzeń liczb zębów koła centralnego i satelity. Założono, że liczba zębów koła centralnego o uzębieniu wewnętrznym z nie ulegnie zmianie w stosunku do rozwiązania ierwotnego. Założenie takie zaobiega nadmiernej ingerencji w istniejącą konstrukcję mieszadła. Rozatrywana możliwa liczba zębów satelity wahała się w granicach z =7 4, co odyktowane było z jednej strony uniknięciem korekcji kół zębatych, z drugiej zaś graniczną wartością rzełożenia. cos( )cos + sin( )sin = (4) The lanetary cage ositions characterizing with the greatest distance between the cage rotation axis and the blade end are described by: 60 k =, where k N (5) transmission ratio at the stationary internal central gear was determined with Willis` method z i = (6) z Placing the deendence of transmission ratio (6) into the formula (5) we obtain 60 = (7) Next, the lowest value k>0 was determined for which = 0 alying the equation 60 m 60 = 0, where m N (8) Hence m k = (9) z Using the deendence (9), there was elaborated a table of the analyzed matchings of teeth number in the central gear and satellite. It was assumed that a teeth number in the internal central gear z would not be changed in relation to the rimary solution. This assumtion revents the excessive interference into the existing mixer construction. considered ossible satellite teeth number ranged within z = 7 4 that, on the one hand, allowed to avoid the gear correction, while on the other was connected with gear boundary value. 48
Tabela. Zestawienie analizowanych skojarzeń liczb zębów Table. Comarison of the analyzed matchings of teeth number Nr rozwiązania Solution No z z i m k Δ [ ] 7 48-0,5484 7 48 7,5 8 48-0,600 8 45 9 48-0,655 9 48 7,5 4 0 48-0,74 5 0 5 48-0,7778 7 6,5 6 8-0,846 4 5 7 8-0,900 8 7,5 8 4 48-80 Na odstawie tabeli stwierdzono, że rozwiązania, i 7 są najkorzystniejsze od względem liczby unktów, w których dochodzi do kontaktu łoatek mieszadła ze ściankami ojemnika. Liczba ta dla tych rozwiązań wynosi k = 48, co oznacza, że styk łoatek mieszadła ze ściankami naczynia będzie wystęował co Δ = 7,5. Rozwiązania te są od tym względem korzystniejsze od ierwotnego, w którym liczba tych unktów wynosiła zaledwie k = 4. Przerowadzona dalsza analiza ruchu łoatek mieszadła miała na celu wybór najkorzystniejszego rozwiązania sośród, i 7. W ierwszym etaie wykonano komuterową symulację ruchu łoatek mieszadła i zauważono, że nie tylko liczba unktów kontaktu jest istotnym arametrem decydującym wielkości martwych stref, ale też kształt toru ruchu łoatek. Wyznaczono, zatem kolejne dwa arametry decydujące o skuteczności mieszania w obliżu ścianek naczynia: maksymalne wychylenie łoatek mieszadła od osi symetrii ojemnika rzechodzącej rzez wybrany unkt kontaktu y max, które owinno być jak największe, ole owierzchni P omiędzy krzywą utworzoną rzez koniec łoatki a osią symetrii ojemnika rzechodzącą rzez wybrany unkt kontaktu, które także owinno być jak największe. W celu wyznaczenia y max wykorzystano zależność na wsółrzędną y ołożenia końca łoatki w funkcji kąta obrotu jarzma y = l sin + l sin( ) (0) Wyznaczenie maksymalnego wychylenia łoatek od osi symetrii wymagało wyznaczenia ekstremum funkcji (0). Stąd obliczono jej ochodną dy l = l cos + cos( ) () d Z owodu braku możliwości analitycznego wyznaczenia miejsc zerowych ochodnej funkcję cos rozwinięto w szereg Taylora uwzględniając ierwsze trzy wyrazy. Otrzymano wówczas i On the grounds of the Table, it was stated that solutions, and 7 aear to be most efficient as regards a number of oints in which the contact between the mixer blades and container walls is recorded. The number for these solutions is k = 48, it means that this contact will occur every Δ = 7.5. In this resect these solutions are better than the rimary in which a number of these oints amounted to only k = 4. The further analysis of mixer addle motion aimed to choose the best solution out of, and 7. t the first stage the comuter simulation of mixer blade motion was erformed to find that not only the number of contact oints constitutes a significant arameter deciding about dead zones size but a shae of blade motion ath as well. Therefore, two further arameters deciding about the mixing efficiency near the container walls were established: maximal deflection of the mixer blades from the container symmetry axis running through a chosen contact oint y max which is exected to be the greatest, the area P between a curve formed by the addle end and container symmetry axis going through a chosen contact oint which is also suosed to be the greatest. To determine y max there was used a deendence of y coordinate of the blade end in the function of lanetary cage rotation angle y = l sin + l sin( ) (0) Determination of the maximal blade deflection from the symmetry axis imosed establishing of the function extremum (0). Hence its derivative was calculated dy l = l cos + cos( ) () d s it was imossible to define analytically the derivative zero sites, the function cos() was develoed into Taylor series including the first three terms. Then we obtained i 49
l l( + ) + ( + ) = 0 () 4 4 Jednym z rozwiązań owyższego równania sełniającym warunki zadania jest = ( B C) () 5 gdzie: = l + l, B= l + l, 6 4 C = l i + l l l i ( i i + ) Równanie () umożliwia wyznaczenie kąta, rzy którym osiągane jest maksymalne wychylenie łoatek mieszadła. Wstawiając uzyskane rozwiązanie do zależności (0) otrzymano zależność na maksymalne wychylenie łoatek mieszadła y max. ymax = lsin[ ( B C) ] lsin[ ( B C) ] (4) W celu wyznaczenia ola owierzchni omiędzy krzywą utworzoną rzez koniec łoatki, a osią symetrii ojemnika rzechodzącą rzez wybrany unkt kontaktu wykorzystano zależności () oraz (). Nastęnie wyznaczono ochodną wsółrzędnej x o kącie i wykorzystano zależność na ole owierzchni od krzywą określoną arametrycznie To determine the area between the curve formed by the blade end and container symmetry axis going through the chosen contact oint there were alied () and () deendences. Next, the derivative of coordinate x was determined along the angle and the deendence of the area under the curve defined arametrically was used k k dx P= y ( ) dx d (5) P= d y ( ) d d (5) W wyniku rozwiązania otrzymano s a consequence the following was obtained P l ll + ( ) ll = sin( ) + 4 i ( i ) sin[ ( ) ( + ) l l+ l ] sin[ ] + sin( ) i i 4 i l l( + ) + ( + ) = 0 () 4 4 One of the solutions of the above equations that meets conditions of the roblem is = ( B C) () 5 where: = l + l, B= l + l, 6 4 C = l i + l l l i ( i i + ) The equation () facilitates the angle determination at which the maximal mixer blade deflection is recorded. When the obtained solution was laced into the deendence (0) we have got the equation deicting the maximal deflection of the mixer addles y max k (6) Dolna granica całkowania wynosi = 0, natomiast górną k wyznaczono z warunku k y = lsink + lsin( ) = 0 (7) Podobnie jak w rzyadku wyznaczania y max, z owodu braku analitycznego rozwiązania równania y = 0 funkcję sin rozwinięto w szereg Taylora i otrzymano wówczas k k k l( k ) + l( + ) = 0 (8) 6 6 Jednym z rozwiązań owyższego równania sełniającym warunki zadania jest i gdzie: D= l + l, E = l i l + k = 6 DE (9) Podstawiając górną i dolną granicę całkowania do równania (6) otrzymano The bottom limit of integration is = 0, while the to k was determined from the condition k y = lsink + lsin( ) = 0 (7) Similarly as in the case of y max determination owing to a lack of an analytical solution of the equation y = 0, the function sin() was develoed into Taylor series to get the following k k k l( k ) + l( + ) = 0 (8) 6 6 One of the solutions of the above equation meeting the conditions of the roblem roves to be i where: D= l + l, E = l i l + k = 6 DE (9) Substituting the to and bottom limit of integration to the equation (6) we obtain 50
l 6DE l DE ll + i 6 ( ) P = sin( ) sin( ) + 4 D 4 D ( i ) sin[ ( ) 6DE ll + 6DE li + l ] sin( ( ) ) + 6 DE (0) D D D 4. Wyniki badań i ich analiza Na odstawie uzyskanych zależności (4) i (0) sorządzono wykres zmian y max oraz P w funkcji liczby zębów z satelity. 4. Test results and their analysis On the basis of the obtained deendences (4) and (0) the diagram of changes y max and P was elaborated in the function of teeth number of satellite z. Rys.. Maksymalne wychylenie łoatek mieszadła od osi symetrii ojemnika rzechodzącej rzez wybrany unkt kontaktu y max w funkcji liczby zębów satelity z Fig.. Maximal deflection of the mixer blades from the container symmetry axis running through a chosen contact oint y max in the function of satellite z teeth number Sośród analizowanych rozwiązań, i 7 najkorzystniejszym z unktu widzenia maksymalnego wychylenia łoatek jest rozwiązanie 7, dla którego moduł maksymalnego wychylenia wynosi y max = 8,95 mm. Out of the analyzed solutions, and 7, regarding the maximal addle deflection, the most advantageous solution aears to be No 7 for which the maximal deflection module is y max = 8.95 mm. Rys.4. Pole owierzchni P omiędzy torem ruchu łoatki, a osią symetrii ojemnika rzechodzącą rzez wybrany unkt kontaktu w funkcji liczby zębów satelity z Fig.4. rea P between the blade motion trajectory and container symmetry axis going through a chosen contact oint in the function of satellite z teeth number Podobnie jak w rzyadku maksymalnego wychylenia łoatek najkorzystniejszym z unktu widzenia ola omiędzy krzywą utworzoną rzez koniec łoatki, a osią symetrii ojemnika jest rozwiązanie 7, dla którego ole owierzchni P = 84 mm. W wyniku rzerowadzonych analiz za najkorzystniejsze rozwiązanie w asekcie skuteczności mieszania w obliżu ścianek naczynia uznano rozwiązanie, dla którego liczba zębów satelity z =. Trajektorie ruchu końca łoatki dla tego rozwiązania rzedstawia rys.5. like the case of the maximal blade deflection, the most favourable solution taking into account the area between the curve formed by the addle end and the container symmetry axis roves to be No 7 for which the area P = 84 mm. The analyses showed that the most advantageous solution regarding the mixing efficiency near the container walls is the one for which the satellite z teeth number is z =. The trajectories of the blade end motion for this solution are resented in Fig.5. 5
Rys.5. Tory ruchu końca łoatki dla rozwiązania najkorzystniejszego (z =) oraz szczegół z martwymi strefami w obliżu ścianek Fig.5. Paths of blade end motion for the best solution ( z =) and detail with dead zones in the walls vicinity 5. Podsumowanie ) Najkorzystniejszym rozwiązaniem zarówno od względem wielkości wychylenia łoatek mieszadła y max jak i ola owierzchni P omiędzy torem ruchu łoatki a osią symetrii ojemnika jest rozwiązanie 7, dla którego liczba zębów satelity wynosi z =. ) Moduły maksymalnych wychyleń łoatek dla rozwiązań i wynoszą odowiednio y max = 6,56 mm oraz y max = 6,77 mm co stanowi 7,% i 75,6% w stosunku do rozwiązania 7, dla którego y max = 8,95 mm. ) Pole owierzchni P omiędzy torem ruchu łoatki, a osią symetrii ojemnika rzechodzącą rzez wybrany unkt kontaktu dla rozwiązań i wynoszą odowiednio P = 5 mm oraz P = 7 mm co stanowi 0,% i 8,0% w stosunku do rozwiązania 7, dla którego P = 84 mm. 4) W stosunku do rozwiązania ierwotnego ilość masy ozostająca rzy ściankach dla rozwiązania 7 zmniejszyła się sześciokrotnie. 6. References 5. Conclusions )Regarding the value of mixer addle deflection y max and P area between blade motion ath and container symmetry axis, the most advantageous solution is No 7 for which satellite teeth number is z =. )The modules of the maximal blade deflections for solutions and are y max = 6.56 mm and y max = 6.77 mm, resectively that constitute 7.% and 75.6% as against No 7 for which y max = 8.95 mm. )The area P between the blade motion trajectory and container symmetry axis running through a chosen contact oint for the solutions and are P = 5 mm and P = 7 mm that make 0.% and 8.0% comared to No 7 whose P = 84 mm. 4)In relation to the rimary solution the volume of mass remaining at the walls for solution No 7 has reduced by 6 times. [] Jaśkiewicz Z.: Poradnik inżyniera samochodowego: elementy i materiały. Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Warszawa, 990r. [] Olędzki.: Podstawy teorii maszyn i mechanizmów. WNT, Warszawa, 997r. Dr inż. Marek BORYG Dr inż. ndrzej GRBOŚ kademia Rolnicza w Lublinie Wydział Inżynierii Produkcji, Katedra Podstaw Techniki 0-80 Lublin, ul. Doświadczalna 50 e-mail: marek.boryga@ar.lublin.l e-mail: andrzej.grabos@ar.lublin.l 5