www.wdza.nt Podtawy fzyk kwantowj. Zadana z ozwązana. Zjawko fotolktyczn zwnętzn Pogowa długość fal dla wybca fotolktonów z talczngo odu wyno 5.45 7 a. wyznacz akyalną pędkość lktonów wybjanyc pzz śwatło o długośc fal 7 b. jak jt napęc aując dla fotolktonów wybjanyc z odu pzz śwatło o długośc 7 fal. Rozwązan Znając pogową długość fal na wybc lktonu oży oblczyć, jaka jt paca wyjśca (paca potzbna do wybca lktonu z powzcn talu) dla odu. Poędzy długoścą fal śwatła a ngą fotonu jt zwązk: E ν gdz ν. Długość fal to naczj odlgłość, jaką pokonuj fala w cza jdngo oku, T węc dla śwatła c ct. Uwzględnając powyżz ν c E c W w W w - paca wyjśca, g - ganczna długość fal Jśl cała nga padającgo fotonu zotan zużyta na wybc lktonu to lkton będz ał ngę E ν g W w c c E Oczywśc E jt ngą kntyczną lktonu, węc ożna napać υ g c g
www.wdza.nt c υ g υ c c g υ g Oblczn napęca aującgo tż n jt pobl. Wytaczy ngę lktonu w dżulac podzlć pzz ładunk lktonu. Po podtawnu 6 υ.8 9 E 6,9 J U.9V g Fal at Il wyno długość fal pzypana lktonow o ng V. Rozwązan Długość fal czątk atalnj pouzającj ę z pędkoścą v jt opana wzo: υ gdz oznacza tałą Plancka (tzw. kwant dzałana); aa czątk. Enga kntyczna lktonu to E υ węc υ po podtawnu do zalżnośc na E Enga wtawana do powyżzgo wzou u być w J, nalży węc dokonać zaany 9 V.6 J. Po podtawnu watośc lczbowyc dotajy wynk. E
www.wdza.nt Modl plantany atou wdług Boa Załóż, ż odl plantany opuj uc lktonu w ato wodou. Jśl poń obty lktonu wyno 5. oblcz: a. czętość kołową lktonu, b. pędkość lnową lktonu, c. ngę kntyczną lktonu w V. Jaka jt nalna nga potzbna do zjonzowana atou? Rozwązan Oczywśc tzba paętać, ż odl Boa jt błędny n opaty na żadnyc konktnyc pzłankac fzycznyc. W zadanu zakłada ę jdnak, ż ato wodou jt zbudowany tak jak to opał Bo. Wtdy ozważay uc lktonu wokół aywngo jąda*. Poędzy lkton a poton wytępuj kulobowk oddzaływan pzycągając F 4πε Jt to jdnoczśn ła dośodkowa w ucu po okęgu. Jak (tanowący jądo atou 7 paętay z lkcj fzyk ła dośodkowa wyaża ę wzo wodou) p.676 υ Fd gdz v pędkość lnowa cała pouzającgo ę po okęgu; poń okęgu; aa cała; W ty zadanu ła dośodkowa wygląda natępująco: υ Fd jt ówna l oddzaływana lktotatyczngo, węc: υ 4πε dotajy pędkość lnową υ 4πε Czętość kołową uzykay łatwo, gdy zauważyy, ż: π υ T υ π ω T węc *Pzyjujy, n jt to wlk błęd, ż śodk ay układu jądo lkton znajduj ę jądz. Elkton a aę 9.9 kg. Natoat poton kg. Jak wdać jt to óżnca cztc zędów wlkośc.
www.wdza.nt ω 4πε Oblczn ng kntycznj tż n tanow poblu. υ 8πε E 8πε Aby oblczyć ngę jonzacj tzba znać całkowtą ngę lktonu, czyl n tylko ngę kntyczną, al potncjalną. Sua tyc ng daj ngę całkowtą dla tanów zwązanyc* jt zawz ujna. Enga potncjalna układu poton { lkton wyaża ę wzo E 4πε Enga całkowta wyaz ę uą E E + E E E c jonzacj p k jonzacj + 4πε 8πε *Elkton jądo w ato twozą tan zwązany, podobn w tan zwązany ą Za Kężyc czy Za tacja obtalna. Gdy ludz wyyłają ondy koczn poza układ łonczny to nadają taką ngę, aby n twozyły tanów zwązanyc z nny planta. co po powadznu do wpólngo anownka daj E jonzacj 8πε Otatczn po podtawnu otzyujy wynk: ω 4. 6 υ 8599 E k.6v E jonzacj.6v
www.wdza.nt Wdo wodou Znajdź długość fal w tac dla pwzyc tzc ln yana dla wodou. W jak obzaz wda lżą t ln. 4 Rozwązan Sa yana objuj pzjśca z powłok wyżzyc na powłokę pwzą, czyl gdy n,,, 4, Długość fal ożna oblczyć z wzou Bala-Rydbga R n gdz R 977.54 oznacza tałą Rydbga. Po podtawnu watośc lczbowyc otzyay.5n 4.5n 97.n Pzjśc lktonow Elkton w ato wodou pzcodz z tanu n 5 do tanu podtawowgo n. Znajdź ngę pęd towango fotonu. Rozwązan Wykozytując wzó z popzdngo zadana dotajy R n n R n Wzó na ngę jt już znany c E ν węc wykozytując wzó Rydbga n E cr n Pęd oblczyy z wzou 4 E c + p c Foton n a ay poczynkowj ( ), węc jdn człon wyażna znka zotaj tylko E p c w tn poób po pzkztałcnu otzyujy wyażn na pęd fotonu 5
www.wdza.nt Podtawając wczśnjz zwązk p E p c p n R n Po podtawnu watośc lczbowyc: E.V 7 p 6.98 kg Modl Boa W odlu atou wodou Boa obty, n,,, ą oznaczon lta K,, M,. Dla lktonów na każdj z obt K,, M, oblcz: a. ponowan obt, b. czętość obgu, c. pędkośc lnow, d. onty pędu,. całkowtą ngę układu. 6 a. Pytan jt npcyzyjn foułowany. Potulat Boa ów o ty, ż lktony pouzając ę po obtac n ponują ng (naczj uałyby padać na jądo). Fotony ą wyśwcan wtdy, gdy natępuj pzjśc lktonu z obty wyżzj na nżzą. Można, węc wykozytać wzó Rydbga do wyznaczna długośc fal wyponowanyc pzy pzjścac:.5n.5n 656.n b. Nalży wypowadzć wzó ogólny, pozwalający oblczyć poń dowolnj obty Boowkgo wodou. Nalży to zobć w opacu o potulat ówący o kwantowanu ontu pędu lktonu na obc. n π gdz jt ont pędu na obc n. Dla pzyponna ont pędu jt loczyn wktoowy pona wodzącgo pędu p. W pzypadku tou będącgo okęg watość ontu pędu wyaża ę jako υ. N będę pzpowadzał całgo wywodu dotyczącgo wzou na czętość obgu (ożna go znalźć w podęcznkac do zkoły śdnj). Oganczę ę do podana wzou.
www.wdza.nt ω 4πε gdz ε n n π Po podtawnu wlkośc lczbowyc otzyay 6 ω 4. 5 5. 5.5 ω ω n c. Oblczn pędkośc lnowyc polga jdyn na wynożnu czętoścω pzz poń υ ω υ 75459 υ 8779 υ 755 d. Podtaway watośc do wzou n n π.6. Całkowta nga układu. n n n.6.89 E n 8ε E.6V E.4V E.5V 4 4 4 4 n kg kg kg
www.wdza.nt Równan Scödnga Funkcja falowa πn Ψ ( x) An n x jt zdfnowana jdyn w obzaz < x <. Skozytaj z waunku noalzacj do oblczna tałj A n. Rozwązan Waunk noalzacj ów o ty, ż całka kwadatu odułu funkcj falowj po całj pztzn jt ówna. Tutaj waunk będz ał potać natępującą. πn An n x dx πn An n x dx Zatoujy zaanę znnyc. Nc πn u x wtdy n An n ( u ) du n π π Oblczając całkę dotajy, (Całkę ożna pać z tablc lub, jśl ktoś cc, oblczyć todą "pzz częśc".) πn n Podtawając wynk do waunku noalzacj otzyay A n co daj otatczn πu ( u ) du nu cou + u πn A n 7
www.wdza.nt Udowodnj, ż Ψ ( x,t ) Axp ( px Et ) jt ozwązan ównana Scödnga. Czy funkcja Rozwązan wato zauważyć, ż czyl Ψ Ψ Ψ ( x,t ) ( x,t ) A A ( pxet ) px ( x,t ) ψ ( x) Et Et * ψ + ψ jt tż ozwązan? Funkcja falowa dała ę ozłożyć na dwa czynnk, z któyc jdn zalży wyłączn od położna a dug tylko od czau. Jśl wykonay taz podtawn do ównana Scödnga Ψ ( ) ( ) ( x,t ) Ψ x,t + UΨ x,t t węc dzląc tona pzz Et Et ψ otzyay Et ( x) + U ψ ( x) ψ ( x) E ψ ( x) + Uψ ( x) Eψ ( x) Równan to jt nazywan ównan Scödnga bz czau dotyczy pzypadków tacjonanyc tzn. takc gdz potncjał U n zalży od czau. Dalj pząc o ównanu Scödnga będę ał na yśl właśn ównan Scödnga bz czau (Wtdy funkcję falową daj ę ozłożyć na dwa czynnk, z któyc jdn zalży tylko od położna a dug tylko od czau(. Podtawając do tgo ównana jawn funkcję ψ A dotajy p ψ + Uψ Eψ Poędzy ngą kntyczną pęd w fzyc n latywtycznj zacodz zwązk ( x) px Et 8
www.wdza.nt węc ównan a n, dotalśy uę ng potncjalnj kntycznj ówną całkowtj ng czątk, co jt pawdą. * Jak łatwo oblczyć funkcja ζ ψ + ψ a potać ζ Aco ( px Et ) po oblcznac dotajy p ζ ζ co, podobn jak popzdno, ożna podtawć do ównana Scödnga. Otzyay wtdy p + U ζ Eζ wa tona jt uą ng kntycznj potncjalnj a pawa jt całkowtą ngą * czątk. Wynka z tgo, ż lwa tona jt ówna pawj, czyl funkcja ζ ψ + ψ ównż płna ównan Scödnga. Zbadaj, czy ψ jt ozwązan ównana Scödnga? ( x,t ) An( kx ωt ) 9 Rozwązan Funkcję ożna wyazć tż wykozytując zwązk E ω oaz p k Wtdy pzybz potać ψ An ( px Et ) Pozotało już tylko podtawn do ównana ψ + Uψ Eψ podobn jak w popzdn zadanu otzyay p + U ψ Eψ Otatczn oży węc twdzć, ż funkcja ψ płna ównan Scödnga.
www.wdza.nt Wyznacz dozwolon watośc ng funkcj falow czątk o a znajdującj ę w nkończn głębokj, potokątnj tudn potncjału zokośc. o Rozwązan Spoobów ozwązana jt klka. Pzdtawę najpotzy. Aby dotyczył tż pozotałyc zadań pzyjjy, ż potncjał jt natępujący + x < V < x < + x > Ta gdz potncjał jt nkończn duży funkcja falowa n tnj. W pzdzal zowgo potncjału ogą wytępować funkcj falow odpowadając czątc wobodnj pouzającj ę w pawo oaz czątc wobodnj pouzającj ę w lwo. Dodatkowo na bzgac tudn funkcja falowa u znkać. Potncjał n zalży od czau, węc zzygnujy z pana członów funkcj falowj zalżnyc od czau. Uwzględnając to ożna napać: ψ x ψ x ψ x czyl k A + B wynka z tgo, ż A + B węc B -A. ( ) ( ) + ( ) ψ ( ) ψ ( ) ψ kx kx ( x) A + B k A k + B Można już zapać ψ jako kx kx ψ ( x) A( ) k Pzcodząc do zapu tygonotyczngo ψ a potać ψ x A n kx W poób natualny dla ( x ) ( ) ( ) ψ al tzba tż paętać o ty, ż ψ ( ) π A n( k) k n gdz n,,,4 Funkcję falową tzba jzcz unoować: po oblcznu całk 4A k 4A n n ( kx) dx ( kx) co( kx) + ( kx) A A
www.wdza.nt Po uwzględnnu watośc A oaz k funkcja ψ pzyba potać ψ nπ ( x) n x Co po uwzględnnu czynnka zalżngo od czau daj płną funkcję falową Ψ ( x,t ) nπ ωt ψ ( x) n x Dzałając altonan na funkcję falową dotajy watośc ng dla tanów włanyc potokątnj nkończonj tudn kwantowj. Ĥ ψ Eψ E jt watoścą właną altonanu, czyl ngą czątk. Po podtawnu funkcj falowj otzyay A n( kx) k A n( kx) czyl Ĥψ k ψ Enga czątk po uwzględnnu watośc k wyaża ę wzo π E n gdz n,, Wato zauważyć, ż czątka w tudn potncjału n oż pzyjować dowolnj ng. Pozoy ngtyczn ą kwantowan. Czątka znajduj ę w tan podtawowy w potokątnj tudn potncjału o zokośc całkowc npzpuzczalnyc ścankac ( x < ) Oblcz pawdopodobńtwo znalzna tj czątk w obzaz < x < <. Rozwązan W ty zadanu ożna wykozytać oblczna z zadana popzdngo. Nalży kwadat odułu unoowanj funkcj falowj ψ ( x) (x) pzcałkować od do co po oblcznu daj P,6 P π n x dx π π π P n x co x + x π
www.wdza.nt Pzyjując, ż czątczka tlnu pouza ę z śdna pędkoścą tczną w tpatuz T K ędzy dwoa koljny zdzna znajduj ę w potokątnj tudn potncjału o zokośc 8 6 Ozacuj lczbę ożlwyc pozoów ngtycznyc tj czątk. Rozwązan Zadan jt tocę dzwn foułowan ało fzyczn, al póbujy j ozwązać natępująco. Zakładając, ż tln w tpatuz pokojowj zacowuj ę jak gaz dokonały, (co jt właścw pawdą pzy cśnnu noalny nżzy nż noaln). Wtdy śdna nga kntyczna czątczk wyaża ę wzo Ek ś kbt Poównując to z wzo na ngę czątk w potokątnj tudn potncjału dotajy BT π k n węc n k BT π Po podtawnu otzyay wynk: czątczka, o któj owa w zadanu znajduj ę w tan kwantowy n 77. Jaka jt zokość jdnowyaowj tudn potncjału z nkończn wyok ścana, jżl pzy pzjścu lktonu z duggo na pwzy pozo kwantowy wyyłana jt nga E V Rozwązan Nalży wykozytać wzó na pozoy ngtyczn w takj tudn, wypowadzony w zadanu ozwązać ównan E E E węc π ( n n ) E ( n n ) po podtawnu dotajy.6 9