E-1/2. Efekt Halla w germanie. 1. Efekt Halla. Materiały przewodzące, jak na przykład metale, czy półprzewodniki, których nośniki ładunku mają róŝną od zera prędkość dryfu V, wykazują, w zewnętrznym polu magnetycznym, tzw. efekt Halla. Polega on na powstawaniu pola elektrycznego E H o kierunku poprzecznym do kierunku natęŝenia prądu I płynącego w próbce, jeśli badana próbka zostanie umieszczona w polu magnetycznym o indukcji B prostopadłej do kierunku I. Wynikiem powstałego, poprzecznego pola elektrycznego jest poprzeczny do kierunku przewodzenia spadek potencjału, dający tak zwane napięcie Halla U H. JeŜeli przez materiał przewodzący o kształcie płaskorównoległej płytki płynie prąd o natęŝeniu I (w kierunku dodatnim osi 0x), to wektor natęŝenia prądu pokrywa się z kierunkiem wektora natęŝenia pola elektrycznego E, które przyłoŝono wzdłuŝ próbki (rys 1). z y E I + + + + + + E H G - - - - - - x U H + - - B D Rys.1. Efekt Halla w przewodzącej płaskorównoległej próbce JeŜeli na próbkę działa pole magnetyczne o indukcji B w dodatnim kierunku osi 0y, to na nośniki ładunku działa siła Lorentza zakrzywiająca ich tor ruchu. W przypadku, gdy nośnikami są elektrony, to będą one odchylane w polu magnetycznym w ujemnym kierunku osi 0z, a siłę Lorentza F z określa iloczyn wektorowy wektora prędkości dryfu elektronów V x i wektora indukcji pola magnetycznego B: dryfu elektronów V i wektora indukcji pola magnetycznego B: F z = - e ( V x x B ), ( 1 ) gdzie e jest ładunkiem elektronu.
Elektrony docierają do granic próbki i wraz z ich gromadzeniem się na powierzchni próbki pojawi się w jej wnętrzu pole elektryczne E H, a między punktami D i G powstaje róŝnica potencjałów dająca tak zwane napięcie Halla U H ( rys.1 ). Powstałe pole hamuje dalszy ruch elektronów w tym kierunku i w warunkach równowagi, gdy siła F = e E H, pochodząca od tego pola, zrównowaŝy siłę Lorentza mamy: e E H = - e V x B. ( 2 ) Prędkość dryfu elektronów określa wielkość gęstości prądu j x przepływającego przez próbkę: j x = I / S = V n e, ( 3 ) gdzie : I oznacza natęŝenie prądu płynącego przez próbkę, S pole przekroju próbki, przez które przepływa prąd, zaś n jest koncentracją elektronów ( tzn. liczbą elektronów w jednostce objętości ). Z równań (2) i (3) wynika, Ŝe: E H = - j x B / n e, ( 4 ) a poniewaŝ E H zaleŝy od U H ( E H = U H / d, gdzie d jest szerokością próbki ), to: U H = - I B d / n e S. ( 5 ) Wielkość R H = - 1 / ne ( 6 ) zwana jest stałą Halla, bądź współczynnikiem Halla, więc: U H = R H ( I B d /S ). ( 7 ) Dla elektronów stała Halla R H jest ujemna. Ze wzoru (7) jasno wynika, Ŝe napięcie Halla jest wprost proporcjonalne zarówno do natęŝenia I prądu przepływającego przez próbkę, jak i do wielkości wektora indukcji magnetycznej B pola magnetycznego, w którym umieszczono próbkę. Gdyby nośniki ładunku w próbce miały znak dodatni, to poruszałyby się w dodatnim kierunku osi 0x, przy nie zmienionym kierunku siły Lorentza. Wtedy pole Halla miałoby kierunek przeciwny do pola powstającego przy ujemnie naładowanych nośnikach. Prowadzi to do waŝnego wniosku, Ŝe znak nośników ładunku, decydujących o transporcie nośników, moŝna określić na podstawie znaku stałej Halla, a więc takŝe na podstawie znaku napięcia Halla, zaś wartość stałej Halla określa wielkość koncentracji nośników prądu. Dla ładunków dodatnich stała Halla określona jest przez koncentrację dziur p ( liczba ładunku dodatniego w jednostce objętości), R H = 1 / p e. ( 8 ) W przypadku metali stałą Halla opisuje równanie (6). W przypadku półprzewodników równaniami (6) lub (8), w zaleŝności od typu przewodnictwa półprzewodnika. Dla półprzewodników wzory te dają jedynie poprawny rząd wielkości współczynnika Halla, a nie jego dokładną wartość, poniewaŝ w przypadku opisu transportu nośników prądu w
półprzewodniku naleŝy jeszcze uwzględnić statystyczny rozkład prędkości nośników, a więc wziąć pod uwagę mechanizmy ich rozpraszania. 2. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest: - ustalenie prawidłowości rządzących efektem Halla, wyznaczenie stałej Halla, - wyznaczenie koncentracji i ruchliwości nośników prądu w germanie ( typu p lub n ), - wyciągnięcie wniosków dotyczących rodzaju przewodnictwa w badanej próbce, Cel ten osiągniemy analizując zaleŝność napięcia Halla U H od natęŝenia prądu I przepływającego przez próbkę, gdy jest ona umieszczona w stałym polu magnetycznym o indukcji B, lub zaleŝność napięcia Halla U H od wielkości indukcji B pola magnetycznego, gdy przez próbkę przepływa prąd o stałym natęŝeniu I. 3. Metoda pomiaru i układ pomiarowy Ideowy schemat metody pomiarowej przedstawiono na rysunku 1, gdzie pomiarów napięcia Halla U H dokonuje się w poprzek próbki, między punktami D i G. Aparatura do pomiaru efektu Halla stosowana w tym doświadczeniu ( rys.2 ) zawiera: - obwód zasilania badanej próbki ( zasilacz I ) - mierniki: a) natęŝenia prądu I sterującego próbka (cyfrowy miliameromierz w Module II ) b) napięcia Halla U H ( cyfrowy miliwoltomierz VI ). - elektromagnes ( III ) - sondę do pomiaru indukcji B ( Hallotron V ) - miernik indukcji pola magnetycznego ( Teslametr IV ). Szczegółowy opis układu i jego poszczególnych elementów znajduje się w dodatku do tej instrukcji. V VII IV I II III VI Rys.2. Układ pomiarowy stosowany do analizy efektu Halla i pomiaru magnetooporu.
4. Przebieg pomiaru Przed przystąpieniem do wykonywania pomiaru wskazanego przez opiekuna dydaktycznego: - uwaŝnie zapoznajemy się z układem pomiarowym, identyfikujemy elementy układu i ich funkcje, korzystając z dodatku do instrukcji, - zapoznajemy się z informacjami zamieszczonymi na tablicy znajdującej się przy stanowisku pomiarowym, dotyczącymi granicznych wartości prądu i indukcji pola. Zapisujemy podane parametry badanych próbek ( R o, l, S, d ). Po uzyskaniu zezwolenia przystępujemy do czynności pomiarowych. A. Pomiar U H = f(i) a) JeŜeli miliwoltomierz VI (rys.2) nie jest pod łączony do gniazd (5) Modułu II ( dodatek.rys,5a), to naleŝy zawiadomić o tym opiekuna dydaktycznego, lub dyŝurującego specjalistę. b) Ustawiamy pokrętło (5) zasilacza I w pozycji 12 V (dodatek, rys.3). Pokrętłem (3) zasilacza zwiększamy wielkość prądu I przepływającego przez cewki elektromagnesu. W ten sposób ustalamy, podaną przez opiekuna dydaktycznego, wartość indukcji pola magnetycznego, którą odczytujemy na wyświetlaczu (5) Teslametru (dodatek, rys.4). c) Pokrętłem (1) Modułu zmieniamy wartość i kierunek natęŝenia prądu I sterującego próbką, w zakresie i z krokiem pomiarowym podanymi przez opiekuna dydaktycznego. Wartość natęŝenia prądu odczytujemy na wyświetlaczu (2) Modułu, a odpowiadające mu napięcie Halla U H wskazuje miliwoltomierz VI ( rys2). Uwaga! Nie przekraczać dozwolonych wartości I i B. d) Zapisujemy, w odpowiedniej tabeli pomiarowej, nastawianą wartość natęŝenia prądu I i odpowiadającą jej wartość napięcia Halla U H, odczytywaną na miliwoltomierzu, a takŝe wielkość indukcji B pola magnetycznego.. Tabela B [T] I [A] U H [V] e) Zgodnie z decyzją opiekuna powtarzamy ( lub nie ) czynności wymienione w punktach b), c) i d) dla innych wartości indukcji B pola magnetycznego podanych przez opiekuna. Uwaga! Zdarza się, Ŝe w trakcie pomiarów wyświetlacz miernika napięcia Halla gaśnie. NaleŜy wtedy wyłączyć, a następnie włączyć miliwoltomierz przyciskiem on/off. f) Po zakończonym pomiarze redukujemy indukcję magnetyczną i prąd przepływający przez próbkę do zera. B. Pomiar U H = f(b) Pomiaru napięcia Halla U H w zaleŝności od indukcji B pola magnetycznego dokonujemy dla jednej, lub kilku wartości i kierunku prądu sterującego próbką,. Decyduje o tym opiekun dydaktyczny. a) JeŜeli miliwoltomierz (VI, rys 2) nie jest podłączony do gniazd (5) Modułu II (dodatek, rys 5a ), to zgłaszamy to opiekunowi, lub dyŝurnemu specjaliście.
b) Pokrętłem (1) Modułu nastawiamy, zadane przez opiekuna, kierunek i wartość prądu I sterującego próbką. c) Ustawiamy pokrętło (5) zasilacza I w pozycji 12 V. Pokrętłem (3) zasilacza zwiększamy wielkość prądu przepływającego przez elektromagnes. W ten sposób regulujemy wartość indukcji B pola, którą odczytujemy na wyświetlaczu (5) Teslametru IV (dodatek, rys. 4 ). d) Przy stałym prądzie sterującym próbką I zapisujemy, w odpowiedniej tabeli pomiarowej, nastawianą wielkość indukcji pola magnetycznego B i odpowiadającą jej wartość napięcia Halla U H, odczytywaną na miliwoltomierzu. Tabela I [A] B [T] U H [V] e) Zgodnie z decyzją opiekuna powtarzamy ( lub nie ) czynności wymienione w punktach b), c) i d) dla innych, wskazanych przez opiekuna, wartości natęŝenia prądu sterującego próbką. f) Po zakończonych pomiarach redukujemy wielkość indukcji pola magnetycznego i natęŝenia prądu sterującego próbką do zera. 5. Opracowanie wyników pomiarów. 5.1 Wyznaczanie stałej Halla. 5.1.1 Pomiar U H = f ( I ) a) Na podstawie pomiarów napięcia Halla U H w zaleŝności od natęŝenia prądu I zapisanych w tabeli pomiarowej, sporządzamy wykres (lub wykresy) U H = f ( I ) dla określonej, stałej wartości indukcji pola magnetycznego B. JeŜeli wykonywaliśmy pomiary dla kilku róŝnych wartości indukcji magnetycznej B pola, w którym umieszczona jest badana próbka, to otrzymamy rodzinę wykresów zaleŝności U H = f ( I ). b) Analizujemy otrzymane wykresy, określamy charakter zmian U H od I. Z równań ( 5 ) i ( 7 ) wynika, Ŝe U H powinno liniowo zaleŝeć od I. c) Wyznaczamy współczynniki kierunkowe otrzymanych prostych, korzystając np. z metody najmniejszych kwadratów. Określamy takŝe błąd wyznaczania współczynników kierunkowych. PoniewaŜ jak to wynika z równania ( 7 ) współczynnik kierunkowy a = R H ( B d/ S ), to obliczając ten współczynnik określamy znak i szacujemy wartość stałej Halla, przy ustalanej indukcji B : R H = as/bd. (9) e) Na podstawie wielkości i znaku stałej Halla R H wyciągamy wnioski co do typu przewodnictwa w badanej próbce. Zastanawiamy się teŝ, czy wielkość indukcji pola magnetycznego B ma wpływ na wielkość stałej Halla. d) Szacujemy błąd R H analizując wzór (9), korzystając z metody róŝniczki zupełnej. 5.1.2 Pomiar U H = f ( B )
a) Na podstawie pomiarów napięcia Halla U H w funkcji indukcji B zapisanych w tabeli pomiarowej, wykonujemy dla określonego natęŝenia prądu I sterującego próbką, wykres zaleŝności U H = f ( B ). JeŜeli wykonywaliśmy pomiary dla kilku natęŝeń prądu sterującego próbką, to otrzymamy rodzinę wykresów zaleŝności U H = f ( B ). b) Analizując otrzymane wykresy określamy charakter zmian U H w zaleŝności od B. Z równań ( 5 ) i ( 7 ) wynika, Ŝe U H powinno liniowo zaleŝeć od B. c) Wyznaczmy współczynniki kierunkowe otrzymanych prostych, korzystając np. z metody najmniejszych kwadratów. Określamy takŝe błąd wyznaczania współczynników kierunkowych. PoniewaŜ jak to wynika z równania ( 7 ) współczynnik kierunkowy a = R H ( I d/ S ), to określamy jednocześnie znak i szacujemy wartość stałej Halla, przy ustalanym prądzie I sterującym próbką: R H = as/id. (10) d) Wyciągamy wnioski co do typu przewodnictwa w badanej próbce. Zastanawiamy się czy wielkość prądu sterującego próbką I ma wpływ na wielkość stałej Halla. e) Szacujemy błąd R H analizując wzór (10), korzystając np. z metody róŝniczki zupełnej. 5.2 Obliczanie koncentracji i ruchliwości nośników prądu a) Z wyznaczonej stałej Halla R H obliczamy koncentrację nośników ładunku przyjmując e = 1.61 x 10-19 C ( wzory (6) lub (8)). b) Znając wartości współczynnika Halla R H, koncentracji nośników (n lub p) i oporność próbki R o, określamy wielkość zwaną ruchliwością nośników prądu µ. Jeśli nośnikami są elektrony to: µ = σ /n e, (11) lub jeśli nośnikami są dziury, to: µ = σ /p e, (12) gdzie σ = l / R o S jest przewodnictwem próbki, zaś l długością próbki. c) Obliczamy błąd wyznaczania koncentracji i ruchliwości nośników prądu korzystając np. z metody róŝniczki zupełnej. d) Wyciągamy odpowiednie wnioski dotyczące otrzymanych wielkości koncentracji i ruchliwości nośników prądu. Określamy rodzaj badanego materiału przewodzącego ( metal, czy półprzewodnik?). Zastanawiamy się jaki wpływ na nasz pomiar mogły mieć inne efekty termo i elektromagnetyczne. Uwaga! W sprawozdaniu zamieszczamy: wykresy z ich analizą, wyznaczane wielkości fizyczne z ich błędami (prawidłowo zapisane) i wyciągnięte z analizy pomiarów wnioski (korzystaj z materiałów dodatkowych ). Literatura : [1] Cz. Bobrowski, Fizyka, krótki kurs dla inŝynierów, WNT W- wa 1981 [2] R. Resnick, D. Haliday, Fizyka t. II, PWN W-wa 1988 [3] K.W. Szalimowa, Fizyka półprzewodników, PWN, W-wa 1974 [4] A. van der Zeil, Podstawy fizyczne elektroniki ciała stałego, WNT W-wa 1980
DODATEK W skład zestawu pomiarowego wchodzą: - zasilacz (I) 0 12 V DC/6V 12 VAC - zintegrowany Moduł badawczy (II) z badaną próbką, zawierający wzmacniacz sygnału prądowego, cyfrowy miernik natęŝenia prądu sterującego próbką ( miliamperomierz), oraz miernik temperatury próbki. Moduł zasilany jest prądem z zasilacza (I), wyjście 0-12V ( gniazda (1) zasilacza, rys.3 ) - elektromagnes (III) ( źródło pola magnetycznego), który tworzą dwie połączone w szeregowo cewki indukcyjne, umieszczone na wspólnym rdzeniu, zasilane prądem stałym z zasilacza (I), wyjście 0-12V ( gniazda (2) zasilacza, rys.3) - miernik indukcji B pola magnetycznego (IV), tzw. Teslametr, połączony z czujnikiem pola tzw. Hallotronem (V) - cyfrowy miernik napięcia ( miliwoltomierz ) (VI) słuŝący do pomiaru napięcia na próbce, lub do pomiaru napięcia Halla - statyw (VII) mocujący Moduł z próbką umieszczoną pomiędzy nabiegunnikami elektromagnesu - przewody łączące poszczególne elementy obwodu. Rys.3. Zasilacz I.
Rys. 4. Teslametr IV. Rys. 5. Moduł do badania efektu Halla; a) część przednia, b) część tylna a) b) 1) Badana próbka podłączona jest do gniazda (9) Modułu (rys.5a), który zasilany jest z wyjścia (1) zasilacza, łączonym z wejściem (11) Modułu (rys.5b) znajdującym się na tylnej części Modułu. 2) NatęŜenie i kierunek przepływu prądu regulujemy pokrętłem (1) na Module. Wartość natęŝenia prądu wskazuje wyświetlacz (2), przy wciśniętym przycisku (7). Ten sam przycisk, w pozycji wyciśnięty, słuŝy do odczytu temperatury próbki, ukazującej się na wyświetlaczu. 3) Miliwoltomierz (VI) powinien być podłączony do gniazd (10) Modułu ( rys.5a), jeśli ma słuŝyć jako miernik napięcia na próbce ( w przypadku pomiaru oporu ). JeŜeli chcemy mierzyć napięcie Halla, to podłączamy go do gniazd (5) Modułu. 4) Pokrętło (8) Modułu słuŝy do kompensacji (zerowania) napięcia Halla. MoŜna nim redukować wpływ innych efektów.
5) Dioda (4) Modułu wskazuje stan pracy grzejnika, zmieniającego temperaturę próbki, jej świecenie oznacza włączone grzanie. Załączenie grzania próbki następuje po wciśnięciu przycisku (12) na Module (rys,5b). Przy pomiarach przeprowadzanych w stałej temperaturze grzejnik powinien być wyłączony! 6) Do pomiaru wielkości indukcji pola magnetycznego słuŝy hallotron, który jest umieszczony w otworze (6) Modułu i połączony jest z gniazdem (1) Teslametru ( rys.4). Wartość indukcji pola wskazuje wyświetlacz (5) Teslametru. Charakter pracy Teslametru ustalamy przełącznikiem (4), a pokrętła (6) i (2) Teslametru słuŝą do korekcji pola magnetycznego. 7) W celu zmiany wielkości indukcji pola magnetycznego naleŝy pokrętło (5) zasilacza ustawić w pozycji 12 V i zmieniać wartość prądu, przepływającego przez cewki indukcyjne elektromagnesu, przy pomocy pokrętła (3) zasilacza ( rys.3) 8) Zmiany kierunku pola magnetycznego dokonujemy zamieniając miejscami kable wchodzące do gniazd (2) zasilacza.