MODEL MATEMATYCZNY NAPÊDU Z SILNIKIEM INDUKCYJNYM METODA DTC-SVM

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 9. ZESZYT 1, 010 ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 9. ZESZYT 1, 010 MODEL MATEMATYCZNY NAPÊDU Z SILNIKIEM INDUKCYJNYM METODA DTC-SVM Grzegorz SIEKLUCKI *, Tadeusz ORZECHOWSKI *, Rajmund SYKULSKI * STRESZCZENIE W artykule omówiono strukturê i zasadê pracy uk³adu DTC-SVM. W pracy przedstawiono nieliniowy model matematyczny silnika indukcyjnego w wiruj¹cym uk³adzie wspó³rzêdnych. Wektor strumienia stojana przyjêto jako oœ odniesienia (d). W rozwa aniach pominiêto dynamikê przemiennika czêstotliwoœci. Celem analizy by³o uproszczenie (linearyzacja) modelu obwodu strumienia stojan oraz wytwarzania momentu elektrycznego. Zosta³y przedstawione wyniki badañ symulacyjnych, które pozwalaj¹ okreœliæ b³êdy linearyzacji modeli. Zamieszczono transmitancje, które mog¹ zostaæ wykorzystane w procesie optymalizacji parametrycznej regulatorów. S³owa kluczowe: Silnik indukcyjny klatkowy, model matematyczny, bezpoœrednie sterowanie momentem (DTC), metoda wektora przestrzennego w modulacji szerokoœci impulsu (SVM lub SVPWM). MATHEMATICAL MODEL OF INDUCTION MOTOR DTC-SVM METHOD Structure and the principle of the work of the DTC-SVM system are talked over in the article. The nonlinear mathematical model of the induction motor in a revolving reference frame is introduced in the work. The stator flux vector is taken as the axis of the reference frame (d). The dynamics of the power electronics frequency converter are neglected in considerations. The simplification (linearization) of the stator flux circuit model and the production of the motor torque is the aim of the analysis. Ther are presented the results of the simulating researches which let qualify the models linearization errors. The transfer-functions which can be used in the parametric optimization process of regulators was inserted. Keywords: Squirrel cage induction motor, mathematical model, direct torque control (DTC), space vector pulse with modulation method (SVM or SVPWM). 1. WPROWADZENIE Zasady bezpoœredniego sterowania momentem (DTC) silnika indukcyjnego zosta³y omówione m.in. w [3, 4, 7, 1, 4, 5, 8]. Metoda ta zapewnia wysok¹ dynamikê i du ¹ odpornoœæ uk³adu napêdowego oraz ³atwoœæ optymalizacji regulatora prêdkoœci [3]. Wad¹ klasycznej metody DTC s¹ du e oscylacje momentu elektrycznego i pr¹dów stojana oraz zmienna czêstotliwoœæ PWM napiêcia stojana. Zalety i wady metody wynikaj¹ z zastosowania regulatorów przekaÿnikowych oraz tabeli selekcji wektorów napiêcia stojana. Z powy szych powodów, kosztem dynamiki napêdu, do uk³adu regulacji wprowadza siê modulacjê wektora przestrzennego (SVM) oraz liniowe regulatory strumienia stojana i momentu elektrycznego. Przegl¹d najczêœciej stosowanych metod zosta³ zamieszczony w pracy [5]. W niniejszym artykule skoncentrowano siê nad metod¹ zaproponowan¹ w [9] i rozwijan¹ m.in. w pracach [10, 11, 15, 16, 5], gdzie w celu uproszczenia modelu matematycznego napêdu stosuje siê odsprzêganie oraz w pracach [, 8, 30], gdzie na podstawie równañ silnika indukcyjnego wylicza siê przybli enie transmitancji momentu elektrycznego od napiêcia stojana. W pracy przedstawiono transmitancje przybli aj¹ce nieliniowy model matematyczny silnika indukcyjnego (w uk³adzie wspó³rzêdnych wiruj¹cym z prêdkoœci¹ ω ms strumienia skojarzonego stojana ψ s ). Zaprezentowano tu uproszczenia modelu matematycznego do postaci transmitancji: ψs () s Gψ( s) obwód regulacji strumienia, usd () s ref Me() s GM() s usq () s obwód regulacji momentu. ref Rys. 1. Rozk³ad wektorów przestrzennych w metodzie DTC-SVM Rozk³ad wektorów przestrzennych strumieni skojarzonych i napiêcia stojana zosta³ przedstawiony na rysunku 1, gdzie ω 1 jest prêdkoœci¹ wirowania wektora napiêcia stojana, k¹t obci¹ enia oznaczony zosta³ jako δ ψ, natomiast po³o- enie wektora strumienia ψ s wzglêdem nieruchomego uk³adu wspó³rzêdnych oznaczono przez k¹t ρ s (jest wykorzystywany w transformacji sygna³ów do uk³adu wiruj¹cego). * AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Wydzia³ Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki, Katedra Automatyki Napêdu i Urz¹dzeñ Przemys³owych, al. A. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków, Poland 33

Grzegorz SIEKLUCKI, Tadeusz ORZECHOWSKI, Rajmund SYKULSKI MODEL MATEMATYCZNY NAPÊDU Z SILNIKIEM INDUKCYJNYM METODA DTC-SVM Rys.. Struktura uk³adu DTC-SVM. STRUKTURA UK ADU REGULACJI Struktura uk³adu regulacji DTC-SVM [, 5, 8, 9, 30] zosta³a przedstawiona na rysunku. W uk³adzie, oprócz silnika indukcyjnego, mo na wyró - niæ bloki pomiarowe sygna³ów: prêdkoœci k¹towej najczêœciej enkoder inkrementalny EC po³¹czony z licznikiem rewersyjnym i uk³adem skaluj¹cym; innym rozwi¹zaniem jest zastosowanie obserwatora prêdkoœci k¹towej [9, 18, 0, 5, 6, 8]; pr¹dów stojana (hallotronowe przek³adniki pr¹dowe LEM) oraz transformacji Clarke do stacjonarnego uk³adu wspó³rzêdnych (α, β); napiêcia stojana owarzanego na podstawie napiêcia sta³ego U DC i wysterowania tranzystorów falownika {a, b, c} [14, 0, 5, 8]; obserwacji momentu elektromagnetycznego M ˆ e, modu³u strumienia skojarzonego stojana ψ ˆ S oraz po³o enia wektora strumienia ρ s w nieruchomym uk³adzie wspó³rzêdnych (α, β) [3, 11, 16, 18, 8]. Natomiast tory sterowania sk³adaj¹ siê z bloków: regulatorów: prêdkoœci G Rω, momentu elektrycznego G RM, strumienia stojana G Rψ oraz uk³adu zadaj¹cego strumieñ na podstawie referencyjnej prêdkoœci k¹towej (os³abienie pola); odwrotnej transformacji Parka zadanego napiêcia u Sdref, u Sqref w uk³adzie wiruj¹cym do stacjonarnego uk³adu wspó³rzêdnych (α, β); sterowania falownikiem napiêcia metod¹ wektora przestrzennego (SVM lub SVPWM) [11, 17, 19, 0, 5]; falownika napiêcia. 3. MODEL MATEMATYCZNY W rozwa aniach pominiêto dynamikê uk³adu zasilaj¹cego (przemiennik czêstotliwoœci z falownikiem napiêcia). Wynika to z wysokiej czêstotliwoœci prze³¹czeñ tranzystorów mocy, która typowo wynosi 10 0 khz. Wiêc przemiennik ma du o krótsze sta³e czasowe ni silnik. Model matematyczny silnika indukcyjnego klatkowego, zapisany w wiruj¹cym z prêdkoœci¹ ω K uk³adzie wspó³rzêdnych (wyprowadzenie zosta³o podane m.in. w [1, 1, 18, 0]) jest w postaci: dψs K us RSi + + jω ψ S S (1a) dψr K 0 RRi + + j( ω p ) R bωm ψ R (1b) ψ S S S + μ R (1c) ψ R R R + μ S (1d) 34

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 9. ZESZYT 1, 010 W metodzie DTC-SVM wykorzystuje siê model matematyczny silnika w wiruj¹cym synchronicznie z wektorem strumienia stojana uk³adzie wspó³rzêdnych. Oznacza to zapis równañ silnika z wykorzystaniem metody wektora przestrzennego [1, 4, 6, 11, 1, 13, 17, 18, 5, 8], gdzie rzeczywist¹ osi¹ uk³adu wspó³rzêdnych jest strumieñ stojana ψ S ψ Sd + jψ Sq ψ S ψs {. 0 Takie podejœcie prowadzi do nastêpuj¹cych równañ [, 8, 30]: u u Sd dψs RS isd + (a) R i +ω ψ (b) Sq S Sq ms S dψrd 0 RRRd i + + ( pbωm ωms) ψ Rq (c) dψrq 0 RRRq i + + ( ωms pbωm) ψ Rd (d) ψ S Li S Sd + Li μ Rd (e) 0 Li SSq+ Li μ Rq (f) ψ Rd R Rd + μ Sd (g) ψ Rq R Rq + μ Sq (h) 3 Me pbψ SiSq (i) ω m e m (j) d J M M W powy szych równaniach i w dalszej czêœci artyku³u u ywane s¹ nastêpuj¹ce oznaczenia: i Sd, i Sq pod³u na i poprzeczna sk³adowa wektora pr¹du stojana, zapisanego w ruchomym uk³adzie wspó³rzêdnych zwi¹zanym z ψ S, L R indukcyjnoœæ wirnika, L S indukcyjnoœæ stojana, L indukcyjnoœæ wzajemna, R R rezystancja wirnika, R S rezystancja stojana, T R elektromagnetyczna sta³a czasowa wirnika, T S elektromagnetyczna sta³a czasowa stojana, δ ψ k¹t obci¹ enia, ρ s k¹t pomiêdzy osi¹ stojana a ψ S, p b liczba par biegunów silnika, ω m prêdkoœæ k¹towa wirnika, ω ms pulsacja (prêdkoœæ) strumienia ψ S, μ L σ 1 ca³kowity wspó³czynnik rozproszenia. L L S R MODEL OBWODU STRUMIENIA STOJANA ψ S f (u Sd ) Podstaw¹ wyprowadzenia modelu matematycznego jest równanie (c), do którego podstawia siê przekszta³cone zale noœci (a), (e), (f), (g). W wyniku uzyskuje siê równanie: dusd RR LSuSd +σ LS LR RR RS ψ S + d ψs LSLR R RLS RSL 13 R LL S R Lμ dψs +σ + ( + ) + +ω ( ms pbωm ) σls LRiSq 1444444443 0 i po zastosowaniu transformaty Laplace a otrzymuje siê transmitancjê obwodu strumienia skojarzonego stojana [, 8, 30]: ψs () s s+ Aψ Gψ () s (4a) u () s s + B s+ C gdzie: Sd RR 1 Aψ σl R σtr ψ ψ (3) (4b) RRLS + RSLR 1 1 1 Bψ + (4c) σlslr σ TR TS RRRS 1 Cψ σlsl R σtrts MODEL WYTWARZANIA MOMENTU ELEKTRYCZNEGO M e f (u Sq ) (4d) Podstaw¹ wyprowadzenia modelu matematycznego jest równanie (d), do którego podstawia siê przekszta³cone zale noœci (b), (e), (f), (g), (h). W wyniku uzyskuje siê równanie: disq ( RRLS + RSLR) isq +σ LSLR LRuSq + p ω ψ L + ( p ω ω ) σl b m S R b m ms S R Sd W pracach [, 8, 30] przyjêto: (5) ( pbωm ωms) σlslrisd 0 (6) 35

Grzegorz SIEKLUCKI, Tadeusz ORZECHOWSKI, Rajmund SYKULSKI MODEL MATEMATYCZNY NAPÊDU Z SILNIKIEM INDUKCYJNYM METODA DTC-SVM Po za³o eniu M m 0 oraz wyznaczeniu podstawieñ z równañ (i) i (j): RRLS + RSLR (1 σ ) 1 1 σ Bms + σlslr σtr σts (1c) dω m 31 3 1 pb ψ SiSq, isq Me J pbψs Podstawienia u yto do zró niczkowanego obustronnie równania (5) i po zastosowaniu transformaty Laplace a uzyskano (wersja 1): G M gdzie: Amz M () s A s () s u s s B s C 3 e mz Sq () + mz + mz pbψ S σls RRLS + RSLR 1 1 Bmz + σlslr σtr σts 3 pbψs Cmz σls J (7) (8a) (8b) (8c) (8d) Za³o enie (6) oznacza b³¹d dok³adnoœci modelu matematycznego (8). Z tego powodu wskazane jest dalsze przekszta³canie zale noœci (5). Na podstawie (b), (e) mo na obliczyæ: ( pbωm ωms) σ LSLRiSd pbωmψsσlr σlrusq +σlrrsisq ( pbωm ωms) σlrlμird Wrównaniu (9) za b³¹d liniowego modelu matematycznego przyjmuje siê (9) ( p ω ω ) σl 0 (10) b m ms R μ Rd Nastêpnie zale noœæ (9) podstawia siê do (5) oraz wykorzystuje siê (7). W wyniku otrzymuje siê transformatê Laplace a: 3 3 1 pbψslr(1 σ ) susq pb SLR(1 ) ψ σ + J + ( RRLS + RSLR(1 σ )) s+σlslrs M e i transmitancjê w postaci (wersja ): (11) 3 pbψs (1 σ ) Cms σls J (1d) Przedstawione transmitancje mo na zapisaæ w postaci równania stanu: &x() t Axt % () + But % () (13) yt () Cxt () (14) i dla transmitancji (4) macierze s¹ w postaci: 0 1 1/ Cψ A%, B%, C ( 0 1) (15) Cψ Bψ A ψ natomiast dla transmitancji (8) i (1) macierze mo na przyj¹æ jako: 0 1 0 A%, B%, C ( 0 1) (16) Cm Bm Am Dla postaci równania stanu mo na w optymalizacji parametrów regulatorów strumienia i momentu wykorzystaæ metody opisane w [1, 7]. Transmitancje momentu elektrycznego (8) i (1) opisuj¹ obiekty ró niczkuj¹ce drugiego rzêdu i ró ni¹ siê wspó³czynnikami. B³êdami obydwóch modeli matematycznych s¹ lewe strony wyra eñ (6) oraz (10). Linearyzacjê modelu () silnika, badania symulacyjne oraz analizê b³êdów przedstawiono w nastêpnym punkcie. 4. SYMULACYJNE BADANIA PORÓWNAWCZE Badania symulacyjne zosta³y przeprowadzone w œrodowisku MATLAB-Simulink z wykorzystaniem biblioteki Sim- PowerSystems, w której znajduje siê nieliniowy model silnika indukcyjnego. Sygna³y wyjœciowe tego modelu zosta- ³y przyjête jako wzorcowe w porównaniu z transmitancjami (4), (8) i (1). Schemat symulacyjny uk³adu zosta³ przedstawiony na rysunku 3. W badaniach symulacyjnych wykorzystano parametry silników indukcyjnych z pracy [8]: G M gdzie: Ams M () s A s () s u s s B s C 3 e ms Sq () + ms + ms pbψs(1 σ) σls (1a) (1b) Dane napêdu N1: P N 3 kw, U SN 380V, I SN 6,9 A, J 0,007 kgm, n N 1415 obr/min, p b, R S 1,85 Ω, R R 1,84 Ω, L S 0,17 H, L R 0,17 H, L 0,16 H, M N 0 Nm. 36

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 9. ZESZYT 1, 010 Rys. 3. Badania porównawcze modeli matematycznych dla uk³adu DTC-SVM Dane napêdu N: P N 15 kw, U SN 380V, I SN 8,9 A, J 0,875 kgm, n N 1460 obr/min, p b, R S 0,8 Ω, R R 0,6 Ω, L S 0,0635 H, L R 0,0635 H, L 0,0581 H, M N 98 Nm. Dla obydwóch silników znamionowy strumieñ stojana USN wynosi ψ SN 0,98 Wb. 3100π Na rysunkach 4, 5, 6 i 7 przedstawiono porównania odpowiedzi skokowych transmitancji (4), (8), (1) oraz modelu nieliniowego dla napêdu N1 i N. W ocenie b³êdów przybli enia modeli matematycznych wykorzystano: ( yn( t) yl( t)) Δ % 100% (17) yn () t gdzie sygna³y y n, y l s¹ odpowiedzi¹ skokow¹ modelu nieliniowego i liniowego (transmitancja). Zestawienie wspó³czynników transmitancji i b³êdów linearyzacji modelu silnika zosta³o zamieszczone w tabeli 1. Odpowiedzi skokowe uk³adów przedstawione na rysunkach 4 oraz 6 praktycznie siê pokrywaj¹ (Δ % 0,593% oraz Δ % 0,314%). Oznacza to, e przyjêta postaæ liniowego przybli enia modelu obwodu strumienia stojana jest ca³kowicie wystarczaj¹ca. Dodatkowo z tabeli 1 mo na odczytaæ, e wartoœci w³asne (bieguny) zlinearyzowanego obwodu strumienia stojana s¹ rzeczywiste i znacznie ró ni¹ siê od siebie. Zró nicowanie wartoœci w³asnych jest równie widoczne na przebiegach strumienia (rys. 4 oraz 6), których kszta³t jest zbli ony do odpowiedzi skokowej obiektu inercyjnego. Z tego powodu mo na dokonaæ uproszczenia transmitancji (4) do element inercyjnego pierwszego rzêdu: } 0 1 Aψ Aψ s + ψs () s Cψ Cψ Cψ Gψ () s usd () s 1 Bψ Bψ s + s+ 1 s+ 1 Cψ Cψ Cψ { 0 (18) Porównanie odpowiedzi skokowych modelu nieliniowego i poszczególnych linearyzacji obwodu strumienia stojana przedstawiono na rysunkach 4, 6, 8, 9. Tabela 1. Linearyzacja N G ψ (s) bieguny G ψ Ä %ψ G Mz (s) wersja 1 bieguny G Mz Ä %M G Ms (s) wersja bieguny G Ms Ä %M 1 A ψ 94,8 B ψ 190,1 C ψ 1031 ë 1 184 ë 5,59 0,59 A mz 151,5 B mz 190,1 C mz 4407 ë 1, 95 ±j183 9,94 A ms 134, B ms 179, C ms 37565 ë 1, 90 ±j 17 1,05 A ψ 5,14 B ψ 5, C ψ 110,9 ë 1 50 ë, 0,31 A mz 84,3 B mz 5, C mz 636,9 ë 1 3,8 ë 19,4 9,93 A ms 38 B ms 47,8 C ms 533,1 ë 1 30,1 ë 17,7 0,996 37

Grzegorz SIEKLUCKI, Tadeusz ORZECHOWSKI, Rajmund SYKULSKI MODEL MATEMATYCZNY NAPÊDU Z SILNIKIEM INDUKCYJNYM METODA DTC-SVM Rys. 4. OdpowiedŸ skokowa strumienia stojana napêd N1 Rys. 5. OdpowiedŸ skokowa momentu elektrycznego napêd N1 Rys. 6. OdpowiedŸ skokowa strumienia stojana napêd N Rys. 7. OdpowiedŸ skokowa momentu elektrycznego napêd N Rys. 8. OdpowiedŸ skokowa linearyzacji obwodu strumienia stojana (n jest rzêdem transmitancji) napêd N1 Rys. 9. OdpowiedŸ skokowa linearyzacji obwodu strumienia stojana (n jest rzêdem transmitancji) napêd N 38

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA TOM 9. ZESZYT 1, 010 B³êdy przybli enia dla przedstawionych przypadków wynosz odpowiednio Δ % 1,37% oraz Δ %,39% dla napêdu 1. oraz. Uzyskane wyniki symulacyjne œwiadcz¹ o tym, e transmitancja (18) mo e zostaæ wykorzystana w procesie optymalizacji regulatora strumienia. Dobór parametrów regulatora (np. proporcjonalno-ca³kuj¹cego) dla tak prostego modelu matematycznie jest bardzo prosty, co przyspiesza proces projektowania uk³adu automatycznej regulacji silnikiem. Wiêksze ró nice w odpowiedziach modelowanych uk³adów wystêpuj¹ dla obwodu wytwarzania momentu elektrycznego (rys. 5 i 7), gdzie b³êdy dla transmitancji (8) wynosz¹ odpowiednio Δ %N1 9,95% oraz Δ %N 9,93%. Natomiast dla transmitancji (1) b³êdy s¹ równe Δ %N1 1,05% oraz Δ %N 1%, co œwiadczy o lepszym przybli eniu modelu silnika indukcyjnego. 5. PODSUMOWANIE Wartykule przedstawiono liniowe modele matematyczne silnika indukcyjnego. Ukazano je w postaci ci¹g³ej transmitancji operatorowej. Model obwodu strumienia stojana charakteryzowa³ siê b³êdem mniejszym od 1% (transmitancja (4)) oraz poni ej,5% (transmitancja (18)). Wpracy [13] przedstawiono zale noœci pomiêdzy pr¹dem stojana oraz wirnika w funkcji poœlizgu i wynika z nich, e modu³ pr¹du i R jest zawsze mniejszy od modu³u i S. Wynika st¹d, e liniowy model (1) jest lepszym przybli eniem nieliniowego modelu silnika (), co równie zosta³o potwierdzone w badaniach symulacyjnych. B³¹d przybli enia modelu wytwarzania momentu elektrycznego by³ na poziomie 1%. Przedstawione uproszczone modele matematyczne mog¹ zostaæ wykorzystane w procesie optymalizacji parametrycznej regulatorów strumienia stojana oraz momentu (rys. ) [, 8, 1,, 30]. Lieratura [1] Bisztyga K.: Sterowanie i regulacja silników elektrycznych. Warszawa, WNT, 1989 [] Blaabjerg G.F., KaŸmierkowski M.P., Zelechowski M., Swierczynski D., Ko³omyjski W.: Design and comparison direct torque control techniques for induction motors. EPE 05, 11 14.09.005, Dresden, Germany, page on CD, 004 [3] Boldea I. Nasar S.A.: Electric Drives. CRC Press, 1999 [4] Bose B.K.: Modern Power Electronics and AC Drives. NJ, Prentice Hall, 00 [5] Buja G.S., KaŸmierkowski M.P.: Direct torque control of PWM converter-fed ac motors-a survey. IEEE Trans. Ind. Electron., 51(4) (004) 744 757 [6] Chiasson J.: Modeling and High-Performance control of Electric Machines. NJ: Wiley-IEEE Press, 005 [7] Depenbrock M.: Direct self-control (DSC) of inverter-fed induction machine. IEEE Transactions on Power Electronics, 3 (1988) 40 49 [8] elechowski M.: Space Vector Modulated-Direct Torque Controlled (DTC-SVM) Inverter-Fed Induction Motor Drive. PhD thesis, Faculty of Electrical Engineering Institute of Control and Industrial Electronics, Warsaw University of Technology, 005 [9] Holtz J.: Sensorless Control of Induction Motor Drives. Preceedings of the IEEE, 80(8) (00) 1359 1394 [10] KaŸmierkowski M.P., elechowski M., Œwierczyñski D.: Dtcsvm an efficient method for control both induction and pm synchronous motor. page on CD, 004 [11] KaŸmierkowski M.P., Krishnan R., Blaabjerg F.: Control in Power Electronics. San Diego, Academic Press, 00 [1] KaŸmierkowski M.P. Tunia H.: Automatic Control of Converter-Fed Drives. Warszawa, Elsevier, 1994 [13] Krishnan R.: Electric Motor Drives. Modelling, Analysis and Control. NJ: Prentice Hall, 001. [14] Lascu C., Andreescu G.-D.: Sliding-mode observer and improved itegrator with dc-offset compensation for flux estimation in sensorless-controlled induction motors. IEEE Trans. Ind. Electr., 53 (006) 785 794 [15] Lascu C., Boldea I., Blaabjerg F.: A modified direct torque control for induction motor sensorless drive. IEEE Trans. Ind. Appl., 36(1) (000) 1 130 [16] Lascu C. Trzynadlowski A.T.: A sensorless hybrid c drive for highvolume applications using the tms30f43 dsp controller. Ind. Appl. Conference, 001. Thirty-Sixth IAS Annual Meeting. Conference Record of the 001 IEEE, 1 (001) 48 489 [17] Leonhard W.: Control of Electrical Drives. Berlin, Springer-Verlag, 001 [18] Or³owska Kowalska T.: Bezczujnikowe uk³ady napêdowe z silnikami indukcyjnymi. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc³awskiej, 003 [19] Piróg S.: Energoelektronika: uk³ady o komutacji sieciowej i o komutacji twardej. Kraków, Wydawnictwa AGH, 006 [0] Sieklucki G.: Automatyka napêdu. Kraków, Wydawnictwa AGH, 009 [1] Sieklucki G.: Pole placement method for dc motor torque. Archives of Control Sciences, 19(3) (009) 307 34 [] Sieklucki G.: Problem LQ w optymalizacji regulatora momentu elektromagnetycznego. Elektrotechnika i Elektronika, t. 9, z. 1, 010 [3] Sieklucki G., Orzechowski T., Sykulski R.: Dobór parametrów regulatora prêdkoœci w bezpoœrednim sterowaniu momentem silnika indukcyjnego. Kraków, Elektrotechnika i Elektronika, 4(1) (005) 85 9 [4] Takahashi I., Noguchi T.: A new quick response and high efficiency control strategy of an induction motor. IEEE Trans. on Industrial Applications, IA- (1986) 80 87 [5] Trzynadlowski A.M.: Control of Induction Motors. Academic Press, San Diego, 000 [6] Utkin V., Guldner J., Shi J.: Sliding Mode Control in Electromechanical Systems. London, Taylor & Francis, 1999 [7] Vaccaro J.R.: Digital Control. A State-Space Approach. McGraw- Hill, Inc., 1995 [8] Vas P.: Sensorless Vector and Direct Torque Control. Oxford University Press, 1998 [9] Xue X., Xu X., Habetler T.G., Divan D.M. A low cost stator flux oriented voltage source variable speed drive. Conf. Rec. IEEE-IAS Annu. Meeting, 1 (1990) 410 415 [30] Zelechowski M., KaŸmierkowski M., Blaabjerg F.: Controller design for direct torque controlled space vector modulated (csvm) induction motor drives. IEEE ISIE, Dubrovnik, Croatia (005) 951 956 Wp³ynê³o: 1.0.010 39

Grzegorz SIEKLUCKI, Tadeusz ORZECHOWSKI, Rajmund SYKULSKI MODEL MATEMATYCZNY NAPÊDU Z SILNIKIEM INDUKCYJNYM METODA DTC-SVM Grzegorz SIEKLUCKI Urodzi³ siê lutego 197 roku. Studia wy sze ukoñczy³ w roku 1997 w Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie na Wydziale Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki. Stopieñ naukowy doktora nauk technicznych uzyska³ w 000 roku. Od pocz¹tku pracuje w Katedrze Automatyki Napêdu i Urz¹dzeñ Przemys³owych AGH. Zajmuje siê sterowaniem dyskretnym w uk³adach napêdowych. e-mail: sieklo@kaniup.agh.edu.pl Tadeusz ORZECHOWSKI Urodzi³ siê 19 paÿdziernika 1946 roku w Krakowie. Studia wy sze ukoñczy³ w roku 1970 w Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie na Wydziale Elektrotechniki Górniczej i Hutniczej. Stopieñ naukowy doktora nauk technicznych uzyska³ w roku 1977, a stopieñ doktora habilitowanego w roku 199. Od pocz¹tku pracuje w Katedrze Automatyki Napêdu i Urz¹dzeñ Przemys³owych AGH, w chwili obecnej na stanowisku profesora nadzwyczajnego. G³ówny kierunek jego zainteresowañ naukowo-badawczych obejmuje zagadnienia z zakresu automatyki napêdu elektrycznego, a w szczególnoœci: zastosowania techniki mikroprocesorowej w identyfikacji i sterowaniu napêdami oraz problematyka napêdów synchronicznych jako obiektów regulacji w systemie energo-elektro-mechanicznym. Jest autorem i wspó³autorem ponad 70 publikacji naukowych i 17 patentów. e-mail: orzech@agh.edu.pl Rajmund SYKULSKI Urodzi³ siê 1 stycznia 1977 roku. Studia wy sze ukoñczy³ w roku 001 w Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie na Wydziale Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki. Od 001 roku jest asystentem w Katedrze Automatyki Napêdu i Urz¹dzeñ Przemys³owych. Zajmuje siê sterowaniem w napêdach elektrycznych. e-mail: sykulski@kaniup.agh.edu.pl 40