Technica Agraria 1(1), 31-39 WERYFIKACJA MODELU MATEMATYCZNEGO PIERWSZEGO OKRESU KONWEKCYJNEGO SUSZENIA JABŁKA Z UWZGLDNIENIEM SKURCZU SUSZARNICZEGO Roland Zawilak, Helena Lisowa, Renata Bochyska Streszczenie. Zweryfikowano matematyczny model pierwszego okres sszenia z wzgldnieniem skrcz sszarniczego w przedziale zawartoci wody od = 5,5 kg H O kg -1 s.m. do = 3,14 kg H O kg -1 s.m., czyli w zakresie wilgotnoci wzgldnej 85 76%, z błdem nie przekraczajcym,4%. Przeprowadzono pomiary zawartoci wody w czasie proces sszenia i zmian objtoci krków jabłka, sszonych w temperatrze 55 C, przy prdkoci przepływ powietrza sszcego wynoszcej,5 m s -1. Słowa klczowe: jabłka, sszenie, konwekcja wymszona, model matematyczny WYKAZ OZNACZE -1 α współczynnik wnikania ciepła, W m - deg A powierzchnia sszonego materiał, m A powierzchnia pocztkowa sszonego materiał, m b współczynnik skrcz, - -1 k współczynnik szybkoci sszenia w I okresie sszenia, kg H O kg s.m. -1 s M s masa schego materiał, kg n współczynnik wyznaczany empirycznie, - r ciepło parowania wody, J kg H O -1 s skrcz sszarniczy, - τ czas sszenia, s t p temperatra sszcego powietrza, C t M temperatra mokrego termometr, C zawarto wody w próbce, kg H O kg s.m. -1 pocztkowa zawarto wody w próbce, kg H O kg s.m. -1 V objto badanej próbki, m 3 V objto pocztkowa badanej próbki, m 3 V s objto schego materiał, m 3
3 R. Zawilak... WSTP Pierwszy okres konwekcyjnego sszenia charakteryzje si stał szybkoci sszenia, a decydje o tym wymiana ciepła i masy na powierzchni sszonego materiał. Wyniki bada proces konwekcyjnego sszenia wiel srowców wskazj na to, e szybko ich sszenia jest stała w krótkim czasie, a nastpnie zaczyna male. Spowodowane jest to wystpowaniem skrcz sszarniczego podczas sszenia, który powodje wzrost opor wymiany masy, a wynika ze zmniejszania si powierzchni sszonego materiał. Kkiełko [] stwierdziła, e podczas konwekcyjnego sszenia owoców aronii, pierwszy okres sszenia stanowi jedn trzeci całego czas proces. Zmiana powierzchni sszonego srowca jest zwizana ze zmian jego objtoci [Pabis 1994, Sokhansanj i in. 1999]. Liczne badania prowadzone nad zmian objto- ci wskazj równie na istnienie empirycznej zalenoci pomidzy zmian objtoci i zawartoci wody sszonego materiał. Zaleno ta jest cile zwizana z okrelonym srowcem. W literatrze opisywana jest najczciej przez dwie fnkcje: liniow [Szki i in. 1976, Mazza i LeMager 198, Kkiełko i Jaros 1997, Roselló i in. 1997, Nowak i in. 1998] oraz potgow [Mrakowski 1994, Górnicki ]. Na wag zasłgje równie nieliniowe jcie zalenoci zmiany objtoci od objtociowego dział wody przedstawione przez M. Lis i H. Lis [1]. Pabis [1994] przedstawił ogólny model matematyczny, pierwszego okres konwekcyjnego sszenia, wzgldniajcy zjawisko skrcz sszarniczego. Opisjc zmiany powierzchni sszonego materiał równaniem: 3n A() = A( 1 b) + b (1) oraz przyjmjc współczynnik szybkoci sszenia w pierwszym okresie k jako: sprowadził równanie: do nastpjcej postaci: d d d d k A = (t p t M ) () rm S A A() = (t p t M ) (3) rms A 3n = k ( 1 b) + b. (4) Po scałkowani równania (4) przy pocztkowych warnkach (τ = ) =, otrzymał, podany poniej, ogólniony model sszenia w pierwszym okresie z wzgldnieniem skrcz sszarniczego, o postaci: Acta Sci. Pol.
Weryfikacja model matematycznego pierwszego okres konwekcyjnego sszenia jabłka... 33 Podstawiajc: 3n 1 (1 b)(3n ) 3n b ( τ) = 1 k 1 b. (5) 3n 1 b zyskał nastpjc posta model (5) 3n N = (6) 3n N 1 1 b b ( τ) = 1 k. (7) 1 b N 1 b Zakładajc izotropowy skrcz materiał we wszystkich kiernkach (n = 1), model (7) przedstawia si nastpjco 3 1 1 b b ( τ) = 1 k. (8) 1 b 3 1 b Po przekształceni model (8) do postaci wielomian trzeciego stopnia otrzymjemy: gdzie: ( 3 (1 b)k (1 b) k 3 τ ) = kτ + τ τ (9) 3 7 V s b =. (1) Przyjmjc skrcz sszarniczy zaproponowany przez Jaros [1999]: zyskjemy nastpjc posta model (9): ( V s = b (11) 3 sk s k 3 τ ) = k τ + τ τ (1) 3 7 Celem pracy była weryfikacja ogólnionego, matematycznego model, pierwszego okres konwekcyjnego sszenia, wzgldniajcego skrcz sszarniczy badanego materiał (1), dla krków jabłka. Realizacja postawionego cel wymagała przeprowadzenia pomiarów zmian zawartoci wody w czasie proces sszenia i zmian objto- ci próbek. Technica Agraria 1(1)
34 R. Zawilak... MATERIAŁ I METODY Materiał dowiadczalny stanowiły jabłka odmiany Jonathan Red pokrojone w krki o grboci,4 cm i rednicy cm. Tak rozdrobniony materiał po dokładnym wymieszani stanowił redni prób, któr rozdzielono na trzy czci. Jedn z nich sszono konwekcyjnie w sszarce 5-sitowej Bio Dörer w warnkach stałej temperatry sszenia wynoszcej 55(±,5)ºC i prdkoci przepływ powietrza sszcego,5 m s -1. Drga została wykorzystana do oznaczenia zmian masy i objtoci. Trzecia posłyła do zbadania wilgotnoci pocztkowej. Próbki o masie g, przeznaczone do sszenia, oraz 5 g do wyznaczenia wilgotnoci wzgldnej, odwaano na wadze laboratoryjnej Precisia z dokładnoci ±,1 g, a nastpnie mieszczano na poszczególnych sitach sszarki. Po włoeni próbek do sszarki dokonywany był pomiar zmian zawartoci wody sszonego materiał. Błd wzgldny maksymalny max, okrelony na podstawie róniczki zpełnej, nie przekroczył,37%. Podczas sszenia wyznaczano zmiany masy i objtoci badanego srowca. Pomiar objtoci sszonego materiał dokonywano w nastpjcy sposób. Badany srowiec bardzo wolno zanrzano w olej rolinnym ( Olej Wielkopolski ) tłokiem strzykawki o objtoci 6 ml, zwracajc wag, aby w strzykawce nie pojawiły si pcherzyki powietrza, a take, eby nie nastpił wyciek olej. Objto badanej próbki wyznaczono, odejmjc od objtoci, któr zajmował olej wraz z próbk, objto, któr zajmował sam olej w strzykawce (dokładno odczyt,1 ml). Do wyznaczenia schej masy została yta sszarka próniowa SPT-. Temperatra w sszarce wynosiła 95 C. Umieszczone w niej próbki zwaono po pływie trzech godzin od chwili ich włoenia, a nastpnie, czynno t powtarzano co 3 min, do chwili, gdy materiał wysszony został do schej masy (dokładno pomiar ±,1 g). WYNIKI I DYSKUSJA rednie wyniki pomiarów skrcz sszarniczego zostały zyskane na podstawie bada próbek złoonych z dwdziest krków jabłka odmiany Jonathan Red przy 8 poziomach wilgotnoci w dziesici powtórzeniach. Zaleno stosnk zawartoci wody (/ ) i skrcz objtociowego (V/V ) oraz aproksymacj otrzymanych wyników, fnkcj liniow z wyrazem wolnym, przedstawiono na rys. 1. Fnkcja liniowa z wyrazem wolnym dobrze opisje proces skrcz objtociowego krków jabłka, o czym wiadczy wysoka warto współczynnika determinacji wynoszca R =,99. Dlatego te, do matematycznego jcia proces skrcz wykorzystano włanie t fnkcj, o postaci V V =,793 +, (13) Na podstawie równania (13) wyznaczono współczynnik skrcz b wystpjcy w równani (11); b =,. Dla wartoci pomiarowych b =,188. Acta Sci. Pol.
Weryfikacja model matematycznego pierwszego okres konwekcyjnego sszenia jabłka... 35 Rys. 1. Przebieg skrcz próbek jabłka odmiany Jonathan Red Fig. 1. The corse of contraction in samples of Jonathan Red apple variety Rys.. Zmiany zawartoci wody sszonych próbek Fig.. Changes of moistre (water) content in dried samples Na rysnk przedstawiono przebieg proces konwekcyjnego sszenia jabłka Jonathan Red w postaci pnktów, bdcych redni z trzech serii pomiarowych, oraz krzyw aproksymjc pnkty pomiarowe. Otrzymany z aproksymacji wielomian trzeciego stopnia dobrze opisje zmiany zawartoci wody sszonych próbek, gdy warto współczynnika determinacji jest bardzo wysoka (R =,999). Opierajc si na równani regresji postaci: Technica Agraria 1(1)
36 R. Zawilak... 3 ( τ ) = 1,66E 1τ + 5,953E 8τ,1τ + 5,51 (14) wyznaczono warto współczynnika szybkoci sszenia w pierwszym okresie proces wynoszc, k = -,1. Rys. 3. Zestawienie fnkcji aproksymjcej wyniki pomiarów i model liniowego Fig. 3. Record sheet (jxtaposition) of the fnction approximating measrement reslts and the linear model Rys. 4. Weryfikacja model pierwszego okres sszenia próbek jabłka odmiany Jonathan Red z wzgldnieniem skrcz objtociowego, dla b =,; k = -,1 Fig. 4. Verification of the first period model of drying Jonathan Red variety apple samples with regard to contraction in volme, for b =,; k = -,1 Acta Sci. Pol.
Weryfikacja model matematycznego pierwszego okres konwekcyjnego sszenia jabłka... 37 Analizjc otrzymany wielomian trzeciego stopnia stwierdzono, e w pocztkowym okresie sszenia ( = 7 s, czyli 1% całego czas proces) mona go aproksymowa fnkcj liniow ze współczynnikiem determinacji R =,997 i niewielkim błdem wzgldnym maksymalnym, nieprzekraczajcym 1,4%. Potwierdza to istnienie pierwszego okres sszenia, w którym szybko sszenia zaley od temperatry i prdkoci przepływ powietrza. Rysnek 3 przedstawia zestawienie fnkcji aproksymjcej wyniki pomiarów oraz fnkcji liniowej aproksymjcej wielomian w pocztkowym okresie sszenia. Ze wzgld na to, e wyniki bada proces sszenia dobrze opisje fnkcja aproksymjca o postaci wielomian trzeciego stopnia (14) oraz e, model matematyczny pierwszego okres sszenia, wzgldniajcy skrcz objtociowy (1) jest równie zalenoci wielomian trzeciego stopnia, współczynnik szybkoci sszenia w pierwszym okresie sszenia (k ) wyznaczono na podstawie fnkcji aproksymjcej wyniki pomiarów (14). Podstawiajc warto współczynnika skrcz b z zalenoci (13), do równania (11), obliczono skrcz sszarniczy s. Po wstawieni skrcz sszarniczego s i współczynnika k szybkoci sszenia do model (1) zyskano nastpjc fnkcj zmian zawartoci wody od czas sszenia (,798(,1) 3 5,51,798 (,1) 7 5,51 3 3 τ ) = 5,51,1τ + τ τ (15) Na rysnk 4 przedstawiono wykres model (15), porównjc go z fnkcj aproksymjc wyniki pomiarowe (14). Rys. 5. Zmiany objtoci i zawartoci wody z aproksymacji wyników pomiarów (równanie 14) w czasie sszenia próbek jabłka odmiany Jonathan Red Fig. 5. Changes of volme and moistre (water) content from the approximation of measrement reslts (eqation 14) dring the drying process of Jonathan Red variety apple samples Technica Agraria 1(1)
38 R. Zawilak... Model matematyczny pierwszego okres konwekcyjnego sszenia z wzgldnieniem skrcz objtociowego (15) został zweryfikowany empirycznie w przedziale zawarto- ci wody, od = 5,5 kg H O kg -1 s.m. do = 3,14 kg H O kg -1 s.m., czyli w zakresie wilgotnoci wzgldnej 85 76%, z błdem nie przekraczajcym,4%. Ponadto model ten dobrze (z błdem nie wikszym od 5%) opisje zmiany zawartoci wody, do =,49 kg H O kg -1 s. m., czyli do wilgotnoci wzgldnej 71%. Na rysnk 5 zamieszczono wykres trójwymiarowy, przedstawiajcy zaleno, zmiany objtoci i zawartoci wody z aproksymacji wyników pomiarów (równanie 14), od czas sszenia. WNIOSKI 1. Model matematyczny pierwszego okres konwekcyjnego sszenia z wzgldnieniem skrcz sszarniczego został zweryfikowany empirycznie w przedziale zawartoci wody, od = 5,5 kg H O kg -1 s.m. do = 3,14 kg H O kg -1 s.m., czyli w zakresie wilgotnoci wzgldnej 85 76%, z błdem nie przekraczajcym,4%.. Skrcz krków jabłka odmiany Jonathan Red, sszonego w temperatrze 55 C, przy prdkoci przepływ powietrza wynoszcej,5 m s -1, dobrze opisje fnkcja liniowa z wyrazem wolnym (13); o czym wiadczy wysoka warto współczynnika determinacji, R =,99. 3. Wielomian trzeciego stopnia (14) dobrze opisje zmiany zawartoci wody w całym przedziale czas proces konwekcyjnego sszenia jabłka Jonathan Red ; gdy warto współczynnika determinacji jest bardzo wysoka, R =,999. PIMIENNICTWO Górnicki K.,. Modelowanie proces konwekcyjnego sszenia korzeni pietrszki. Rozprawa doktorska. SGGW Warszawa. Jaros M., 1999. Analiza i wyznaczanie wartoci współczynnika szybkoci sszenia w procesie konwekcyjnego sszenia warzyw. [w:] S. Pabis (red.). Konwekcyjne sszenie warzyw. Teoria i praktyka Kraków, s. 41 5. Kkiełko E.,. Modelowanie proces konwekcyjnego sszenia owoców aronii w cienkiej warstwie. Rozprawa doktorska. SGGW Warszawa, s. 39. Kkiełko E., Jaros M., 1997. Modelowanie pierwszego okres sszenia aronii z wzgldnieniem skrcz materiałowego w warnkach konwekcji natralnej. Probl. Tech. Rol. Le. SGGW Warszawa, 135 141. Lis M., Lis H., 1. Wpływ proces sszenia na gsto wybranych odmian jabłek. Acta Agrophys. 45, 131 14. Mazza G., LeMager M., 198. Dehydration of onions: some theoretical and practical considerations. J. Food Technol. 15, 181 194. Mrakowski J., 1994. Sszenie pieczarek w warnkach konwekcji natralnej modelowanie pierwszego okres sszenia. Zesz. Probl. Post. Nak Rol. 417, 35 5. Nowak D., Witrowa-Rajchert D., Lewicki P. P., 1998. Skrcz objtociowy i zmiana gstoci marchwi i ziemniaka podczas sszenia konwekcyjnego. Zesz. Probl. Post. Nak Rol. 454, 461 468. Acta Sci. Pol.
Weryfikacja model matematycznego pierwszego okres konwekcyjnego sszenia jabłka... 39 Pabis S., 1994. Uogólniony model kinetyki sszenia warzyw i owoców w pierwszym okresie. Zesz. Probl. Post. Nak Rol. 417, 15 34. Rosselló C., Simal S., SanJan N., Mlet A., 1997. Nonisotropic mass transfer model for green bean drying. J. Agric. Food Chem. 45(), 337 34. Sokhansanj S., Bailey W. G., van Dalfsen K. B., 1999. Drying of north american ginseng roots. Drying Technol. 17(1), 93 38. Szki K., Kbota K., Hasegawa T., Hosaka H., 1976. Shrinkage in dehydration of root vegetables. J. Food Sci. 41, 1189 1193. VERIFICATION OF MATHEMATICAL MODEL OF THE FIRST CONVEC- TION PERIOD IN APPLE DRYING WITH REGARD TO DEHYDRATION SHRINKAGE Abstract. The mathematical model of the first drying period with regard to dehydration shrinkage was verified in the water (moistre) content interval from = 5,5 kg H O kg -1 of dry matter to =3,14 kg H O kg -1 of dry matter, that is, in the range of relative hmidity of 85 76%, with the error not exceeding,4%. Moistre (water) content measrements were carried ot dring the drying process, as well as of the changes in apple ring (slice) volme. The apple rings were dried at the temperatre of 55 C, at the air flow velocity of,5 m s -1. Key words: apples, drying, forced convection, mathematical model Roland Zawilak, Helena Lisowa, Renata Bochyska, Katedra Techniki Cieplnej, Akademia Rolnicza w Lblinie, l. Dowiadczalna 44, -38 Lblin Technica Agraria 1(1)